第七章应力状态分析强度理论
7.1 应力状态概述
一、工程实例
1. 压缩破坏
2. 弯曲拉伸破坏
3. 弯曲剪切破坏
4. 铸铁扭转破坏
5. 低碳钢扭转破坏
二、应力状态的概念
1. 点的应力状态
过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。2. 一点应力状态的描述
以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。
3. 求一点应力状态
（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡
（2）单元体任意部分平衡
（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。
三、应力状态的分类
1. 单元体：微小正六面体
2. 主平面和主应力：
主平面：无切应力的平面
主应力：作用在主平面上的正应力。 3. 三种应力状态
单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零
四、应力状态分析的方法 1.
解析法
2. 图解法
7.2
应力状态分析的解析法
一、解析法
图示单元体，已知应力分量x σ、y σ
、xy
τ和yx τ。
x
x
x
（一）任意截面上的正应力和切应力：
利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。设ef 面的面积为dA ， ∑=0
F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy
∑=0F t
sin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy
根据切应力互等定理： yx xy ττ=
三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2
αα-=，?=cos sin 22sin αα
解得：
ατασσσσσα2sin 2cos 2
2
x x xy y
y
--+
+=
（7-1）
ατασστα2cos 2sin 2
x xy y
+-= （7-2）
（二）主应力即主平面位置
将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。
令0αα=时，0d d =ασα 即： y x xy
xy y x σσταατασσασα
--
==??
????+--=22tan 02cos 2sin 22d d 000 将0α和
900+α代入（8-1），求出最大及最小的正应力为：
2
2min max )2(2xy y x y
x τσσσσσσ+-±+=??? （三）最大切应力及其作用平面的位置
将式（8-2）对α取一次导数，并令其等于零可确定切应力的极值和它所在平面的位置。
令1αα=时，0d d =α
τα
即： xy y x τσσα22tan 1
-= 2
2min max )2
(xy y x τσσττ+-±=??? 所以有：2
2201π
αα+=，4
01παα+=
即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为 45 例题
1. 如图a 所示受力杆件内单元体各面上的应力分量。试用解析法求出单元体在
30=α倾斜面上的应力，主应力的大小并确定主平面的方位。
解：（1） 斜截面上的应力如图a ，有：
MPa 50x =σ，MPa 100y -=σ，MPa 70xy -=τ 30=α 所以，
a xy y
y
MP 1.7360sin 7060cos 2
100
502100502sin 2cos 2
2
x x 30=-++-=
--+
+=
ατασσσσσa xy y
MP 3060cos 7060sin 2
100
502cos 2sin 2
x 30=-++-=
α
τασστ （2）主应力及主平面的方向
MPa 6.127MPa 6.77)2
(22
2min max -=+-±+=
???或xy y x y
x τσσσσσσ 主应力为MPa 6.771=σ，MPa 02=σ，MPa 6.1273-=σ
σ
5.b)
y
a)
933.0100
50)
70(222tan 0=+-?=
--
=y
x xy
σστα
（3）主平面位置为 5.210=α或
5.1110=α，即主平面外法线与x 轴的夹角为
5.21或 5.111（见图b ），该单元体是主单元体。
2. 已知圆轴直径d=15mm ，在外力偶m N 100M ?=e 作用下，发生扭转。试分析圆轴表面上A 点的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。
解：（1）A 点处横截面上的切应力为
MPa 97.150m
)015.0(14.3m N 1001616M W M 3
33e P T =???===
d πτ 在A 点周围截取单元体，单元体各面上的应力如图b ，
ττσσ===xy ,0y x 所以，
150.97MPa )2
(22
2min max ±=±=+-±+=???ττσσσσσσxy y x y
x （2）主应力为MPa 97.150,0,MPa 97.150321-===σσσ
-∞→--=y x xy
σστα22tan 0
主平面位置为：
σ a)
45
90200-=-=αα 或
135
2702
00-=-=αα
（3）由上分析可知，圆轴扭转时表面上各点均处于纯剪切应力状态，而且各点max σ所在的平面连成一个倾角为 45的螺旋面，由于铸铁抗拉强度低，试件将沿这一螺旋面上因抗拉能力不足而发生断裂破坏。 二、主应力迹线
σ
1
1τ
梁在横力弯曲时，除横截面上、下两边缘各点均处于单向拉伸或压缩外，横截面其他各点处的正应力就不是主应力。现利用应力圆来确定这些点处主应力的数值和主平面的位置。如图a ，表示一个受均布荷载q 作用的矩形截面梁，在梁的某一横截面m-n 上，围绕2、4两点各取出一个单元体。设此横截面上的剪力和弯矩都是正值，则此二单元体各面上的应力状态如b 图所示。单元体的x 平面是梁的横截
面。其上的正应力y I Z
M x =σ和切应力b Z *
Z Q xy I S F =τ。单元体的y 平面是梁的水平纵截面，
其上的0y =σ，xy τ和yx τ等值反号。根据这些已知应力，就可以作出相应的应力圆。 求出梁截面上一点主应力方向后，把其中一个主应力的方向延长与相邻横截面相交，求出交点的主应力后，再将其延长线与下一个相邻横截面相交，依次类推，所做出的折线。折线上任一点的切线方向表示该点的主应力方向。 梁内任意一点的主应力的表达式为：
2
2x
1)2
(2
xy
x
τσσσ++= 22x
3)2
(
2
xy
x
τσσσ+-=
由上式知，梁内任意一点处的两个主应力必然一个为拉应力，另一个为压应力，两者的方向任意垂直。所以在梁的xy 平面内可以绘制两组正交的曲线，在一组曲线上每一点处切线的方向是该点处主应力1σ（拉应力）的方向，而在另一组曲线上每一点处切线的方向则为主应力3σ（压应力）的方向。这样的曲线称为梁的主应力迹线，前者称为主应力1σ迹线，后者则称为主应力3σ迹线。如图实线表示主应力1σ迹线，虚线表示主应力3σ迹线。
