化学分析中的数理统计
数理统计方法在现代化企业管理中是必不可少的有力工具。同样数理统计方法在化学分析中也可得到广泛的应用。下面就化学分析中经常遇到的一些问题谈谈数理统计方法的应用。一、化学分析的测试及其误差。我们知道化学分析测试的目的，是从欲研究对象中抽取部分样品进行测试，由测试结果来研究，推断对象的全体的性能。但是在分析测试过程中，不可避免地会受到各种未知因素的影响而使测试结果参差不齐。亦即我们常称之为误差。这种误差，不仅由于某些偶然因素作用出现单次测定围绕多次测定平均值在一定范围内波动，而且也会由于某些恒定的因素的作用使多次测定平均值与真值之间产生差异。因此，判断误差性质是件特别慎重的事情。要作到这一点，除必需具备必要的理论知识和实践经验外，正确的应用数理统计方法则是完成这一任务的有力工具。
就误差的性质和产生的原因，大体可分为：偶然误差(随机误差)和系统误差两大类。偶然误差是指在一组测定值中，由于某种因素的偶然变化而引起的单次测定值对多次测定平均值的偏离，它决定了测试结果的精度。常用标准差来表征。其特点是：当测定次数足够多时出现数值相等，符号相反的偏差概率近似相等。引起偶然误差的因素是无法控制的。但通过增加测定次数可以减少误差。系统误差是指在一定试验条件下，由于某个固定因素的作用，使测试结果对真值按一个方向偏离。它决定了测试结果的准确度，可用绝对误差或相对误差来表示。系统误差可按其作用规律对它进行校正或设法消除。而增加测定次数不能减少系统误差。显然，对于一个理想的测试结果，既要求精度好，又要求准确度好。
二、偶然误差的分布特征。如前所述，引起偶然误差的因素是无法控制的，因此，在化学分析中即使在严格控制的试验条件下，对一个样品多次测定其测定结果并非完全相同，那么误差是否无规可循？我们可以通过下例来分析：
例：在相同条件下对某物料的某种成分含量测定50 次，得到如下一组数据：这些数据表面看来杂乱无章，然而，如果我们将这些数据按大小排列起来，也有一定规律可循，即全部测定值有明显的集中趋势，大多数测定值集中在平均值60.05 左右。大量事实证明，分析中的偶然误差分布服从正态分布规律。在化学分析测试中通常都是少数次测定，理应不会出现这样大的偏差。一旦出现，我们有理由认为它不是因偶然因素而引起的偶然误差，即有系统误差存在，可将大偏差数舍去。
三、正态分布的集中趋势及其离散特征。
正态分布的集中趋势U(真值)及离散特征（标准差Q）是其两个重要特征参数。但是在化学分析测试中U 和Q 是未知的。我们怎样通过试验而确定U 和Q 呢？通常处理的办法是将测定值的无偏估值ξ及均方差S 来代替U 和Q。
在化学分析测定中，即使对同一样品，因采用不同方法，不同的分析人员或测定次数的多少等等，常常使测定结果，及其精度各不相同。
权不是任意给的，它与测定的精度有关，即权的大小直接依赖于测定的精度。所谓加权平均值就是对测定精度高的乘以一个较大的权，对于精度低的乘以一个较小的权。就是说，较大次数的测定值是更可信赖的值，它必定是误差小，出现概率较大的值。
四、分析结果的统计检验。
（一）概述在化学分析中，往往因为偶然误差和系统误差的共同作用而使一组测定值之间，或一组测定值与另一组测定值之间存在差异，如果我们不能正确区分它们，就无法给测定值做出恰如其分的评价。而统计检验就是帮助我们解决此类问题的。
在化学分析中采用t 检验法较多。t 检验法就是对母体均属于正态分布，而标准差未知的问题来检验其均值是否与已知常数U。相当。例如，化学分析中的测定平均值和标样名义值的比较；不同分析人员不同分析方法测定平均值的比较；对比性检验研究等等均属于此类问题。
例：今对某纯品（认为含量100%）进行四次测定其结果为（%）99.98 99.98 99.97
99.99
试对测定结果作出评价
解：根据题意知和相关的知识计算
我们认为测定平均值比样品名义值低0.02，不仅是偶然误差所至，还有系统误差存在，或者认为标样并非100%纯净。
（二）试验测定值的统计检验在化学分析测试中，往往会出现某个测定值比其余测定值大的较多，或小的较多的情况。对于这些异常测定值的出现必须判明其原因，弄清其存在是否合理。
否则对其轻易取舍就会犯弃真存伪错误。如果我们不能找出其出现的原因，就需借助于统计检验的办法来判定。常用的统计检验有：
1.在标准差未知的情况下的T 变量检验如果测定数据较多，计算不便，或是需要马上得出结论等，可采用极值比法来处理。（极值比法略）
（三）分析结果的图形表示及相关系数的统计检验化学分析策测试结果除用数值表示，列表表示外还可以用图形表示。一般来说，若二元随机变量x、y 之间存在密切关系时，当x 变化y也大体上遵循某种规律变化。但又不能由x 值精确地求出y。这种关系称相关关系。另外，既使x、y 之间存在着严格的函数关系但往往由于测试误差的存在，则其函数关系也以相关关系表现出来。具有相关关系的测试结果，一般用相关图表示，也即为测试结果的图形表示。
在化学分析测试中常常遇到下列几种相关问题：
1）一元线性相关
一元线性相关就是随机变量x、y 的变化规律近似一条截距为a，斜率为b 的直线。
2）一元非线性相关
在有些测试中，两变量并非线性相关，根据试验数据描述则为一特定曲线。
五、总结是根据所学数理统计理论，参考有关书籍，结合化学分析中常遇到的一些问题谈了谈自己的看法，也是学习数理统计方法的点滴体会。
