名校2012年领航高考数学预测试卷(3)

名校2012年领航高考数学预测试卷（3）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“?x ∈Z ，使x2+2x+m ≤0”的否定是 （ ） A ．?x ∈Z ，使x2+2x+m>0 B ．不存在x ∈Z ，使x2+2x+m>0

C ．对?x ∈Z 使x2+2x+m ≤0

D ．对?x ∈Z 使x2+2x+m>0

2．已知集合}0,2|{)},2lg(|{2

>==-==x y y B x x y x A x

，Ｒ是实数集，则 A B C R ?)(＝

（ ）

A ．[]1,0

B ．(]1,0

C ．(]0,∞-

D ．以上都不对

3．设i 为虚数单位，则=+++++10

3

2

1i i i i （ ）

A ．．i

B ． i -

C ．i 2

D ．i 2-[来源:https://www.doczj.com/doc/062487871.html,]

4．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B 等 于 （ ）

A ．7

B ．15

C ．31

D ．63

5．已知直线α平面⊥l ，直线β平面?m ，给出下列命题： ①α∥m l ⊥=β； ②l ?⊥βα∥m ； ③l ∥βα⊥?m ； ④α?⊥m l ∥β

其中正确命题的序号是（ ）

A ．①②③

B ．②③④

C ．①③

D ．②④

6．ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，已知s i n 1B =，向量p ()a b =，，q (12)=，

。若q p //，则C ∠角的大小为 （ ）

A ． 6π

B ．3π

C ． 2π

D ． 32π

7．下面是高考第一批录取的一份志愿表。现有4所重点院校，每所院校有3 个专业是你较 为满意的选择，如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话， 你将有（ ）种不同的填写方法．

志 愿 学 校 专 业[来源

:https://www.doczj.com/doc/062487871.html,]

第一志愿 Ａ 第1专业 第2专业 第二志愿 Ｂ 第1专业 第2专业 第三志愿 Ｃ 第1专业 第2专业

A ．

3

233)(4A ? B ．

3

233)(4C ? C ．

3

2334)(C A ? D ．

3

2334)(A A ? 8．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ） （ ）

则该几何体的体积为（ ）3

m ．

A ． 37

B ．29

C ．27

D ．49

9．函数

1,(10)()cos ,(0)2x x f x x x π

+-≤

A ．32

B ． 1

C ． 2

D ．1

2

10．若多项式10

109910103)1()1()1(+++++++=+x a x a x a a x x ，则=9a （ ）

A ．9

B ．10

C ．-9

D ．-10

11．已知双曲线122

22=-b y a x )0(>>b a ，直线t x y l +=:交双曲线于Ａ、B 两点，OAB

?的面积为S （O 为原点），则函数)(t f S =的奇偶性为 （ ）

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．不是奇函数也不是偶函数

D ．奇偶性与a 、b 有关

12．定义一种运算???>≤=?b a b b a a b a ,,，令

()()45sin cos 2?+=x x x f ，且??????∈2,0πx ，则

函数?

?? ?

?

-2πx f 的最大值是 （ ）

A ．45

B ．1

C ．1-

D ．

45-

二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分． 13．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm 的株数是 ．

14． 从抛物线

x y 42=上一点P 引抛物

线准线的垂线，垂足为M ，且5

=PM ，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积

为 ．

15．若不等式组

??

?

??≥--≤≤-≤-01210

42y x y x x 表示的平面区域为M ，

1)4(2

2≤+-y x 表示的平面区域为N ，现随机向区域Ｍ内抛一点，则该点落在平面区域N 内的概率是 ． 16．某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到 2009时对应的指头是 ．（(填出指头名称：各 指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小 拇指）

三、解答题：本大题共５小题，共６０分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

已知数列

}{n a 为等差数列，且11=a ．}{n b 为等比数列，数列}{n n b a +的前三项依次

为3，7，13．求

（1）数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）数列

}{n n b a +的前n 项和n S ．

18．（本小题满分12分）

如图，三棱柱111C B A ABC -的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是3，D 是AC 的中点。 （1）求证：//1C B 平面BD A 1； （2）求二面角A BD A --1的大小；

