149
＝（10×10×…×10）＝1017
17个10 15.1同底数的幂相乘
[教学目标] 1、理解同底数幂的乘法法则，掌握其公式的运用；2、通过由特殊到一般的推导过程，培养学生的猜想、归纳和表达能力。
[重点难点]同底数幂的乘法公式及其运用是重点；理解同底数幂的乘法公式是难点。
展示目标：1.同底数幂的乘法法则---------------------
2.计算 1014×103
[教学过程]
一、情景导入
一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
可进行1014×103次运算.
如何计算1012×103呢？根据乘方的意义可知
容易知道1012×103是同底数的幂相乘。上面的计算有没有规律呢？
二、同底数幂的乘法法则
探究：根据乘方的意义填空：
（1）25×22＝2（ ）；
（2）a 3·a 2＝a （ ）；
（3）5m ·5n ＝5（ ）（m 、n 都是正整数）。
你发现了什么？
这三个式子都是同底数的幂相乘；相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 一般地，对于任意底数a 与任意正整数m 、n ，a m ·a n 的幂是多少呢？
因此，我们有a m ·a n =a m+n (m 、n 都是正整数)
用语言叙述是：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
三、例题
例1 计算：
（1）x 2·x 5 （2）a·a 6 （3）2×24×23 （4）x m ·x 3m+1
分析：式子表示什么运算？结果是多少？
解：（1）x 2·x 5=x 2+5=x 7．
（2）a·a 6=a 1·a 6=a 1+6=a 7．
（3）2×24×23=21+4·23=25·23=25+3=28．
（4）x m ·x 3m+1=x m+(3m+1)=x 4m+1．
1014×103＝（10×…×10）×（10×10×10）
1410 a m ×a n ＝（aa …a ）（aa …a ）= aa …a =a m+n
m 个a
n 个a 个a
注意：a＝a1。指数1一般省略不写。
例2 计算（1）a m·a n·a p; （2）－a·(-a)3;
(3)27·3n; (4)(a-b)2(a-b)3.
分析：式子可以看成什么运算？结果是多少？
解：（1）a m·a n·a p=（a m·a n）·a p
=a m+n·a p=a m+n+p；
（2）－a·(-a)3＝(-a)1＋3(-a)4＝a4；
或－a·(-a)3＝a·a3＝a4；
(3)27·3n＝33·3n＝233＋n；
(4)(a-b)2(a-b)3＝(a-b)2＋3＝(a-b)5.
反思：①要注意有些形式上不是同底数幂的乘法可以转化为同底数幂的乘法来计算；②（1）的结果说明了什么？
四、课堂练习
课本142面练习（1）－（4）题。
五、课堂小结
这节课我们学习了一些什么知识？
探讨了同底数幂的运算法则；运用同底数幂的运算法则进行计算。
运用同底数幂的运算法则进行计算时要注意：必须是同底数的幂才能相乘；结果是底数不变，指数相加.
作业：
149面8题。
15.2－3 幂的乘方和积的乘方
[教学目标]经历探索幂的乘方与积的乘方运算性质的过程，理解和掌握幂的乘方和积的乘方法则，并会运用它们进行熟练的计算。
[重点难点]幂的乘方和积的乘方的计算是重点；正确地运用幂的乘方和积的乘方法则是难点。
展示目标：
（1）32表示_____个_____相乘；（2）(32)3表示_____个_____相乘；
（3）a2表示_____个_____相乘；（4）(a2)3表示______个_____相乘；
（5）a m表示个相乘；（6）（a m）3表示个相乘。
式子(32)3、(a2)3、（a m）3有什么共同特点？都是幂的乘方.
二、幂的乘方
（一）幂的乘方法则
探究1根据乘方的意义填空：
（1）（32）3=32×32×32=3（）；
（2）（a2）3=a2×a2×a2=a（）；
（3）（a m）3=a m×a m×a m=a（）.
从计算中你发现了什么？
幂的乘方的结果是底数没有变，指数相乘。
（a m）n等于什么？
150
n个m
（a m）n =a m a m…a m= a m+m+…=a mn
n个a m
即（a m）n =a mn(m、n是正整数).
上面的结论用语言表达是：幂的乘方,底数不变,指数相乘。
（二）例题
例1 计算：（1）（103）5；（2）（a4）4;
（3）（a m）2; （4）－（x4）3.
分析：式子表示什么意义？结果是多少？理由是什么？
解：（1）（103）5＝103×5＝1015；
（2）（a4）4＝a4×4＝a16；
（3）（a m）2＝10m×2＝a2m；
（4）－（x4）3＝－x4×3＝－x12.
三、积的乘方
（一）积的乘方法则
探究2填空：
（1）（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( )；
（2）（ab）3=______=_______=a( )b( )
（3）（ab）n=______=______=a( )b( )（n是正整数）
（ab）2、（ab）3、（ab）n表示什么运算？从上面的计算中你发现了什么规律？
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
用符号语言表达是：a n·b n=（ab）n（n为正整数）
（二）例题
例2 计算：
（1）（2a）3；（2）（-5b）3；
（3）（xy2）2；（4）（-2x3）4。
分析：式子表示什么意义？由积的乘方法则可得到什么？
解：（1）（2a）3=23·a3=8a3．
（2）（-5b）3=（-5）3·b3=-125b3．
（3）（xy2）2=x2·（y2）2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4．
（4）（-2x3）4=（-2）4·（x3）4=16·x3×4=16x12．
四、课堂练习
课本143面练习；144面练习。
五、课堂小结
这节课学习了什么内容？
1、幂的乘方法则是什么？用符号怎么表达？
2、积的乘方法则是什么？用符号怎么表达？
3、幂的乘方与积的乘方的计算。
在计算过程中，要注意同底数的幂相乘、幂的乘方和积的乘方的区别，以免混淆出错。
作业：
课本148面1、2。
151
15.1 整式的乘法（一）
[教学目标]探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并会运用它们进行计算．
[重点难点]单项式与单项式、单项式与多项式的乘法是重点；单项式与多项式相乘去括号法则的应用是难点。
[教学过程]
一、情景导入
光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米．
怎样计算(3×105)×(5×102)呢？
二、单项式与单项式相乘
（一）单项式乘法法则
根据乘法的交换律和结合律有
(3×105)×(5×102)=(3×5)×(105×102)=15×107.
思考：如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，这是什么运算？怎样计算这个式子呢?
ac5·bc2=(a·c5)·(b·c2)
=(a·b)·(c5·c2)（乘法交换律和结合律）
=abc5+2（同底数的幂相乘）
=abc7
类似地，请你试着计算：(-5a2b3)·(4b2c)
上面都是单项式乘以单项式，总结一下，怎样进行单项式乘法？
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
（二）例1计算：
（1）（－5a2b）（－3a）；（2）（2x）3（－5xy2）。
分析：（1）、（2）是什么运算？怎样进行这样的计算？
解：（1）（－5a2b）（－3a）=[（-5）×（-3）]（a2·a）b
=15a3b。
（2）（2x）3（－5xy2）=8 x3·（-5）·xy2
=[8 ×（-5）]（x3·x）y2
= -40x4y2
注意：系数相乘时要注意积的符号；先乘方再相乘。
思考：课本145面练习2题。
三、单项式与多项式相乘
（一）单项式乘多项式法则
看下面的问题：
三家连锁店以相同的价格m（单位：元/瓶）销售某种新商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a、b、c，你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？
方法一：先分别求三家连锁店的收入，总收入为ma+mb+mc。
方法二：先求三家连锁店的总销量，总收入为m（a+b+c）。
152
显然，m（a+b+c）=ma+mb+mc。
从运算的角度来说，这个式子表示什么？它有什么特点？
这个式子表示乘法分配律；这个式子左边是单项式乘以多项式，右边是单项式的和。
请你试着计算：2a2·（3a2－5b）。
从上面解决的两个问题中，总结一下，怎样将单项式与多项式相乘？
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
容易知道，单项式与多项式相乘就是乘法分配律的运用。
（二）例2 计算：
（1）（－4x2）·（3x+1）；（2）（2/3ab2－2ab）·1/2ab。
分析：从运算的角度看，这个式子表示什么？怎样进行这样的计算？解：（1）（－4x2）·（3x+1）=（－4x2）·3x+（－4x2）·1
=－12x3－4x2。
（2）（2/3ab2－2ab）·1/2ab=2/3ab2·1/2ab－2ab·1/2ab
=1/3a2b3－a2b2。
注意：去括号时要注意符号。
四、课堂练习
课本145面练习1题；146练习1、2题。
五、课堂小结
这节课我们学习了什么内容？
1、单项式的乘法法则及其运用；
2、多项式的乘法法则及其运用。
作业：
149面3、4、6、9题。
第十五章第一阶段复习（15.1—4）
一、双基回顾
1、同底数幂的乘法法则：a m·a n=a m+n(m，n都是正整数).