10 06 数理统计的基本概念 知识网络图 正态总体下的四大分布统计量样本函数样本个体总体数理统计的基本概念→???? ?????????????? 主要内容 一、样本 我们把从总体中抽取的部分样品n x x x ,,,21Λ称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n 表示。在一般情况下，总是把样本看成是n 个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，n x x x ,,,21Λ表示n 个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后，n x x x ,,,21Λ表示n 个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 二、.统计量 1.定义：称不含未知参数的样本的函数),,,(21n X X X f Λ为统计量 2.常用统计量 样本均值 .11 ∑==n i i x n x 样本方差 ∑=--=n i i x x n S 122.)(11 样本标准差 .)(111 2∑=--=n i i x x n S 样本k 阶原点矩 ∑===n i k i k k x n A 1 .,2,1,1Λ 样本k 阶中心矩
∑==-=n i k i k k x x n B 1 .,3,2,)(1Λ μ=)(X E ，n X D 2 )(σ=， 22)(σ=S E ，221)(σn n B E -=, 其中∑=-=n i i X X n B 1 22)(1，为二阶中心矩。 三、抽样分布 1.常用统计量分布 （1）设n X X X ,,,21Λ是相互独立的随机变量，且均服从与标准正态分布)1,0(N ，则222212n n X X X X Λ++=，服从自由度为n 的-2χ分布，记为()n 2~χχ. （2）设()()n Y N X 2~,1,0~χ，且X 与Y 相互独立，则.n Y X T =服从自由度为n 的-t 分 布，记为()n t T ~. （3）设X 与Y 相互独立，分别服从自由度为1n 和2n 的-2χ分布，则1 22 1n n Y X n Y n X F ?==。服从自由度为()21,n n 的-F 分布，记为()21,~n n F F 2.正态总体场合 设n X X X ,,,21Λ是从正态总体()2,σμN 中抽取的一个样本，记 ()2 1211,1∑∑==-==n i i n n i i X X n S X n X ，则 （1）;,~2??? ? ??n N X σμ （2）X 与2 n S 相互独立. （3）()()1~1222 --n S n χσ；或()1~)(2212 --∑=n X X n i i χσ
实例1 发行彩票的创收利润某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润.解：设每张彩票中奖的数额为随机变量X , 则X 10000 5000 1000 100 10 0p 51/1052/10510/105100/1051000/100p 每张彩票平均能得到奖金 05512()10000500001010E X p =? +?++? 0.5(),=元每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(), --=元因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2120000().?=元实例2 如何确定投资决策方向?某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资?解：设 X 为投资利润，则 X 8 -2p 0.3 0.7()80.320.71(),E X =?-?=万元存入银行的利息:故应选择投资.1050.5(),%?=万元实例3 商店的销售策略某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X （以年计），规定1,1500;12,2000;23,2500; 3,3000.X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元10,1e ,0,()100, 0.x X x f x x Y -?>?=??≤? 设寿命服从指数分布概率密度为试求该商店一台家用电器收费的数学期望定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术、电气课校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料、电气设备调试高中中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并
金属材料化学分析操作规程汇编 第一部分 黑色金属材料的分析 钢钢铁铁中中碳碳硫硫的的分分析析 一．原理 CS ——280微机碳硫自动分析仪原理：金属式样中各种状态碳和硫的化合物，在KHD —400高速自动引燃炉中与助溶剂一起，通入纯氧加热产生CO2及SO2气体：C-O2—CO2；S —O2—SO2，这两种气体先经过硫吸收杯除硫（SO2在此处被吸收），剩下的CO2气体在碳吸收器内被KOH 溶液吸收。 分析方法： 碳：气体容量法；硫：碘量法。 二．助溶剂与试剂 助溶剂：硅钼粉，锡粒（高纯），纯铁助溶剂 试剂：氢氧化钾，酸性水，碘酸钾，可溶性淀粉（以上试剂均为分析纯） 三．操作步骤 1．清扫KHD —400自动引燃炉。 2．打开“电源”及“控阀”开关。 3．选择标准校正标尺： 3．1按“准备/（2）”键，将有助溶剂及标样的坩埚放入炉体，升上炉体。 3．2按“启动”按钮。 3．3待蜂鸣器鸣叫六声，将碳标尺及硫标尺校正到相应标样的含量处。 4试样测试： 4．1将盛有助溶剂及式样的坩埚放入炉体，升上炉体。 4．2按“启动”按钮。
4．3待蜂鸣器鸣叫六声后，直读该式样的百分含量。 四．注意事项： 1．氧气压力要按照说明书上的压力指标调整。 2．及时除尘。 碳碳钢钢及及一一般般低低合合金金钢钢的的连连续续分分析析 试样溶液的制备 试剂： 1．硝酸：（1+3） 2．过硫酸铵：（15%）需当日配置 溶样： 称取试样1.0克于250毫升锥形瓶中，加硝酸（1+3）50毫升，加热溶解后，加过硫酸铵15毫升，煮沸2分钟，流水冷却至室温，于100毫升容量瓶中，以水稀释至刻度，摇匀，分液。 硅硅的的测测定定（（硅硅钼钼蓝蓝光光度度法法）） 一．方法提要： 试样用酸溶解后，硅变成正硅酸，在一定酸度范围内正硅酸与钼酸铵作用生成可溶性硅钼黄杂多酸，在草酸存在下，用硫酸亚铁铵还原成硅钼蓝借以进行光度测定。 二．试剂： 1．钼酸铵：（5%） 2．草酸：（0.625%） 3．硫酸亚铁铵：（6%），每100毫升溶液中加入硫酸（1+1）6滴。