由于主拉应力的存在，混凝土抗拉强度不足而沿着所在的主平面的方向开裂。在梁跨中的底部，主拉应力1σ方向是水平或接近水平的，所以裂隙方向是垂直的。在两端主拉应力1σ方向是倾斜的，所以裂隙也是与主应力正交而倾斜。正因为这样，在钢筋混凝土受弯构件中，主要承受拉力的钢筋应大致按照主应力1σ
迹线来配置排
列，以承担梁内各点处的最大拉应力。
7.3 应力状态分析的图解法
一、应力圆方程
由式（7-1）（7-2）可知在二向应力状态下，在法向倾角为α的斜截面上的正应力与切应力均为α的函数。现消去α，则有，
ατασσσσσα2sin 2cos 22x x xy y
y --=+-
ατασστα2cos 2sin 2x xy y
+-=
以上两式等号两边平方，然后相加，得
2
xy 2x 22x 2
2τσστσσσαα+-=++-）（）（y y
以横坐标表示σ，以纵坐标表示τ，上式时一个以ασ和ατ为变量的圆周方程，圆心的横坐标为
2
x y
σσ+；纵坐标为零。圆的半径为2
xy
2x 2
τσσ+-）（
y
。这一圆周称为应力 圆。又称摩尔应力圆，简称摩尔圆。 二、应力圆的作法
以图a 所示单元体为例说明应力圆的做法。先建立τσ-直角坐标系，按一定比例尺量取横坐标x OA σ=， xy AD τ=,先确定D 点（见图B ）。量取y OB σ=，
xy D B τ='，确定D '，根据前节符号规定，yx τ为负，所以D 点与D '点分别位于横坐标的上下边。连接D 、D '与横坐标交于C 点。以C 点为圆心，CD 为半径作圆，显
然圆心C 的纵坐标为零，横坐标为2
OB OA 21
OD x y σσ+=
+=）（，所以，C 点即是应力圆的圆心。圆半径2
2x 22)2(AD CA CD xy
y τσσ++=+=。所以，图b 所作的xy τ
yx
τ ,0)
三、应力圆的应用
（一）二向应力状态单元体与应力圆的对应关系
1. 点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一截面上的正应力和切应力值。
2. 二倍角对应 单元体上任意两个斜截面的外法线之间的夹角若为α，则对应在应力圆上代表该斜截面上应力的两点之间的圆弧所对应的圆心角必为α2。
3. 转向对应 应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变，对应地，单元体上斜截面的法线亦沿相同方向旋转，才能保证斜截面上的应力与应力圆上半径端点的坐标相对应。
（二）确定单元体斜截面上的应力
根据以上的对应关系，可以从作出的应力圆确定单元体内任意斜截面那个的应力值。注意上图a 、b ，若求法线n 与x 轴夹角为逆时针α角的斜截面的应力ασ、ατ，则在应力圆上，从D 点也按逆时针方向沿圆周转到E 点，且使DE 弧所对应的圆心角α2，则E 点的坐标就代表以n 为法线的斜面上的应力ασ、ατ。 证明：
?
???
?
?
?+=+=-+=++=αααααααααααα2sin 2cos CE 2cos 2sin CE )22(sin CE OF 2sin 2cos CE 2cos 2cos CE OC )
22(cos CE OC OF 000000
因为=
2
CA 2cos CD 2cos CE x 00y
σσαα-=
==
xy ταα===AD 2sin CD 2sin CE 00
所以 ασατασσσσ=-++
-=2s i n 2c o s 2
2
OF x x xy y
y
ασατασσ=+-=
2c o s 2s i n 2
F E x xy y
这就是式（7-1）（7-2），证毕。 （三）主应力的数值和主平面的方位
由于应力圆上1A 点的横坐标（正应力）最大，纵坐标（切应力）等于零，所以1A 代表最大主应力，即：11max A OC OA C +==σ
同理，1B 点表示最小正应力，即：11min CB -OC OB ==σ。
OC 是应力圆的圆心横坐标，而1CA 则和1CB 都是应力圆的半径，则：
2
2min max )2
(2xy y x y
x τσσσσσσ+-±+=??? 在应力圆上有D 点到1A 点所对圆心角为顺时针的02α，在单元体中由x 轴也顺时针量取0α，这就确定了max σ所在平面的法线位置，按照关于α的符号规定，顺时针
的0α是负的，02α应为负值，所以y x xy σστα--==2CA AD
-2tan 0
(四)确定最大切应力及其作用平面位置
由应力圆可知，1G 和2G 两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力。因为1CG 和
2CG 都是应力圆的半径，故有
2
2min max )2
(xy y x τσσσσ+-±=??? 在应力圆上，由1A 到1G 所对圆心角为逆时针主平面的2π，所以在单元体内，最大切应力所在平面与max σ所在主平面的夹角为逆时针的4π。
也可以在应力圆上直接标出主应力的方向、主平面的位置和最大切应力平面的方
向。如下图c 所示，只需延长直线DA 与圆周交于另一点K ，连1KA ，它就是与max σ所在的主平面平行的方向，连1KB ，即为max σ的方向。因为D 、K 两点是对称于x 轴的，所以，11DA KA =,0112CD A CK A α=∠=∠, 由于CK A K B A 111∠∠和分别是同
一圆弧所对的圆周角和圆心角，因此001
1221
K B A αα==∠）（，于是由K A 1和K B 1两线的方向，就能画出主平面单元体，明确地表明了主平面和主应力的方向。同理，直线
KG 则与最大切应力所在的平面平行。
σ
方向
max
c)
σx
从应力圆1σ逆时针转锐角到最大剪应力，引出剪应力趋向法
例题：试用应力圆求出下图所示单元体在
300=α斜截面上的应力，主应力的大
小并确定主平面的方位。
7.4 广义胡克定律
一、广义胡克定律
在第二章讨论了单向拉伸或压缩时，由各向同性材料在线弹性范围之内的应力应变关系的实验结果，得到单向应力状态下应力与应变的关系是：
εσE = 或 E σ
ε= （a ）
此外，轴向的变形还将引起横向尺寸的变化，横向应变ε'还可以表示
E σ
εεv v -=-='，其中，v 为材料的泊松比。 ( b )
在纯剪切的情况下，实验结果表明，在线弹性范围之内，切应力和切应变之间的关系是
γτG = 或 G
τ
γ=
（c ）
在最普遍的情况下，描述一点的应力状态需要九个应力分量， 如图
0 50 100
比例尺
MPa
σ
D '(B 31σ
根据切应力互等定理，在九个应力分量中，独立的应力分量只有六个，即x σ、y σ、
z σ、和xy τ、xz τ、yz τ。这种普遍情况可以看做三组单向应力和三组纯剪切的组合。
对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围之内时，线应变只与单向应力有关，
而与切应力无关；切应变只与切应力有关，而与正应力无关。
利用（a ）（b ）（c ）三式求出应力分量各自对应的应变，然后进行叠加。如在x σ、
y σ、z σ共同作用下得到x 方向的线应变：
[])(1x x x z y X z y x x
v E
E
v E
v E
σσσσσσεεεε+-=--='''+"+'= 同理，可以求出沿y 和z 方向的线应变，所以有
[]
[]
[]
?