（3）求直线1AB 与平面BD A 1所成的角的正弦值．

19．（本小题满分12分） 在一次食品卫生大检查中，执法人员从抽样中得知，目前投放我市的甲、乙两种食品的合格率分别为0

090

和0

80

．

（1）今有三位同学聚会,若每人分别从两种食品中任意各取一件,求恰好有一人取到两件都是不合格品的概率．

（2）若某消费者从两种食品中任意各购一件,设ξ表示购得不合格食品的件数,试写出ξ 的分布列,并求其数学期望． 20．（本小题满分l2分）

设椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，直线l ：2a x =交x 轴于

点A ，且1

22AF AF = ．

（1）试求椭圆的方程；

G

F

E

D

C B

A

O

（2）过

1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图

所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值．

[来源:学&科&网Z&X&X&K] 21． (本小题满分l2分)

已知函数

3

sin ()(0)2cos x f x x x x π

=

-<<．

（1）求()f x 的导数)('

x f ；

（2）求证：不等式

33sin cos 02x x x π??

> ?

??在，上恒成立； （3）求

22

11()(0)sin 2g x x x x π

=

-<≤的最大值．

四、选考题（本题满分10分，请从所给的三道题中任选一题做答，并在答题卡上填写所选题目的题号，如果多做，则按所做的第一题记分．） 22．（本小题满分10分）

如图，AB 是⊙O 的一条切线，切点为B ，CGE CFD ADE ,,都是⊙O

的割线，已知 AB AC =．

（1）证明：2

AC AE AD =?；

（2）证明：AC FG //．

23．（本小题满分10分）

已知曲线1C 的参数方程为????

?=+-=θ

θ

sin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方程为

θθρsin 6cos 2+=．

（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

24．（1）已知关于x 的不等式2

27x x a +

≥-在),(+∞∈a x 上恒成立，求实数a 的最小值；

（2）已知

1

,1<

y

x xy ->-1．

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号[来源:Z §xx §https://www.doczj.com/doc/062487871.html, ] １

２

３

４

５

６

７

８

９

１０ １１ １２

答案

D B A D Ｃ B D Ｃ A D Ｂ A

1．答案：Ｄ

2．答案：Ｂ 由

{}20|,200)2(,022

<<=<-x x A x x x x x 故得 由

{}{}|1|)(,1|,12,0≤=>=>>y y B C y y B x R x

故得， 则，{}

(]10,10|)(，即≤<=?x x A B C R 3．答案：Ａ 由

i

i i

i i i

i i =-+=--?=++++111)1(111110

2

．另该题也可直接用i 的周

期

性解答． 4．答案：Ｄ

5．答案：Ｃ 由垂直、平行可得．[来源:Z*xx*https://www.doczj.com/doc/062487871.html,]

6．答案：Ｂ 由

b a C ABC B B =

?=

?=cos ,2

1sin 中在π

， →

→

→

==p q b a p );2,1(),,(又由∥

202b a b a q =

?=-?→

，

故321cos π=?=

C C

7．答案：Ｄ

8．答案：Ｃ ，体和一个直四棱柱组成此几何体是由一个正方所以：

27

11121111113=

???-??+??=V 9．答案：Ｄ 2

3

|sin 21cos 02112120=

+=+??=?π

π

x xdx S

10．答案：Ｄ 10

3103]1)1[(-++=+x x x x ，

题中[]的系数，展开式中只是9

10

99)1(1)1()1(+-++x x x a

故

10)1(1

1109-=-=C a 11．答案：B 相交所得的面积，

与是直线1:)(22

22'

=--=-b y a x t x y l t f

注意到双曲线的对称性可知：)()(t f t f =-[来源:学。科。网]

所以是偶函数)(t f S =．

12．答案：Ａ 由于1sin sin sin cos 2

2

++-=+x x x x

45

45)21(sin 2≤

+--=x

x x x x x f sin cos 45

)sin (cos )(22+=?

+=∴，

41

1)41cos (cos cos sin )2sin()2

(cos )2

(222++++-=-=-

+-

=-

x x x x x x x f π

π

π

45

45)21(cos 2≤

++-=x [来源:学科网ZXXK]

二、填空题：本大题共４小题，每小题５分，共２０分．

13．答案：70由图可知：底部周长小于110cm 的株树为：

70)1004.01002.01001.0(100=?+?+??