化学分析试题及答案 一、判断题。10分 1、（× ）在化学定量分析中，常采用的分析方法是微量分析。 2、（√ ）金属指示剂与金属离子生成的配合物的稳定性应比金属EDTA配合物的稳定性要差一些。 3、（√ ）指示剂的变色范围越窄越好。 4、（× ）酸碱滴定中溶液愈浓，突跃范围愈大，可供选择的指示剂愈多。 5、（√ ）当金属离子与指示剂形成的显色配合物的稳定性大于金属离子与EDTA 形成的配合物的稳定性时，易产生封闭现象。 6、（× ）高锰酸钾法通常在强酸性溶液如HNO 溶液中进行。 3 7、（√ ）使用酸式滴定管时，应大拇指在前，食指和中指在后。 8、（√ ）随机误差具有重复性，单向性。 9、（× ）滴定分析中，指示剂颜色突变时停止滴定，这一点称为化学计量点。 10、（× ）有两组分析数据，要比较它们的测量精密度有无显着性差异，应当用Q验。 二、选择题。20分
1、分析化学依据分析的目的、任务可分为：…………………………………………（ A ） A：定性分析、定量分析、结构分析 B：常量分析、半微量分析、微量分析C：无机分析、有机分析 D：化学分析、仪器分析 2、下列误差属于系统误差的是：……………………………………………………（ B ） A：天平零点突然变化 B：读取滴定管的度数量偏高 C：环境温度发生变化 D：环境湿度发生变化 3、用于反应速度慢或反应物是固体，加入滴定剂后不能立即定量完成或没有适当的指示剂的滴定反应，常采用的滴定方法是：………………………………………………（ B ） A：直接滴定法 B：返滴定法 C：置换滴定法 D：间接滴定法 4、以下试剂不能作为基准物质的是：…………………………………………… （ D ） A：优级纯的Na 2B 4 O 7 ·10H 2 O B：99.99％的纯锌 C：105-110。C烘干2h的Na 2C 2 O 4 D：烘干的Na 2 C0 3
课程文化2-数理统计的起源 数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支,研究如何有效 的收集、整理和分析受随机因素影响的数据,并对所考虑的问题作出推断或预测,为采取某种决策和行动提供依据或建议． 数理统计的发展大致可分为古典时期、近代时期和现代时期三个阶段． 古典时期（19世纪以前）．这是描述性的统计学形成和发展阶段,是数理统计的萌芽时期．在这一时期里,瑞土数学家雅各布·伯努利(Jakob Bernoulli?,1654－1705)较早地系统论证了大数定律．1763年,英国数学家贝叶斯(Thomas Bayes,1701-1761)提出了一种归纳推理的理论,后被发展为一种统计推断方法― 贝叶斯方法,开创了数理统计的先河．法国数学家棣莫佛（de Moivre,1667-1754）于1733年首次发现了正态分布的密度函数并计算出该曲线在各种不同区间内的概率,为整个大样本理论奠定了基础．1809年,德国数学家高斯（Gauss．Garl Friedrich,1777-1855,德国）和法国数学家勒让德（Adrien Marie Legendre1752-1833）各自独立地发现了最小二乘法,并应用于观测数据的误差分析．在数理统计的理 论与应用方面都作出了重要贡献,他不仅将数理统计应用到生物学,而且还应用到教育学和心理学的研究．并且详细地论证了数理统计应用的广泛性,高斯曾预言：＂统计方法,可应用于各种学科的各个部门．＂ 近代时期（19世纪末至1845年）．数理统计的主要分支建立,是数理统计的形成时期．上一世纪初,由于概率论的发展从理论上接近完备,加之工农业生产迫切需要,推动着这门学科的蓬勃发展． 1889年,英国数学家皮尔逊(Karl Pearson,1857-1936)提出了矩阵估计法,次年 又提出了频率曲线的理论,并于1900年在德国大地测量学者赫尔梅特（F．Helmert）1876年研究正态总体的样本方差时发现的一个十分重要的分布的基础上提出了 检验,这是数理统计发展史上出现的第一个小样本分布． 1908年,英国的统计学家戈塞特(W．S．Gosset,1876-1937)创立了小样本检验代替了大样本检验的理论和方法(即t分布和t检验法),这为数理统计的另一分支---多元分析奠定了理论基础． 1912年,英国统计学家费歇(R．A．Fisher,1890-1962)推广了t检验法,同时发展了显著性检验及估计、方差分析等数理统计新分支． 这样,数理统计的一些重要分支如假设检验、回归分析、方差分析、正交设 计等都有了决定其基本面貌的内容和理论框架．数理统计成为应用广泛、方法独特的一门数学学科． 现代时期(1945年以后)．美籍数理统计学家瓦尔德(A．Wald,1902-1950)致力于用数学方法使统计学精确化、严密化,取得了很多重要成果．他发展了决策理论,提出了一般的判别问题,创立了序贯分析理论,提出了著名的序贯概率比检验 法(比如,用于贵重产品的抽样检查与验收)．瓦尔德的两本著作《序贯分析》和《统计决策函数论》,被认为是数理发展史上的经典之作．统计决策理论从人与大自 然进行博弈的观点出发,把形形色色的统计问题纳入一个统一的模式之下,对战后数理统计许多分支的发展产生了很大的影响,特别是参数估计这个分支．
金属材料检测标准大汇 总 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
