第三章 向 量
2012年考试内容
向量的概念 向量的线性组合和线性表示 向量组的线性相关与线性无关 向量组的极大线性无关组 等价向量组 向量组的秩 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系 向量空间及其相关概念 n 维向量空间的基变换和坐标变换 过渡矩阵 向量的内积 线性无关向量组的正交规范化方法 规范正交基 正交矩阵及其性质
2012年考试要求
1. 理解n 维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。
2. 理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。
3. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。
4. 理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。
5. 了解n 维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。
6. 了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。
7. 了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法。 8.
了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。
一、三基与拓展
1.1 n 维向量
n 行行矩阵或一个n 列列矩阵组成，在没有说明的情
形下，向量专指列矩阵，它具有矩阵的全部性质，s 个向量的集合组成
切记两种维度的概念是完全不同的。向量组对应分块形式的矩阵，即
()12s A ααα= 。矩阵与向量存在内涵关系，矩阵的每行或每列就是一个向量，一个矩阵就相当于一个向量组。
1.2 线性组合（或称线性表示，或称线性表出）
2.1.1 线性相关与无关
1122...n n k k k βααα=+++，如果12, , ...., n k k k 全为零，称12,,...,n ααα线性无关，反之，称
12,,...,n ααα线性相关，也称为向量β能由向量组α线性表示，或线性表出，记为βα←。零
向量可由任何向量组线性表示（如1120100n αααα=??+?+? ），即与任何向量组线性相关；
只含1个的非零向量的向量组必线性无关（1011100k k αα≠=???→=）
。两个向量线性相关的几何意义为平行或共线，三个向量线性相关的几何意义为共面，那么，读者能不能想象一下，
三个向量线性相关，
2.1.2 线性相关性与线性表示的关系
一个或多个同型向量组成向量组。如果向量1β能由()123 ααα线性表示，意味着()1231 αααβ线性相关，；如果向量2β不能由()123 ααα线性表示，意味着()1232 αααβ线性无关。
如果()1231 αααβ线性相关，()1232 αααβ线性无关，则有下列结论：
由于()()12312 k k αααββ
+任意常数 经过初等变换可变成()1232 αααβ，故
()123112
k αααββ+线性无关；但不能变成()1231 αααβ，因为2β不能由()123 ααα线性表示，无法消元；同理，()12312 k αααββ+可经过初等变换变成()1232 k αααβ，因此，在0k ≠时，线性无关，在0k =线性相关，因为零向量与任何向量组线性相关。
我们用高斯消元法求解线性方程组AX b =的消元过程，实际上是对其增广矩阵()|A b 的行向量做线性运算（向量的加法与数乘向量），通过这样的运算（也就是矩阵的初等行变换）把增广矩阵()|A b 化为阶梯形矩阵(),c d 时会有几个非零行，也就是会出现几个全零行，这取决于增广矩阵()|A b 的行向量之间在线性运算下有怎样的关系。例如：系数矩阵A 为5?5矩阵时，()|A b 的行向量有5个，记作12345,,,,,ααααα如果45,αα能用123,,ααα线性表示，而
123,,ααα之间任一个都不能用另外两个线性表示，那么对()|A b 做初等行变换（也就是对
12345,,,,ααααα作线性运算时）
，就一定可以将45,αα所在的行化为全零行，于是()|A b 化为阶梯形矩阵(),c d 时就必有3个非零行。这里所涉及的就是一组向量之间在线性运算下有怎样的关系，这就是“向量的线性相关性”的问题。因此，必须从“向量的线性相关性”入手，
2.1.2 向量组之间的等价与向量组之间向量个数的关系
向量组12:,,...,s A ααα和向量组12:,,...,t B βββ的每一个向量都分别能相互线性表示，称向量组等价，记为A B ?。它具有自身反射性、相互对称性和传递性。
向量组A 可以由向量组B 线性表示A B ←,也就是存在数()1,2,...,;1,2,...,ij C i s j r ==，使得
()()()12112212111212122212r 12s 12...,... j j ij j j sj s s sj r r s s sr c c c c c c c c c c c c c c c αββββββαααβββ?? ? ?=+++= ? ? ????? ? ??= ? ???
