第九章拉普拉斯变换
9.1 拉普拉斯变换
()()
f t F p →0
()()pt
F p e
f t dt
∞
?=∫t p s i σ=+实变量，复变量。
原函数
像函数
核
拉氏变换的各种记号
实变函数变换成一个复变函数
拉氏变换存在的充分条件：
01.()0.2. M>0s 0,(0)f t t t t ≤<∞≥≤<∞在区间中除了第一类间断点外是连续的，而且有连续导数；在任何有限区间内这种间断点的数目是有限的存在常数和使对于任何值有
0|()|s t
f t Me
<0min s s =收敛横标
9.2 拉普拉斯变换的基本性质性质1：拉普拉斯变换是线性变换。
性质2：拉普拉斯变换的像函数是一解析函数。性质3：原函数满足拉普拉斯变换存在的充分条件，则
()0,Re .
F p p s →=→+∞当性质4：原函数的导数的拉普拉斯变换由下式给出
()()f t F p →()()(0)
f t pF p f ′→?()
1
2
(2)(1)
()()(0)(0)(0)(0)
n n n n n n f
t p F p p
f p
f pf f ????′→????????
例4：()(),0
F t f tττ
=?>
()()() pt pt p
e f t dt e f t dt e F p
τ
τ
ττ
∞∞
????=?=∫∫
积分变换练习题 第二章 Laplace 变换 ________系_______专业 班级 姓名______ ____学号_______ §1 Laplace 变换的概念 §2 Laplace 变换的性质 一、选择题 1．设()(1)t f t e u t -=-，则[()]f t =L [ ] （A ）(1)1s e s --- （B ）(1)1s e s -++ （C ）1s e s -- （D ）1 s e s -+ 11[(1)][()];1[(1)](1)s s t s u t e u t se e u t s e --+??-== ? ? ?-= ?+?? 由延迟性质可得，再由位移性质可得，L L L 2．设2sinh ()t f t t = ，则[()]f t =L [ ] （A ）1ln 1s s -+ （B ）1ln 1s s +- （C ）12ln 1s s -+ （D ）1 2ln 1 s s +- 见课本P84 二、填空题 1．设2()(2)f t t u t =-，则[]()f t =L 。 22''222321[(2)][()];1442[(1)]s s s s u t e u t se s s t u t se s e -??-== ? ?++ ???-== ? ????? 由延迟性质可得，再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L L 2．设2()t f t t e =，则[]()f t =L 。 (1)00'' 231[](Re()1);112[]1(1)t t st s t t e e e dt e dt s s t e s s +∞+∞---??===> ?- ? ???== ? ?--??? ???再由象函数的微分性质P83(2.7)可得，L L 三、解答题 1．求下列函数的Laplace 变换： （1）302()12404t f t t t ≤
第十三章 拉普拉斯变换 13．1 基本概念 13．1．1拉普拉斯变换的定义 一个定义在[)∞,0区间的函数()t f ，它的拉普拉斯变换式()S F 定义为 ()()dt e t f s F st -∞ ?- =0 式中ωσj s +=为复数，()S F 称为()t f 的象函数，()t f 称为()S F 的原函数。式中积分下限取 -=0t ，把上述定义式作如下变形： ()()()()dt e t f dt e t f dt e t f s F st st st -∞ + --∞ ? ? ? + = = + - - 0000 可见，对拉普拉斯变换的定义，已自动计及-=0t 时()t f 可能包含的冲激。 13．1．2 拉普拉斯变换的基本性质 设()[]()s F t f L 11= ()[]()s F t f L 22=，则有下表中性质。 表13-1拉普拉斯变换的基本性质 13．1．3 拉普拉斯反变换 对于简单的象函数可在拉氏变换表中查出它的原函数，表中没有的可按反变换基本公式求出，即
()()[]()ds e s F j s F L t f st j c j c ?∞+∞--= =π211，但此式涉及到计算一个复变函数的积分，一般比较复杂。电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s 的多项式之比，即s 的一个有理分式 ()()()n n n m m m b s b s b a s a s a s D s N s F ++++++= =-- 110110 式中m 和n 为正整数，且m n ≥。 若m n =时，先将其化简成真分式，然后用部分分式展开，将复杂变换式分解为许多简单变换式之和，然后分别查表即可求得原函数。 1．()0=s D 具有n 个单实根时 ()i i n i p s K s F -=∑ =1 式中：()()i p s i i s F p s K =-=| 则 ()()[]t p n i i i e K s F L t f ∑=-==1 1 2．