西南科技大学2011-2012-2学期
《高等数学A2》本科期末考试试卷（B 卷）
一、单项选择题（每题4分，共20分）
1、已知曲面2
24z y x ++=上点P 处的切平面平行于平面/22012x y z ++=，则点P 的坐标为( )：
（A ）(1,1,2)-； （B ）(1,1,2)； （C ）(1,1,2)-； （D ）(1,1,2)--. 2、(,)z f x y =在点(,)x y 的偏导数
z
x
??及z y ??存在且连续，是(,)f x y 在该点可微的（ ）。 （A ）充分条件而非必要条件 （B ）必要条件而非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 3、曲线L 是以(0,0)、(1,0)、(0,1)为顶点的三角形区域的正向边界，则
20122012(2012)(7232012)L
x y dx y x dy -+++-=?
( ).
（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0.
4、设有级数()α1
2012
(1cos )n n ∞
=-∑和级数()
β12012
(2012)
n n n ∞
=+∑，它们的敛散情况为（ ）. （A ）级数()α与级数()β同时收敛 （B ）级数()α与级数()β同时发散 （C ）级数()α收敛但级数()β发散 （D ）级数()α发散但级数()β收敛 5、设平面区域D 由直线2
1
=
+y x ，1=+y x 与两坐标轴0,0==y x 围成, 若20131[ln()]D
I x y dxdy =+??,
20132()D
I x y dxdy =+??，20133[sin()]D
I x y dxdy =+??，
则它们之间的大小顺序为：( ) A.
321I I I ≤≤ B. 123I I I ≤≤ C. 231I I I ≤≤ D. 213I I I ≤≤
1、B ；
2、A ；
3、B ；
4、A ；
5、C 。
二、填空题（每题4分，共20分） 1、_____________)
sin(lim
)2,0(),(=→x xy y x 。
2、D 是闭区域226x y +≤，则20112013(25)D
I x y dxdy =-+=??______。
3、级数01
2013
n n
n x ∞
=∑
的和函数()s x = 4、已知D 是长方形区域：;02a x b y ≤≤≤≤，且3()2012D
y f x d σ=??， 则()b
a f x dx =? .
5、若γβα,,是有向曲面∑在点),,(z y x 处法向量的方向角，则两类曲面积分之间的关系为
___________∑
Pdydz Qdzdx Rdxdy dS ++=??
??。 1、2。 2、30π。 3 4、503。
5、γβαcos cos cos R Q P ++。
三、解答题（必须写出主要的解题步骤和过程，共60分） 1、求极限
(y x x y →→。（8分） 解：原式=22
00
x y →→ ………………3分
22
2
22
23/2
3
000
11(cos )(sin )010()
10lim lim x y x y x y ρρθρθρ→→→===+ ………………5分
2、设)()(1
y x y xy f x
z ++=?，其中?,f 具有二阶连续导数，求y x z ???2。（8分）
解： 21()()()
z y
f xy f xy y x y x x x ??-''=+++?……………………4分
()()()yf xy x y y x y ??'''''=++++ ………………… 4分
2211()()()()()z y f xy x f xy f xy x x y y x y x y x x x
???-'''''''=++++++??
3、求函数2
256106z x y y x =+-++的极值。（8分）
解：26010100z
x x z y y ??=-=??????=+=???
，驻点0(3,1)P - ………………… 3分 2200,0A C A B -=>> ………………… 3分
函数在0(3,1)P -取得极小值
8- ………………… 2分
4、求椭球面12222=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程。（8分）
解：设切点为),,(000z y x M ，故切平面法向量为}2,4,2{000z y x n =
…………2分
又}2,1,1//{-n
，及M 椭球面上，故有切点)11
22,11221,112(±±
…………4分 故切平面为2
11
2±=+-z y x …………2分
5、计算二重积分σd y
x y x D
??
++--2
22
211，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的第一象限内的闭区域（8分）。
解：在极坐标系下计算这个二重积分，0,0 1.2
r π
θ≤≤
≤≤ …………1分
D
σ
=20d πθ?? …………2分
22
01
.
224r t ππ=
=??令 …………4分 =(2)8
π
π- …………1分
6、利用三重积分计算曲面226y x z --=与22y x z +=所围成的立体的体积。（10分）
解： Ω的上半曲面是抛物面，下半曲面是开口向上的锥面，因此，宜用柱面坐标计算，
又由22
6z x y z ?=--???=??交线2242x y z ?+=?
=? ，…………2分 22:4xy D x y +≤，而26r z r ≤≤-， …………2分
所以V =
dv Ω
???=2
22
600r r
d rdr dz πθ-???
=
32
3
π。 …………6分
7、计算曲面积分??∑
++=dxdy z xdzdx ydydz I 2， 其中 ∑由22y x z +=与1=z 所围成
曲面的外侧。（10分）
解：由高斯公式，??∑
++=dxdy z xdzdx ydydz I 2=(002)z dv Ω
++??? …………6分
=2zdv Ω
???用柱面坐标计算
221
1
02r d rdr zdz π
θ?
??=21
400(1)d r r dr π
θ-??=2
3
π。…………4分