???
?
?
?
??+-=+-=+-=)(1)(1)(1z y x x y z z x y z y X v E v E v E
σσσεσσσεσσσε （7-11）
同时在xy 、yz 和zx 三个面内的切应变分别为：
G
xy xy
τγ=
，G
yz yz
τγ=
，G
zx zx
τγ=
（7-12）
式（7-11）和式（7-12）称为一般应力状态下的广义胡克定律。 当单元体的三个主应力已知时，广义胡克定律化为 [][][]?
?????
?
??+-=+-=+-=)(1)(1)(1123331223211σσσεσσσεσσσεv E v E v E
0xy =γ，0yz =γ，0zx =γ 其中 1ε、2ε、3ε分别为沿着正应力x σ、y σ、z σ方向的主应变。 二、体积胡克定律
如右图所示单元体，边长分别是dx 、dy 、dz 。 变形前单元体体积 ： dxdydz V =
z
1
变形后三个棱边分别为
)dx 1(dx dx 11εε+=+ )dy 1(dy dy 22εε+=+ )dz 1(dz dz 33εε+=+
则变形后体积为
dxdydz )1)(1)(1(V 3211εεε+++=
展开上式，并略去含高阶微量的各项，得：
dxdydz )1(V 3211εεε+++=
单位体积的体积改变为
)(E
2v)
-(1321321V σσσεεεε++=++=
改写为 K m
σσσσε=++?=3)(E 2v)-3(1321V
其中 E
2v )-3(1=K ，33
21
σσσσ++=m K 称为体积弹性模量，m σ是三个主应力的平均值。 例题
1. 如图所示槽形刚体，其内放置一边长为mm 10a =的钢块，钢块顶面承受合力为
kN F 8=的均布压力作用，试求钢块的三个主应力，已知材料的弹性模量
200GPa E =，泊松比3.0=v 。
2. 如图所示的薄壁圆筒，壁厚mm 10=δ、外径mm 60D =，在表面A 处与其轴线
成 45和 135角即xy 方向分别贴上应变片。然后在圆筒两端作用外力偶矩e M ，已知材料的弹性模量200GPa E =，泊松比3.0=v ，若该圆筒的变形在弹性范围之内，且泊松比MPa 80max =τ。试求圆筒A 处的线应变x ε和y ε以及变形后筒壁的厚度。
7.5 强度理论
一、失效：屈服和断裂
材料在静载作用下失效的形式主要有两种：一种是断裂破坏，如铸铁在拉伸时，没有显著地塑性变形就发生突然断裂；另一种是屈服破坏，如低碳钢在拉伸时，发生显著地塑性变形，并出现明显的屈服现象。 二、强度理论：
材料按某种方式（屈服和断裂），是应力、应变或变形能等因数中某一因数引起的，无论是简单或复杂应力状态，引起失效的因数是相同的，而与应力状态无关。引起构件失效的假定因数的理论即强度理论。 三、四种常用的强度理论
1、最大拉应力理论（第一强度理论）
最大拉应力是引起断裂的主要因素。无论是什么应力状态，只要最大拉应力1
σ达到材料单向拉伸时的抗拉强度b σ就导致断裂。按第一强度理论建立的强度条件为：
[]σσ≤1，[]n
b
σσ=
其中，[]σ为许用应力，n 为安全因数
试验表明，该理论适用于解释脆性材料的受拉断裂破坏，如铸铁在单向拉伸下，断裂发生于拉应力最大的横截面。脆性材料的扭转也是沿拉应力最大的斜截面发生断裂。但这一理论没有考虑其他两个应力的影响，且对没有拉应力的状态（如单向压缩、三向压缩等）也无法应用。
2、最大拉应变理论（最大伸长线应变理论）
设材料直至断裂破坏都服从胡克定律，则材料在单向拉伸至断裂时伸长线应变
极限值应为E u b σ
ε=。按照这一理论，只要最大拉应变1ε达到极限值E b σ材料就发生
断裂。故得断裂准则为
E
1b
σε=
由广义胡克定律，复杂应力状态下最大拉应变为
[])(1
3211σσσε+-=v E
代入断裂准则，
b 321(σσσσ=+-）v
将b σ除以安全因数的许用应力[]σ,按照第二强度理论建立强度条件是
[]σσσσ≤+-）321(v
根据最大拉应变理论建立的强度条件只适应于材料直至断裂破坏都服从胡克定律的情况。该理论与石料、混凝土等脆性材料受轴向压缩时沿垂直于压力的方向开裂的现象是一致的。并且铸铁在拉-压二向应力，且压应力较大的情况下，试验结果也与这一理论一致。
3、最大剪应力理论（第三强度理论）
这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素。即认为无论什么应力状态，只要最大切应力达到材料的某一极限值，材料发生屈服。该极限值就是试件在单向拉伸试验中达到屈服时，与轴线成 45的斜截面上的最大切应力，即2
S σ。
任意应力状态下最大切应力
2
3
1max σστ-=
，又
2
2
s
3
1σσσ=
-，
将s σ除以安全因数得到许用应力[]σ，按照第三强度理论建立的强度条件是
[]σσσ≤-31
试验表明，该理论与塑性材料出现塑性屈服的实验现象相吻合。但该理论未考虑中间主应力2σ对材料屈服的影响，且按照该理论计算的结果和试验结果相比是偏于安全的。 4、形状改变比能理论（第四强度理论）
这一理论认为形状改变比能（畸变能）密度是引起屈服的主要因素。畸变能的极限值是通过单向拉伸实验求得。材料在单向拉伸下屈服时正应力为s σ，相应的
畸变能密度为)(2E 612S σv +。在任意应力状态下，只要畸变能密d σ度达到)(2E 612
S σv +，便引起材料的屈服。
故得屈服准则为 )(2E 612
S d σσv +=
。 在任意应力状态下， []
2
13232221d
E 61）（）（）（σσσσσσσ-+-+-+=v 整理后的屈服准则为 []
s σσσσσσσ=-+-+-2
132322212
1）（）（）（
把s σ除以安全因数的许用应力[]σ，于是按第四强度理论得到的强度条件是：
[]
[]σσσσσσσ≤-+-+-2132322212
1）（）（）（ 试验表明，该理论对于塑性材料如钢、铜、铝的薄管试验结果能较好吻合，且比第三强度理论更能符合试验结果。
把四个强度理论的强度条件写成以下统一形式： []σσ≤r
式中，[]σ为材料的许用应力；r σ为复杂应力状态下按不同强度理论，由三个主应力按一定形式组合而成的应力值，称为相当应力。
从第一强度理论到第四强度理论的顺序，相当应力分别为：
[]
???