14．答案：１０ 准线x=-1，

5

==PA PM ,

104521

=??=

∴?MPF S

15．答案：15π

如图所示：

15

3)41(2

1

121

2π

π=

?+???=P

16．答案：从第二行起，周期为８得对应的指头是大拇指．

三、解答题：本大题共５小题，共６０分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本题１２分） 解：①设公差为d ，公比为q

2

,2,213731

13322111===??

?

??

???

=+=+=+=q d b b a b a b a a

P

M

D

C

A

B

B 1

A 1

C 1

∴ n

n n b n a 2,12=-= …………………………………(６分)

②

)()(2121n n n b b b a a a S +++++++=

21)21(22121--+

-+=n n n

2212-+=+n n …………………………………(1２分)

18．（本题１２分）

解法一：（1）设1AB 与B A 1相交于点P ，连接PD ，则P 为1AB 中点，

D 为AC 中点，∴PD//C B 1。

又 PD ?平面B A 1D ，

∴C B 1//平面B A 1 D ……………………(４分)

（2） 正三棱住111C B A ABC -， ∴ 1AA ⊥底面ABC 。

又 BD ⊥AC

∴D A 1⊥BD

∴DA A 1∠就是二面角A BD A --1的平面角。

1AA =3，AD=21

AC=1

∴tan DA A 1∠=3

AD A

A 1=

∴DA A 1∠=3π, 即二面角A BD A --1的大小是3π

…………………(８分)

（3）由（2）作AM ⊥D A 1，M 为垂足。 BD ⊥AC ，平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A ?平面ABC=AC

∴BD ⊥平面11ACC A ，

x

z

y

D

C

A B

B 1

A 1

C 1

AM ?平面11ACC A ， ∴BD ⊥AM D A 1?BD = D

∴AM ⊥平面B 1D A ，连接MP ，则APM ∠就是直线B A 1与平面B A 1D 所成的角。

1AA =3，AD=1，∴在Rt ?1AA D 中，DA A 1∠=3π

，[来源:学科网]

∴

23sin601AM =

?= ，27

AB 21AP 1==。

∴.

721

27

23AP AM APM sin ===∠

∴直线1AB 与平面B A 1D 所成的角的正弦值为721

…………………(1２分)

解法二：

（1）同解法一

（2）如图建立空间直角坐标系，

则D （0，0，0），A （1，0，0），1A （1，0，3），B （0，3，0），1B （0，3，

3）

∴B 1A =（-1，3，-3），D 1A =（-1，0，-3）

设平面BD A 1的法向量为n=（x ，y ，z ） 则n 0z 3y 3x B A 1=-+-=?

n 0z 3x D A 1=--=?

则有??

?=-=0

3z

x y ，得n=（3-，0，1）

由题意，知1AA =（0，0，3）是平面

ABD 的一个法向量。

设n 与1AA 所成角为θ，

则

2

1AA n AA n cos 1

1=

??=

θ，

∴

3π

θ=

∴二面角A BD A --1的大小是3π

（3）由已知，得1AB =（-1，3，3），n=（3-，0，1）

则

7

21

n

AB n AB cos 11=

?=

α

∴直线1AB 与平面B A 1D 所成的角的正弦值为721

19．（本题１２分）

（1）02.02.010)2(=?==．

ξP 因为每人从两种食品中各取一件，两件恰好都是不合格食品的概率为0．02，所以三人分别从中各取一件，恰好有一人取到两件都是不合格品的事件，可看做三次独立重复试验问题。 0576.002.0)02.01(21

3≈?-=∴C P …………………………………(６分)

（2）72.08090)0(,2,1,000

00=?===ξξP

26.0)801(9080)901()1(00000000=-?+?-==ξP 02.026.072.01)2(=--==ξP

所ξ求的分布列为：

ξ

0 1 2 P

0.72

0.26

0.02

E ξ=30.002.0226.0172.00=?+?+?…………………………(１２分)

20．（本题12分） 解：（1）由题意，2

12||22,(,0),F F c A a ==∴

212AF AF = 2F ∴为1AF 的中点

2,322==∴b a

即：椭圆方程为.1232

2=+y x …………………(５分)

（2）方法一：当直线DE 与x 轴垂直时，

34

2||2=

=a b DE ，此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积||||

4

2DE MN S ?=

=．同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面

积

||||

4

2DE MN S ?=

=．

当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE :)1(+=x k y ，代入消去y 得：

.