()0=s D 具有重根时 设()0=s D 除了m 个重根外，其它均为单根，共有n 个根。 ()()()() i i n m n i m m m p s K p s K p s K p s K s F -+ -+ +-+ -= ∑ -=-111 112 111 式中：()()()[] i p s m q q q s F p s ds d q K =--?--=|!111 1 11 则 ()()[]()()t p n m n i i t p m m m i e K e K t m K t m K s F L t f ∑-=---+?? ????++-+-==111121111 !2!1 3．()0=s D 具有共轭根时 若()0=s D 有复数根，一定是一对共轭根。设有n 个单根，其中两个为一对共轭根，ωαj p +=1， ωαj p -=2。 ()i i n i p s K p s K p s K s F -+-+-=∑ =322 11 21,K K 为一对共轭复数，设1|11θj e K K =，1|12θj e K K -=，
拉普拉斯变换的数学方法 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数()t F ，其中0t ≥，则f(t)的拉氏变换记作： 称L —拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。 f(t)—原函数 拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。 2)当∞→t 时，at Me )t (f ≤，M ，a 为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F （s ）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 1L -—拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在实际中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个成几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数at e 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式：wt sin j wt cos e jwt += 所以，)e e (j 21wt sin jwt jwt --= 6．余弦函数coswt 其它的可见表2-1：拉氏变换对照表
三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k 1，k 2,函数f 1(t),f 2(t),且f 1(t),f 2(t)的拉氏变换为F 1(s),F 2(s), 则 有 ： F k )s (F k )]t (f k )t (f k [L 2112211+=+，此式可由定义证明。 2、位移定理 ?? ?复数域的位移定理实数域的位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a 有 ) s (F e )]a t (f [L as -=-, 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表 f(t)延迟时间a. 证明：?∞ --=-0st dt e )a t (f )]a t (f [L ，
第十三章 拉普拉斯变换 —学习过渡过程的复频域分析方法 本章内容: 1．复习拉氏变换及拉氏变换的性质 ( 列写微分方程→求时域响应 2．拉氏变换的部分分式展开 列代数方程 → 求复频域响应 3．拉氏变换的运算电路 →积分变换→求时域响应) 4．拉氏变换的线性电路的分析 本章重点： 1．拉氏变换的部分分式展开 2．拉氏变换的运算电路 本章重点：应用运算电路求电路的频率响应 §13-1 拉普拉斯变换的定义 对于一个多个动态元件的电路，用直接求解微分方程的方法比较困难，麻烦；故通过积分变换法，把已知的时域函数（时间域）变换为频域（s 域）函数，从而将时域的微分方程化为频域函数的代数方程。求出频域函数后，再作变换，返回时域，即可求出响应。 积分变换的方法有：拉普拉斯变换和傅里叶变换，拉普拉斯变换应用广，故采用。 一、拉普拉斯变换（拉氏变换） 如果函数f(t)在t ≥0时有定义，且?∞ --0)(dt e t f st 为有限值（收敛）则，f(t)的拉氏变换为： ? ∞ -- = 0)()(dt e t f S st F 式中：ωσj S +=为复数变量，称复频率，单位为HZ ； F （S ）是f(t)的象函数（F （S ）象函数） f(t)是 F （S ）的原函数（f(t)是原函数）。 二、拉普拉斯反变换（拉氏反变换） ? ∞ +∞ -= j c j c st dt e S F j )(21πf(t) 三、举例 例13-1求以下函数的象函数 （1） 单位阶跃函数（2）单位冲激函数（3）指数函数。 解：（1）单位阶跃函数 （2） 单位冲激函数