金属材料化学成分分析 GB/T 222—2006钢的成品化学成分允许偏差 GB/T 系列钢铁及合金X含量的测定 GB/T 4336—2002碳素钢和中低合金钢火花源原子发射光谱分析方法(常规法) GB/T 系列海绵钛、钛及钛合金化学分析方法X量的测定 GB/T 系列铜及铜合金化学分析方法第X部分：X含量的测定 GB/T 5678—1985铸造合金光谱分析取样方法 GBT 系列铝及铝合金化学分析方法 GB/T 7999—2007铝及铝合金光电直读发射光谱分析方法 GB/T 11170—2008不锈钢多元素含量的测定火花放电原子发射光谱法(常规法) GB/T 11261—2006钢铁氧含量的测定脉冲加热惰气熔融-红外线测定方法 GB/T 系列镁及镁合金化学分析方法第X部分X含量测定 金属材料物理冶金试验方法 GB/T 224—2008钢的脱碳层深度测定法 GB/T 225—2006钢淬透性的末端淬火试验方法(Jominy 试验) GB/T 226—2015钢的低倍组织及缺陷酸蚀检验法 GB/T 227—1991工具钢淬透性试验方法 GB/T 1954—2008铬镍奥氏体不锈钢焊缝铁素体含量测量方法 GB/T 1979—2001结构钢低倍组织缺陷评级图 GB/T 1814—1979钢材断口检验法 GB/T 2971—1982碳素钢和低合金钢断口检验方法 GB/T —2012变形铝及铝合金制品组织检验方法第1部分显微组织检验方法
GB/T —2012变形铝及铝合金制品组织检验方法第2部分低倍组织检验方法GB/T 3488—1983硬质合金显微组织的金相测定 GB/T 3489—1983硬质合金孔隙度和非化合碳的金相测定 GB/T 4236—1984钢的硫印检验方法 GB/T 4296—2004变形镁合金显微组织检验方法 GB/T 4297—2004变形镁合金低倍组织检验方法 GB/T 4334—2008金属和合金的腐蚀不锈钢晶间腐蚀试验方法 GBT 4335—2013低碳钢冷轧薄板铁素体晶粒度测定法 GB/T —2015不锈钢5%硫酸腐蚀试验方法 GB/T 4462—1984高速工具钢大块碳化物评级图 GB/T 5058—1985钢的等温转变曲线图的测定方法(磁性法) GB/T 5168—2008α-β钛合金高低倍组织检验方法 GB/T 5617—2005钢的感应淬火或火焰淬火后有效硬化层深度的测定 GB/T 8359—1987高速钢中碳化物相的定量分析X射线衍射仪法 GB/T 8362—1987钢中残余奥氏体定量测定X射线衍射仪法 GB/T 9450—2005钢件渗碳淬火硬化层深度的测定和校核 GB/T 9451—2005钢件薄表面总硬化层深度或有效硬化层深度的测定 GB/T 10561—2005钢中非金属夹杂物含量的测定标准评级图显微检验法GB/T 10851—1989铸造铝合金针孔 GB/T 10852—1989铸造铝铜合金晶粒度 GB/T 11354—2005钢铁零件渗氮层深度测定和金相组织检验 GB/T 13298—2015金属显微组织检验方法
概率论与数理统计MOOC课程中的案例设计 发表时间：2018-07-06T10:44:29.247Z 来源：《防护工程》2018年第5期作者：郭珂琪 [导读] 概率论与数理统计是工程数学非常重要的组成部分，甚至有西方学者提出：在大数据时代，统计比微积分更基础。 北京计算机技术及应用研究所北京 100854 摘要：概率论与数理统计是工程数学非常重要的组成部分，甚至有西方学者提出：在大数据时代，统计比微积分更基础。在西方，这门课是几乎所有大学生都要学习的必修课程，在我国，概率论与数理统计也是理工，农林，经管，医药卫生等各领域学生的必修课程，如何让学生学好这门课程一直是很多教师关注的热点。这门课程成为MOOC 课程，可以面向更多的学生，整合并充分利用优质教育资源，方便不同专业的交流；但同时也面临了学生专业跨度大，数学基础差别大的困难。针对这样的学生群体，该课程的MOOC 课程制作面临更大的挑战，必须深入浅出，形象生动，难度层次递进，且有连贯性，才能达到更好的教学效果，并有效降低学生辍学率。 关键词：MOOC 课程；概率论与数理统计；案例教学；概率统计 随着各种MOOC资源平台的涌现和推广，新的在线教学模式—MOOC已经成为大学教育中不可忽视的一种教育模式。MOOC对学校而言，能更好地整合教育资源；对学生而言，能更好地锻炼自学、思考和反思的能力。但MOOC也存在一些较难克服的障碍，对于内容抽象、学习难度大的课程，基础有欠缺、自制力缺乏的学生的辍学率始终居高不下，故可以预见，在较长时期内，部分学生还是会选择以传统课堂教学课程为主的学习方式。对于这门内容抽象、学习难度大的课程，如何保证学生课下自学的效果，不影响课程内容的进度，成为翻转课堂实施的一个关键问题，MOOC相关课程的资源便成为学生课下自学中最好的辅助；同时在课上讨论中，为了更好地提高学生的兴趣，锻炼学生的思考能力，也可以适当结合和借鉴MOOC灵活开放的教学方式。 一、案例教学对概率论与数理统计课堂教学的意义 在概率论与数理统计课堂教学中积极提倡案例教学是十分必要的，并具有其独特的意义。 1、概率论与数理统计的教学目标，既有学习理论方面的目标，又有实践层面的目标，既培养学生具有扎实的概率统计基础理论，又能将该理论和实践结合起来。而案例教学能将理论和实践很好地结合起来，可以使两个目标得以同时实现，且在两者结合方面拉近了距离，使得理论不再是空中楼阁，而是活生生的理论，实践也不是盲目的实践，而是有指导、有方向、有目的的实践。概率论与数理统计是一门应用性很强的学科，很适合用案例教学方法来组织课堂教学。 2、概率论与数理统计是一门研究随机现象的学科，在学习中有许多难点，需辅以案例教学才能理解概率论与数理统计的思想方法、基本原理和统计工具。概率论与数理统计这门课程不同于以往学习的确定性数学，其中随机变量、分布函数、大数定理、中心极限定理、极大似然估计方法以及假设检验的思想方法等都是该课程中难以理解的内容，如果教师在课堂教学上照本宣科，只强调教学过程的理论性、严谨性和逻辑性而脱离实际应用，学生要真正掌握和理解概率统计思想方法和概率统计模型是很困难的，必须从案例出发，才能清晰地阐明其概念和统计思想，必须通过案例的描述、假设、建模与求解，演示理论与方法的应用过程。 