?
?
????
-+-+-=-=+-==213232221r431r3321r2r r121)(）
（）（）（σσσσσσσσσσσσσσσσv
这些强度理论均仅适用于常温、静载条件下的均质、连续、各项同性的材料。一般情况下，对于铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，破坏通常表现为断裂的形式，故对脆性材料宜采用第一和第二强度理论。对于碳钢、铜、铝等塑性材料，破坏时通常表现屈服的形式，因此对于塑性材料宜采用第三和第四强度理论。
即使是同一材料，其破坏形式也会随应力状态的不同而不同。例如，低碳钢材料的试件在单向拉伸下以屈服的形式失效，但在三向拉伸应力状态下，且三个主应力值接近时，发生脆性断裂。又如，铸铁单向受拉时以断裂的形式失效，但将淬火后的钢球压在铸铁板上，接触点附近的材料处于三向受压状态，随着压力的增大，铸铁板会出现明显的凹坑，引起塑性变形。以上例子说明材料的失效形式是与应力状态有关的。无论是塑性或是脆性材料，在三向拉应力相近的情况下，都以断裂的形式失效，宜采用第一或第二强度理论。在三向压应力相近的情况下，都可以引起塑性变形，宜采用第三或第四强度理论。 例题
1. 由Q235钢制成的两端封闭的圆柱形薄壁容器，外径D=1m ，壁厚mm 10=δ，容器内承受蒸汽内压p=3MPa ，Q235钢的许用应力为[]160MPa =σ，试校核该容器壁的强度。
解：（1）圆筒横截面上的正应力σ'
M P a 75m
1014m 1Pa 1034PD D 4D P A F 262=????===='-δδππσ （2）圆筒纵向截面上的应力σ''
由圆筒及其受力的对称性可知，所有过圆筒轴线的纵向截面都是对称面，纵向截面上切应力为零，只有正应力σ''。由于圆筒壁厚远小于直径，可认为正应力σ''沿壁厚均匀分布。现从圆筒中取出一端相距l 的圆环，并沿直径方向截开，取其上部分，由平衡条件得：
02=-''plD ll δσ
MPa 150m
1012m
1Pa 10322
6=????==''-δσPD 在圆筒壁上任取一点A 周围截取单元体，忽略内壁的压强P 作用，于是得到二向应力状态，并且σ''和σ'皆为主应力。
MPa 1501=''=σσ M P a 752='=σσ 03≈σ （3）强度校核
用第三强度理论进行校核：[]σσσσ≤=-=-=MPa 1500150313r 。薄壁圆筒满足第三强度理论的强度条件。
用第四强度理论进行强度校核：
[]
[]
[]
σσσσσσσσ<=?-+-+-=
-+-+-=MPa 130101500075751502
12
1122
222
13232221r4）（）（）（）
（）（）（ 所以薄壁圆筒也满足第四强度理论的强度条件。
2. 一工字形截面简支梁受力如图，工字形截面尺寸由图给出，已知钢的许用应
[]170MP a =σ，[]100MPa =τ。试全面校核该梁的强度。
解：
(1) 作梁的剪力图和弯矩图。在截面C 、D 处弯矩和剪力都是最大。所以C 、D 是危险截面。其弯矩和剪力分别为m kN 100M max ?= kN 100Q max =F (2)校核弯曲正应力强度
先计算横截面对中性轴z 轴的惯性矩4-8Z m 1075.5011I ?=
最大正应力发生在C 、D 截面的上下边缘各点，其值为：
[]M P a 170MPa 5.144105.11075101610100M 8
2
3max max max =<=????==--σσZ I y ， 满足正应力强度条件。
(3)校核切应力强度
计算横截面上中性轴以下面积对中性轴z 轴的静矩3
-6*Zmax m 1033.403S ?=
危险截面上中性轴上的最大切应力为[]MPa 100MPa 3.38S F *Zmax
Qmax max =<==ττb
I Z
满足切应力强度条件。
(4)校核主应力
在危险截面C 和D ，距中性轴最远的上下边缘处有最大正应力，在中性轴上有最大切应力，通过上面的计算这两处的强度是满足要求的。但是在截面C 、D 上内
力M 、Q F 具有最大值。而且在截面腹板和翼缘交接处正应力和切应力都相当大，故该点的主应力也就较大，有可能是造成梁破坏的危险点，所以有必要选择适当的强度理论对截面腹板和翼缘交接处各点进行主应力校核。为此，考虑a 点，围绕a 点沿横截面和水平截面截出一个单元体，其横截面上的正应力和切应力分别求出：
MPa 9.13010
5.11075105.1410100M 8
2
3max =????==--Z I y σ MPa 3.2810
95.0105.110751029810100S F 286
3*Z Qmax =??????==
---b
I Z τ 其中*Z S 是截面的下翼缘面积对中性轴的静矩，
36222
*Z m 102981025.15.141050.110
0.13S ----?=?+????=）（ a 点处于二向应力状态，则
?
