2013-2014学年度xx 学校xx 月考卷
1、已知全集U R =，集合{}1,2,3,4,5A =，{}|2B x x =≥，下图中阴影部分所表示的集合为
A ．{}0,1,2
B ．{}1,2
C ．{}1 C ．{}0,1 【答案】C
【解析】
试题分析：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A 中，但不在集合B 中． 又{}{}1,2,3,4,5,|2A B x R x ==∈≥, 则右图中阴影部分表示的集合是：{}1.
考点：Venn 图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算．
点评：本小题主要考查了venn 图表达集合的关系及运算、venn 图的应用等基础知识，考 查了数形结合思想，属基础题. 2、复数3
21i
z i i
=-+，在复平面上对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】C 【解析】
试题分析：因为3
22
22(1)2111i i i z i i i i i i i i
-=-
=--=--+=--+- 所以z 对应的点的坐标为()1,2--，在第三象限.
考点：复数的乘除运算
点评：本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意复数分母实数化，考查计算能力．
3、若()sin cos 0,a a a π+=
∈，则tan a =
A B ．C D ．【答案】D 【解析】
试题分析：因为2
(sin cos )1sin 21a a a +=+=
=,所以
sin 22sin cos 0a a a ==<，又()0,a π∈，所以(,)2a ππ∈.
又sin 2a =所以2
2tan sin 21tan a a a ==+，所以tan a =考点：同角函数基本关系式
点评：巧妙的运用2
2
sin cos 1a a +=是解决本题的关键，另外三角函数的符号也是本类题
型的易错点，要熟练掌握. 4、已知命题:,p x R ?∈使得1
2,x x
+
<命题2:,10q x R x x ?∈++>，下列命题为真的是
A ．p q ∧
B ．)p q ?∧
C ．()p q ∧?
D ．()()p q ?∧?
【答案】A 【解析】
试题分析：对于命题p ：当0x <，如1x =-，则1
22x x
+
=-<，所以命题p 是真命题，则p -是假命题，对于q ，1430?=-=-<，所以不等式2
10x x ++>解集为R ,
所以
命题q 是真命题，命题q ?是假命题，所以p q ∧为真命题，选A. 考点：复合命题的真假
点评：本题借助不等式知识考查命题真假性，关键是判断已知不等式是否成立，属基础题. 5、某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积为
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】A
【解析】
试题分析：由三视图的侧视图和俯视图可知：三棱锥的一个侧面垂直底面，
=11
6232
?
???=考点：由三视图求面积、体积
点评：本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力，属基础题.
6、已知ABC ?中，45C =?，a =
，22
sin sin sin A B A B =，则c =
A ．
14
B ．
12
C D ．
34
【答案】B 【解析】
试题分析：因为2222
sin sin sin A B A B a b =?= ，
由余弦定理得2
2
2
2
2
2
12cos 24
c a b ab C a b a =+-=+==， 所以12
c =
. 考点：正弦定理 余弦定理
点评：本题考查利用正弦定理进行边角互化，属基础题.
7、如图是计算函数ln(),2,0,23,2,3x x x y x x ?-≤-?
=-<≤??>?
的值的程序框图，在①、②、③处分别应填入的
是
A ．()ln ,0,2x
y x y y =-==
B ．()0,2,ln x
y y y x ===-
C ．()ln ,2,0x
y x y y =-==
D ．()0,ln ,2x
y y x y ==-=
【答案】B 【解析】
试题分析：由条件结构及分段函数解析式知，②填2x
y =，①填0y = ③填()ln y x =-.
考点：条件结构
点评：本题根据条件结构的执行顺序，结合分段函数的定义可以迅速解题，属基础题. 8、已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()
0a c b c -?-=，则c 的最大值是
A ．1
B ．
2
C ．2
D 【答案】D 【解析】
试题分析：因为1,0a b a b ==?=，又
()()()
2
0a c b c c
c a b -?-=?=?+cos c a b θ?=+=，所以c 的最大值为
考点：平面向量的数量积的坐标表示、模、夹角
点评：本题的关键是充分利用已知条件和数量积的性质，借助向量模的性质得到要求向量模的最大值.