3、在概率论与数理统计课堂教学中实施案例教学也是教学改革的必然要求。案例教学法是把案例作为一种教学工具，把学生引导到实际问题中去，通过分析与相互讨论，调动学生的主动性和积极性，并提出解决问题的基本方法和途径的一种教学方法，它是连接理论和实践的桥梁。将理论教学与实际案例有机地结合起来，使得课堂讲解生动而清晰，可收到良好的教学效果。同时案例教学可以促进学生全面地看问题，从数量的角度分析事物的变化规律，使概率与数理统计的思想和方法在现实生活中得到更好的应用，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。 二、案例教学在概率论与数理统计课堂教学中的运用 案例教学一般适合于既要注重理论教学，又注重实际操作的课程，而概率论与数理统计作为一门应用性很强的随机学科，在课堂上很适合采用案例教学方法，根据该学科的特点，在案例教学时应按照以下步骤组织实施： 1、案例的选择。选择合适的案例是整个案例教学的核心，同时也是一项十分复杂的工作，这主要是由于大学各理工科的专业性质不同，对案例的选择也不同，一般来说，所选择的案例要与相应专业比较接近，这样才能调动学生学习的积极性，以达到好的教学效果。因而在选择案例时需把握以下几点：一要考虑案例的实用性；二要考虑案例的典型性；三要考虑案例的针对性。根据案例的选择原则，这就要求我们在选择案例时要深入各个相关专业进行调研，与专业教师交流探讨，对专业教材阅读分析，收集专业课程中使用概率论与数理统计知识的案例和学生感兴趣的案例，安排教研活动组织专题讨论，进行分类汇总，编写《概率论与数理统计案例选编》，对于来自各个学科专业的数学应用案例，要有问题的提出和分析，有模型的建立与求解，有应用的讨论和评注。 2、明确案例教学思路，做好案例教学设计。根据教学内容，结合学生的专业特点，从概率论与数理统计案例选编中选取合适案例，选取好案例后，要合理分配好课堂上案例讨论与分析的时间，选择好教学方法和教学手段，并以多媒体的形式在课堂上呈现。概率论与数理统计从内容到方法与以往的数学课程有本质的不同，因此其基本概念的引入就显得更为重要。在教学中，应首先从案例出发引入概率统计的相关概念、概率统计的基本原理、统计方法，然后再选择合适案例来说明概率统计原理与方法的应用。当然，在课堂上不是要一味地讲解案例，也不是案例越多越好，而是要把握好案例与课堂知识点的结合，不能公式化，在教学过程中要充分体现“实践—理论—实践”的认识过程，做到理论与实际的有机结合。 3、有效组织案例教学，做好案例的讨论、分析。案例的讨论与分析是案例教学的中心环节，对案例进行讨论的目的是提出解决问题的途径与方法，可以从自身角度出发来剖析案例，说明自己的观点和看法，教师要掌握讨论的进程，让学生成为案例讨论的主体，同时把握好案例讨论的重点和方向，进行必要的引导。同时在组织案例教学时要辅以各种有效的教学方法，如启发式教学、讨论式教学，让学生积极参与，大胆发表意见，提出观点，深入思考，激发学生的学习热情及科研兴趣，使案例教学效果达到最佳，培养学生运用概率统计原理解决实际问题的能力。 4、案例的总结。案例总结是保证和提高案例教学质量的必备环节。对案例的总结一般要包括以下内容：一是对讨论过程进行总结，对于一个案例，让学生提出各种观点及其案例所包含的概率统计原理，让学生通过分析和评价案例，掌握正确处理和解决复杂多变的现实
第六章数理统计的基本概念 一、教学要求 1．理解总体、个体、简单随机样本和统计量的概念，掌握样本均值、样本方差及样本矩的计算。 2．了解分布、t分布和F分布的定义和性质，了解分位数的概念并会查表计算。 3．掌握正态总体的某些常用统计量的分布。 4．了解最大次序统计量和最小次序统计量的分布。 本章重点：统计量的概念及其分布。 二、主要内容 1．总体与个体 我们把研究对象的全体称为总体(或母体)，把组成总体的每个成员称为个体。在实际问题中，通常研究对象的某个或某几个数值指标，因而常把总体的数值指标称为总体。设x为总体的某个数值指标，常称这个总体为总体X。X的分布函数称为总体分布函数。当X为离散型随机变量时，称X的概率函数为总体概率函数。当X为连续型随机变量时，称X的密度函数为总体密度函数。当X服从正态分布时，称总体X为正态总体。正态总体有以下三种类型： (1)未知，但已知； (2)未知，但已知； (3)和均未知。 2．简单随机样本 数理统计方法实质上是由局部来推断整体的方法，即通过一些个体的特征来推断总体的特征。要作统计推断，首先要依照一定的规则抽取n个个体，然后对这些个体进行测试或观察得到一组数据，这一过程称为抽样。由于抽样前无法知道得到的数据值，因而站在抽样前的立场上，设有可能得到的值为，n维随机向量()称为样本。n称为样本容量。(）称为样本观测值。 如果样本()满足 （1）相互独立； (2) 服从相同的分布，即总体分布； 则称()为简单随机样本。简称样本。 设总体X的概率函数(密度函数)为，则样本（)的联合概率
函数(联合密度函数为)
3. 统计量 完全由样本确定的量，是样本的函数。即：设是来自总体X 的 一个样本，是一个n 元函数，如果中不含任何总体的未知参数，则称 为一个统计量，经过抽样后得到一组样本观测值 ，则称 为统计量观测值或统计量值。 4. 常用统计量 （1）样本均值： （2）样本方差： （3）样本标准差： 它们的观察值分别为： 这些观察值仍分别称为样本均值、样本方差和样本标准差。 （4）样本（k 阶）原点矩 1 1,1,2,n k k i i A X k n ===∑L （5）样本（k 阶）中心矩 1 1(),2,3,n k k i i B X X k n ==-=∑L 其中样本二阶中心矩21 1(),n k i i B X X n ==-∑又称为未修正样本方差。 （6）顺序统计量 将样本中的各个分量由小到大的重排成 (1)(2)()n X X X ≤≤≤L 则称(1)(2)(),,n X X X L 为样本顺序统计量，()(1)n X X -为样本的极差。 （7）样本相关系数： 1 1 2 211 ()()()() 11()()n n i i i i i i xy n n x y i i i i x x y y x x y y r S S x x y y n n ====----= = --∑∑∑∑