（3）指数函数。 §13-2 拉普拉斯变换的性质 一、线性（组合）性质 设F1（S）、F2（S）是f1(t)和f2(t)的象函数，A1A2是两个任意实数则有： 二、微分性质 设F（S）是f(t)的象函数，则有 三、积分性 设F（S）是f(t)的象函数，则有 四、延迟性质 设F（S）是f(t)的象函数，则有 应用拉普拉斯变换可求出原函数和象函数的对应关系，得出294页表，那么， 如何利用表中函数对应的关系，由象函数求原函数呢，我们复习部分分式法。 §13-3 拉普拉斯反变换的部分分式展开 在用拉普拉斯变换求解线性电路的时域响应时，需要将频域响应的拉氏变换式子反变换为时间函数，如果象函数较简单，则可查表求原函数；如较复杂，则要分解为简单的、能从表中查到的项，再利用查表求原函数。 电路响应的象函数可表示为两个实系数的s多项式之比（有理分式）为：
protues元件库中英文对照表，对初学者找不到元件的很有用元件名称中文名说明 7407 驱动门 1N914 二极管 74Ls00 与非门 74LS04 非门 74LS08 与门 74LS390 TTL 双十进制计数器 7SEG 4针BCD-LED 输出从0-9 对应于4根线的BCD码7SEG 3-8译码器电路BCD-7SEG转换电路ALTERNATOR 交流发电机 AMMETER-MILLI mA安培计 AND 与门 BATTERY 电池/电池组 BUS 总线CAP 电容 CAPACITOR 电容器 CLOCK 时钟信号源 CRYSTAL 晶振 D-FLIPFLOP D触发器 FUSE 保险丝 GROUND 地 LAMP 灯
LED-RED 红色发光二极管 LM016L 2行16列液晶可显示2行16列英文字符，有8位数据总线D0-D7，RS，R/W，EN三个控制端口（共14线），工作电压为5V。没背光，和常用的1602B功能和引脚一样（除了调背光的二个线脚） LOGIC ANALYSER 逻辑分析器 LOGICPROBE 逻辑探针 LOGICPROBE[BIG] 逻辑探针用来显示连接位置的逻辑状态 LOGICSTATE 逻辑状态用鼠标点击,可改变该方框连接位置的逻辑状态LOGICTOGGLE 逻辑触发 MASTERSWITCH 按钮手动闭合,立即自动打开 MOTOR 马达 OR 或门 POT-LIN 三引线可变电阻器 POWER 电源 RES 电阻 RESISTOR 电阻器 SWITCH 按钮手动按一下一个状态 SWITCH-SPDT 二选通一按钮 VOLTMETER 伏特计 VOLTMETER-MILLI mV伏特计 VTERM 串行口终端 Electromechanical 电机Inductors 变压器
第四章 连续信号与系统的S 域分析 1、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统， ()()t f dt df t y dt dy dt y d 52452 2+=++ 已知输入()()t e t f t ε3-=时，试求（1）系统的零状态响应；（2）判断系统的稳定性 解：(1) 方程两边取拉氏变换； ()()()() 4 5524 55 22 2+++=?+++= ?=s s s s F s s s s F s H s Y ()()() t e e e t y s s s s s s s s Y t t t zs z ε?? ? ??--=+- +-+=+++?+= ---422121214 2122111459221 (2) 对于因果连续系统，()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面， ()t h 才是衰减信号，由此可以得出，在复频域有界输出的充要条件是系统函数()s H 的全部极点位于s 平面的左半平面，若系统函数的极点是虚轴上的单阶共轭极点。则系统临界稳定，若系统函数的极点在右半平面，则系统不稳定，如下图。 该题中，()1 1 4145522+++=+++=s s s s s s H ，其极点分别为4,121-=-=s s ，都在左半平面，所以 系统稳定。 2、如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统 ()()()()?? ???==+=++--30,20223'22y y t f dt df t y dt dy t d y d
已知输入()()t e t f t ε3-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应()t y zs 和零输入响应 ()t y zi ， 0≥t 以及系统的全响应()0,≥t t y 。 解：方程两边取拉氏变换 ()()()()()()[]()() ()()()()()() ()()()() ()()() t e e e t y t e e t y s s s s s s Y t e e e t y s s s s s s s s Y s s s s s s s s Y s s F s F s y y sy s Y s s t t t t t zi zi t t t zs ZS εεε?? ? ??+--=+-=+++-=+++=??? ??-+-=+-++++-=+?+++=++++++?+++=+= +=---+++-----------213225 751 7 25239232132 5 1 2 123325312312223632312312;3112030'023********* 22