于是得到：
设()()12r 12s : ; : A B αααβββ 是两个n 维向量，则A B ←当且仅当存
在一个s r ?矩阵() 0C ≠，使得： ()(
)12r 12s C A BC αααβββ=?= 。
由这一定理容易推知向量组之间的三个等价关系：反射律()A A ?；对称律
()A B B A ???；传递律A A ?(), A B B C A C ????。
证明：设()11,2,,s
i ij j j k i r αβ===∑ ，欲证()12 r A ααα 线性线关，只需证存在不全为0
的数12,,r x x x ，使得 1122 + 0r r x x x ααα++=
()()11111
1001,2,,0 12未知数的个数大于方程的个数故存在非零解即存在不全为 的 ，，，. r
r
s s r i i i ij j ij i j i i j j i r
r s ij i i i i x x k k x k x j s x x i r
αββ=====>?=????
?=== ? ??????==???????????→=∑∑∑∑∑∑
证明：不妨设12,,...,p ααα和12,,...,r βββ分别为向量组, A B 两个极大无关组，则有
()()1
11111
1,2,,1,2,,,,p
i ij j j p p s
s
s k ki i ki ij j ki ij j
i i j j i c i s B A b k r s b c b c ααβααα========????
←?==== ? ?????∑∑∑∑∑∑
这说明12,,...,r βββ能够用12,,...,p ααα线性表示，而12,,...,r βββ线性无关，根据定理2推论 即得()()r p R A R B ≤?≤。
一般考研参考书不重视上诉三个定理及其证明过程，从而给学生在后续的学习中造成
许多迷惑，所以建议读者反复揣摩它们，因为它们是掌握向量及其秩的基础。 形象记忆法：被代表者()B 的活动范围（空间维度—秩）不能大于代表()A 。
1.3
1.3.1 一个向量组的线性无关向量的最多个数（即极大无关组所含向量的个数）称为向量组的秩，记为 R r 或 。一个向量组()12,,...,n ααα的线性无关最简单的充要条件是对应矩阵
()12,,,n A ααα= ，使()12,,...,n R A n ααα=????，线性相关最简单的充要条件是()R A n <。 1.3.2 向量组()12,,...,n B βββ能由向量组()12,,...,n A ααα线性表示（即B A ←）的充要条件是
()(), R A R A B =。
1.3.3 向量组12:,,...,s A ααα能由向量组12:,,...,t B βββ线性表示（根据重要定理1：等价于矩阵方程A BX =有解）的充要条件是()()(),,R A R A B R B A ==；向量组12:,,...,t B βββ能由向量组12:,,...,s A ααα线性表示（等价于矩阵方程B A X =有解）的充要条件是()(),R B R B
A =；所以向量组等价
1.3.4 n 阶单位矩阵()12n E e e e = 的列向量称为n 维单位坐标向量，并有
(),n m n R A E n ?≡。任何一个向量()12,,,n αααα= 可以用单位向量表示，即
1.4 向量组相关性的8大重要定理
一般称12:,,,m A ααα 为121:,,,,m m B αααα+ 的部分组，如果一个向量组线性无
关，则其部分组必无关；如果部分组相关，则向量组必相关。但如果向量组相关，则部分组可能相关也可能无关，同理，部分组无关，则向量组可能无关也可能相关。
证明：
记()()()()12121, , , , , , , , 1m m m A B R B R A ααααααα+==?≤+
()()()()()()()()121121 , , , , 11= , , , A m m B m R A m R B R A m
R B m R A R B m
ααααααα+????→
故线性无关。
形象记忆法：大无小无，小关大关。（部分相关?全部相关；全部无关?部分相关。）
对此类定理的掌握不能只局限于理论证明，更重要的是需要找到直观解析或几何图
案。上述定理从坐标空间的维度很容易直观理解。
m 个n 维向量向量组成的向量组，如果坐标维数n 小于向量维数m 时一定线性相
关。特别地：1n +个n 维向量一定线性相关。
证明：m 个n 维向量()12, , , m ααα 构成矩阵()12, , , n m m A ααα?=
()
()()()1212, , , , , , n m m n m
m A R A n R A m m αααααα?<=?≤???→
上述定理可以这样形象理解：相当于方程组中有多余一个合理方程。或者可以这样理解：单个向量的维数相当于坐标空间的维度，向量组的维数（即向量组所含单个向量
的个数）相当于任意矢量r 的分量个数，如果r
具有三个分量，它又怎能在2维空间中表示呢，除非三个分量不独立，即线性相关。
形象记忆法：坐标数大于维数总相关。（坐标数指单个向量的维数）
设n 维向量组()12, , , r A ααα= ，12i i i ni x x x α??