6 数理统计的基本概念 基本要求 1 理解总体、样本(品)、样本容量、简单随机样本的概念。能在总体分布给定情况下，正确无误地写出样本的联合分布，这是本章的难点。 2*了解样本的频率分布、经验分布函数的定义，了解频率直方图的作法。 3 了解χ2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解临界值的概念并会查表计算。 4 理解样本均值、样本方差及样本矩的概念。了解样本矩的性质，能借助计算器快速完成样本均值、样本方差观察值的计算。了解正态总体的某些常用抽样分布。 疑难解答 1、采用抽样的方法推断总体，对样本应当有怎样的要求？ 答：为了对总体X的分布进行研究，逐个研究每个个体是不现实的。采用抽样推断总体，其出发点是利用局部认识整体，因此抽出的样本要具有代表性。即要求每个个体被抽取的机会均等，并且抽取一个个体后总体成分不变。首先要求抽样具有“随机性”，第一次抽取的样品X1的可能取值应与总体的可能取值是完全一样的，且去取个个值的概率相同。因此，X1是一个随机变量，并且是与X同分布的随机变量。其次，应具有“独立性”，第一次抽样不改变总体成分，第二次抽取的样品X2可能的值也与X完全一样，且取值的概率也是相同的，因此X2也是与X同分布的一个随机变量且与X1是相互独立的，同样道理，X3，X4，…，X n都是与X同分布的随机变量，并且X1，X2，…，X n是一组相互独立的随机变量，故要求X1，X2，…，X n是简单随机样本。 2、什么是简单随机样本？在实践中如何获得简单随机样本？ 答：设X1，X2，…，X n是来自总体X的容量为n的样本，如果它满足以下两个条件，则称它为简单随机样本： （1）X1，X2，…，X n与总体X具有相同的分布 （2）X1，X2，…，X n相互独立 由简单随机样本的定义知，用简单随机样本研究总体，可以更好地用概率论中独立条件下的一系列结论，正是这些结论为概率统计提供了必要的理论基础。 一般说来，对总体进行独立重复观测，便可以获得简单随机样本。 具体来说，当抽取样本容量n相对于总体数N很小时（一般) ≤ n），则连续抽 N 10 1 取n个个体，就近似地看做一个简单随机样本。这是因为抽取的个数很小时，可认为对总体不影响或影响很小。 如果采取有放回抽样，则不必要求n相对很小。 3、什么叫大样本和小样本？它们之间的区别是否是一样本容量的大小来区分的？ 答：在样本容量固定的条件下，进行的统计推断、分析问题称为小样本问题，而在样本容量趋于无穷的条件下，进行的统计推断、分析问题称为大样本问题。 然而，众多统计推断与分析问题与统计量或样本的函数的分布相关联。能否得到有关统计量或样本的函数的分布常成为解决问题的关键。所以，大、小样本的区分常与这一分布 *该部分内容考研不作要求。
应用数理统计在服装中的运用案例 PPAP 小组 一、 专业背景介绍 服装设计与工程专业所研究的服装领域比较广泛，研究方向大致分为：服装先进制造、服装舒适性和服装产业经济。各个方向中都涉及到应用数理统计知识和方法，如：分析研究服装结构数据与人体的关系、人体体型分类与判别，服装面料各种性能评定，市场消费行为、调查问卷分析等范畴。本专业在学术研究中要求严谨科学、实事求是求实求是，结合数据处理等数理统计可以提取出更有价值的信息，有利于开展科研工作以及服装的设计、制造、销售等各个环节。 二、 相关统计知识简介 1.区间估计 参数估计方法之一，是从点估计值和抽样标准误差出发，按给定的置信水平建立包含待估计参数的置信区间。置信区间是指在某一置信水平下，样本统计值与总体参数值间误差范围。置信区间越大，置信水平越高。其中，单个正态总体的区间估计，有两个待估参数——均值和方差。其原理为：设总体X 的分布中含有一个未知参数θ。若对于给定的概率1(01)αα-<<，存在两个统计量1112(,,,)n X X X θθ= 与2212(,,,)n X X X θθ= ，使得12{}1P θθθα<<=-，则随机区间12(,)θθ称为参数θ的置信水平为1α-的置信区间。案例1运用的是正态总体σ2未知时，均值μ的区间估计，以及正态总体μ未知，σ2的区间估计，证明过程见书本105-106页。 2.假设检验 又称统计假设检验，是一种基本的统计推断形式，也是数理统计学的一个重要的分支。其基本任务是根据样本所提供的信息，对未知总体分布的某些方面（常见如总体均值、总体方差、总体分布参数、总体分布本身等）的假设作出合理的判断。其基本原理是先对总体的特征作出某种假设，然后通过抽样研究的统计推理，对此假设应该被拒绝还是接受作出推断。具体作法是：根据问题的需要对所研究的总体作某种假设，记作H0；选取合适的统计量，这个统计量的选取要使得在假设H0成立时，其分布为已知；由实测的样本，计算出统计量的值，并根据预先给定的显著性水平进行检验，作出拒绝或接受假设H0的判断。常用的假设检验方法有u 检验法、t 检验法、χ2检验法(卡方检验)、F —检验法，秩和检验等。案例1所涉及到的是一个正态总体方差σ2为未知时均值μ的检验，运用t 检验法，推导过程见书本129-132页。