第七章 傅里叶变换 1．求下列函数的傅氏变换： (1)1,10, ()1, 01,0,; t f t t --<? 解: (1)[()]()j t F f t f t e dt ω+∞--∞ =? 1 101 10 1 1 22sin cos | 2(1cos ).j t j t j t j t e dt e dt e dt e dt j i tdt t j ωωωωωωω ωω -----=-+=-+=-= =- -????? (2) ()()j t F f t e dt ωω+∞--∞ =? 0(1)(1)0 11|.11t j t j t j t e e dt e dt e j j ωωωωω ---∞ -∞ --∞====--?? 6．求下列函数的傅氏变换 (1) 1,0,sgn 1,0;t t t -? (2) ()sin(5).3f t t π =+ 解: (1)已知 1 [()](),[1]2(),F u t F j πδωπδωω = +=由sgn 2()1t u t =-有 12[sgn ]2( ())2().F t j j πδωπδωωω =+-= (2) 由于 1()sin(5)sin 5cos5,322f t t t t π=+=+ 故 [()][(5)(5)](5)(5)].2j F f t πδωδωδωδω= +--++- 7．已知00()[()()]F ωπδωωδωω=++-为函数()f t 的傅氏变换，求().f t
第四章拉普拉斯变换 第一题选择题 1．系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 B 。 A、是反比关系； B、无关系； C、线性关系； D、不确定。 2．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面左半平面的共轭极点，则它的h(t)应是 B 。 A、指数增长信号 B、指数衰减振荡信号 C、常数 D、等幅振荡信号 3．一个因果稳定的连续系统，其H（s）的全部极点须分布在复平面的 A 。 A、左半平面 B、右半平面 C、虚轴上 D、虚轴或左半平面 4．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一个在左半实轴上的极点，则它的h(t)应是B 。 A、指数增长信号 B、指数衰减振荡信号 C、常数 D、等幅振荡信号 5．一个因果稳定的连续系统，其H(s)的全部极点须分布在复平面的 A 。 A 左半平面 B 右半平面 C 虚轴上 D 虚轴或左半平面 6．若某连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在复平面虚轴上的一阶共轭极点，则它的h(t)是D 。 A 指数增长信号 B 指数衰减信号 C 常数 D 等幅振荡信号 7．如果一连续时间系统的系统函数H(s)只有一对在虚轴上的共轭极点，则它的h(t)应是D A、指数增长信号 B、指数衰减振荡信号 C、常数 D、等幅振荡信号 8．如果系统函数H(s)有一个极点在复平面的右半平面，则可知该系统 B 。 A 稳定 B 不稳定 C 临界稳定 D 无法判断稳定性 9．系统函数H(s)是由 D 决定的。 A 激励信号E(s) B 响应信号R(s) C 激励信号E(s)和响应信号R(s) D 系统。10．若连续时间系统的系统函数H(s)只有在左半实轴上的单极点，则它的h(t)应是 B 。 A 指数增长信号 B 指数衰减信号 C 常数 D 等幅振荡信号 11、系统函数H（s）与激励信号X（s）之间 B A、是反比关系； B、无关系； C、线性关系； D、不确定。
第二章 拉普拉斯变换的数学方法 2-1 试求下列函数的拉氏变换 （1）23)(2 ++=t t t f 解：3 2232()=++F s s s s （2）t t t f 2cos 32sin 5)(?= 解：22 103()44=?++s F s s s （3）at n e t t f ?=)( 解：1 ! ()()+=?n n F s s a （4）t e t f t 6sin )(2?= 解：2 6 ()(2)36 =++F s s （5）at t t f cos )(= 解：1()cos ()2 ?==+jat jat f t t at t e e 22 2222222 111()2()()()4??+=+=??+??+??s a F s s ja s ja s a a s （6）t t f 2 cos )(= 解：1cos 2()2+= t f t 22 2211112 ()()22424(4) +=+?=+=+++s s s F s s s s s s s （7）)(5)(2t e t f t δ+= 解：1 ()52 = +?F s s （8）)(sin )(cos )(t u t t t t f ???=δ 解：1 111)(22 2+=+?=s s s s F 2-2 已知) 1(10 )(+= s s s F （1）利用终值定理，求∞→t 时的)(t f 值。 解：0 01010 lim ()lim ()lim lim 10(1)1 →∞ →→→====++t s s s f t sF s s s s s （2）通过取)(s F 拉氏反变换，求∞→t 时的)(t f 值