9、已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ?是正三角形，AD ⊥平面ABC ，
26AD AB == 则该球的表面积为
A ．16π
B ．24π
C ．
D ．48π
【答案】C
【解析】 试题分析：
由题意画出几何体的图形如图：
把,,,A B C D 扩展为三棱锥，
上下地面中心连线的中点与A 的距离为球的半径， 2 6.3,AD AB OE ABC ===?是正三角形，
所以AE ==AO ==
所以球的体积为(343
=. 考点：球的体积和表面积 棱锥的结构特征 球内接多面体
点评：本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出的半径是解题的关键.
103)n
x
+的展开式中，各项系数之和为M ，各项二项式系数之和为N ，且
72M N +=，则展开式中常数项的值为
A ．18
B ．12
C ．9
D ．6
【答案】C 【解析】
试题分析：由二项展开式的性质可得4,2n n M N ==，所以4272n n
M N +=+=
所以3n =3)n x
+的展开式的通项为133333()32
r
r
r r r r r T C C x x -+-==， 令
3302
r
-=可得1r =，所以常数项为323139T C == 考点：二项式系数的性质
点评：本题考查了二项展开式的通项在求解二项展开式的指定项中的应用，解题的关键是利用二项式的性质得出,M N 的值.
11、已知函数()sin cos (0)f x x x ωωω=+>，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x ，都有11()()(2012)f x f x f x ≤≤+成立，则ω的最小值为 A ．
1
2012
B ．
2012
π
C ．
1
4024
D ．
4024
π
【答案】B 【解析】
试题分析：()sin cos )24
f x x x x π
ωωω=+=
+,对任意的实数x ，都有()()()112012f x f x f x ≤≤+成立，所以()1f x ，()12012f x +分别为函数的最小值和
最
大值.要使得2T πω=最小，只要周期最大，当20122
T
=,即4024T =时，周期最大， 此时22012
T ππω=
=. 考点：两角和与差的正弦函数 正弦函数的单调性
点评：本题目主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，三角函数的性质的应用，周期公式
的应用，解题的关键是要由()()()112012f x f x f x ≤≤+成立得到()1f x ，
()12012f x +分别为函数的最小值和最大值，属于中档题．
12、过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点A 作斜率为一1的直线，该直线与双曲
线的两条渐近线的交点分别为,B C ，若,,A B C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离
心率为
A B C D 【答案】C
【解析】
试题分析：过A 斜率为一1的直线方程y x a =-+，渐近线方程为
0x y
a b
±=，交点,B C 横坐标分别为22
,a a a b a b
+-，A 点的横坐标为a ，,,A B C 三点的横坐标成等比数列，
所以
222
()a a a a b a b
?=+-，所以3a b =，所以c =，故e 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．
13、已知函数,x y 满足490103x y x y y +-≥??
--≤??≤?
，则3z x y =-的最大值是 。
【答案】-1 【解析】
试题分析：
先画出可行域，作0:30l x y -=，平移0l 经过可行域()2,1点处，z 最大，最大值为-1 考点：简单线性规划的应用
点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．
14、已知圆22:()()8(0)C x a y b ab -+-=>过坐标原点，则圆心C 到直线:1x y l b a
+=距离的最小值等于 ．
【解析】
试题分析：因为圆22:()()8(0)C x a y b ab -+-=>过坐标原点， 所以2
2
82a b ab +=≥，所以4ab ≤，又因为圆(),C a b 到直线:
1x y
l b a
+=即直线 0ax by ab +-=
的距离e =
≥
=C 到直线:
1x y l b a
+=
考点：点到直线的距离公式 圆的标准方程
点评：本题考查的知识点是点到直线的距离公式，圆的标准方程，其中熟练掌握点到直线距离公式，是解答本题的关键.