例题解析（1） 例1设随机变量X 和Y 相互独立，),(~),,(~2 2 2211σμσμN Y N X 。1621,,,X X X Λ是X 的一个样本，1021,,,Y Y Y Λ是Y 的一个样本，测得数据 ∑∑∑∑========10 1 2 10 1 16 1 2 16 1 72,18,563,84i i i i i i i i y y x x （1）分别求21,μμ的矩估计量；（2）分别求2 221σσ，的极大似然估计值； （3）在显著水平05.0=α下检验假设 22210σσ≤：H ，2 2211σσ>：H 。 解 （1）用样本一阶原点矩估计总体一阶矩，即得1μ和2μ的矩估计值： 8.1101?,25.5161?10 1 21611=====∑∑==i i i i y x x μμ 。 （2）正态总体),(~2σμN X 的参数2σ的极大似然估计量为 ∑=-==n i i X X n 1 22 )(1?σ。因此2 221σσ和的极大似然估计值为 625.716161)(161?1611222 21 =?? ? ??-=-=∑∑==i n i i i x x x x σ 96.316101)(101?1011222 22 =?? ? ??-=-==∑∑==i n i i i y y y y σ （3）是21,μμ未知，双总体方差的假设检验。待检假设2 2210σσ≤：H ； 2 2211σσ>：H ，是在05.0=α下的单侧检验。 因为4.4)(91,31.8)(1511 21221221 =-==-=∑∑==n i n i i y y S x x S &。所以F 同机量得 值 847.14.415 .822 21===S S F 查F 分布表，得01.391505 .0=），（F .经比较知，01.3)9,15(847.105.0=<=F F ，故接 受0H ，认为2 221σσ不比大。
第五章 数理统计的基本概念 一. 填空题 1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2 ), 且随机变量)1(~) (22 1 χ∑==n i i X C Y , 则常数 C=___. 解. ∑=n i i X 1 ~ N(0, n σ2 ), )1,0(~1 N n X n i i σ ∑= 所以 2 1,1σ σ n c n c = = . 2. 设X 1, X 2, X 3, X 4来自正态总体N(0, 22)的样本, 且2 43221)43()2(X X b X X a Y -+-=, 则a = ______, b = ______时, Y 服从χ2分布, 自由度为______. 解. X 1－2X 2～N(0, 20), 3X 3－4X 4～N(0, 100) )1,0(~2022 1N X X -, )1,0(~1004343N X X - 20 1 ,20 1 = = a a ; 100 1,100 1 = = b b . Y 为自由度2的χ2分布. 3. 设X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n)的分布, 则._____)(______,)(==X D X E 解. 因为X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n), 所以 E(X i ) = n, D(X i ) = 2n (i = 1, 2, …, n) ,)(n X E = 22) ()(2 2 1=?= =∑=n n n n X D X D n i i 二. 单项选择题 1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2 )的样本, 则样本二阶原点矩∑==n i i X n A 1 2 21的方差为 (A) σ2 (B) n 2 σ (C) n 42σ (D) n 4 σ 解. X 1, X 2, …, X n 来自总体N(0, σ2), 所以
实例1 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润. 每张彩票平均能得到奖金 05512()10000500001010 E X p =?+?++? 0.5(),=元 每张彩票平均可赚20.50.3 1.2(),--=元 因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为：100000 1.2120000().?=元 实例2 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资? 解：设 X 为投资利润，则 ()80.320.71(),E X =?-?=万元 存入银行的利息:1050.5(),%?=万元故应选择投资. 实例3 商店的销售策略 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式，记使用寿命为X （以年计），规定 1,1500;12,2000;23,2500;3,3000.X X X X ≤<≤<≤>一台付款元一台付款元一台付款元一台付款元 10,1e ,0,()100, 0.x X x f x x Y -?>?=??≤? 设寿命服从指数分布概率密度为 试求该商店一台家用电器收费的数学期望
解：1 1001{1}e d 10 x P X x -≤=?0.11e -=-0.0952,= 21011{12}e d 10 x P X x -<≤=?0.10.2e e --=-0.0861,= 31021{23}e d 10 x P X x -<≤=?0.20.3e e 0.0779,--=-= 1031{3}e d 10x P X x +∞->=?0.3e 0.7408.-== Y 因而一台收费的分布律为 ()2732.15,E Y =得2732.15.即平均一台家用电器收费元 例1 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候? 解： 令),260,2,1(01 =? ??=k k k X K 个分机不要用外线第个分机要用外线第，26021,,,X X X 是260个相互独立的随机变量，且04.0)(=i X E ，26021X X X m +++= 表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的x 使%95}{≥