? ?= ? ???
为n 维坐标；n 维向量组
()12, , , r B βββ= 为增加i α的坐标维数得到的（称为导出组），即121i n n n s x x x x x β++?? ? ? ? ?
= ? ? ? ? ??? ，则
（1）()12, , , r A ααα= 无关?导出组()12, , , r B βββ= 无关； （2）导出组()12, , , r B βββ= 相关?()12, , , r A ααα= 相关。 形象记忆法：高维相关?低维相关；低维无关?高维无关。
设()m n R A r ?=，则n 元齐次方程0AX =的解空间S 的秩为 ()R S n r =-。
若0AB =，当A 为非零矩阵时B 不可逆；当, A B 为非零矩阵时，则A 列不满秩，
B 行不满秩。
向量组A 能由向量组B 线性表示()A B ←， 若B 不能由A 线性表示，则0A =。 证明：向量组A 能由向量组B 线性表示()A B ←，则矩阵方程A BC =有解 向量组B 不能由向量组A 线性表示，则矩阵方程B AC =无解
若0A ≠，则方程AX B =有解1X A B -=，AX B =
成立意味 B A ←，与条件矛盾。 故 0A =。
若0AB =，当A 为列满矩阵时，则0B =。
证明：设 A m n n l
B C ??=，依题意，()R A n =，知A 的标准型为0n m n
E ???
???，并有：
m 阶可逆矩阵P ，使
()()()()0
0000
0n n C E E B PA PC PAB B B R C R PC R R B R B =??????=?=== ? ?
?
??????
??===???→= ???
令
若AB E =，则B 的列向量线性无关。
证明：考虑0BX =，则
000BX ABX EX X =?=??=为0BX =的解。
故0BX =只有零解0B ?≠，故B 的列向量线性无关。
第一，对向量组相关性的理解，首先把向量组转化为对应矩阵A ，因为秩是它们的公共量，从而等价于讨论矩阵的秩。
第二，要明白秩是用子式（方阵）是否为零来定义的，所以矩阵A 的秩等于矩阵的行秩
也等于列秩，要明白单个向量的维数（坐标空间的维度）和向量组的维数（任意矢量r
的分
量个数）是两个不同的概念。给矩阵A 增加几行后得矩阵A B C ??
= ? ???
，就相当于增加每一个向
量的维数，这时满秩=()()max max A R A R C ??
??= ? ? ? ?
????
，就是说()12, , , n A ααα= 无关?()
12, , , n B βββ= 无关；但反之不成立，因为()A R R A C ??
≥ ? ???
；如果
()A A R r R A R r C C ????
。
1.5 向量组与矩阵秩的联系与区别 ●向量组的秩与矩阵的秩的联系
设A 是m n ?矩阵，将矩阵的每个行看成行向量，矩阵的m 个行向量构成一个向量组，
将矩阵的每个列看成列向量，矩阵的n 个列向量构成一个向量组，该向量组的秩叫做矩阵的列秩，
行秩=列秩=矩阵的秩。 ●向量组等价与矩阵等价的区别
矩阵的等价是指一个矩阵可以由另一个矩阵经过初等变换转化而来。由于初等变换不改变矩阵的秩，因此，等价矩阵有相同的秩。反过来，两个秩相等的同型矩阵，他们有相同的
等价标准型000r
m m
E F ???