同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
注意：①同底数幂的乘法法则可以推广，即a m·a n a p=a m+n+p(m，n，p都是正整数)；②同底数幂的乘法法则可以逆用，即a m+n= a m·a n。
[1]计算：-x2·（-x）3= ；（a-b）（b-a）2= 。
2、幂的乘方：(a m)n=a mn(m，n都是正整数).
幂的乘方，底数不变，指数相乘.
注意：幂的乘方法则可以逆用，即a mn=(a m)n。
[2]计算：（a3）4= ；（a2）n= ；36=（32）（）；a3m=（a m）（）。
3、积的乘方：(a b)n=a n b n(n为正整数).
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
注意：①积的乘方法则可以推广，即：(a bc)n=a n b n c n；②幂的乘方法则可以逆用，即a n b n=(a b)n。
[3]计算：（-ab2）5= ；(1/2)10·210= 。
153
154
4、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
[4]计算：1/2 x 2y ·（-4x 3y 2）
5、单项式与多项式相乘的乘法法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
注意：单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用.
[5]计算：-2x(x 2-3x+2)
二、例题导引
例1计算：(-3)
2004·(1/3)2005. 例2 若 36,272,m n ==求233
m n +的值。 例3计算：(-2a 2)(3a b 2-5a b 3).
例4解不等式：x 2+21x(3-2x)＜24
1. 三、练习提高
1、下列运算中，正确的是( )
A.x 2·x 3=x 6
B.(ab)3=a 3b 3
C.3a+2a=5a 2
D.（x 3）2= x 5
2、y ·y 2m ·y 2m+1 = .
3、计算：(-x 2y) 5 =
4.计算(a 3)2+a 2·a 4的结果为( )
A.2a 9
B.2a 6
C.a 6+a 8
D.a 12
15.1 整式的乘法（二）
[教学目标] 探索并了解多项式与多项式相乘的法则，会运用它们进行计算．
[重点难点] 多项式与多项式相乘是重点；去括号时符号的确定是难点。
[教学过程]
一、直接导入
前面我们学习了单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，那么怎样进行多项式与多项式的乘法呢？
二、多项式乘多项式的法则
为了扩大街心花园的绿地面积，把一块长a 米，宽m 米的长方形绿地增长b 米，加宽n 米，你能用几种方法求出扩大后的绿地的面积？
方法一：由长乘宽得，绿地的面积为(a+b)(m+n)米2．
方法二：由四小块的面积相加得，绿地的面积为(am+an+bm+bn)米2．
因此，(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
这个等式的右边是怎样从左边得到的呢？
仔细地观察，我们可以发现：(a+b)(m+n)的结果可以看作由a+b中的每一项乘m+n中的每一项，再把所得的积相加而得到的。
即
。
根据上面的分析，请你总结多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
三、例题
例1计算：
（1）（3x+1）（x+2）；（2）（x-8）（x-y）；
（3）（x+y）（x2-xy+y2）。
分析：这是什么运算？怎样进行这样的运算？
解：（1）（3x+1）（x+2）=3x·x+3x·2+1·x+1×2
=3x2+6x+x+2
=3x2+7x+2
（2）（x-8）（x-y）=x·x－xy－8xy+8y2
=x2－9xy+8y2。
（3）（x+y）（x2-xy+y2）=x3－x2y+xy2+x2y- xy2 +y3
=x3 +y3。
注意：去括号时要注意符号的变化。
四、课堂练习
课本148面练习1、2。
五、课堂小结
这节课我们学习了多项式与多项式相乘，在计算的过程中要准确地运用法则，注意去括号时符号的变化。
作业：
课本149面5、7、10题；150面12题。
选做150面11题。
15.2.1平方差公式
[教学目标]1、经历探索平方差公式的过程，会验证平方差公式； 2、明确平方差公式的结构特征，并能正确地运用公式进行计算．
[重点难点]平方差公式及其应用是重点；平方差公式的结构特点及灵活运用是难点。
[教学过程]
一、情景导入
前面我们学习了多项式与多项式的乘法,回忆一下,怎样进行多项式与多项式的乘法?
计算下列多项式的积：
（1）（x+1）（x-1）;（2）（m+2）（m-2）;
（3）（2x+1）（2x-1）;（4）（x+5y）（x-5y）.
观察上述算式，它们有什么特征？
155
156
它们都是两个数的和与差的积。
解:（1）（x+1）（x-1）=x 2+x-x-1=x 2-12
（2）（m+2）（m-2）=m 2+2m-2m-2×2=m 2-22
（3）（2x+1）（2x-1）=（2x ）2+2x-2x-1=（2x ）2-12
（4）（x+5y ）（x-5y ）=x 2+5y ·x-x ·5y-（5y ）2=x 2-（5y ）2
二、平方差公式
看看计算的结果，你发现了什么规律？
两个数的和与差的积等于这两个数的平方差。
你用字母表示上述规律吗？
（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2．
事实上，（a+b ）（a-b ）= a 2－ab+a b －b 2= a 2-b 2．
我们还可以用下面的图来验证。
从边长为a 的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形，如图1；把阴影部分再剪掉拼到剩余的部分上得到图2，请你用图1、图2进行说明。
图1的面积是a 2-b 2，图2的面积是（a+b ）（a-b ）。
因此，（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2．
我们称它为平方差公式。
注意：①公式的左边是两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数；②公式中的a 、b 可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。
三、例题
例1运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a ）（2a-b ） （3）（-x+2y ）（-x-2y ）
分析：这些式子有什么特点？相当于平方差公式中a 、b 的是什么？套用公式的结果是什么？
解：（1）（3x+2）（3x-2）=（3x ）2-22 = 9x 2-4．
（2）（b+2a ）（2a-b ）=（2a+b ）（2a-b ）=（2a 2 -b 2= 4a 2-b 2．
（3）（-x+2y ）（-x-2y ）=（-x ）2-（2y ）2 = x 2-4y 2．
反思：套用公式的结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方。
例2 计算： （1）102×98 （2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）
分析：（1）能够运用平方差公式计算吗？怎样变形呢？（2）这个式子有什么特点？
解：（1）102×98=（100+2）（100-2）=1002-22 =10000-4 =9996．
（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）=y 2-22-（y 2+5y-y-5）
=y 2-4-y 2-4y+5 =-4y+1．
反思：①对（2）题，你还有其它的变形方式吗？
（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）= y 2-22-（y-1）（y+1）-5（y-1）。
②运用平方差公式，有时要进行适当的变形。
四、课堂练习
课本153面练习1、2题。
图2
五、课堂小结
1、平方差公式是怎样的？用语言怎么叙述？
2、运用平方差公式要注意些什么？
①要明确公式的特点；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；③有时要进行适当的变形。
作业：
课本156面1题。
15.2.2完全平方公式（一）
[教学目标]理解完全平方公式的特征，了解公式的几何背景，会运用公式进行简单的计算。
[重点难点]完全平方公式及其应用是重点；完全平方公式的结构特征及灵活运用是难点。
[教学过程]
一、情景导入
请用两种方法计算下面图形的面积，你发现了什么？
由图（1）得（a+b）2= a2+ab+b2，
由图（2）得（a-b）2 = a2-2ab+b2。
类似这样的等式在整式乘法中经常遇到，它有没有特殊的意义呢？
二、完全平方公式
计算下列各式：
（1）（p+1）2 =（p+1）（p+1）=_______；（2）（m+2）2 =_______；
（3）（p-1）2 =（p-1）（p-1）=________；（4）（m-2）2 =________.