15、已知函数()f x 是∞∞(-,+)上的奇函数，且()f x 的图象关于直线1x =对称，当
[]1,0x ∈-时，()1
1()2
x f x =-，(2012)(2013)f f += ．
【答案】1 【解析】
试题分析：因为()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()11f x f x +=-+ ， 所以 ()()2f x f x =-+,又()()f x f x =--，所以 ()()2f x f x -=--+ 所以()()2f x f x =-+ ，所以()()24f x f x +=-+，故()()4f x f x =+. 所以()()()()0
1
11(2012)(2013)01011()[1()]122
f f f f f f -+=+=--=---=
考点：函数的奇偶性 周期性 对称性
点评：解决本题的关键是从对称性入手，逐步代换得出函数的周期，从而达到求值的目的. 16、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概
率是 ．
【答案】
16
【解析】
试题分析：根据题意，正方形OABC 的面积为111?=
而阴影部分由函数y x =
与y
围成，其面积为)
32
1
120021
()|326x x dx x =-=?， 则正方形OABC 中任取一点P,点P 取自阴影部分的概率为1
1
616
=.
则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为 考点：定积分在求面积中的应用 几何概型
点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.
17、已知数列{}n a 中121,4a a ==，满足215233
n n n a a a ++=
- （I ）设1n n n b a a +=-，求证数列{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式． 【答案】（I ）{}n b 是首项为3，公比为
23的等比数列 （Ⅱ）12
109().3
n n a -=-
【解析】
试题分析：（Ⅰ）递推公式可化为2112()3n n n n a a a a +++-=-，即12
3
n n b b +=.
又1213b a a =-=，
所以数列{}n b 是首项为3，公比为2
3的等比数列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，123()3n n b -=，所以112
3().3
n n n a a -+-=
12132431()()()()n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-++-
22222
133()3()3()333n -=+++++
1
121()2313109().2313
n n
---=+=--
考点：等比关系的确定；数列递推式．
点评：本题主要考查等比数列的证明和求数列的通项公式，考查基础知识的综合运用． 18、某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成6组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图中的信息，回答下列问题．
(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ)根据频率分布直方图，估计本次考试的平均分；
(Ⅲ)若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[)40,70记0分，记[]70,100记1分，用X 表示抽取结束后的总记分，求X 的分布列和数学期望。 【答案】(Ⅰ)0.3 (Ⅱ)71 (Ⅲ) X 的分布列为：
46144105354012295295295295
EX =?
+?+?= 【解析】
试题分析：（Ⅰ）设分数在[)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图， 则有(0.010.01520.0250.005)101x ?++?+=＋
，可得0.3x =." 所以频率分布直方图如图所示：
（Ⅱ）平均分为：450.1550.15650.15750.3850.25950.05x =?+?+?+?+?+? 71.=
（Ⅲ）学生成绩在[40,70)的有0.4×60=24人，在[70,100]的有0.6×60=36人， 且X 的可能取值是0，1，2．
则2
2426046(0)295C P X C ===，112436260144(1)295C C P X C ===，236260105
(2)295C P X C ===．
所以X 的分布列为：
所以46144105354012295295295295
EX =?
+?+?=． 考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数
点评：本题主要考查了频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识，属于中档题．
19、如图。在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA == ，
90ABC ∠=?，M 是BC 中点。
（I ）求证：1A B 平面1AMC ；
（II ）求直线1CC 与平面1AMC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）试问：在棱11A B 上是否存在点N ，使AN 与1MC 成角60?？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由。
【答案】（I ）由线线平行证得线面平行 （II ）
2
3
（Ⅲ）()0,1,1N .在棱11A B 上存在棱11A B 的中点N ，使AN 与1MC 成角60?.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）连接1A C 交1AC 于O ,连接OM .在三角形1A BC 中，
OM 是三角形1A BC 的中位线，
所以OM ∥1A B ,
又因OM ?平面1AMC ，
所以OM ∥平面1AMC . ……………4分
（Ⅱ）（法一）设直线1CC 与平面1AMC 所成角为θ，
C 点到平面1AMC 的距离为h ，不妨设11AA =，则
=2AB BC =，
因为1
113C AMC AMC V S
CC -=?,112
2133C AMC V -=??=， 所以11121
33
C AMC C AMC AMC V V S h --===?. ……………
因为113,AM AC MC ==，
所以1cos C AM ∠=
=
,1sin C AM ∠=
.
1
11332AMC S
C AM =
?∠==. 1121
33
C AMC AMC V S h h -==?=，
23h =，2
sin 3
θ=.