目录 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班学生岳艳林 指导老师韩新华 摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质； 其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边 函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程值问题、常系数与变系数常微分方程、含 特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界 与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。 关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解
引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 拉普拉斯变换的定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分 ()st f t e dt +∞ -? (s 是一个复参量)在s 的某一区域内收 敛，则此积分所确定的函数可写为0 ()()st F s f t e dt +∞ -= ? .我们称上式为函数()f t 的Laplace 变换 式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）. 若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2]. Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件: 1?在0t ≥的任一有限区间上分段连续； 2?当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）. 则()f t 的Laplace 变换0 ()st F f t e dt +∞ -?（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2]. 拉普拉斯变换的性质 ⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =, 则有1212[()()][(t)]+[()]L f t f t L f L f t αβαβ+=, 1111212[()()][(s)]+[()]L F s F s L F L F s αβαβ---+=. ⑵微分性质 若[()]()L f t F s =,则有'[()]()(0)L f t sF s f =-. 高阶推广 若[()]()L f t F s =,则有2'[()]()(0)(0)L f t s F s sf f ''=--.
目录 引言 (1) 1 拉普拉斯变换以及性质 (1) 1.1拉普拉斯变换的定义 (1) 1.2拉普拉斯变换的性质 (2) 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3) 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (4) 3.1初值问题与边值问题 (4) 3.2常系数与变系数常微分方程 (5) 3.3含 函数的常微分方程 (6) 3.4常微分方程组 (7) 3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (7) 3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (11) 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (12) 4.1齐次与非齐次偏微分方程 (12) 4.2有界与无界问题 (15) 5 综合比较，归纳总结 (19) 结束语 (20) 参考文献 (20) 英文摘要 (21) 致谢 (21)
拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班 学 生 岳艳林 指导老师 韩新华 摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯 变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。 关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 1.1 拉普拉斯变换的定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分 ()st f t e dt +∞ -? (s 是一个复参量)在s 的 某一区域内收敛，则此积分所确定的函数可写为0 ()()st F s f t e dt +∞ -= ? .我们称上式 为函数()f t 的Laplace 变换式.记为()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）. 若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为1()[()]f t L F s -=[2]. Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件:
变焕世界-傅立叶、拉普拉斯、Z变换 1、傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。 2、拉普拉斯变换 定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数 ,其中，S=σ+jω是复参变量，称为复频率。左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换； 右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。 以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。 如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为F(s),=mathcal left =int_ ^infty f(t),e^ ,dt 其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。 z变换可将分散的信号（现在主要用于数字信号）从时域转换到频域。作用和拉普拉斯变换（将连续的信号从时域转换到频域）是一样的。 拉普拉斯变换是将时域信号变换到“复频域”，与傅里叶变换的“频域”有所区别。 FT[f(t)]=从负无穷到正无穷对[f(t)exp(-jwt)]积分 ,LT[f(t)]=从零到正无穷对[f(t)exp(-st)]积分 ,(由于实际应用，通常只做单边拉普拉斯变换，即积分从零开始) .具体地，在傅里叶积分变换中，所乘因子为exp(-jwt)，此处，-jwt显然是为一纯虚数；而在拉普拉斯变换中，所乘因子为exp(-st)，其中s为一复数：s=D+jw,jw是为虚部，相当于Fourier变换中的jwt，而D则是实部，作为衰减因子，这样就能将许多无法作Fourier变换的函数（比如exp(at),a>0）做域变换。拉普拉斯变换主要用于电路分析，作为解微分方程的强有力工具（将微积分运算转化为乘除运算）。但随着CAD的兴起，这一作
第十三章 积分变化法 在第六章，我们曾用拉普拉斯变换方法求解常微分方程。经过变换，常微分方程变成了代数方程，解出代数方程，再进行反演就得到了原来常微分方程的解。 积分变换在数学物理方程（也包括积分方程、差分方程等）中亦具有广泛的用途。经过变换以后，方程变得简单了，例如偏微分方程变成了常微分方程，解出常微分方程，再进行反演，就得到了原来偏微分方程的解。利用积分变换，有时还能得到有限形式的解，而这往往是用分离变数法不能得到的。 本章主要介绍傅里叶变换、拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用。 §13.1 傅里叶变换法 用分离变数法求解有界空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数。对于无界空间，用分离变数法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分。因此，对于无界空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法。本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定解问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式。 例1 求解无限长弦的自由振动?? ???==∞<<-∞=-==).(),() (,0002 x u x u x u a u t t t xx tt ψ? 解 应用傅里叶变换，即用π2ikx e -遍乘方程及定解条件各项。并对空间变数x 积分（时间 变数t 视作参数）。原来的定解问题变换成 ) (),(0 0022k U k U U a k U t t ψ='Φ==+''== 其中)(k Φ、)(k ψ分别是)(x ?、)(x ψ的傅里叶变换。原来的定解问题变成了常微分方程及初值条件，其通解是 ikat ikat e k B e k A k t U -+=)()(),( 代入初始条件可定出 ). (121)(21)(),(121)(21)(k ik a k k B k ik a k k A ψ-Φ=ψ+Φ= 这样 ikat ikat ikat ikat e k ik a e k e k ik a e k k t U --ψ-Φ+ψ+Φ= )(1 21)(21)(121)(21),( 最后，对),(k t U 作逆傅里叶变换。应用延迟定理与积分定理，结果是 ξξψ??d a at x at x t x u at x at x ?+-+-++=)(21)]()([21),( （13.1.1）