这些式子有什么特征？它们都是两数和或差的平方。
（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2-2p+1；（4）m2-4m+4。
仔细观察一下，看看式子与结果之间有什么关系？
两数和（或差）的平方等于这两数的平方和再加（或减）它们的积的2倍．
上述结论用字母怎么表示？
（a+b）2= a2+ab+b2（a-b）2 = a2-2ab+b2。
这与我们开始从图中发现的结论是一样的。
我们来计算一下：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2；
（a-b）2 =（a-b）（a-b）=a2-ab-ab+b2= a2-2ab+b2.
这两个等式叫做完全平方公式。
三、例题例1运用完全平方公式计算：（1）（4m+n）2（2）（y－1/2）2
分析：式子有什么特征？相当于公式中的a、b分别是什么？套用公式的结果是什么？
解：（1）（4m+n）2 =（4m）2 +2·4m·n+n2
=16m2+8mn+n2
157
（2）（y－1/2）2 =y 2 －2·y·1/2+（1/2）2
=y2-y+1/4
注意：①公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；②套用公式的结果是三项。
思考：（b-a）2与（a-b）2是否相等？（-a-b）2与（a+b）2是否相等？为什么？
例2 运用完全平方公式计算：
（1）1022（2）992
分析：怎么变形可使计算简便？套用公式的结果是什么？
解：（1）1022=（100+2）2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404．
（2）992=（100-1）2
=1002-2×100×1+12
=10000-200+1
=9801．
四、课堂练习
课本155面2、1题。
五、课堂小结
这节课学习了完全平方公式。
1、完全平方公式是怎样的？用文字语言怎么叙述？
2、运用完全平方公式要注意什么？
①要明确公式的特征；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）；③套用公式的结果是三项，要与平方差公式区分开来。
作业：
课本156面2题；4、6题。
15.2.2完全平方公式（二）
[教学目标]进一步明确完全平方公式的结构特征，掌握添括号法则，利用添括号法则灵活运用完全平方公式．
[重点难点]用添括号法则灵活运用完全平方公式是重点；添括号法则的运用是难点。
[教学过程]
一、复习导入
前面我们学习了去括号法则，回忆一下，什么是去括号法则？
根据去括号法则填空：
（1）a+（b+c）= ；（2）a-（b-c）= 。
运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号，怎么办呢？
二、添括号法则
把上面的式子反过来就得到添括号法则：
（1）a+b+c= a +（b+c）；（2）a-b+c= a -（b-c）
158
用语言表达为：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；?如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
思考：判断下列运算是否正确：
（1）2a-b-c/2=2a-（b- c/2）
（2）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）
（3）2x-3y+2= -（2x+3y-2）
（4）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）
三、例题
例1运用乘法公式计算
（1）（a+b+c）2（2）（x+2y-3）（x-2y+3）
分析：式子可以直接运用乘法公式计算吗？可以作怎样的变形？根据添括号法则试一试。
解：（1）（a+b+c）2 =[a+（b+c）]2
= a2+2a（b+c）+（b+c）2
= a2+2ab+2a c+b2+2bc+c2
= a2+b2+c2+2ab+2abc +2ca。
（2）（x+2y-3）（x-2y+3）=[x+（2y-3）][ x-（2y -3）
=x2 -（2y -3）2= x2 -（4y2 -12y+9）
= x2 -4y2 +12y -9。
反思：想一想，还可以怎样变形？
例2 解方程：（x+4）2－（x+4）（x－4）=0
分析：这个方程有什么特点？可以怎样化简？
解：原方程变为
x2+8x+16－（x2－16）=0
x2+8x+16－x2+16=0
8x+32=0
∴x=-4
反思：解方程和不等式时，恰当地运用乘法公式可以使运算简便。
四、课堂练习
课本156面1、2题。
五、课堂小结
这节课你有什么收获？
1、知道了添括号法则；
2、有些看上去比较复杂的式子，经过适当的变形（比如添括号）也可以运用乘法公式计算。
3、解方程和不等式时，恰当地运用乘法公式可以使运算简便。
作业：
课本156面3题；157面5、8题。
第十五章第二阶段复习（15.1.4-15.2-2）
一、双基回顾
159
1、多项式与多项式相乘：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
特殊地，（x+a）（x+b）= x2+（a+b）x+ab
[1]用两种方法计算：（x－4）（x+1），看看结果怎么样？
2、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2。
两个数的和与这两个数的积，等于这两个数的平方差。
注意：①公式的左边是两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。
[2]下列式子能用平方差公式计算吗？为什么？
①（x-2y）（x+2y）；②（-x+2y）（x+2y）；
③（-x+2y）（x-2y）；④（-x-2y）（x-2y）。
3、完全平方公式：（a±b）2= a2±ab+b2。
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们积的2倍。
注意：①要认清公式的特点；②公式中的a、b可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。
[3]判断下列计算是否正确，如果错了，指出错的地方。
（1）（a-b）2=a2-b2；（2）（-a+b）2=a2+2ab+b2；（3）（-a-b）2=a2+2ab+b2；
（4）（a+1/2）2=a2+ab+1/4；（5）（a-2b）2=a2-2ab+4b2。
4、完全平方公式的变形：
（1）a2+b2=（a+b）2-2ab；（2）a2+b2=（a-b）2+2ab；
（3）ab=1/4[（a+b）2-（a-b）2]。
注意：在变形公式中，已知a±b，a2+b2，ab中任意两个的值，可以求出第三个的值或者已知其中任意两种形式可以变出第三种形式。
5、添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
注意：添括号法则与去括号法则是相反方向的变形，添括号正确与否，可用去括号进行检验.
[5]填空：(a－2b+3c)=a+( )= a－( )。
二、例题导引
例1计算：
(1) (a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)；(2)(x+2y-3)(x-2y+3)；
（3）19982-1997×1999。
例2 先化简，再求值：（3x+2）（3x-2）-5x（x-1）-（2x-1）2，其中x=-1/3。
例3 已知a+b=3，a b=2，求(a-b)2的值。
三、练习提高
1、下列计算结果是x2-5x-6的是（）
A、（x-2）（x-3）
B、（x-6）（x+1）
C、（x-2）（x+3）
D、（x-3）（x+2）
2、下列添括号正确的是( )
A. 2y2-3x-y+3z=2y2-(3x-y+3z)
B. 9x2-y+5z+4=9x2-[y-(5z+4)]
C. 4x-6y-5z+1=4x+[-6y+(5z-1)]
D. -9x-2y-z-4=-(9x+2y)+(z+4)
3、填空：（3x+y）（x-2y）= ；(2x-3) =4x2-9。
4、下列各式中，能用平方差公式的是( )
A、（-a+b）（a+b）
B、（x+2y）（-x-2y）
C、（2x-y）（y-2x）
D、（2a+3b）（3a-2b）
160
161 15.3.1同底数幂的除法
[教学目标] 1、理解同底数幂的除法法则和零指数幂的意义；2、会运用同底数幂的除法法则进行计算。
[重点难点] 运用同底数幂的除法法则进行计算是重点；理解同底数幂的除法法则和零指数幂的意义是难点。
[教学过程]
一、情景导入
一种数码照片文件的大小是28K ，一个存储量为26M （1M=210K ）的移动存储器能存储多少张这样的数码照
片？
这个移动存储器的容量为26×210=216K ，所以它能存储这种数码照片的数量为216÷28．
216、28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？
二、同底数幂的除法法则
根据乘法与除法的互逆关系，求216÷28，即求一个数使它与28的积是216，这个数是什么？
另一方面，216÷28 = 即216÷28=28 探究：根据除法的意义填空：
（1）55÷53=5（ 2 ）；
（2）109÷102=10（ 7 ）；
（3）a 7÷a 3= a （ 4 ）。
仔细观察一下，你发现了什么规律？上面的计算中底数和指数有没有变化？
底数没有变，被除数的指数减去除数的指数等于商的指数。
这就是说：
同底数幂相除，?底数不变，指数相减．
你能用字母表示吗？
a m ÷a n =a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，并且m ＞n 。）
下面来验证这个结论是正确的。
∵a m-n ·a n =a m-n+n =a m
∴a m ÷a n =a m-n ．
思考：为什么这里要规定a ≠0？
三、例题
例 计算：
（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（ab ）5÷（ab ）2
分析：式子是什么运算？怎样进行同底数幂的运算？结果是什么？
解：（1）x 8÷x 2=x 8-2=x 6．
（2）a 4÷a=a 4-1=a 3．
（3）（ab ）5÷（ab ）2=（ab ）5-2=（ab ）3=a 3b 3．
注意：公式中的a 可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。
思考：课本160面练习3题。
四、零指数幂的意义
探究：根据除法的意义填空：
（1）32÷32=（ 30 ）
（2×2×...×2） （2×2× (2)
16个2
8个2
×2× (8)
8个2
（2）103÷103=（ 100 ）（3）a m÷a n=（ a0）（a≠0）
你发现了什么？
任何不等于0的数的0次幂都等于1．
于是规定： a0=1（a≠0）。
这样，同底数幂的除法的运算法则就可以扩展到：
a m÷a n=a m-n（a≠0，m、n都是正整数，且m≥n）．
五、课堂练习课本160面1、2。
六、课堂小结
这节课你学习了哪些知识？
1、同底数幂的乘法法则是什么？用字母怎么表示？
2、零指数幂的意义是什么？
00没有意义。
3、同底数幂的乘法运算。
作业：课本164面1、5题。
15.3.2整式的除法（一）
[教学目标]经历探索单项式除以单项式运算法则的过程，理解单项式与单项式相除的算理，会进行单项式与单项式的除法运算．
[重点难点]单项式除以单项式的运算法则及其运用是重点；探索单项式与单项式相除的运算法则是难点。
[教学过程]
一、情景导入
木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.08×1021吨。你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？
木星的质量约为地球质量的（1.90×1024）÷（5.98×1021）倍．
计算（1.90×1024）÷（5.98×1021）就是要求一个数，使它与5.98×1021的乘积等于1.90×1024。
∵（5.98×1021）×（95/299 ×103）=1.90×1024
∴（1.90×1024）÷（5.98×1021）=95/299×103≈3177.
