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高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案)

§2.3 函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数,关于y 轴对称

奇函数,如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数,关于原点对称 2.周期性

(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．

( × ) (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． ( √ ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．

( √ ) (4)若函数f (x )＝x

(x －2)(x ＋a )

为奇函数，则a ＝2.

( √ )

(5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0. ( √ )

2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1

x ，则f (－1)等于( )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

答案 A

解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2.

3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是

( )

A ．－13 B.13 C.12 D ．－12

答案 B

解析依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，

∴a ＝13，则a ＋b ＝13

4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于

( )

A ．－2

B ．2

C ．－98

D ．98

答案 A

解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，

∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，

∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，即f (2 015)＝－2.

5．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x

的取值范围是________．答案 (－1,0)∪(1，＋∞)

解析画草图，由f (x )为奇函数知：f (x )>0的x 的取值范围为 (－1,0)∪(1，＋∞).

题型一判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9；

(2)f (x )＝(x ＋1) 1－x

1＋x ；

(3)f (x )＝4－x 2

|x ＋3|－3

思维启迪确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．

解 (1)由?

????

9－x 2

≥0

x 2－9≥0，得x ＝±3.

∴f (x )的定义域为{－3,3}，关于原点对称．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 即f (x )＝±f (－x )．

∴f (x )既是奇函数，又是偶函数．

(2)由?????

1－x 1＋x ≥01＋x ≠0，得－1

(3)由?

????

4－x 2

≥0|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.

∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称．

∴f (x )＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2

x .

∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )是奇函数．

思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：

(2)在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数))是否成立．

判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝lg (1－x 2)

|x －2|－2；

(2)f (x )＝????

x 2

＋2(x >0)0(x ＝0)－x 2－2(x <0)

解 (1)由?

????

1－x 2>0

|x －2|－2≠0，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，

f (x )＝l

g (1－x 2)－(x －2)－2

＝－lg (1－x 2)

x .

∵f (－x )＝－lg[1－(－x )2]－x ＝－lg (1－x 2)

－x ＝－f (x )．

∴f (x )为奇函数．

(2)f (x )的定义域为R ，关于原点对称，

当x >0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )；当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )．故该函数为奇函数．题型二函数周期性的应用

例2 (1)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)等于

( )

A ．335

B ．336

C ．1 678

D ．2 012

(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1

f (x )

，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.

思维启迪 (1)f (x )的周期性已知，可以通过一个周期内函数值的变化情况求和．(2)通过题意先确定函数的周期性．答案 (1)B (2)2.5

解析 (1)利用函数的周期性和函数值的求法求解． ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6.

∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，

∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，

∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12)＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1，

∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 010

6＝335.

而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝335＋1＝336. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]

＝－1f (x ＋2)

＝－1

－1f (x )＝f (x )．

故函数的周期为4.

∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.

思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)求函数周期的方法

(1)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于

( )

A ．－1

B ．1

C ．－2

D ．2

(2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ???

?－5

2等于 ( )

A ．－12

B ．－14

C.14

D.12

答案 (1)A (2)A

解析 (1)由f (x )是R 上周期为5的奇函数知 f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2， f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.

(2)∵f (x )是周期为2的奇函数，

∴f ????－52＝f ????－52＋2＝f ????－12＝－f ???

?12 ＝－2×12×????1－12＝－12. 题型三函数性质的综合应用

例3 设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值；

(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间．

思维启迪可以先确定函数的周期性，求f (π)；然后根据函数图象的对称性、周期性画出函数图象，求图形面积、写单调区间．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，

f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π) ＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得：f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．

故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．

又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．

当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，

则S ＝4S △OAB ＝4×????12×2×1＝4. (3)函数f (x )的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1] (k ∈Z )，单调递减区间为[4k ＋1,4k ＋3] (k ∈Z )．

思维升华关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．

(1)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)

13的x 的取值

范围是

( )

A.????13，23

B.????

13，23 C.????12，23

D.????12，23

(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( ) A ．f (－25)

解析 (1)偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，

有f (2x －1)

?13，进而转化为不等式|2x －1|<1

，

解这个不等式即得x 的取值范围是????