第七章药物动力学概述 第一节药物动力学概念及发展概况 一、概念 1.定义 用动力学原理与数学处理方法，描述药物在体内动态行为的量变规律的学科。 动态行为：药物在体内存在不同位置所进行的吸收、分布、代谢、排泄过程，即ADME过程。 量变规律：药物存在不同位置的药物数量随时间的变化规律，既速度规律。 药动学是研究药物在体内吸收、分布、代谢、排泄四个过程的速度规律的一门科学。 2. 应用 1）评价药物 2）剂型研究、剂型设计 3）临床药学（给药方案设计） 二、发展概况 药物动力学的发展只有几十年的历史。 1937年，年轻的生理学家Torsten Teorell 发表了“物质进入机体的分布动力学”的论文第一次提出了药物在体内的动力学过程。随着电子计算机的发展和分析化学的重大突破，从极少量的生物样本中就
可以定量测出痕量药物和化学物质，使药物动力学有了显著的发展。1972年，在美国马里兰州波兹大学国立卫生科学研究所召开的药理学与药物动力学国际会议上，正式确认药物动力学为独立学科70年代以来，药物动力学的发展极为迅速，大量的药物动力学研究在理论上和实践上推动了新药设计和临床药物治疗。药物动力学的概念和内容是进行药物研究和药物治疗所必须具备的知识，应用药物动力学的知识可以极大地改善药物治疗，提高临床效果。 第二节药动学的研究内容及相关学科关系 一、研究内容 药动学的基本任务是对动态行为定量描述，其研究内容主要有： 1.建立药物动力学模型 2.探讨药动学参数与药物效应间关系 3.探讨药物结构与药动学规律的关系，开发新药 4.探讨药物剂型因素与药动学规律的关系，开发新型给药系统 5.药物评价 6.临床给药方案制定 二、药物动力学与相关学科的关系 药物动力学是一门多学科交叉而形成的边缘学科，从研究对象、研究方法、研究目的等方面都与药学领域中的药剂学、药物化学、药理、毒理学、临床药理学、药物治疗学及分析化学具有密切的关系。药物化学与药剂的研究成果――药物及其制剂为药物动力学提供对象；药物动力学与药剂学的结合，产生和发展了生物药剂学；药理学
精心整理 目录 引言 (1) 1 拉普拉斯变换以及性质 (1) 1.1拉普拉斯变换的定义 (1) 1.2拉普拉斯变换的性质 (1) 2 用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤 (3) 3 拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用 (3) 3.1初值问题与边值问题 (3) 3.2常系数与变系数常微分方程 (4) 3.3含 函数的常微分方程 (5) 3.4常微分方程组 (6) 3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用 (6) 3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推广 (9) 4 拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用 (10) 4.1齐次与非齐次偏微分方程 (10) 4.2有界与无界问题 (11) 5 综合比较，归纳总结 (14) 结束语 (15) 参考文献 (15) 英文摘要 (21) 致谢 (16) 拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用 物理系0801班学生岳艳林 指导老师韩新华
摘 要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有非常重要的作用，本文首先介绍拉普拉斯变换的定义及性质； 其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；然后重点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含δ函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推广）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、归纳总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及局限性。 关键词：拉普拉斯变换；拉普拉斯逆变换；常微分方程；偏微分方程；特解 引言 傅里叶变换和拉普拉斯变换是常用的积分变换，但对函数进行傅里叶变换时必须满足狄里希利和在+∞<<∞-t 内绝对可积，但是在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 为自变量的函数通常在0t <时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换[1]。 