??-=?+?±?=+±=+-±+=???MPa MPa xy y y 9.58.136)103.28(2109.1302109.1302
2222
6266222
2x x 31）（）（）（τσστσσσσσσ
02=σ
因为该工字钢是塑性材料，采用第三强度理论进行校核：
[]σσσσ<=--=-=MPa 7.1429.58.136313r ）（ 采用第四强度理论进行校核：
[]
[]στσσσσσσσσ<=+=-+-+-=
MPa 8.13932
1222
13232221r4）（）（）（ 满足强度条件，所以该梁式安全的。 四、莫尔强度理论
莫尔强度理论是以各种应力状态下材料的破坏试验结果为依据建立的。 单向拉伸试验时，材料失效时横截面上的应力为屈服点s σ或抗拉强度b σ，在
τσ-平面，以s σ或b σ为直径作应力圆，称为该材料在单向拉伸时的极限应力圆。
同样，可以确定单向压缩试验的极限应力圆和由纯剪切试验确定的极限应力圆。三向应力状态下任意方向的斜截面面上的应力均在1σ和3σ确定的应力圆。 当应力圆与公切线相切时，下述 关系成立: 211
323O O O O E O D O = 容易求出：
[]2
-2
-A O -C O CD -C O D O t 3
11333σσσ===
=
[]
-2A O -B O EB -B O E O 1
222σc ====[]2
2
O O O O O O 31t 1313σσσ+-=+=
[][]
22
O O O O O O c t 1221σσ+=
+=
经简化得出[][][]t 31
σσσσσ=c t －
那么有1σ和3σ所确定的应力圆在公切线范围内的强度条件就是莫尔强度理论
D
t D
C D
的强度条件：[][][]t c t σσσσσ≤31－ 相当应力[][]
[]t c t M
σσσσσσ≤=31r － 试验表明，对于抗拉强度与抗压强度不等的脆性材料，例如铸铁和岩石等，莫尔强度往往能给出比较满意的结果。对于抗拉强度和抗压强度相等的材料[][]t σσ=c ，所以上式化为
[]σσσ≤-21
就是最大切应力理论的强度条件。
例题 某T 形截面铸铁梁，尺寸如图所示。截面上弯矩为M=-8kN ?m ，剪力N -10k F Q =.试用莫尔强度理论校核腹板与翼缘交界处b 点的强度。设铸铁的抗拉和抗压许用应
力分别为[]MPa 35t =σ，[]MPa 160c =σ
例题
1. 从钢构件内某一点周围取一单元体如图所示。已知。a 15,a 30MP MP ==τσ材料弹性常数。，30.0a 200==v GP E 试求对角线AC 的长度改变。l ?
103.3
r
第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = MPa mm mm N 618 . 79 80 14 .3 10 8 16 3 3 6 = ? ? ? ? = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 = ∑A M 4.0 2 8.0 2.1= ? - - ? B R ) ( 333 .1kN R B = A σ A τ
)(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 0x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/3003002 2 ==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于 060~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切 应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ， A τ B τ B σA τA σ
西南交it 大学应用力*与工程系材#^力学教研i 图示拉伸甄压缩的单向应力状态，材料的破 坏有两种形式： 塑性屈服；极限应力为0■力=<5；或bpO2 腌性斷裂；极限应力为O ■必= CJ\ 此时，4 O>2和偽可由实验测得.由此可建 互如下S 度余件： ^mai 其中n 为安全系数? 2）纯剪应力状态： 图示纯剪应力狀态，材料的破 坏有两 种形式： 塑性屈服：极限应力为 腌性斯裂：极限应力为5 = 5 %和昭可由实验测得.由此可建立如下 =(^■1 it §7.7强度理论及其相当应力 1、概述 1）单向应力状态: a. ＜亠［6 n 其中, ?度条件:
前述a 度条件对材料破坏的原因并不深究.例如 图示低碳钢拉（压）时的强度条件为： r V J - b, b|nw W — — — // n 然而，其屈服是由于 YnurJl 起的,对?示单向 应力状态，有： 「niu 依照切应力强度条件，有： 4）材料破坏的形式 常温、静栽时材料的破坏形式大致可分为: ?腌性斷裂型： 例如：铸铁：拉伸、扭转等； "钢：三向拉应力状态. -塑性屈月艮型： 例如：低碳钢：拉伸、扭转寻； 铸铁：三向压缩应力状态. 可见：材料破坏的形式不仅与材料有关，还与应力状态有关. , 5）强度理论 根据一些实验资料，针对上述两种破坏形式，分别针对它们发生破坏的原因提出假说，并认为不论材料处于何种应力状态，某种类型的破坏都是由同一因素引起，此即为强度理论. 常用的破坏判据有： 旎性断裂：5,磁可皿 ?性斷裂：V； 下面将讨论常用的-基于上述四种破坏判据的?虞理论. 图8-1 第 8章 应力状态及强度理论 例8-1 已知应力状态如图7-1所示，试计算截 面m-m 上的正应力m σ与切应力m τ 。 解：由图可知，x 与y 截面的应力分别为 MPa x 100-=σ MPa x 60-=τ MPa y 50=σ 而截面m-m 的方位角则为 α= -30o 将上述数据分别代入式（7-1）与（7-2）， 于是得 ()()()()MPa m 5.11460sin 6060cos 250100250100-=?-?+?---++-=σ()()()MPa m 0.3560cos 6060sin 2 50100=?-?-?---=τ 例8-2 试用图解法解例8-1（图8-2a ）。 (a) (b) 图8-2 解：首先，在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-100，-60）与(50，60)分别确定A 和B 点图7-2b ）。然后，以AB 为直径画圆，即得相应的应力圆。 为了确定截面m-m 上的应力，将半径CA 沿顺时针方向旋转α2=60o至CD 处，所得D 点即为截面m-m 的对应点。 按选定的比例尺，量得OE =115MPa （压应力），ED =35MPa ，由此得截面 m-m 的正应力与切应力分别为 MPa m 115-=σ MPa m 35=τ 例 8-3 从构件中切取一微体，各截面的应力如图8-3a 所示，试用解析法与图解法确定主应力的大小及方位。 (a) (b) 图8-3 解：1.解析法 x 和y 截面的应力分别为 MPa x 70-=σ，MPa x 50=τ，0=y σ 将其代入式 (7-3）与 (7-5），得 }{MPa MPa 2696502070207022max min -=+?? ? ??--±+-=σσ ?-=??? ??--=?? ? ??-- =5.6202650arctan arctan max y x o σστα 由此可见， MPa 261=σ，02=σ，MPa 963-=σ 而正应力1σ 的方位角 o α则为-62.5o(图8-3a ）。 2.图解法 按选定的在τσ-平面内，按选定的比例尺，由坐标(-70，50）与(0，-50)分别确定D 和E 点（图8-3b ）。然后，以DE 为直径画圆即得相应的应力圆。 应力圆与坐标轴σ相交于A 和B 点，按选定的比例尺，量得OA =26MPa ， 7.1已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x ασσσσ σατα+-= + -=sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）max 261.82 x y MPa σσσ+= = min 38.22x y MPa σσσ+== MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 7.2扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 2 στ τ 7.3用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成 45方向上的正应变4 100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传 递的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()113 1 1E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ= +V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 7.4图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成 60 方向上的正应变4 60101.4-?