把上面的数字换成字母该怎么计算呢？
二、单项式相除的法则
讨论：利用乘除法的互逆关系计算下列各式：
（1）8a3÷2a；（2）5x3y÷3xy；（3）12a3b2x3÷3ab2．
解答：（1）∵2a·（4a2）=8a3，
∴8a3÷2a=4a2；
（2）∵3xy·（2x2）=6x3y，
∴6x3y÷3xy=2x2；
（3）∵3ab2·（4a2x3）=12a3b2x3，
∴12a3b2x3÷3ab2=4a2x3．
这三个式子是什么运算？
都是单项式除以单项式。
162
从系数和字母两个方面观察，运算结果与原式有什么关系？
运算结果都是系数与系数相除，同底数幂与同底数幂相除，结果都作为商的因式，其余的也作为商的因式。
也就是：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．
三、例题
例计算：
（1）28x4y2÷7x3y；
（2）-5a5b3c÷15a4b；
（3）5（2a+b）4÷（2a+b）2。
分析：这是什么运算？怎样进行这样的运算？结果是什么？
解：（1）28x4y2÷7x3y
=（28÷7）·x4-3·y2-1
=4xy．
（2）-5a5b3c÷15a4b
=（-5÷15）a5-4b3-1c
=-1/3ab2c．
（3）5（2a+b）7÷（2a+b）3
=（5÷1）（2a+b）7-3
=5（2a+b）4
注意：28x4y2÷7x3y就是（28x4y2）÷（7x3y），括号通常省略。
四、课堂练习
课本162面练习1、2题。
五、课堂小结
这节课我们探索了单顶式相除的法则，并进行了单项式与单项式的除法运算，你有些什么体会呢？
作业：
课本164面2、4题。
15.3.2整式的除法（二）
[教学目标]理解多项式除以单项式的法则,会进行多项式除以单项式的运算.
[重点难点]多项式除以单项式的运算是重点;准确地进行多项式除以单项式的运算是难点.
[教学过程]
一、问题导入
上节课我们学习了单项式与单项式相除，怎样进行单项式与单项式的除法运算？如果是多项式与单项式相除，又怎样进行计算呢？
二、多项式除以单项式
探究：试计算下列各式：
(1)(am+bm)÷m；
(2)(a2+ab)÷a；
(3)(4x2y+2xy2)÷2xy．
根据前面探究的经验，你认为应该怎样计算呢？
利用乘除互逆的关系计算：
163
（1）∵(a+b)m = am+bm ∴(am+bm)÷m = a+b
（2）∵（a+b）a = a2+ab ∴(a2+ab)÷= a+b
（3）∵（2x+y）·2xy=4x2y+2xy2∴(4x2y+2xy2)÷2xy=2x+y
仔细观察式子与结果，这个结果还可以怎样得到？
（1）(am+bm)÷m =am÷m+bm÷m=a+b;
(2) (a2+ab)÷a =a2÷a+ ab÷a= a+b;
(3) (4x2y+2xy2)÷2xy =4x2y÷2xy+2xy2÷2xy=2x+y.
由此你认为怎样进行多项式除以单项式的运算？
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．
三、例题
例3 计算：
(1)(12a3-6a2+3a)÷3a；
(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)；
(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
分析：这是什么运算？怎样进行这样的运算？请你说一说运算过程。
解：(1)(12a3-6a2+3a)÷3a
=12a3÷3a -6a2÷3a +3a÷3a
=4a2-2a+1
(2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)
=-3x2y2+5xy-y
(3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
=（x2+2xy+y2-2xy-y2-8x）÷2x
=（x2 -8x）÷2x
= 1/2x-4。
注意：运算时要注意符号，多项式是几项结果就是几项。
四、课堂练习
课本163面练习题。
五、课堂小结
这节课学习了多项式与单项式相除。多项式除以单项式的基本思想是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，计算时要注意符号，多项式是几项结果就是几项。
作业：
课本164面3、6、8。
第十五章第三阶段复习
一、双基回顾
1、同底数的幂相除：a m÷a n=a m-n（a≠0，m，n都是整数，且m＞n）
同底数的幂相除，底数不变，指数相减。
注意：计算时，要看清底数是否相同。
[1]下列计算是否正确，为什么？
164
①a6÷a3=a2；
②-a8÷（-a）5 =（-a）3=- a3；
③（-a）7÷a3 =-a7÷a3=-a4。
2、零指数幂的性质：a0=1（a≠0）。
注意：00没有意义。
[2]函数y =（3-2x）0自变量的取值范围是。
3、单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
[3]-3a7b4c÷9a4b2= 。
4、多项式除以单项式法则：多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
注意：运算时要注意符号的变化；多项式有几项，商就有几项，不要漏项。
[4]（2x3y2-5x4y）÷（-x2y）= 。
二、例题导引
例1已知长方体的体积为3a3b5cm3,它的长为abcm,宽为3/2ab2cm，求（1）它的高; (2)它的表面积.
例2化简求值:
[4(xy-1)2-(xy+2)(2-xy)]÷1/4xy,其中x=-2, y=1/5.
例3 已知a（x m y3）4÷（3x2y n）2=4x4y2，求a÷mn值。
例4 若3 m =6,9 n =2,求32m-4n+1的值.
三、练习提高
夯实基础
1、下列计算正确的是( )
A.x6÷x3=x2
B.a5÷a=a5
C.y3÷y=y2
D.(-c)4÷(-c)2=-c2
2、计算(π-3)0的结果是( )
A.0
B.1
C.3-π
D. π-3
3、计算：6a6÷（-2a2）的结果是（）
A.-3a3
B.-3a4
C.-3/2a3
D.-3/2a4
4、计算x2y3÷(-xy)2的结果是( ).