1 拉普拉斯变换以及性质 1.1 拉普拉斯变换的定义 设函数()f t 当0t ≥时有定义，而且积分 ()st f t e dt +∞ -? (s 是一个复参量)在s 的某一区域内收敛， 则此积分所确定的函数可写为0 ()()st F s f t e dt +∞ -= ? .我们称上式为函数()f t 的Laplace 变换式.记为 ()[()]F s L f t =,()F s 称为()f t 的Laplace 变换（或称为象函数）. 若()F s 是()f t 的Laplace 变换，则称()f t 为()F s 的Laplace 逆变换（或称为象原函数），记为 1()[()]f t L F s -=[2]. Laplace 变换的存在定理 若函数()f t 满足下列条件: 1?在0t ≥的任一有限区间上分段连续； 2?当t →+∞时，()f t 的增长速度不超过某一指数函数，亦即存在常数0M >及0c ≥，使得 c ()0f t Me t ≤≤<+∞ｔ，成立（满足此条件的函数，称它的增大是不超过指数级的，c 为它的增长指数）. 则()f t 的Laplace 变换0 ()st F f t e dt +∞ -?（s ）=在半平面Re()s c >上一定存在，右端的积分在1Re()s c c ≥>的半平面内,()F s 为解析函数[2]. 1.2 拉普拉斯变换的性质 ⑴线性性质 若αβ，是常数，11[()]()L f t F s =, 22[()]()L f t F s =,
第13章 拉普拉斯变换 ● 本章重点 1、 掌握几个常见函数的拉氏变换。 2、 掌握部分分式展开法； 3、运算法求解暂态过程。 ● 本章难点 1、作运算电路 ● 教学方法 本章讲述了线性动态电路的频域分析法，即拉普拉斯变换法（又称运算法）。对KCL 和KVL 运算形式及元件VCR 运算形式、运算阻抗和导纳、运算电路等重点和难点内容，讲述中不仅要讲清基本概念，还要强调和时域形式、相量形式的对应关系，并通过实例加以分析，讲清运算法在电路中的运用。课后布置一定的作业，使学生加深对内容的理解并牢固掌握。本章以讲授为主，共用4课时。 ● 授课内容 13.1拉普拉斯变换的定义 拉氏正变换：F(S)= ()dt e t f St -∞ ? - 拉氏反变换：f(t)=dS e S F j St J J ?+-ω σω σπ)(21 拉氏变换的作用：时域 复频域 微分方程 代数方程 微积分运算 代数运算 一、三个常见函数的拉氏变换 1、 阶跃函数ε(t) L[ε(t)]=S 1 2、 指数函数t e α- L[t e α-]=α +S 1 3、 冲激函数()t δ L[()t δ]=1 二、拉氏变换的性质 微分性质：L [f’(t)]=SF(S)-f(0-) 三、拉氏反变换（部分分式展开法） 1、 分母多项式存在n 个单根 ()()()()()n P S P S P S S F S F +++= 211=n n P S A P S A P S A +++++ 22 11 其中 ： ()()111P S P S S F A -=+= ()()222P S P S S F A -=+= ()()n n n P S P S S F A -=+=
2 1.求下列函数的傅氏变换: 1, (1) f(t) 1, 0, 1 t 0, 0 t 1, 其它； f (t)e j t dt °e J t dt 1 1 . e J 0 1 2i sin tdt t dt 第七章傅里叶变换 1 . e J 0 1 . e J 0 t dt t dt f(t) e t , t 0, t 0, 0 ； ^^(1 cos ). F() f (t)e j t dt e t e j t dt e ( 1 j )t dt 6? 1 (1 j )t |0 r^e | 1 J 求下列函数的傅氏变换 (1) sgnt 1, ,t 0, t 0; f(t) sin(5t 解: (1)已知 F[u(t)] (), F[1] (),由 sgnt 2u(t) 1 有 F[sg nt] 2(」 ())2 ()- (2)由于 f (t) sin(5t -) 1 -sin 5t ——cos5t, 2 F[f(t)]切( 5) 5)]竹 5) ( 5)]. 7?已知 F( ) [ ( ) )］为函数f(t)的傅氏变换，求f(t).
解：f(t) F 1[F( )] 丄 1 2 1 -e 2 jt | 0 ))e j t d cos 0t. 8.求函数 1 |[ (t a) f(t) 解： F( 1 [ [e jt | (t cosa 9.设 f i (t) 0, 1, 解：f l (t)* f 2(t) 0 )e j |e j (t a) a cos- 2 0, 0, t d t | a) (t t |ta (t a) (t t |t f 2(t) f i ( )gf 2(t )d (t 2) 当 t 0 时，f 1(t)* f 2(t) 0; t 当 t 0 时，f 1(t)* f 2(t) 0e f l (t)* f 2(t) 10.求下列函数的傅氏变换. (1) f (t) sin o t u(t); (2) f (t) 1 解：已知 F[u(t)] ()- )e j t d 号)］的傅氏积分变 换. (t |)]e jt dt |t a ]/2 t — 2 0, e t 0, 0, 1 e 0, t 0 t 0. e j 0t tu(t)