= ε，E=200GPa ，0.3υ=， 试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P=36.2KN 第七章应力状态分析强度理论 7.1 应力状态概述 一、工程实例 1. 压缩破坏 2. 弯曲拉伸破坏 3. 弯曲剪切破坏 4. 铸铁扭转破坏 5. 低碳钢扭转破坏 二、应力状态的概念 1. 点的应力状态 过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。2. 一点应力状态的描述 以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体（单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上的应力可描述一点应力状态。 3. 求一点应力状态 （1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡 （2）单元体任意部分平衡 （3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力，即点在任意方位的应力。 三、应力状态的分类 1. 单元体：微小正六面体 2. 主平面和主应力： 主平面：无切应力的平面 主应力：作用在主平面上的正应力。 3. 三种应力状态 单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如A 、E 点 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如B 、D 点 三向应力状态：三个主应力都不等于零 四、应力状态分析的方法 1. 解析法 2. 图解法 7.2 应力状态分析的解析法 一、解析法 图示单元体，已知应力分量x σ、y σ 、xy τ和yx τ。 x x x （一）任意截面上的正应力和切应力： 利用截面法，考虑楔体bef 部分的平衡。设ef 面的面积为dA ， ∑=0 F n 0sin )Asin (cos )sin A (cos )cos A (sin )cos A (A =-+-+αασααταασαατσαd d d d d y yx x xy ∑=0F t sin )Asin (cos )sin A (sin )cos A (cos )cos A (A =++--ααταασαασαατταd d d d d yx y x xy 根据切应力互等定理： y x xy ττ= 三角函数关系：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2 αα-=，?=cos sin 22sin αα 解得： ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 x x xy y y --+ += （7-1） ατασστα2cos 2sin 2 x xy y +-= （7-2） （二）主应力即主平面位置 将式（8-1）对取一次导数，并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。 令0αα=时，0d d =α σα 即： y x xy xy y x σσταατασσασα -- ==?? ????+--=22tan 02cos 2sin 22d d 000 将0α和ο 900+α代入（8-1），求出最大及最小的正应力为： 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=??? （三）最大切应力及其作用平面的位置 将式（8-2）对α取一次导数，并令其等于零可确定切应力的极值和它所在平面的位置。 第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥ 已知应力状态如图所示（单位：MPa ），试求： ⑴指定斜截面上的应力； ⑵主应力； ⑶在单元体上绘出主平面位置及主应力方向； ⑷最大切应力。 解： 100x MPa σ= 200y MPa σ= 100x MPa τ= 0 30α=- （1）cos 2sin 2211.622 x y x y x MPa ασσσσσατα+-= + -= sin 2cos 293.32 x y x MPa ασστατα-=+= （2）2 2max 261.82 2x y x y x MPa σσσσστ+-??= += ??? 2 2 min 38.222x y x y x MPa σσσσστ+-??=+= ??? MPa 8.2611=σ MPa 2.382=σ 03=σ （3）13 max 130.92 MPa σστ-== 扭矩m kN T ?=5.2作用在直径mm D 60=的钢轴上，试求圆轴表面上任一点与母线成 30=α方向上的正应变。设E=200GPa, 0.3υ=。 解：表面上任一点处切应力为： max 59P T MPa W τ= = 表面上任一点处单元体应力状态如图 30sin 251MPa στα=-=- 120sin 251MPa στα=-= () 00430301201 3.310E εσυσ-= -=? 100100 200 60T α A 2 σ1 στ τ 用电阻应变仪测得空心钢轴表面某点与母线成 45方向上的正应变 4100.2-?=ε，已知转速min /120r ，G=80GPa ，试求轴所传递 的功率。 解：表面任一点处应力为 max 9550P P P T n W W τ== max 9550 P W n P τ∴= 纯剪切应力状态下，0 45斜截面上三个主应力为：1στ= 20σ= 3στ=- 由广义胡克定律 ()11311E E υ εσυστ+= -= 又()21E G υ=+V 2G τε∴= 代入max 9550 P W n P τ= ，得109.4P KW = 图示为一钢质圆杆，直径mm D 20=，已知A 点与水平线成 60方向上的正应变460101.4-?= ε，E=200GPa ，0.3υ=，试求荷载P 。 解：0P A σ= 204D P πσ=? 斜截面上 02 060cos 4 σσσα== 2001503cos 4 σσσα== 由广义胡克定律 () 0006015060134E E υεσυσσ-= -= 将060043E εσυ = -代入2 04 D P πσ=? 解得P= 45A 80120 60 A P 材 料 力 学 ·170 · 第8章 应力分析·强度理论 8.1 概 述 前面几章中，分别讨论了轴向拉伸与压缩、扭转和弯曲等几种基本变形构件横截面上的应力，并根据相应的实验结果，建立了危险点处只有正应力或只有切应力时的强度条件 []max σσ≤或[]max ττ≤ 式中：max σ或max τ为构件工作时最大的应力，由相关的应力公式计算；[]σ或[]τ为材料的许 用应力，它是通过直接实验（如轴向拉伸或纯扭），测得材料相应的极限应力，再除以安全因数获得的，没有考虑材料失效的原因。这些强度条件的共同特点是：其一，危险截面的危险点只有正应力或只有切应力作用；其二，都是通过实验直接确定失效时的极限应力。 上述强度条件对于分析复杂情形下的强度问题是远远不够的。例如，仅仅根据横截面上的应力，不能分析为什么低碳钢试样拉伸至屈服时，表面会出现与轴线成45°角的滑移线；也不能分析铸铁圆试样扭转时，为什么沿45°螺旋面断开；根据横截面上的应力分析和相应的实验结果，不能直接建立既有正应力又有切应力存在时的强度条件。 实际工程中，构件受力可能非常复杂，从而使得受力构件内截面上一点处往往既有正应力，又有切应力。对于这些复杂的受力情况，一方面要研究通过构件内某点各个不同方位截面上的应力变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在的截面方位；另一方面需要研究材料破坏的规律，找出材料破坏的共同因素，通过实验确定这一共同因素的极限值，从而建立相应的强度条件。 本章主要研究受力构件内一点的应力状态，应力与应变之间的关系（广义胡克定律）以及关于材料破坏规律的强度理论，从而为在各种应力状态下的强度计算提供必要的理论基础。 8.2 一点的应力状态·应力状态分类 受力构件内一点处不同截面上应力的集合，称为一点的应力状态。为了描述一点的应力状态，在一般情况下，总是围绕这点截取一个3对面互相垂直且边长充分小的正六面体，这一六面体称为单元体。当受力构件处于平衡状态时，从构件内截取的单元体也是平衡的，单元体的任何一个局部也必是平衡的。所以，当单元体3对面上的应力已知，就可以根据截面法求出通过该点的任一斜截面上的应力情况。因此，通过单元体及其3对互相垂直面上的应力，可以描述一点的应力状态。 