2016年广东省梅州市中考数学试卷及答案
一、选择题(每小题3分，共21分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的.)
1．计算（﹣3）+4的结果是（ ）
A ． ﹣7
B ． ﹣1
C ． 1
D ． 7 【解析】原式＝－3＋4＝4－3＝1，故选C.
2．若一组数据3，x ，4，5，6的众数是3，则这组数据的中位数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【解析】因为众数为3，所以，x ＝3，原数据为：3，3，4，5，6，所以，中位数为4.故选B.
3．如图，几何体的俯视图是（ ）
【解析】俯视图是物体上方向下做正投影得到的视图，从上方向下看，看到的是D.故选D. 4．分解因式3
2b b a - 结果正确的是（ ）
A ． ))((b a b a b -+
B ．2)(b a b -
C ．)(2
2b a b - D ．2
)(b a b +
【解析】原式＝2
2
()b a b -＝()().b a b a b +-故选A.
5．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B =55°，则∠1等于 （ ）
A ．55°
B ．45°
C ．35°
D ．25°
【解析】∠A ＝90°－55°＝35°，因为CD ∥AB ，所以，∠1＝∠A ＝35°.故选C. 6．二次根式x -2有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2>x B ．2 1 b a b a -= ?，这里等式右边是实数运 算．例如：813 11312 -=-= ?．则方程142 )2(--=-?x x 的解是（ ） A ． 4=x B ．5=x C ．6=x D ．7=x 【解析】依题意，得：(2)x ?-=14x -，所以，原方程化为：14x -＝2 4 x -－1， 即：14 x -＝1，解得：x ＝5.故选B. 二、填空题(每小题3分，共24分.) 8．比较大小：﹣2______﹣3． 【解析】两个负数比较，绝对值较大的数反而小，因为｜－2｜＜｜－3｜，所以，－2＞－3.故填>. 9．在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色不同外，其余都相同的小球．如果口袋中装 有3个红球且从中随机摸出一个球是红球的概率为5 1 ，那么口袋中小球共有_______个． 【解析】设小球共有x 个，则 31 5 x =，解得：x ＝15.故填15. 10．流经我市的汀江，在青溪水库的正常库容是6880万立方米．6880万用科学记数法表示 为__________________________． 【解析】科学记数的表示形式为10n a ?形式，其中1||10a ≤<，n 为整数，6880万＝68800000＝7 1088.6?.故填7 1088.6?. 11．已知点P （3﹣m ，m ）在第二象限，则m 的取值范围是____________________． 【解析】因为点P 在第二象限，所以，30, 0, m m - >?解得：3>m .故填m>3. 12．用一条长40cm 的绳子围成一个面积为64cm 2的矩形．设矩形的一边长为x cm ，则可列方程为 _____________． 【解析】矩形的一边长为x cm ，则另一边长为(20)x cm -，因为矩形的面积为64cm 2， 所以，(20)64.x x -= (20)64.x x -=故填 13．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，若 3=?D EC S ，则=?BCF S ________． 【解析】因为E 为AD 中点，AD ∥BC ，所以，△DFE ∽△BFC ， 所以， 12EF DE FC BC ==，12DEF DCF S EF S FC ??==，所以，13DEF DEC S S ??=＝1.又1 4 DEF BCF S S ??=，所以，=?BCF S 4. 故填4. 14．如图，抛物线322++-=x x y 与y 轴交于点C ，点D （0，1），点P 是抛物线上的动点．若△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，则点P 的坐标为_________． 【解析】依题意，得C （0,3），因为三角形PCD 是以CD 为底的等腰三角形，所以，点P 在线段CD 的垂直平分线上，线段CD 的垂直平分线为：y ＝2，解方程组：2 2,23, y y x x =??=-++?即：2 232x x -++=，解得：12x =±，所以，点P 的坐标为(12,2).± (12,2)±故填； （写对一个给2分） . 15．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…．若点A （ 2 3 ，0），B （0，2），则点B 2016的坐标为______________． 【解析】OA ＝ 32，OB ＝2，由勾股定理，得：AB ＝52，所以，OC 2＝2＋52＋3 2 ＝6， 所以，B 2（6,2），同理可得：B 4（12,2），B 6（18,2），… 所以，B 2016的横坐标为：1008?6＝6048，所以，B 2016（6048,2）.故填（6048，2）. 三、解答下列各题 (本题有9小题，共75分．解答应写文字说明、推理过程或演算步骤．) 16. 本题满分7分． 计算：10)21(345cos 2)5(-+--?+-π． 【解】原式=232 2 21+-? + =2311+-+ =1． 17. 本题满分7分． 