=
???。再由矩阵等价的传递性和对称性，可知这两个矩阵等价。 向量组的等价是指两个向量组可以互相表示，由线性表示和秩之间的联系，也可知等价的向量组有相同的秩。但是，反过来不成立。因为，两个向量组的秩相等，只说明这两个向量组的极大线性无关组有一样多个向量，并不能说明向量之间是否可以线性表示。 例如，向量组()()121000, 0100T
T
αα==和向量组()10010, T
β=
()2 0001T
β=的秩都是2，但它们却不能线性表示，因此，秩相等的向量组不一定等价。
两个极大无关组必等价。
【例1】设向量组 ()1()121, , , s r ααα 的秩为， ()2()122, , , t r βββ 的秩为，设向量组
()3()12123, , , , , , , s t r αααβββ 的秩为，则下列不正确的是 ()。
()()()()()()()()2313
13212312
12 21 A r r B r r C r r r r D r r r r ===>=≤若可由表示，则 若可由表示，则 若 ，则 若 ，则
解：()A 因为()()12若可由表示，则()()32可由表示，而()()23显然可由表示，因而
()()232 3 r r ?=向量组等价，()A 正确。
()B 因为()()21若可由表示，则()()31可由表示，而()()13显然可由表示，因而
()()131 3 r r ?=向量组等价，()B 正确。
()C 由于()1与()2均在()3中，故有1323 ; r r r r ≤≤。因此13r r =若 ，则由23r r ≤推知
21 r r ≤，故()C 不正确。
()D 由于()1与()2均在()3中，故有1323 ; r r r r ≤≤。因此23r r =若 ，则由13 r r ≤推知
12 r r ≤，故()D
正确。
该类题是线数里最为抽象的一类推理题型，但所用知识点却不多，读者开始要揣摩3遍，反复总结与秩和线性表示有关的知识点，记好笔记，千万不要操之过急，大概经过10个类型题的训练，自然就适应了，下面的例题进一步帮助你掌握它。
【例2】设n 维向量组 ()1()12, , , s ααα ， ()2()12, , , t βββ ，已知()1可以被()2线 性表示，且 ()()12R R r ==，证明：()1与()2等价。 证明：设 ()1的一个极大无关组为()12, , , i i ir ααα ()2的一个极大无关组为()12, , , i i ir βββ 考虑向量组 ()3()1212, , , , , , , i i ir i i ir αααβββ
()1可以被()2线性表示，说明()2是()3的一个极大无关组，故()3R r =。
又()12, , , i i ir ααα 线性无关，也是()3的一个极大无关组，而同一向两组的两个极大无关组等价，故()1与()2等价。 【例3】设向量组
()()()
()()()
123123: 2, 4, 2, 1, 3, 1, 2, 8, 1: 2, 5, 2, 3, 7, 4, 1, 24, 1T T T
T
T
T
A a b
B b a b αααβββ=-=--=-=+-=-=+-，问：
()1, a b 取何值时，()()R A R B =，且()(), A B 等价； ()2, a b 取何值时，()()R A R B =，且()(), A B 不等价。 解：
()1231232
12231|4385724211241a b b b a αααβββ-????=-++??
??-----?? 21
22310141122001010a b b b a -????→-++????+-??
()1当1, 1a b ≠≠-且 时，123
1230, 0αααβββ?≠≠，根据克拉姆法则：
方程组： ()112233 1,2,3i x x x i αααβ++== 与方程组：()112233 1,2,3i x x x i βββα++==
均有解。故, i i αβ可相互表示，因此：()()R A R B =，且()(), A B 等价。
当()()1, 12a b R A R B ==-?==且 ，上述方程组也都有解，故()(), A B 也等价，
()()R A R B =。
()2当1, 1a b =≠-且 时，仍然有()()2R A R B ==，但方程
1122333 x x x βββα++=中系数矩阵()123βββ的秩为2，其增广矩阵的秩()1233βββα为3，故3α不能由B 表示，故()(), A B 不等价。
当1, 1a b ≠=-且 时，仍然有()()2R A R B ==，但方程
1122332 x x x αααβ++=中系数矩阵()123ααα的秩为2，其增广矩阵()1232αααβ的秩为3，故2β不能由A 表示，故()(), A B 也不等价。 1．6 向量空间（线性空间）的考研知识点 1.6.1 概念与拓展
向量空间又称线性空间。n 维向量的全体所构成的集合V ，如果V 非空，且集合V 中的向量对于线性运算（数乘和加法）封闭（即：, , a V b V a b V a V λ∈∈?+∈∈），则称集合V 为向量空间。V 中的部分向量组成子空间。
n 不代表向量个数，只是向量的维数，向量空间中每个向量的维数必须相同。向量空间的容量用基（相当于1-3维空间中的坐标轴）来描述，如V 中极大无关组有r 个向量，则该向量空间的基r =，则V 又称r 维向量空间，记为r V ，如果取单位坐标向量组12, , , n e e e （相
当于三维坐标空间的, , i j k
）为基，称为自然基。再次提醒读者：向量的维数和向量空间的维数是两个完全不同的概念。
线性空间中任意向量α可由基表示出来（相当于三维坐标空间的任意矢量r xi yj zk =++
）
，即 []()[]11111...,...,,...,,...,T
r r r r r x x x x X αααααααα=++?==
表示式中前面的系数的有序组()12,,...,r x x x 称为α在基1,...,r αα下的坐标，记为
()1,...,T
r X x x =，也是一个向量（坐标向量）
。 1.6.2 向量空间的性质：
()1 基变换：
[][][]11111111111111...,...,,...,,...,...n n n n n n n
n nn n n nn a a a a P a a a a βααββααααβαα=++???? ?