为了确定一点的应力状态，需要先确定代表这一点的单元体的6个面上的应力。为此，在单元体的截取时，应尽量使其各面上应力容易求得。 第五章应力状态分析与强度理论 1、内容提要 1.应力状态的概念 1.1一点的应力状态 通过受力构件的一点的各个截面上的应力情况的集合，称为该点的应力状态。 1.2一点的应力状态的表示方法——单元体 研究受力构件内一点处的应力状态，可以围绕该点取一个无限小的正六面体，即单元体。若单元体各个面上的应力已知或已计算出，则通过该点的其他任意方位截面上的应力就可用解析法或图解法确定。 1.3主平面、主应力 单元体上切应力为零的平面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。 过受力构件内任一点总有三对相互垂直的主平面。相应的主应力用、、来表示，它们按代数值的大小顺序排列，即。是最大主应力，是最小主应力，它们分别是过一点的所有截面上正应力中的最大值和最小值。 1.4应力状态的分类 （1）单向应力状态，只有一个主应力不为零，另两个主应力均为零；（2）二向或平面应力状态，两个主应力不为零，另一个为零； （3）三向或空间应力状态，三个主应力都不为零。 单向应力状态又称简单应力状态，二向、三向应力状态称为复杂应力状态。 2.平面应力状态分析的解析法 在平面应力状态的单元体中，有一对平面上的应力等于零，即为主平面，其上主应力为零。可将单元体用平面图形表示，如图5-1所示。 2.1任意斜截面上的应力 当已知、、时，应用截面法，可得 （5-1） 式中，正应力以拉应力为正，压应力为负；切应力以对单元体内任意点的矩为顺时针转向为正，反之为负；为斜截面外法线与x平面外法线即x 轴间的夹角，角从x轴量起，反时针转向为正，反之为负。 2.2主应力 （5-2） 式中，和分别表示单元体上垂直于零应力面的所有截面上正应力的最大值和最小值。它们是三个主应力中的两个，而另一个主应力为零。三个 (2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解：(1) MPa 6.762sin 2cos 2 2 =--+ += ατασσσσσα x y x y x MPa 7.322cos 2sin 2 -=+-=ατασστα x y x (2) 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02 =σ，98.1213-=σ MPa 35.3940 200 arctan 21)2arctan( 2 10== --=y x xy σστα 2. 解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ由02cos 2sin 2 120 =+-= ατασστxy y x 得125-=y σMPa 所以2 2m in m ax )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-± += 200 100 15050)9.129(755022-= ±-=-+± -= MPa 1001=σ MPa ，02=σ，2003-=σ MPa 3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。 解：150=y σ MPa ，120-=x τ MPa 由 ατασστ2cos 2sin 2 45 xy y x +-= 802 150 -=-= x σ 得 10-=x σ MPa 所以 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 22 .7422.214-= MPa 22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ 4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。求靠圆筒内壁任一 点处的主应力。 解：75.505.032 ) 1.0104.0(π1019 2.0443 =?-?= x τ MPa 504==t pd x σ MPa 1002==t pd y σ MPa 35.497.100)2 (22 2min max =+-±+=xy y x y x τσσσσσσ MPa 7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa 5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使100=x σMPa ，20=x τ α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ' 45-M e 第七章 应力和应变分析 强度理论 §7.1应力状态概述 过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态 §7.2二向和三向应力状态的实例 §7.3二向应力状态分析—解析法 1．任意斜截面上的应力 在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线n 。 在外法线n 和切线t 上列平衡方程 αασαατσc o s )c o s (s i n )c o s (dA dA dA x xy a -+ 0s i n )s i n (c o s )s i n (=-+αασαατdA dA y yx αασαατ τsin )cos (cos )cos (dA dA dA x xy a -- 0sin )sin (cos )sin (=++ααταασdA dA yx y 根据剪应力互等定理，yx xy ττ=，并考虑到下列三角关系 22sin 1sin ,22cos 1cos 22 α ααα-=+= ， ααα2sin cos sin 2= 简化两个平衡方程，得 ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += xy τyx τn α t ατασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= 2．极值应力 将正应力公式对α取导数，得 ?? ????+--=ατασσασα 2cos 2sin 22xy y x d d 若0αα=时，能使导数 0=α σα d d ，则 02cos 2sin 2 00=+-ατασσxy y x y x xy tg σστα-- =220 上式有两个解：即0α和 900±α。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= ??? 0α代入剪力公式，0ατ为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平 面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。 将切应力公式对α求导，令 02sin 22cos )(=--=ατασσα τα xy y x d d 若1αα=时，能使导数0=α τα d d ，则在1α所确定的截面上，剪应力取得极值。通过求导可得 02sin 22cos )(11=--ατασσxy y x xy y x tg τσσα221-= 求得剪应力的最大值和最小值是： 2 2min max )2 ( xy y x τσσττ+-±=??? 与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方 第八章 应力状态和强度理论 授课学时：8学时 主要内容：斜截面上的应力；二向应力状态的解析分析和应力圆。三向应力简介。 $8.1应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力 1．应力状态 过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态 2．单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力 A N =σ 斜截面上的应力 ασα cos cos ===A P A P p a a 斜截面上的正应力和切应力为 ασασ2cos cos ==a a p ασ ατ2sin 2 sin = =a a p 可以得出 0=α时 σσ=max 4 π α= 时 2 m a x σ τ= 过A 点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。三个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态。三个主应力中有两个不为零，称为二向应力状态。三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列，即为321σσσ≥≥。 P P a a α $8.2二向应力状态下斜截面上的应力 1． 