有色金属中稀土元素的化学分析 发表时间：2018-12-20T09:25:25.597Z 来源：《基层建设》2018年第33期作者：赵芳 [导读] 摘要：稀土元素作为工业合金的必要元素，其稳定性和结构功能会对合金本身的性能产生很大的影响，为了有效的提高有色金属的使用性能，必须对有色金属中的稀土元素进行化学分析，对其性能进行稳定的控制，本文主要分析了有色金属中稀土元素的作用，并对进一步提有色金属稀土元素的分析和应用进行了阐述。 西藏玉龙铜业股份公司 854000 摘要：稀土元素作为工业合金的必要元素，其稳定性和结构功能会对合金本身的性能产生很大的影响，为了有效的提高有色金属的使用性能，必须对有色金属中的稀土元素进行化学分析，对其性能进行稳定的控制，本文主要分析了有色金属中稀土元素的作用，并对进一步提有色金属稀土元素的分析和应用进行了阐述。 关键词：有色金属；稀土元素；化学分析 有色金属中的稀土元素在化学领域应用广泛，为了提高合金的稳定性和结构功能性，必须要对稀土元素中的各项元素进行化学分析，以进一步提升合金的性能，稀土元素的引入能够降低合金中的氢含量，改变金属的耐高温氧化性和耐腐蚀性提升合金表面张力，通过与金属杂质发生作用，析出的化合物能够有效提升合金的刚度，减少裂缝现象的出现，但是在当前的研究过程当中，稀土元素应用仍然存在着一定的问题需要解决。 一、有色金属中稀土元素的作用 1.稀土元素可以降低氢的含量 当氢融入到液态金属中时，会以原子态的形式在有色金属当中存在，所以为了减少原子形态对有色金属本身产生的影响，必须要引入稀土元素，稀土元素中稀土元素能够有效降低铝和其合金中氢的含量，研究表明通过有色金属中加入适当的稀土元素，能够有效降低轻的含量，减少裂纹的产生，增强有色金属的材料性能，减少工程事故的出现。 2.稀土元素能够改变有色金属中杂质的存在状态 由于有色金属中存在很多杂质，那么利用稀土元素可以充分的与这些杂质金属进行反应，形成不同的化合物，因此改变部分金属的固溶方式，降低金属的电阻率，同时稀土元素和非金属元素能够通过化学反应来形成熔点较高的化合物，细化其中的有色金属晶粒网络结构，形成稳定的高熔点的化合物，进一步提升有色金属的综合性能。稀土元素与金属杂质发生作用是能够有效的改变产品的库容存在方式，强化合金的效果，稀土元素与金属杂质之间发生的化学反应生成物熔点较高，从而使得机体的整体熔点升高，它能够使得枝晶网络和晶粒网络变细，稀土元素能够有效的降低块状物的存在，添加稀土混合物能够使氧元素和氢元素明显减少，降低合金中杂质的含量。 3.改变金属表面张力 当稀土元素融入合金，是能够有效降低机体表面张力，提高合金的成型性和主导性，对于金属合金性能进行衡量时，通常以金属的成型性和主导性为指标，当适量的稀土元素融入到铝和铝合金中时，可以有效的降低合金表面张力，提升金属的性能，减少金属裂缝现象的出现 4.改变有色金属及合金耐高温氧化和耐腐蚀性 在有色金属中，特别是铝中，通过加入多种混合的稀土，与没有加入稀土的铝相比，在海水中合金的耐腐蚀性和耐高温氧化性都有所增强，由此表明将适当的稀土化合物混入到有色金属合金当中，可以有效的改善金属和合金的耐腐蚀性和耐高温氧化性，以提升合金的性能。 二、有色金属中稀土元素的化学应用 1.铝合金 在铝合金中通过与稀土元素的混合，采用电化学测试方法，将25%的氢氧化钾溶液作为稀土元素化学分析的介质，同时利用金属箔作为辅助性电极进行实验，放置在电化学溶液中，利用丙醇去除电机铝合金表面覆盖的化学反应物，可以发现到稀土元素加入到铝合金中时的活性降低，不易与溶液中的稀土元素发生反应的抗腐蚀性能得到了提升，同时稀土元素能够对铝合金的放电现象进行抑制，使其在强碱笥溶液中具有较好的稳定性。通过实验可以发现，稀土元素能够有效的强化铝合金的性能，提高铝合金的稳定性，能够对铝合金的综合性能进行全面的提升，并且加入稀土元素以后能够让铝参加化学反应并由此产生氯化合物，这些化合物从铝合金中析出时，能够有效的提高铝合金的纯度和强度，稀土元素能够单独对铝合金起到强化和净化的作用，目前在工业生产中，铝合金稀土元素的化学应用在许多方面都应用广泛。 2.铜合金 在铜合金中，来信元素应用较广其中蓝颜的利用频率较多，它能够提高铜金属的耐腐蚀性，所以可以选择硝酸溶液作为反应溶液，利用点滴的方式来研究稀土元素在铜合金中的反应，利用硝酸溶液进行提纯，在保证试验温度和恒温的状况下获取强度转化膜，利用SEM手段分析转化膜元素的性能，这类合金通常体现为铜离子和镧系元素的共同化合物，耐腐蚀性强，能够有效的保护合金的内部构造不受损坏，实验表明，稀土的添加能够有效的提升合金的耐腐蚀性，特别是铜合金中，对于稀土元素的利用较广，所以在大电流和高压的双重作用下，可采用稀土铜合金来铸造。 3.镁合金 在镁合金中加入适量的稀土元素，可以有效的去除氢氧硫铁等杂质，对熔体具有较好的净化作用，增强镁合金的稳定性，使其具有更高的强度和延展性，当前在我国的汽车和航天事业当中，镁合金应用较广，能够有效的保证生产出来的产品具有较好的稳定性，同时在高温高压化的环境下不易发生反应，镁合金的高延展性为我国汽车和航天事业提供了更好的材料支持，这对于我国航空航天事业的进一步发展也是十分有利的。 4.钨合金 钨合金由于具有较好的耐高温和稳定性，在很多行业当中都有所应用，通过在钨合金当中引入稀土元素可以进一步提升合金的强度和延展性，稀土元素能够进一步细化为元素内部的晶粒，对于钨铜合金的电触头材料，钨铜合金具有较好的耐压性和耐电烧蚀性，但由于结合力较差，或者由于局部性能分布不均匀，容易产生腐蚀事故，针对这种状况，可以将稀土元素适量插入其中，稀土元素深入到合金的内