?==? ?? ?
=++???
P 称为从基[]1,...,n αα（旧基）到基[]1,...,n ββ（新基）的过渡矩阵。
()2坐标变换：
[][][]1111,...,,...,,...,
n n n X Y PY
X PY Y P X
αααββαα-===?=?=
其中坐标向量： 11, n n x y X Y x y ????
????==????????????
()3同一线性变换T 在两个不同基下的坐标矩阵A 与B 之间的关系
()()()()()()()()()()()()11111
11111111,...,,..., ,...,,...,,...,,...,,...,,...,,...,,..., ,..., ,..., n n n n n n n n n n n n T A T B
P P B T T P T P ααααββββββααααββββββαααα-===?=?==????=????()()()()111111 ,..., ,..., ,...,,...,n n n n A P AP B P AP
B P AP
ααααββββ--=????=?=?=
这表明两个不同基下的坐标矩阵A 与B 相似，两个基之间的过渡矩阵P 正是相似变换矩阵。
()4 内 积：设11, =;n n a b a b αβ????
? ?= ? ? ? ?????
则定义内积：11,...T n n a b a b αβαβ==++ 对连续实函数空间：内积定义为 (
)()(),()b
a
f x
g x f x g x dx =?
内积的性质： ()1
长度：α==
()2交角()(),,arccos 0αβ
θαβθπαβ
==≤≤；
()3正交归一：,0β=为正交；1a =为归一； ()
4,,, ,,,αββααβγαβαγ=+=+ ()5 欧几里德空间：线性实空间+内积定义；
希尔伯特空间：线性复空间+内积定义； 付里叶空间： 线性三角函数空间+内积定义
1.6.3 施密特正交化：12,,,n ααα 为一组线性无关非正交的向量组，其正交化方法为
1121
221
11
1111
1111
,,,,,,s s s s s s s s βααββαβββαβαβ
βαββββββ----==-
=-
--
则1,,n ββ 相互正交。 ● 规范（标准）正交基 111
1
ηββ=
； 222
1
ηββ=
；
[]12,,,n Q ηηη= 为规范正交基，由于T T Q Q QQ E ==，可见，Q 为正交矩阵，Q 正是正交变换矩阵。 【例4】设向量组
()()()
()()()
123123: 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1: 1, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 4, 3T T T T
T
T
A B αααβββ==-====，则
12323ββββ=+-在向量组A 下的坐标为？ 解：
()()()()1231231
1123123 111123234 100234010111101101P
P βββααααααβββ--=?????????????===-??????
??????-----??????
又12323ββββ=+-，得β在向量组B 下的坐标为()1, 2, 3T
-，故12323ββββ=+-在向量组
A 下的坐标为： 123123442010231012x x P x -????????
????????=-=-????????????????---????????
。
【例5】已知n 维向量12, αα线性无关，34, αα线性无关，12, αα分别与34, αα正交。证明：
12, αα， 34, αα线性无关。
证明：设 112233440k k k k αααα+++=。
()()()()()()()()()()()()()()()()
()()11111211311412112212312411111212112222
11
121212212122123434, , , , 0
, , , , 0, , 0, , 0, , =, , 0, , 0
k k k k k k k k k k k k k k k k αααααααααααααααααααααααααααααααααααααααα+++=????+++=??+=????+=??->?==?==而又，线性无关 因此，12, αα， 34, αα线性无关。
利用RREF 求向量组的极大无关组及其相互线性表示。
设五个向量，主元有两个()()1212312341245125 , αααααααααααααααα??
??
?→??→?