我市某校开展了以“梦想中国”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品．现将 从中挑选的50件参赛作品的成绩（单位：分）统计如下： 等级 成绩（用m 表示） 频数 频率 A 90≤ m ≤100 x 0.08 B 80≤ m <90 34 y C m <80 12 0.24 合计 50 1 请根据上表提供的信息，解答下列问题： （1）表中x 的值为_____________，y 的值为______________；（直接填写结果） （2）将本次参赛作品获得A 等级的学生依次用A 1、A 2、A 3……表示．现该校决定从本 次参赛作品获得A 等级的学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，则恰好抽到 学生A 1和A 2的概率为____________．（直接填写结果） 【解析】（1）x ＝0.08×50＝4，34 50 y = ＝0.68 ；（2）A 等级共有4人，抽取两名学生，等可能的结果有：A 1A 2，A 1A 3，A 1A 4，A 2A 3，A 2A 4，A 3A 4，共6种，恰好抽到学生A 1和A 2的概率为 16 . 18. 本题满分7分． 如图，在平行四边形ABCD 中，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧交AD 于点F ，再分别以点B 、F 为圆 心，大于BF 2 1 长为半径画弧，两弧交于一点P ，连 接AP 并延长交BC 于点E ，连接EF ． （1） 四边形ABEF 是_______；（选填矩形、菱形、 正方形、无法确定）（直接填写结果） （2）AE ，BF 相交于点O ，若四边形ABEF 的周长为40，BF =10， 则AE 的长为________，∠ABC =________°． （直接填写结果） 【解】（1）菱形 （2）依题意，可知AE 为角平分线，因为四边形ABEF 的周长为40，所以，AF ＝10， 又FO ＝5，AO ＝ 22AF FO -＝53，所以，AE ＝310， 3 sin 2 AO ABO AB ∠= = ，所以，∠ABO ＝60°，∠ABC ＝120°. 19. 本题满分7分． 如图，已知在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A （2，5）在反比例函数x k y =的图象上．一次函数b x y +=的图象过点A ，且与反比例函数图象的另一交点 为B ． （1）求k 和b 的值； （2）设反比例函数值为1y ，一次函数值为2y ，求21y y >时x 的取值范围． 【解】（1）把A （2，5）分别代入x k y = 和b x y +=， 得5,225, k b ?=???+=? 解得10=k ，3=b . 2）由（1）得，直线AB 的解析式为3+=x y ， 反比例函数的解析式为x y 10 = ． 由10, 3,y x y x ? =???=+? ，解得：2,5x y =??=?或5,2.x y =-?? =-? 则点B 的坐标为)2,5(--． 由图象可知，当21y y >时，x 的取值范围是5- 如图，点D 在⊙O 的直径AB 的延长线上，点C 在 ⊙O 上，AC =CD ，∠ACD =120°． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为2，求图中阴影部分的面积． （1）【证明】连接O C ． ∵AC =CD ，∠ACD =120°， ∴∠CAD =∠D =30°． ∵OA =OC ， ∴∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO =∠CAD =30° ） ∴∠OCD =∠ACD —∠ACO =90°，即OC ⊥CD ． ∴CD 是⊙O 的切线． （2）【解】由（1）知∠2=∠CAD =30°．（或 ∠ACO =∠CAD =30° ）， ∴∠1=60°．（或∠COD =60°） ∴3 23602602π π=?=BOC S 扇形． 在R t △OCD 中，∵OC CD = ?60tan ，2,OC = ∴32=CD ． ∴3232221 21=??=?=?CD OC S OCD Rt ， ∴图中阴影部分的面积为3 232π -=阴影S ． 21. 本题满分9分． 关于x 的一元二次方程01)12(2 2 =++++k x k x 有两个不等实根1x 、2x ． (1）求实数k 的取值范围； (2）若方程两实根1x 、2x 满足2121x x x x ?-=+，求k 的值． 【解】（1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴034)1(4)12(2 2 >-=+-+=?k k k ， 解得：4 3 > k ． （2）由根与系数的关系，得)12(21+-=+k x x ，12 21+=?k x x ． ∵2121x x x x ?-=+， ∴)1()12(2 +-=+-k k ， 解得：0=k 或2=k ， 又∵4 3> k ， ∴2=k ． 22. 本题满分9分． 如图，平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A =45°，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE=DF ，连接EF 交BD 于O ． （1）求证：BO=DO ； （2）若EF ⊥AB ，延长EF 交AD 的延长线于G ，当FG =1 时，求AE 的长． （1）【证明】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ， ∴∠OBE =∠ODF ． 