A.xy
B.x
C.y
D.xy2
5、若8a2b4c被某个单项式除后得4a2b2，这个单项式是（）
A、2ab2c
B、2ab2
C、2b2c
D、1/2b2c
6、计算(14a2b2-21ab2)÷7ab2等于( )
A.2a2-3
B.2a-3
C.2a2-3b
D.2a2b-3
7、计算：
（1）-12a3x4y7÷（-3ax2y3）（2）（3a2）·b2÷（8a3b）
8、计算：:
（1）（10x4-15x2+5x）÷（-5x）；
（2）(2/3a4b7-1/9a2b6)÷（-1/3ab3)2；
（3）[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x
9、先化简，再求值：
（a-2b）（a+2b）+ab3÷（-ab）其中
，b=-1。
10、一种被污染的液体每升含有2.4×1013个有害细菌,为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实
165
166
验,发现1滴杀菌剂可以杀死4×1010个此种细菌,要将1升液体中的有害细菌全部杀死,需要这种杀菌剂多少毫升?(注:15滴=1毫升)
能力提高
11、下列计算正确的是( )
A.(a 5)2=a 7
B.a 6÷a 2=a 4
C. a 5·a 6=a 30
D.a+2a=3a 2
12、计算：2a 2·a 3÷a 4=______；(x-y)7÷(y -x)3·(y -x)3=_____.
13、一个矩形的面积是3(x 2-y 2) , 如果它的一边长为( x+ y) , 则它的周长是______.
14、已知8a 3b m ÷28a n b 2=2/7b 2
，那么m 、n 的值为（ ）
A 、m=4，n=3
B 、m=4，n=1
C 、m=1，n=3
D 、m=2，n=3
15、已知10x =7/4，10y =49，则10y - x 等于（ ）
A 、28
B 、3
450 C 、1447 D 、以上都不对 16、计算:
（1）-5x 5y 3z ÷15x 4y ÷1/3xy （2）(2a)3·(b 3)2÷4a 3b 4；
（3）(-8m 4n+12m 3n 2-4m 2n 3)÷(-4m 2n) ；
（4）（a 2b-2ab 2-b 3）÷b+（a+b ）2。
17、先化简再求值：
5（xy ）2（x+y ）（x-y ）-（4x 2y 2）2÷4y 2，其中x=1，y=2。
18、已知3m =15,3n =6，求32m-n 的值.
探索创新
20、小明与小亮在做游戏，两人各报一个整式，小明报一个被除式，小亮报一个除式，要求商式必须为
2xy ，若小明报的是x 3y-2xy 2，小亮应报什么整式？若小明报的是3x 2，小亮能报出一个整式吗？说说你的理
由。
15.4.1提公因式法
[教学目标] 1、了解因式分解的概念以及因式分解与整式乘法的关系；2、了解公因式的概念，会用提公因式法分解因式；3、在探索提公因式法分解因式的过程中发展学生的逆向思维。
[重点难点] 提公因式法分解因式是重点；确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式是难点。
[教学过程]
一、复习导入
我们已经学习了整式的乘法，下面我们来做几道题。计算：
（1）x （x+1）=x 2+x ；
（2）（x+1）（x-1）= x 2-1；
（3）m （a+b+c ）= am+bm+cm 。
反过来，就是
（4）x 2+x=x （x+1）
（5）x 2-1=（x+1）（x-1）
（6）am+bm+cm=m （a+b+c ）
前面三个式子和后面三个式子各有什么不同？
前面三个式子是将“积”变成“和”，是整式的乘法，后面三个式子是将“和”变为“积”。
167
这是一种什么变形呢？
二、因式分解与提公因式法
像这种把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解。也叫做把这个多项式分解因式。
可以看出，因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即
观察多项式（4）和（6），它们有什么共同的特征？
它们都有相同的因式，（4）中相同的因式是x ，（6）中相同的因式是m 。
我们把多项式中相同的因式叫做这个多项式的公因式。像（4）和（6）这样把一个多项式化成公因式与另一个因式乘积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
三、例题
例 把下列各式分解因式：
（1）8a 3b 2-12ab 3c ；
（2）3x 3-6xy+x ；
（3）2a （b+c ）-3（b+c ）。
分析：多项式的公因式是什么？提取公因式后剩下的因式是什么？
解：（1）8a 3b 2+12ab 2c=4ab 2·2a 2+4ab 2·3bc=4ab 2（2a 2+3bc ）．
（2）3x 2-6xy+x=x ·3x-x ·6y+x ·1=x （3x-6y+1）．
（3）2a （b+c ）-3（b+c ）=（b+c ）（2a-3）．
注意：某一项提完后还剩1；提取公因式后，剩下的因式与原因式的项数相同。
反思：怎样确定公因式呢？
取①各项系数的最大公约数；②各项相同字母的最低次幂作积。
四、课堂练习
课本167面练习1、2、3题。
五、课堂小结
这节课我们学习了什么内容？
1、因式分解、公因式和提公因式法的概念；
2、运用提公因式法分解因式。
作业：
课本170面1；171面6题。
15.4.2公式法（一）
[教学目标] 1、了解平方差公式的特点，能运用平方差公式分解因式；2、初步学会用提公因式法与公式法分解因式．
[重点难点]运用平方差公式分解因式是重点；灵活运用平方差公式分解因式是难点。
[教学过程]
一、复习导入 因式分解 整式乘法 x 2-1
（x+1）（x-1）
运用乘法公式计算：
（1）（x+2）（x－2）；（2）（a+2b）（a－2b）。
解：（1）（x+2）（x－2）= x2－22= x2－4；
（2）（a+2b）（a－2b）= a2－（2b）2= a2－4b2。
反过来，你能将x2－16和a2－4b2分解因式吗？
二、公式法
x2－4= x2－22=（x+2）（x－2）；
a2－4b2= a2－（2b）2=（a+2b）（a－2b）。
把乘法公式（a+b）（a-b）= a2-b2反过来就是：
a2-b2=（a+b）（a-b）
用语言叙述为：
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
上面就是利用这个公式分解因式的。像这样利用乘法公式分解因式的方法叫做公式法。
这个公式有什么特点呢？
（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差．
这就是说，如果一个多项式是两项且符号相反，每一项都能写成平方的形式，那么就能运用平方差公式分解因式。
思考：（1）4a2=（）2；（2）4/9b2=（）2；
（3）0.16a4=（）2；（4）1.21a2b2=（）2。
三、例题
例1分解因式
（1）4x2-9 （2）（x+p）2－（x+q）2
分析：这个式子能运用平方差公式分解因式吗？为什么？结果是什么？
能。因为（1）可以写成（2x）2－32；对（2），把（x+p）和（x+q）看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式就化为m2－n2。
解：（1）4x2-9=（2x）2－32=（2x+3）（2x－3）；
（2）（x+p）2－（x+q）2=[（x+p）+（x+q）][ （x+p）－（x+q）]
=（2x+p+q）（p－q）。
思考：课本168面练习1题。
例2 分解因式：
（1）x4-y4；（2）a3b-ab。
分析：（1）式有什么特点？（x2+y2）（x2-y2）还可以继续分解因式吗？（2）式有什么特点？ab（a2-1）还可以继续分解因式吗？
解：（1）x4-y4
=（x2+y2）（x2-y2）
=（x2+y2）（x+y）（x-y）．
（2）a3b-ab
=ab（a2-1）
=ab（a+1）（a-1）．
反思：分解因式要注意什么问题？
①分解因式的结果要化简；②分解因式要分解到不能分解为止。
四、课堂练习
168
整式的乘除与因式分解 一、选择题 1．下列计算中，运算正确的有几个（） (1) a5+a5=a10(2) (a+b)3=a3+b3 (3) (-a+b)(-a-b)=a2-b2 (4) (a-b)3= -(b-a)3 A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 2．计算（-2a3）5÷(-2a5)3的结果是（） A、— 2 B、 2 C、4 D、—4 3．若，则的值为（） A． B．5 C． D．2 4．若x2+mx+1是完全平方式，则m=（）。 A、2 B、-2 C、±2 D、±4 5．如图，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（） A．a2-b2=(a+b)(a-b) B．(a+b)2=a2+2ab+b2 C．(a-b)2=a2-2ab+b2D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 6．已知()= b -2 a3,则与的值分别 +2 a7, ()= b 是（）
A. 4,1 B. 2,32 C.5,1 D. 10, 32 二、填空题 1．若2,3=-=+ab b a ，则=+22b a ，()=-2b a 2．已知a －1a =3，则a 2＋21a 的值等于 · 3．如果x 2－kx ＋9y 2是一个完全平方式，则常数k ＝________________； 4．若???-=-=+3 1b a b a ，则a 2－b 2＝ ； 5．已知2m ＝x ，43m ＝y ，用含有字母x 的代数式表示y ，则y ＝________________； 6、如果一个单项式与的积为-34 a 2bc,则这个单项式为________________； 7、（－2a 2 b 3）3 （3ab+2a 2）=________________； 8、()()()()=++++12121212242n K ________________； 9、如图，要给这个长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子打包， 其打包方式如下图所示，则打包带的长至少要____________ （单位：mm ）。（用含x 、y 、z 的代数式表示） 10、因式分解：3a 2x 2y 2－27a 2 (x －2y ＋z)(－x ＋2y ＋z) （a+2b －3c ）（a －2b+3c ）
因式分解的常方法 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 用方法 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且2 2 2 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++ 例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。 解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x --- =)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a -- 练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy （二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2 2 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后
第十四章 整式的乘除与因式分解教材分析 1、教学内容及地位 本章属于《课程标准》中的 “数与代数”领域，其核心知识是：整式的乘除运算和因式分解。这些知识是在学习了有理数的运算、列代数式、整式加减和解一元一次方程及不等式的基础引入的。也是进一步学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。 2、本章教学内容 在学习上各部分知识之间的联系如下： 从 上 面 可 以 看出，本章内容的突出的特点是：内容联系紧密、以运算为主。全章紧紧围绕整式的乘除运算，分层递进，层层深入。在整式的乘除中，单项式的乘除是关键，这是因为其他乘除都要转化为单项式除法。实际上，单项式的乘除进行的是幂的运算与有理数的运算，因此幂的运算是学好整式乘除的基础。 3 、教学目标