?→?主元个数不妨设为和为极大无关组的个数，也就是矩阵的秩，故可以立即确定一个极大无关组。
把所在的列的系数对应乘以主元和的线性表示把所在的列的系数对应乘以主元和的线性表示
把所在的列的系数对应乘以主元和的线性表示
这一方法也完全移植到第4章的解方程方法。
二、题型题法
1．求一个向量由另一个向量组线性表示的方法 求向量线性表示的问题，归结于解方程组问题，通常有两种方法来处理：一种是写出待定的表示式，然后求解方程组；另一种方法是将向量按列写成矩阵（一般把待表示的向量放在最后一列），然后化为RREF （简化行阶梯形），这时，非主元所在的列向量可以由主元所在
的列向量线性表出，而且，表示式中的系数恰好就是非主元所在的列对应的分量。这一方法同样适应判断向量组之间的相关性。
【例6】 取基321234, , , 1x x x αααα====，求微分算子D 在该基下的坐标矩阵A 。
解：
21113421134
3
11344
1134303000000300020020020010301001
000000D x D x A D D αααααααααααααααααααα?==?+?+?+????
?==?+?+?+?? ??=?
?==?+?+?+?? ??==?+?+?+???
? 【例7】设()()(
)()
1231402, 2713, 0112,
31
04T
T
T
T
a
αααβ==
=-=，
问a 取何值时，β可由123, , ααα线性表示，并求出表示式。 解：方法一：方程法（本质上是初等行变换法）。 设 112233x x x βααα=++，则有
12123
1232312323120347104711001123242324
x x x x x x x x x x a a x x x +=?????????
? ? ? ? ?
++=? ? ? ? ?++=?? ? ? ? ?-=-? ? ? ? ??++=?????????
12031203120347110011201120110110002232401220010a a a ??????
? ? ?
--- ? ? ?
→→
? ? ?--- ? ? ?
--??????
显然，当()()2|a R A R A b =?=，有解，321210, 2, 231x x x x x ==+=?=-
122βαα∴=-+
方法二：RREF 法。
将向量按列写成矩阵（一般把待表示的向量放在最后一列），然后化为简化行阶梯形。
120312031203471100112011201101100022
32401220010a a a ??????
? ? ?
--- ? ? ?
→→
? ? ?--- ? ? ?
--??????
当()()2|a R A R A b =?=，β可由123, , ααα线性表示，上述矩阵进一步化为简化行阶梯形
()12312120310010
11201021202000000100
01
00
00RREF
βααααα-????
? ?-
? ?
→→?=-?+?+?=-+ ? ?
? ?????
可见RREF 是解这类题型的最佳方法，望读者务必掌握。
2．求极大无关组和线性表示及秩的方法① 将向量依次按列写成矩阵； ② 化为简化行阶梯形；
③
④ 非主元所在的列向量和和主元所在的列向量的关系由非主元列各分量表示。 【例8】设()()()()12341, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 5, 4, 2, 5, 6, αααα==-==-
()53, 1, 5, 7α=，求该向量组的秩，并确定一个极大无关组，将其余向量用它表示出来。
解：方法一：初等行变换法。
11
22
1331
441
551
111
2311231111021213
350212442560636331
57021211230212 000000000000A αααααααααααααααα????????-----?
???????=→-?
???-----????????----??????
??---????→????????()()()()()()21
3121312
41214125121312
2243332r αααααααααααααααααααααα=??-??
-+-?=-??---=+?---?=+?
方法二：RREF 法。
1114311143113210226221355011313156702262
11143102120226201131 0113100000022620
00RREF A ???
?????-----?
??
?=→???
?---?
??
?---??????
??????----?
??
?→→???
?---???
?---???
?
()()1212312312412412
512512
, 2 3 2αααααααααααααααα
αααααα??
?????→=-??→=+??→=+?主元个数和为极大无关组的个数，也就是矩阵的秩，
故可以立即确定一个极大无关组。把所在的列的系数对应乘以主元和把所在的列的系数对应乘以主元和把所在的列的系数对应乘以主元和
【例9】求向量组 ()()()1232123, 1133, 0143,ααα===
()()451021, 1298αα=--=的一个极大无关组。
解：
210111110
21110210111102012130121301201234290122500012000123
3
318000120
000000
00
-???
?????
?
? ? ?---- ?
? ? ?→→→ ? ? ? ?---- ?
?
? ?--
???
??
??
?
可见：124, , ααα是一个极大无关组。 312
5124
22ααααααα=-+=+-
【例10】 设向量组 ()2,,,2t t ααα> 线性无关，令
123t βααα=+++ 213t βααα=+++
121t t d βαα-=+++
证明：12,,,t βββ 线性无关 证：无具体形式，只能使用定义法
11220t t k k k βββ+++= ()()()231132110t t t t k k k k k k k k ααα-?++++++++++= 12,,,t ααα 线性无关 ()()23131
210 10 20 (t)
t t t k k k k k k k k k -+++=??