（法二）如图以BC 所在的直线为x 轴, 以BA 所在的直线为y 轴, 以1BB 所在的直
线为z 轴，以1BB 的长度为单位长度建立空间直角坐标系.
则(0,0,0)B ,(2,0,0)C ,(0,2,0)A ,(1,0,0)M ，1(2,0,1)C ,1(0,1,0)B ,.设直线1CC 与平面1AMC 所成角为θ，平面1AMC 的法向量为(),,n x y z =.则有
1(0,0,1)CC =,(1,2,0)AM =-,1(1,0,1)C M =--，
100C M AM ??=??
?=??，，n n 200.x y x z -=???--=?
，
令2x =,得(2,1,2)=-n ， 设直线1CC 与平面1AMC 所成角为θ， 则122
sin cos ,33
CC θ-=<>=
=n . （Ⅲ）假设直线11A B 上存在点N ，使AN 与1MC 成角为60.设(0,,1)N b ，则
(0,2,1)AN b =-，1(1,0,1)MC =.设其夹角为α
，所以，1cos 2α=
=
=
，
1
2
=
，21b =?=或3b =（舍去），故(0,1,1)N .所以在棱11A B 上存在棱
11A B 的中点N ，使AN 与1MC 成角
60
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
点评：此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面垂直的判断，第一问此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，难度比较大，计算要仔细．
20、已知椭圆C 的方程为22
2
221(0),x y a b a b
+=>>左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，
点M 是椭圆C 上一点，满足1260F MF ∠=?
，且1F MF S ?=.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点()0,2P 分别作直线PA ，PB 交椭圆C 于A ，B 两点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，且124k k +=，求证：直线AB 过定点，并求出直线AB 的斜率k 的取值范围。
【答案】（Ⅰ）22
184x y +=（Ⅱ）0k ≥或47k ≤-.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）在
12F MF 中,设11F M r =,22F M r =,由余弦定理得
222121242cos60c r r rr ?
=+-，
即221212124()22cos60c r r r r r r ?=+--，即2212124()3c r r r r =+-，得21234r r b =.
又因为12121s 602F MF S r r in ??=
=1216
3
rr =，24b =， 又因为24,c =所以2228a b c =+=，
所以所求椭圆的方程为22
184
x y +=.
（Ⅱ）显然直线AB 的斜率k 存在，设直线方程为y kx m =+，1122(,),(,)A x y B x y ，
由22
,28
y kx m x y =+??+=?得222()8x kx m ++=，即222(21)4280k x kmx m +++-=， 2
2
2
(4)4(21)(28)0km k m ?=-+-≥，1224,21km x x k -+=+21222(4)
21
m x x k -=
+， 由124k k +=得，
1212
22
4y y x x --+=，又11y kx m =+，22y kx m =+，
则
1212224kx m kx m x x +-+-+=，1212
(2)()
24m x x k x x -++=， 2224(2)212422(4)21km
m k k m k m k --++
=?=--+，
那么2(1)2y kx m y kx k y k x =+?=+-?=+-， 则直线AB 过定点(1,2)--. 因为222(4)4(21)(28)0km k m ?=-+-≥，2m k =-，
222[4(2)]4(21)[2(2)8]0k k k k --+--≥，22224(2)(21)(28)0k k k k k --+-≥， 22222(2)(21)(4)0k k k k k --+-≥，22[2(2)(21)(4)]0k k k k k --+-≥，
(74)0k k +≥，所以0k ≥或4
7
k ≤-.
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题综合性强，要求学生要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用 21、已知函数2()ln(1)(0)'(0) 2.f x x f x f x =+--+ （1）求()f x 的解析式及减区间； （2）若()2
f x x ax b ≤++，求
3
2
b a -+的最小值。 【答案】（1）2()ln(1)22f x x x x =+-++
，(,（2）最小值为1e -. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）令0x = 得2)0(=f ， 1
'()23'(0)1
f x f x x =
--+，所以'(0)1f =-， ∴2()ln(1)22f x x x x =+-++，
2121
'()2211
x f x x
x -=+-=
++， 由'()0f x <
得x <<，∴()f x 的减区间为(,. （Ⅱ）由题意 22ln(1)22x x x x ax b +-++≤++，
∴2ln(1)(2)b x a x -≥+-+，
设()ln(1)(2)g x x a x =+-+， 1
()(2)1
g x a x '=-++. 当20a +≤时，()0g x '>恒成立，()g x 无最大值；
当20a +>时，由()0g x '>得1112x a -<<
-+，()0g x '<得1
12
x a >-+. ∴()g x 在1(1,1)2a --+上为增函数，在1(1,)2a -+∞+上为减函数.