⑴解析每个目标 ①目标1中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求。 ②目标2中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。 ③目标3中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，而对于分组分解法和十字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a8-1分解因式则是超课标了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情况。而在学习过程中比克标的要求要高一些，通过教学我们要让学生理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的互逆关系，从中体会事物之间相互转化的辨证思想。通过学生的自主探索，发现和掌握因式分解的基本方法——提公因式法和公式法（数学书P172选学部分中提到了“十字相乘法”），渗透特殊到一般，逆向思维，换元等思想，培养学生认真观察、深入分析问题的良好习惯和能力。通过因式分解的应用与实践，发展学生的数学思维能力，使他们获得一些研究问题、解决问题的经验与方法。显然教材比课标中的目标高很多，建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。 ⑵《课标》总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握： ③《课标》是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但《课标》是同一个，从中考角度讲，中考内容一定不能超出《课标》要求的范围，因此应以《课标》为准绳把握教学目标。 ④《课标》是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不同层次的教学目标。 4、本章教学重点、难点 本章教学重点是整式的乘除运算和因式分解的两种基本方法，教学难点乘法公式的灵活应用，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。 5、课时安排 本章教学时间约13课时，具体分配如下（仅供参考）： 15.1整式的乘法 4课时 15.2乘法公式 2课时 15.3整式的除法 2课时 15.4因式分解 3课时 数学活动 小结 2课时
整式的乘除因式分解精选 一．解答题（共12小题） 1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 ③④（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a ﹣b） 2．计算： ①（2x﹣3y）2﹣8y2；②（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； ③（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；④（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； ⑤（a﹣2b+c）2；⑥[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x． ⑦（m+2n）2（m﹣2n）2 ⑧． 3．计算： （1）6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．（2）（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）．
4．计算： （1）（x2）8?x4÷x10﹣2x5?（x3）2÷x．（2）3a3b2÷a2+b?（a2b﹣3ab﹣5a2b）． （3）（x﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）． 5．因式分解： ①6ab3﹣24a3b；②﹣2a2+4a﹣2；③4n2（m﹣2）﹣6（2﹣m）； ④2x2y﹣8xy+8y；⑤a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；⑥4m2n2﹣（m2+n2）2； ⑦；⑧（a2+1）2﹣4a2；⑨3x n+1﹣6x n+3x n﹣1 ⑩x2﹣y2+2y﹣1；4a2﹣b2﹣4a+1；4（x﹣y）2﹣4x+4y+1； 3ax2﹣6ax﹣9a；x4﹣6x2﹣27；（a2﹣2a）2﹣2（a2﹣2a）﹣3．
6．因式分解： （1）4x3﹣4x2y+xy2．（2）a2（a﹣1）﹣4（1﹣a）2． 7．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8．先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣4a2b÷b，其中a=﹣，b=2． 9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]的值． 10．解下列方程或不等式组： ①（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣6）（x﹣1）=0；②2（x﹣3）（x+5）﹣（2x﹣1）（x+7）≤4． 11．先化简，再求值： （1）（x+2y）（2x+y）﹣（x+2y）（2y﹣x），其中，．
因式分解法 【教学目标】 1．知识与技能 1）、掌握因式分解法的基本步骤； 2）、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。 2．过程与方法 1）、在灵活选择方程的解法中，体会解决问题方法的多样性； 2）、会用因式分解法解一元二次方程。 3．情感、态度与价值观 1）、通过探讨一元二次方程的解法，了解因式分解法是一元二次方程解法中较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度； 2）、体会“降次”化归的思想。 【教学重点】 熟练掌握用因式分解法解一元二次方程 【教学难点】 能灵活地应用因式分解法解一元二次方程 【教学方法】 启发引导式归纳教学法 【教学过程】 一、引入新课 问：我们已经学过了几种解一元二次方程的方法 ? [生]直接开平方法、配方法、公式法 [师]很好，我们知道：在已经学习的解一元二次方程的三种方法——直接开平方法、配方法、公式法中，直接开平方法只能解某些特殊形式的方程，配方法不如公式法简便。因此，大家选用的方法主要是直接开平方法和公式法。 公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一个一元二次方程。 用公式法解一元二次方程，首先要把方程化为一般形式，从而正确地确定a、b、c的值；其次，判断b2-4ac的值是否大于或等于0，然后求解。 一元二次方程是不是只有这三种解法呢?有没有其他简便的方法?今天我们就来进一步探讨一元二次方程的解法。 二、新课讲解 [师]下面我们共同来解一道一元二次方程： 解方程：x2=9（师生互动，共同探究） 这个方程化成一般形式为：x2—9=0， 方程的左边可以因式分解吗？因式分解，得 (x+3)(x-3)＝0 我们知道：如果两个因式中有一个等于0，（问：）那么它们的积也就等于0，反过来，两个因式的乘积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；因此，有 x+3＝0或x-3=0。 这样，就把一元二次方程降次转化为一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 x1=-3，x2=3 口算检验：它们是否是方程的根？ 这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫
同底数幂的乘法：m n a a ?= 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 幂的乘方：()n m a = 幂的乘方，底数不变，指数相乘 积的乘方：a n n b = 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相 乘 同底数幂的除法： a m n a ÷= （a 0≠,m,n 都是 正整数，并且m>n ） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 0a = a 0≠（） 任何不等于0的数的0次幂都等于 整式的乘法 单项式与单项式相乘，把它们的系数、字母 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积 的 。如：52 ac bc =g 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 多项式的 ，再把所的积 如：22132(2)ab ab ab -=g 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 ，再把所得的积相加 如：(8)()x y x y --= 乘法 公式 平方差公式： (a+b)(a-b)= 两个数的 与这两个数的 的积，等于这两个数的 完全平方公式： 2 a+b =（） 2a b -=（） 添括号的法则： 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都 ；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都 。 如：a b c ++= a b c --= 单项式相除，把系数与同底数幂 作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的 。 如：42328x y 7x y ÷= 整式 的除法 多项式除以单项式，先把这个多项式的 除以这个单项式，再把所得的 如：3212a 63)3a a a -+÷=（ 把一个多项式化成几个整式的 ，这样的式子的变形叫做把这个多项式 。也叫做把这个多项式 。 因式分 解 整式乘除 与 因式分解 提公因式法： 2a()3()b c b c +-+= 公式法： 22a b -= 22 a +2ab+ b = 22a -2ab+b = 22()()x p x q +-+=
因式分解教案 二界岭中心学校（初中部）许立 【教学目标】 知识技能目标： 1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。 2、熟练运用提取公因式法分解因式。 过程与方法目标： 在教学过程中，体会类比思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。 情感与态度目标: 通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。 【教学重点与难点】 重点:理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。 难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。 【教学方法与手段】 教法：类比、探究式教学方法 学法：自主、合作、探索的学习方法 【教具准备】 多媒体展示 【教学过程】 一、创设情景 组织学生先观看一段有关沙尘暴的视频（或图片）资料，并请学生谈谈看后