0)63(6)32(2222=-+++k x k x k 设???

????+-=+-=+,3263,326),,(),,(22

212

2

212211k k x x k k x x y x E y x D 则所以，

231344)(||22212

2121++?=

-+=-k k x x x x x x ， 所以，

22212

32)

1(34||1||k k x x k DE ++=

-+=，同

理2222

11

43[()1]43(1)

||.1323()2k k MN k k -++==+-+所以四边形的面积

2

2

2

2

3

2)11(

3432)1(34212||||k k k k MN DE S ++?

++?=?=

13)1(6)21(24222

2

++++=

k k k k

令

u u u S k k u 61344613)2(24,122

+-

=++=+=得因为,21

22≥+

=k k u 当2596,2,1==±=S u k 时，且S

是以u 为自变量的增函数，所以42596

<≤S ．

综上可知，96

4

25S ≤≤．故四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596．…（12分）

方法二：用直线的参数方程中t 的几何意义． 21．（本题12分）

解：（1）2

4

'

2

3

32()cos sin cos 1

3f x x x x -=+-………………………………………(2分)

G

F

E

D

C

B

A

O

（2）由（1）知2

4'

2

3

32()cos sin cos 1

3f x x x x -=+-，其中(0)0f =

令'()()f x G x =，对()G x 求导数得'

()G x

147

'

2

333214()cos (sin )2sin cos cos sin ()cos (sin )333G x x x x x x x x x --??=-++--??

??

= 7

3

34sin cos 09x x >在

(0,)

2x π∈上恒成立．

故()G x 即()f x 的导函数在(0,)2π

上为增函数，故''

()(0)0f x f >=

进而知()f x 在(0,)

2π

上为增函数，故()(0)0f x f >= 当

2x π

=

时，33sin cos x x x >显然成立．

于是有33

sin cos 0x x x ->在

(0,]2π

上恒成立．…………………………（９分）

（3） 由（2）可知33

sin cos 0x x x ->在

(0,]2π

上恒成立．

则33'

332(sin cos )

()0sin x x x g x x x -=>在(0,]2π上恒成立．即()g x 在(0,]2π单增

于是

2

4

()()2g x g ππ≤=……………………（12分） 22．（本题10分）证明：（1） 为割线为切线，AE AB AE AD AB ?=∴2[来源:学科网]

又 AC AB =

∴

2AC AE AD =?……………………（5分）

（2） 由（1）有AE AC

AC

AD =

又 DAC EAC ∠=∠

∴ACE ADC ??~ ∴

ACE ADC ∠=∠

又 E G F A D C ∠=∠

∴ACE EGF ∠=∠

∴

AC GF //…………………………………（１０分）

23．（本题10分）解：（1）由????

?=+-=θ

θsin 10cos 102y x 得

10)2(22=++y x

∴曲线1C 的普通方程为

10)2(2

2=++y x ∵θθρsin 6cos 2+=

∴

θρθρρsin 6cos 22+= ∵

θρθρρsin ,cos ,222==+=y x y x ∴y x y x 6222+=+，即

10)3()1(22=-+-y x ∴曲线2C 的直角坐标方程为

10)3()1(22=-+-y x …………………………………（５分）

（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴

10

223)30()12(C 2221<=-+--=C

∴两圆相交

设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C

∴2

22)10()223()2(=+d

∴22=

d

∴公共弦长为22……………………（10分）

24．（本题１0分）解：

（1）

722≤-+

a x x ，427272

)(2≥+?+≤-+-∴a a a x a x

23

≥

∴a …………………（5分）

（2）因为y

x xy b a y x xy ->->--=---1,0)1)(1(1222

2

所以……（10分）[来

源:学。科。网Z 。X 。X 。K]