在△OBE 与△ODF 中， ∵ ,,,OBE ODF BOE DOF BE DF ∠=∠??∠=∠??=? ∴△OBE ≌△ODF （AAS ）． ∴BO =DO ． （2）【解】∵EF ⊥AB ，AB ∥DC ， ∴∠GEA=∠GFD =90°． ∵∠A =45°， ∴∠G =∠A =45°． ∴AE =GE. ∵BD ⊥AD ， ∴∠ADB =∠GDO =90°． ∴∠GOD =∠G =45°． ∴DG =DO, ∴OF =FG = 1, 由（1）可知，OE = OF =1, ∴GE =OE +OF +FG =3, ∴AE =3. 23. 本题满分10分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形） 如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，AC =5cm ，∠BAC =60°， 动点M 从点B 出发，在BA 边上以每秒2cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点N 从点C 出发，在CB 边上以每秒3cm 的速度向点B 匀速运动，设运动时间为t 秒（05≤≤t ），连接MN ． （1）若BM =BN ，求t 的值； （2）若△MBN 与△ABC 相似，求t 的值； （3）当t 为何值时，四边形ACNM 的面积最小？ 并求出最小值． 【解】（1）∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =5，∠BAC =60°， ∴10=AB ，35=BC ． 由题意知t BM 2=，t CN 3=，t BN 335-=， 由BM =BN 得t t 3352-=， 解得：153103 235-=+= t ． （2）①当△MBN ∽△ABC 时， ∴ BC BN AB MB =，即35335102t t -=，解得：25=t ． ②当△NBM ∽△ABC 时， ∴ BC BM AB NB =， 即35210335t t =-， 解得：715=t ． ∴当2 5= t 或715 =t 时，△MBN 与△ABC 相似． （3）过M 作MD ⊥BC 于点D ，可得：t MD =． 设四边形ACNM 的面积为y ， ∴MD BN BC AC S S y BMN ABC ?-?= -=??2 1 21 t t ?--??= )335(2 1 35521 2325235232+-= t t 38 75)25(232+-= t ． ∴根据二次函数的性质可知，当2 5 = t 时，y 的值最小． 此时，75 3.8 y = 最小 24. 本题满分10分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形） 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线c bx x y ++=2过A ，B ，C 三点，点A 的坐 标是)0,3(，点C 的坐标是)3,0(-，动点P 在抛物线上． （1）b =_________，c =_________，点B 的坐标为_____________；（直接填写结果） （2）是否存在点P ，使得△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由； （3）过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ，过点D 作x 轴的垂线．垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标． 【解】（1）2-，3-， ），（01-． （2）存在． 第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作CP 1⊥AC ，交抛物线于点P 1．过点P 1作y 轴的垂线，垂足是M ． ∵OA =OC ，∠AOC =90° ∴∠OCA =∠OAC =45°． ∵∠ACP 1=90°， ∴∠MCP 1 =90°-45°=45°=∠C P 1M ． ∴MC =MP 1． 由（1）可得抛物线为322 --=x x y ． 设)32,(2 1--m m m P ，则)32(32 ----=m m m ， 解得：01=m （舍去），12=m ． ∴4322 -=--m m ． 则P 1的坐标是)41(-，． 第二种情况，当以A 为直角顶点时，过点A 作AP 2⊥AC ，交抛物线于点P 2，过点P 2作y 轴的垂线，垂足是N ，AP 2交y 轴于点F ． ∴P 2N ∥x 轴． 由∠CAO =45°， ∴∠OAP 2=45°． ∴∠FP 2N =45°，AO =OF=3． ∴P 2N =NF ． 设)32,(2 1--n n n P ，则3)32(2 ---=-n n n ． 解得：31=n （舍去），22-=n ． ∴5322 =--n n ， 则P 2的坐标是)5-2(，． 综上所述，P 的坐标是)41(-，或)5-2(，． （3）连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD =EF ． 根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短． 由（1）可知，在Rt △AOC 中， ∵OC =OA =3，OD ⊥AC ， ∴ D 是AC 的中点． 又∵DF ∥OC ， ∴2 321==OC DF ． ∴点P 的纵坐标是2 3 -． 则23322 - =--x x ，解得：2 102±=x ． ∴当EF 最短时，点P 的坐标是：（ 2102+，23-）或（2 102-，23 -）.
相关主题
文本预览