有何感想。（2至3人） 二、 提出问题 近年来，我国土地沙漠化严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有一些青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动。 如图，在沙漠边上开垦荒地植树造林。共开了三块，从左到右，它们的长分别是a ﹑b ﹑c,宽是m ，那么一共开垦荒地的面积是？ 方法一得： mc mb ma ++ 方法二得： ()c b a m ++ 总结：因此mc mb ma ++=()c b a m ++ 利用整式乘法验证： ()c b a m ++=mc mb ma ++ 我们把mc mb ma ++=()c b a m ++这一变换过程称作因式分解。 出示课题：因式分解 概念：像这样把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，称作因式分解。 对象：多项式 结果：整式的乘积形式 学生举例：（说明什么是因式分解） 思考：整式的乘法与因式分解的关系 1 因式分解 整式的乘法 2、利用整式的乘法检验因式分解的正确性。 辩一辩：判断下列各式是不是因式分解，为什么？ ⑴ 12x 3y 2=3x 3·4y 2 ⑵ 5x-5y+5z=5(x-y+z) ⑶ax+bxy-xy=ax+xy(b-1) ⑷a 2-b 2=(a-b) ·(a+b) 说明：1、等式左边是多项式，右边是整式的乘积形式; 2、因式分解一般分解到不能再分解为止。 三、 引入新知
整式乘除与因式分解计算题 一、计算： ；2、[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 1、 3、4、（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a﹣b）5、（2x﹣3y）2﹣8y2；6、（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； 7、（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；8、（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； 9、（a﹣2b+c）2；10、[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x．11、（m+2n）2（m﹣2n）2 12、．13、6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．14、（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）． 15、[（﹣2x2y）2]3?3xy4．16、（m﹣n）（m+n）+（m+n）2﹣2m2．
17、（－3xy 2）3·（61x 3y ）2； 18、4a 2x 2·（－52a 4x 3y 3）÷（－21 a 5xy 2）； 19、22 2)(4)(2)x y x y x y --+（； 20、22 1(2)(2))x x x x x -+-+－（． 21、（x 2）8?x 4÷x 10﹣2x 5?（x 3）2÷x ． 22、3a 3b 2÷a 2+b ?（a 2b ﹣3ab ﹣5a 2b ）． 23、（x ﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）． 24、（2x+y ）（2x ﹣y ）+（x+y ）2﹣2（2x 2﹣xy ）． 二、因式分解： 25、6ab 3﹣24a 3b ； 26、﹣2a 2+4a ﹣2； 27、4n 2（m ﹣2）﹣6（2﹣m ）； 28、2x 2y ﹣8xy+8y ； 29、a 2（x ﹣y ）+4b 2（y ﹣x ）； 30、4m 2n 2﹣（m 2+n 2）2； 31、； 32、（a 2+1）2﹣4a 2； 33、3x n+1﹣6x n +3x n ﹣1
整式的乘除与因式分解复习试题（一） 姓名 得分 一、填空(每题3分，共30分) 1． a m =4,a n =3，a m+n =____ __. 2．(2x －1)(－3x+2)=___ _____. 3．=--+- )32)(32(n n n m ___________. 4．=--2)2 3 32(y x ______________, 5．若A ÷5ab 2=-7ab 2c 3,则A=_________,若4x 2yz 3÷B=-8x,则B=_________. 6.若4)2)((2 -=++x x b ax ，则b a =_________________. 8．若。 ＝，，则b a b b a ==+-+-01222 9．已知31=+ a a ，则221 a a +的值是 。 10．如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= 。 二、选择题(每题3分，共30分) 11、下列计算错误的个数是（ ） ①(x 4-y 4)÷（x 2-y 2）=x 2-y 2 ; ② (-2a 2)3=-8a 5 ; ③ (ax+by)÷(a+b)=x+y; ④ 6x 2m ÷2x m =3x 2 A. 4 B3 C. 2 D. 1 12．已知被除式是x 3+2x 2 －1，商式是x ，余式是－1，则除式是（ ） A 、x 2+3x －1 B 、x 2+2x C 、x 2－1 D 、x 2－3x+1 13．若3x =a ，3y =b ，则3x － y 等于（ ） A 、b a B 、a b C 、2ab D 、a+1b 14.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A. –3 B. 3 C. 0 D. 1 15.一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了2 32cm ，则这个正方形的边长为（ ） A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm 16．一个多项式分解因式的结果是)2)(2(3 3 b b -+，那么这个多项式是（ ） A 、46 -b B 、6 4b - C 、46 +b D 、46 --b 17．下列各式是完全平方式的是（ ） A 、412+ -x x B 、2 1x + C 、1++xy x D 、122 -+x x 18．把多项式)2()2(2 a m a m -+-分解因式等于（ ） A 、))(2(2 m m a +- B 、))(2(2 m m a --C 、m(a-2)(m-1) D 、m(a-2)(m+1) 19．下列多项式中，含有因式)1(+y 的多项式是（ ） A 、2 2 32x xy y -- B 、2 2)1()1(--+y y C 、)1()1(2 2 --+y y D 、1)1(2)1(2 ++++y y 20、已知多项式c bx x ++2 2分解因式为)1)(3(2+-x x ，则c b ,的值为（ ） A 、1,3-==c b B 、2,6=-=c b C 、4,6-=-=c b D 、6,4-=-=c b 三、解答题：(共60分) 1.计算题
整式的乘除及因式分解 知识点归纳： 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 如：-2a2be的系数为_2,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：a2 - 2cib + x + \ 9项有 /、— 2ab > x > 1,二次项为a，、— 2ab ,—次项为「常数项为1,各项次数分别为2, 2, 1, 0,系数分别为1,?2, 1, 1,叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 5、同底数幕的乘法法则: m严”(〃“都是正整数) 同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如I ：- a = _________ :a ?/?/= _______________ (a + b)2^(a + b)3 =(a + b)5,逆运算为：___________________ 6、幕的乘方法则: (屮)”-严(如都是正整数) 幕的乘方，底数不变，指数相乘。女(-3丁=3” 幕的乘方法则可以逆用：即a mn =(a m)n =(a n)m 如：46 =(42)3 =(43)2 例如：(")3= ___________ :(厂)2= ____________ ； (")3 =(/)() 7、积的乘方法则：伽)”=心”(〃是正整数)
2x? 3y(-2x2y)(5xy2) (3审? (一2号2) (-a2b)3 - (a2b)2 12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所 得的积相加, 即rn{a + b + c) = ma + mb + me (m,a,b,c都是单项式) 注意: ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。］ 女口：2x(2x - 3y) - 3y(x + y) 2x(-2x - 3y + 5) - 3ab(5a -ab +2b2) 13、多项式与多项式相乘的法则; 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 女口：(x + 2)(x - 6) (2x — 3y)(x —2y + 1) (a + b\a ~ -ab + b~) 14、平方差公式：《+〃)(。")= /_戸注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。
《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解
（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
1 整式的乘除与因式分解（1） 一、基础知识点点点过关： 1.同底数幂相乘，底数 指数 ． x m ·x n = (m 、n 都是正整数). 2.幂的乘方，底数 ，指数 ． (a n )m = (m 、n 都是正整数). 3.积的乘方，等于把积的每一个因式分别 ，再把所得的幂相乘。 (ab)n = (n 是正整数). 4.单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别 ．对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个 ． 5.单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 的每一项，再把所得的积 ． 6.同底数幂相除，底数 ，指数 。 a m ÷a n = (a ≠0,m 、n 都是正整数且 m ＞n). 7.任何不等于0的数的0次幂都等于 。 a 0= (a ≠0) 8.单项式相除，把系数与同底数幂分别 作为商的因式。对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个 。 9.多 项 式 除 以单项式，先把这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商相加。 练一练 1.填空： （1）m 3·m= ________ ； （2）(－2x 2 )·3x 4 =________ ； （3）(x 3)2 ·x 4＝________； （4） (－12ab 2)3 = . (5)2m(m+n)＝ ； (6)(x+2)(3x-5)= ． （7）2x 3÷x= ． （8）(12a 2b 3 c)÷(6ab 2 )= . （9）(x 2 －4x) ÷x = . 二、基础典型题题题突破 1．选择题： （1）2(4)x -=（ ） A.28x - B.28x C.216x - D.216x （2）下列各式计算结果正确的是( ) A ．(a ＋1)(a-1)＝(a ＋1)2 B ．(3a)2 ＝6a 2 C ．(a ＋1)2 ＝a 2 ＋1 D ．a 2 ·a ＝a 3 2.计算： （1）(x ＋2)(x －2)＋x(3－x). （2）? ?? ??132017×(－3)2018 （3）（15x 2 y-10xy 2 ）÷(-5xy) 3．化简：(m －n)(m ＋n)＋(m ＋n)2 －2m 2 . 4．先化简，再求值： （x+3）（x ﹣3）﹣x （x ﹣2），其中x=4．