13，23. (2)由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知， f (x )在[－2,2]上递增，

又f (x －4)＝－f (x )?f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，

f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)， f (80)＝f (0)，故f (－25)

忽视定义域致误

典例：(10分)(1)若函数f (x )＝k －2x 1＋k ·2x

在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.

(2)已知函数f (x )＝?

????

x 2

＋1，x ≥0，

1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．

易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误

由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误．

解析 (1)∵f (－x )＝k －2－

x 1＋k ·2－x ＝

k ·2x －1

2x ＋k ， ∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )

(1＋k ·2x )(2x ＋k )

＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k )

. 由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1，∴k ＝±1.

(2) 画出f (x )＝?

????

x 2＋1，x ≥0，

1，x <0的图象，

由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，

则?

????

1－x 2

>0，1－x 2

>2x ，即???

－1

得x ∈(－1，2－1)．答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)

温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域． (2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注： ①抓住对变量所在区间的讨论．

②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系． ③弄清最终结果取并还是交．

方法与技巧

1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：

(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件； (2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．

2．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

3．若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1

f (x )

或f (x ＋a )＝－1

f (x )

(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是一个周期为2a 的周期函数．失误与防范

1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．

2．判断函数f (x )是奇函数，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)．对于偶函数的判断以此类推．

3．分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性.

A 组专项基础训练

一、选择题

1．(2013·广东)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是

( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

答案 C

解析由奇函数的定义可知y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数．

2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)等于 ( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

答案 A

解析 ∵f (x )是奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ， ∴f (1)＝－f (－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3.

3．定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

<0，则( )

A ．f (3)

B ．f (1)

C ．f (－2)

D ．f (3)

答案 A

解析由题意知f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)，又x ∈[0，＋∞)时，f (x )为减函数，且3>2>1， ∴f (3)

4．定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a ?b ＝(a －b )2，则f (x )＝x

2－(x ?2)是

( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既奇又偶函数

D ．非奇非偶函数

答案 A

解析因为

x ＝4－x 2，x ?2＝(x －2)2，所以f (x )＝4－x 22－(x －2)2＝4－x 22－(2－x )＝4－x 2

x ，

该函数的定义域是[－2,0)∪(0,2]，且满足f (－x )＝－f (x )．故函数f (x )是奇函数．

5．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －

x ＋2(a >0，且a ≠1)．若

g (2)＝a ，则f (2)等于

( )

A ．2 B.15

C.17

D ．a 2

答案 B

解析 ∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数， ∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ， ∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －

2＋2，①

∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －

2－a 2＋2，②

由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －

2＝154

二、填空题

6．函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案－－x －1

解析 ∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x <0时，－x >0， f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，

即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.

7．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________. 答案 0

解析 ∵函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即(－x )2－|－x ＋a |＝x 2－|x ＋a |，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |，∴a ＝0.

8．已知函数f (x )满足：f (1)＝1

，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 015)＝________.

答案 14

解析方法一令x ＝1，y ＝0时，4f (1)·f (0)＝f (1)＋f (1)，

解得f (0)＝1

2，

令x ＝1，y ＝1时，4f (1)·f (1)＝f (2)＋f (0)，

解得f (2)＝－1

4，

令x ＝2，y ＝1时，4f (2)·f (1)＝f (3)＋f (1)，

解得f (3)＝－1

，

依次求得f (4)＝－14，f (5)＝14，f (6)＝12，f (7)＝1

，

f (8)＝－14，f (9)＝－1

2，…

可知f (x )是以6为周期的函数，

∴f (2 015)＝f (335×6＋5)＝f (5)＝1

方法二 ∵f (1)＝1

，4f (x )·f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，

∴构造符合题意的函数f (x )＝12cos π

x ，

∴f (2 015)＝12cos ????π3×2 015＝14. 三、解答题

9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；

(2)若f (x )＝x (0

有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．

(2)解由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0. x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x . 故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x . x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.

从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4. 10．已知函数f (x )＝????

－x 2

＋2x ，x >0，0，x ＝0，

x 2＋mx ，x <0是奇函数．

(1)求实数m 的值；

(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，

所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.

(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象知?

????

a －2>－1，

a －2≤1，

所以1