+++=?∴???+++=?
①+②+……+○
t ()()120t k k k ?+++= t-1 ()1210 t t k k k ≠?+++=*
()*-①10k ?=
()*-①20k ?=，余类推。
【例11】设A 为三阶方阵，有三个不同的特征值123,,λλλ，对应的特征向量依次为123,,,
ααα令123βααα=++，试证明：2,,A A βββ线性无关。
证明：i i i A αλα= ()1
,2,3i = ()123112233A A βαααλαλαλα=++=++
()2222
112233112233A A βλαλαλαλαλαλα=++=++
211230k k A k A βββ++=
()()()2221
213111223221333330k
k k k k k k k k λλαλλαλλα++++++++=
由于不同特征值的特征向量线性无关，则 2121312
12232212333
000k k k k k k k k k λλλλλλ?++=?++=??++=? ()()()211222213231233
1101λλλλλλλλλλλλ?=---≠
1230k k k ?===
【例12】设, αβ为三维列向量，矩阵T T A ααββ=+，其中, T T αβ分别是, αβ的转置，证
明：()()()()
2 2 R A R A αβI ≤∏<；若，线性无关，则 。
证明：
3．基的计算方法
【例12】 1111α??
??=?????? 求23,αα使相互正交 解：所求向量为 123x x x x ??
?
= ? ???
11230T x x x x α=?=--
取 1110b ?? ?=- ? ??? 或 2101b ????=????-??
21110b α??
?
==- ? ???
【例13】 设3R 的两组基为()123100:,,110111A ααα????=??????；()123101:,,012110B βββ??
??=??
??-??
求()123,,ααα到()123,,βββ的过渡矩阵P 和()1,2,1T
ξ=-在()123,,βββ下的坐标。 解：方法提示：初等变换方法。 因为：
()111...... ...m m m B AP F F B F F AP EP P A E F F B P =?===→?→ ，即
()()A B E P →
()()
123222212,1
,21b b ααααα??????
??
=-=????-??????
①
[]100101101010111111001122122A B P ????
????→-?=-????????----????
② [][]1
112312310115,,,,0122711014X X ξββββββξ----??????
??????=?===-??????
??????-??????
第三章 向 量模拟题题
一．填空题 1. 设
123421054230101,),(1,0,2,1),k αααα==--=-=-（,,,）,（,,,),（,,则k ＝______时，
123,,αααα,线性相关。
2. 已知(3,5,7,9),(1,5,2,0),αβ==-x 满足23x αβ+=，则x ＝_________。
3. 当k ＝_______时，向量(1,,5)k β=能由向量12(1,3,2),(2,1,1)αα=-=-表示。
4. 设(1,0,1,2),(0,1,0,2)T αβ=-=，矩阵A αβ=?，则秩（A ）＝__________。 二．选择题
1. 设向量组111213121222323132333():(,,),(,,),(,,),T T T a a a a a a a a a αααI ===
向量组111213141212223242313233343():(,,,),(,,,),(,,,),T T T a a a a a a a a a a a a βββII ===则 （A ）()I 相关()?II 相关 （B ）()I 无关()?II 无关 （C ）()II 无关?()I 无关
（D ）()I 无关?()II 无关 [ ]
2. 设向量β可由向量组12,,,m ααα 线性表示，但不能由向量组()121:,,,m ααα-I 线性表示，记向量组()121:,,,,m αααβ-II ，则
（A ）m α不能由()I 线性表示，也不能由()II 线性表示。 （B ）m α不能由()I 线性表示，但可由()II 线性表示。 （C ）m α可由()I 线性表示，也可由()II 线性表示。 （D ）m α可由()I 线性表示，但不可由()II 线性表示。
3. 设有任意两个n 维向量组1,,m αα 和1,,m ββ ，若存在两组不全为零的数1,,m λλ 和
1,,m k k ，使111111()()()()0m m m m m m k k k k λαλαλβλβ+++++-++-= ，则
（A ）1,,m αα 和1,,m ββ 都线性相关。 （B ）1,,m αα 和1,,m ββ 都线性无关。
（C ）1111,,,,,m m m m αβαβαβαβ++-- 线性相关。