整式的乘除因式分解习题精选 一．解答题（共12小题） 1．计算：①；②[（﹣y5）2]3÷[（﹣y）3]5?y2 ③④（a﹣b）6?[﹣4（b﹣a）3]?（b﹣a）2÷（a﹣b） 2．计算： ①（2x﹣3y）2﹣8y2；②（m+3n）（m﹣3n）﹣（m﹣3n）2； ③（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）；④（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）； ⑤（a﹣2b+c）2；⑥[（x﹣2y）2+（x﹣2y）（2y﹣x）﹣2x（2x﹣y）]÷2x． ⑦（m+2n）2（m﹣2n）2 ⑧． 3．计算： （1）6a5b6c4÷（﹣3a2b3c）÷（2a3b3c3）．（2）（x﹣4y）（2x+3y）﹣（x+2y）（x﹣y）．
4．计算： （1）（x2）8?x4÷x10﹣2x5?（x3）2÷x．（2）3a3b2÷a2+b?（a2b﹣3ab﹣5a2b）． （3）（x﹣3）（x+3）﹣（x+1）（x+3）．（4）（2x+y）（2x﹣y）+（x+y）2﹣2（2x2﹣xy）． 5．因式分解： ①6ab3﹣24a3b；②﹣2a2+4a﹣2；③4n2（m﹣2）﹣6（2﹣m）； ④2x2y﹣8xy+8y；⑤a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）；⑥4m2n2﹣（m2+n2）2； ⑦；⑧（a2+1）2﹣4a2；⑨3x n+1﹣6x n+3x n﹣1 ⑩x2﹣y2+2y﹣1； 4a2﹣b2﹣4a+1； 4（x﹣y）2﹣4x+4y+1； 3ax2﹣6ax﹣9a； x4﹣6x2﹣27；（a2﹣2a）2﹣2（a2﹣2a）﹣3．
6．因式分解： （1）4x3﹣4x2y+xy2．（2）a2（a﹣1）﹣4（1﹣a）2． 7．给出三个多项式：x2+2x﹣1，x2+4x+1，x2﹣2x．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解． 8．先化简，再求值：（2a+b）（2a﹣b）+b（2a+b）﹣4a2b÷b，其中a=﹣，b=2． 9．当x=﹣1，y=﹣2时，求代数式[2x2﹣（x+y）（x﹣y）][（﹣x﹣y）（﹣x+y）+2y2]的值． 10．解下列方程或不等式组： ①（x+2）（x﹣3）﹣（x﹣6）（x﹣1）=0；②2（x﹣3）（x+5）﹣（2x﹣1）（x+7）≤4． 11．先化简，再求值： （1）（x+2y）（2x+y）﹣（x+2y）（2y﹣x），其中，．
第二章 分解因式 1．分解因式 教学目标： （一）知识与技能： （1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念． （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法． （二）过程与方法： （1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察 、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想． （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力． （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力． （三）情感与态度： 让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度． 教学重点：理解因式分解的概念. 教学难点：因式分解与整式乘法的相互关系 教学方法：探索、归纳 教学过程 一、 问题 用简便方法计算： （1）29 7 6971397?+?-?= （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67= （3）992–1= ． 注意：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式． 二 、探究
提问：993–99能被100整除吗？你是怎么得出来的？ 注意：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式． 看谁算得准 计算下列式子： （1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b+c)= ； （3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2= ； （5）a(a+1)(a-1)= ． 根据上面的算式填空： （1）ma+mb+mc= ； （2）3x2-3x= ； （3）m2-16= ； （4）a3-a= ； （5）y2-6y+9= ． 三、梳理 比较以下两种运算的联系与区别： （1）a(a+1)(a-1)= a3-a （2）a3-a= a(a+1)(a-1) 在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？ （1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(ab)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2 通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：
整式的乘除与因式分解 知识点全面 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
整式的乘除与因式分解知识点 一、整式乘除法 同底数幂相乘,底数不变,指数相加. a m·a n=a m+n[m,n都是正整数] 同底数幂相除,底数不变,指数相减. a m÷a n=a m-n[a≠0,m,n都是正整数,且 任何不等于0的数或式子的0次幂都等于1. a0=1[a≠0]， 00无意义 (a m)n表示n个a m相乘，a 的(m n)幂表示m 幂的乘方,底数不变,指数相乘. (a m)n=a mn[m,n都是正整数] 积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得幂相乘.(ab)n=a n b n[n为正整数]注：不要漏积中任何一个因式单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7 注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减 单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc 注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。 多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加. 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 乘法公式：平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍. (a±b)2=a2±2ab+b2 因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解方法: 1、提公因式法.关键:找出公因式 公因式三部分：①系数(数字)一各项系数最大公约数；②字母--各项含有的相同字母；③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 2、公式法.①a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a2±2ab+b2=(a±b)2 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方. ③x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)立方差公式 3、十字相乘(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 因式分解三要素：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式（2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差 添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证
因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （1）(a+b)(a -b) = a 2-b 2---------a 2-b 2 =(a+b)(a -b)； (2)(a ±b)2=a 2±2ab+b 2———a 2±2ab+b 2=(a ±b)2 ； (3)(a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2 )； (4)(a -b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2 )． 下面再补充两个常用的公式： (5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2 ； (6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2 -ab -bc -ca)； 例.已知a b c ，，是ABC ?的三边，且222 a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：2 2 2 2 2 2 222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++?++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ?-+-+-=?== 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：bn bm an am +++ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式=)()(bn bm an am +++ =)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++
整式的乘除与因式分解 一、填空题（每题2分，共32分） 1．－x 2·（－x ）3·（－x ）2＝__________． 2．分解因式：4mx +6my =_________． 3．=-?-3245)()(a a ___ ____． 4．201()3π+=_________；4101×＝__________． 5．用科学记数法表示－＝___________． 6．①a 2－4a +4，②a 2+a +14，③4a 2－a +14 ，?④4a 2+4a +1，?以上各式中属于完全平方式的有____ __（填序号）． — 7．（4a 2－b 2）÷（b －2a ）=________． 8．若x ＋y ＝8，x 2y 2＝4，则x 2＋y 2＝_________． 9．计算：832+83×34+172=________． 10．=÷-+++++++1214213124)42012(m m m m m m m m b a b a b a b a ＋ ． 11．已知==-=-y x y x y x ，则，21222 ． 12．代数式4x 2＋3mx ＋9是完全平方式，则m ＝___________． 13．若22210a b b -+-+=，则a = ，b ＝ ． 14．已知正方形的面积是2269y xy x ++ （x >0，y >0），利用分解因式，写出表示该正 方形的边长的代数式 ． ] 15．观察下列算式：32—12＝8，52—32＝16，72—52＝24，92—72＝32，…，请将你发 现的规律用式子表示出来：____________________________． 16．已知13x x +=，那么441x x +=_______． 二、解答题（共68分） 17．（12分）计算：（1）（－3xy 2）3·（ 6 1x 3y ）2；