∴1()(1)1ln(2)2g x g a a a ≤-=+-++，∴21ln(2)b a a -≥+-+， ∴3ln(2)222
b a a a a a -+≥-+++， 设ln(2)
()22
a a h a a a +=
-
++，21ln(2)'()(2)a h a a ++=+， 由'()0h a >得12e a >-，'()0h a <得1
22e
a -<<-，
∴1()(2)1e e h a h -=-≥，所以32
b a -+的最小值为1e -. . 考点：导数 函数的性质
点评：本题关键是先利用代入法求出()0f ，第二问中关键是合理构造函数，利用函数单调性求出函数的最值.
22、在ABC ?的边,,AB BC CA 上分别取,,D E F ．使得,DE BE FE CE ==，又点O 是
ADF ?的外心。
（Ⅰ）证明：,,,0D E F 四点共圆； （Ⅱ）证明：O 在DEF ∠的平分线上．
【答案】（Ⅰ）由角间的关系可以证明 （Ⅱ）由角相等来证明 【解析】试题分析：（Ⅰ） 如图，
()()180180218021802DEF B C A ∠=?-?-∠-?-∠=?-∠∠．
因此A ∠是锐角，
从而ADF ?的外心与顶点A 在DF 的同侧， 2180DOF A DEF ∠=∠=?-∠．
因此,,,0D E F 四点共圆．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DEO DFO FDO FEO ∠=∠=∠=∠， 即O 在DEF ∠的平分线上． 考点：四点共圆 确定圆的条件
点评：本题主要考查了四点共圆，勾股定理，全等三角形的性质和判定，确定圆的条件等知识点，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键. 23、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos ,
2sin x t y t αα
=+??
=+?（t 为参数）在极坐标系
（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位。且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin .ρθ=
（I ）求圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点A ，B ．若点P 的坐标为()1,2,求||||PA PB +的最小值． 【答案】（I ）22(3)9x y +-=
（Ⅱ）
【解析】
试题分析：由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，
即22(3)9x y +-=..
（Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=.
由2(2cos 2sin )470αα?=-+?>，故可设12,t t 是上述方程的两根，
所以1
212
2(cos sin ),
7,t t t t αα+=--???=-?又直线l 过点(1,2)，故结合t 的几何意义得
1212||||||||||PA PB t t t t +=+=-
=
所以||||PA PB +
的最小值为
考点：点的极坐标和直角坐标的互化；极坐标系．
点评：本题主要考查曲线的参数方程与极坐标方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想，属于基础题． 24、选修4—5：不等式选讲 设函数()2|2| 5.f x x x =--+ （I ）求函数()f x 的最小值m ；
（II ）若不等式|||2|x a x m -++≥恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（I ）(2) 3.m f == （II ）1a ≥或5a ≤- 【解析】
试题分析：（Ⅰ）1,(2)
()2|2|539,(2)x x f x x x x x +?=--+=?-+
≥
显然，函数()f x 在区间(,2)-∞上单调递减，在区间[2,)+∞上单调递增，
所以函数()f x 的最小值(2) 3.m f == （Ⅱ）由（Ⅰ）知3m =，|||2|3x a x -++≥恒成立，
由于|||2||()(2)||2|x a x x a x a -++--+=+≥，
等号当且仅当()(2)0x a x -+≤时成立，故|2|3a +≥，解之得1a ≥或 5.a -≤ 所以实数a 的取值范围为1a ≥或 5.a -≤
考点：函数的最值 不等式恒成立
点评：利用绝对值的性质化简函数，是求函数最值得关键,属中档题.