不等式选讲习题
1.（2014全国新课标I 卷）若0,0,a b >>且
11a b
+= （I ）求33a b +的最小值；
（II ）是否存在,,a b 使得236?a b +=并说明理由. 2.（2014全国新课标II 卷）设函数1()(0).f x x x a a a
=++-> （I ）证明：()2;f x ≥
（II ）若(3)5,f <求a 的取值范围.
3.（2013全国新课标I 卷）已知函数()212,() 3.f x x x a g x x =-++=+
（I ）当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；
（II ）设1,a >-且当1,22a x ??∈-???
?时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围. 4.（2013全国新课标II 卷）设,,a b c 均为正数，且1,a b c ++=证明：
（I ）1;3
ab bc ac ++≤ （II ）222 1.a b c b c a ++≥. 5.（2012全国新课标卷）已知函数() 2.f x x a x =++-
（I ）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（II ）若()4f x x ≤-的解集包含[]1,2，求a 的取值范围.
6.（2011全国新课标卷）设函数
()3f x x a x =-+，其中0a >. （I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；
（II ）若不等式()0f x ≤的解集为{|1},x x ≤-，求a 的值.
7.（2015第一次省统测）已知a 是常数，对任意实数x ，不等式|2||1||2||1|x x a x x -++≤≤--+都成立.
（I ）求a 的值； （II ）设,0>>n m 求证：.22122
2a n n mn m m +≥+-+
8.设函数.142)(+-=x x f
（I ）画出函数)(x f y =的图象； （II ）若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围.
2≥，当且仅当a b == a b ==时等号成立
（II ）由（I ）知23a b +≥=≥
由于6>，从而不存在,,a b 使得23 6.a b +=………10分
2.（2014全国新课标II 卷）
解：（I ）由0a >，有1111() 2.f x x x a x a x a a a a a a =++-≥++-=+=+≥= 所以，() 2.f x ≥………4分
（II ）1(3)33.f a a
=++- 当03a <≤时，1(3)6f a a =-+，由(3)5,f <得165a a
-+<，解得1 3.2a <≤ 当3a >时，1(3)f a a =+由(3)5,f <得15a a
+<，解得532a << 综上所述，a 的取值范围是a <<………10分 3.（2013全国新课标I 卷）
解：（I ）当2a =-时，
()212 2.f x x x =-+- 由()()f x g x <，得
212230x x x -+---< 设()21223,f x x x x =-+---则
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当(0,2)x ∈时，()f x <
所以，不等式()()f x g x <的解集为(0,2).………5分
（II ）当1,22a x ??∈-????
时，()1.f x a =+ 不等式()()f x g x ≤可化为1 3.a x +≤+ 所以，2x a ≥-对1,22a x ??∈-????
都成立.故42,.23a a a -≥-≤即 所以，a 的取值范围是4(1,].3
-.………10分 4.（2013全国新课标II 卷）. 证明：（I ）22
2a b ab +≥Q 2222,2,2b c bc a c ac +≥+≥
222222222a b b c a c ab bc ac ∴+++++≥++，即222a b c ab bc ac ++≥++
又()1a b c ++=Q ，即 2222221a b c ab bc ac +++++= 1222ab bc ac ab bc ac ∴---≥++，即3()1ab bc ac ++≤
13
ab bc ac ∴++≤………5分 （II ）222
2,2,2a b c b a c b a c b c a
+≥+≥+≥Q 222()2()a b c a b c a b c b c a ∴+++++≥++，即222
1.a b c a b c b c a
++≥++= 222
1.a b c b c a
∴++≥………10分 5.（2012全国新课标卷）
解：（I ）不等式()3f x ≥的解集为(,1][4,)-∞+∞U
（II ）()4f x x ≤-Q
24x a x x ∴++-≤-，即42x x x a ---≥+
当[]1,2x ∈时，由42x x x a ---≥+，得42x x x a -+-≥+，即2x a +≤
解得22a x a --≤≤- 又因为
()4f x x ≤-的解集包含[]1,2 所以，21a --≤且22a -≥，即30.a -≤≤
所以，a 的取值范围是[3,0].-
6.（2011全国新课标卷）
解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为
12x -≥，由此可得 13x x ≤-≥或
故不等式()32f x x ≥+的解集为{|13}x x x ≤-≥或. (Ⅱ) 由()0f x ≤ 得30x a x -+≤此不等式化为不等式组
30x a a x x ≤??-+≤?或30x a x a x >??-+≤?即2x a a x ≤???≤-??或4
x a a x >???≤?? 又因为0a >，所以不等式
30x a x -+≤的解集为|2a x x ??≤-???? 由题意知12
a -=-，解得 2.a = 7.（2015第一次省统测）
（I ）解：3|21||2||1|=-++≤--+x x x x Θ
对任意实数x ，不等式a x x ≤--+|2||1|都成立.
对任意实数x ，不等式|2||1|x x a -++≤都成立.
（II ）证明：由（I ）知.3=a
又,0>>n m Θ
8.设函数.142)(+-=x x f
（I ）画出函数)(x f y =的图象； （II ）若不等式ax x f ≤)(的解集非空，求a 的取值范围. （Ⅰ）由于25,()23,2
x x f x x x -+<2?=?-≥?则函数()y f x =的图像如图所示: （Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图像可知，当且仅当12
a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图像有交点，故不等式()f x ax ≤的解集非空时，a 的取值范围为()1,2[,)2-∞-+∞U .