任意斜截面上的应力 在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线n 。 在外法线n 和切线t 上列平衡方程 αασαατσc o s )c o s (s i n )c o s (dA dA dA x xy a -+ 0sin )sin (cos )sin (=-+αασαατdA dA y yx αασααττ sin )cos (cos )cos (dA dA dA x xy a -- 0sin )sin (cos )sin (=++ααταασdA dA yx y 根据剪应力互等定理，yx xy ττ=，并考虑到下列三角关系 22sin 1sin ,22cos 1cos 22 α ααα-=+= ， ααα2sin cos sin 2= 简化两个平衡方程，得 ατασσσσσα2sin 2cos 2 2 xy y x y x --+ += ατασστα2cos 2sin 2 xy y x +-= 2．极值应力 将正应力公式对α取导数，得 ?? ????+--=ατασσασα 2cos 2sin 22xy y x d d 若0αα=时，能使导数 0=α σα d d ，则 02cos 2sin 2 00=+-ατασσxy y x y x xy tg σστα-- =220 上式有两个解：即0α和 900±α。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取 xy τyx τn α t 第七章 应力状态和强度理论 习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A 点和B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a ）] 解：A 点处于单向压应力状态。 2244 12d F d F F A N A ππσ-=-== [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 331616 1d T d T W T P A ππτ-=== MPa mm mm N 618.798014.3108163 36=????= [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 0=∑A M 04.028.02.1=?--?B R )(333.1kN R B = A σ A τ )(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa m m m m m m N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa m m m m m m N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa m m m m N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa m m m m N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x = σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/30030022==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0 60 ~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ，且这一拉杆 A τ B τ B σA τA σ 《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解. 第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = A σ A τ MPa mm mm N 618.798014.3108163 36=????= [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 0=∑A M 04.028.02.1=?--?B R ) (333.1kN R B = ) (333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.14 36=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(1333433 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.393 33=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ A τ B τ B σA τA σ 《工程力学》第7次作业（应力状态与强度理论） 2009－2010学年第2学期3系、5系各班 班级学号姓名成绩 一、填空题 1．过构件内某点各个截面中的最大正应力和最小正应力就是该点处的。 2．最大切应力作用面与主应力作用面成度角。 3．研究点的应力状态，通常是该点取单元体，由于单元体尺寸为，所以可认为单元体每个侧面上的应力是；两相互平行的侧面上相应的应力大小是的，符号是的。 4．若单元体某一截面上的，则该截面称为主平面；主平面上的称为主应力。一个单元体上有相互的三对主平面，因此有三个主应力，它们按代数值大小的排列顺序是。 5．人们把从生产实践和力学试验中观测到的材料失效现象与构件的应力分析相结合，提出了一些解释材料在复杂应力状态下失效原因的假说，这些假说称为。材料失效的现象尽管多种多样，但其主要形式不外乎两种：一是，二是。 6．第一强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。 7．第三强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。 8．第四强度理论认为是引起材料失效的原因，其强度条件为。 二、问答题 1、什么叫一点处的应力状态？为什么要研究一点处的应力状态？如何研究一点处的应力状态？ 2、.什么叫单元体？什么叫主平面和主应力？主应力与正应力有什么区别？ 三、计算题 1、试画出图示简支梁上点A和B处的应力单元体，并算出这两点的主应力数值。 2、试求各单元体中指定斜截面上的正应力和切应力。 3、对于下列所示的单元体，试求： （1）求出主应力和主平面方位； （2）画出主单元体； （3）最大切应力。 4、如图所示的圆轴，直径30=d mm ，如拉力50=F KN ，扭矩2.0=M KN·m ， []120 =σMPa 。试按第三和第四强度理论，校核其强度。 第七章 应力状态和强度理论习题 一、单项选择题 1、第三强度理论和第四强度理论适合于何种材料？ A 、塑性材料， B 、脆性材料 C 、金属材料， D 、非金属材料 2、第一强度理论和第二强度理论适合于何种材料？ A 、塑性材料， B 、脆性材料， C 、金属材料， D 、非金属材料。 二、 填空题 1、 对于单元体，切应力等于零的平面叫做 ，该平面上的正应力叫做 。 2、第一、二强度理论适合于 材料；第三、四强度理论适合于 材料。 3、第三强度理论的相当应力为 。 4、单元体上只有一对主应力数值不等于零的应力状态称为 应力状态。 5、单元体上只有二对主应力数值不等于零的应力状态称为 应力状态。 6、单元体上三对主应力数值都不等于零的应力状态称为 应力状态。 三、填空题 1、求图示单元体的三个主应力和最大切应力 （图中应力单位：Mpa ）。 答：单元体的三个主应力和最大切应力分别为： σ1= Mpa, σ2= Mpa, σ3= Mpa, τmax = Mpa 。 2、求图示单元体的三个主应力和最大切应力 （图中应力单位：Mpa ）。 答：单元体的三个主应力和最大切应力分别为： σ1= Mpa, σ2= Mpa, 图 7.3.1 图 7.3.2 σ3= Mpa, τmax = Mpa 。 3、已知应力状态如图所示，应力单位为MPa 试求：（1）主应力大小；（2）最大切应力。 4、已知应力状态如图所示，应力单位为MPa 。 试求：（1）主应力大小；（2）最大切应力。 1、A 2、B 二、填空题 1、主平面 主应力 2、 脆性 塑性 3 、r313s s s =- 4、单向 5、二向 6、三向 二、填空题 1、 2、 3、解： （1）应力分量 50020x y x MPa MPa σστ===- max min 57.0507.022x y MPa MPa σσσσ+??===??-?? MPa MPa 0.70 0.57321-===∴σσσ （2）最大剪应力 MPa 0.3220 .70.572 3 1max =+= -= σστ 第七章 应力状态和强度理论习题答案 一、单项选择题 1、A 2、B 二、填空题 1、主平面 主应力 2、 脆性 塑性 3、主平面 主应力 4 、eq313 s s s =- 5、主平面 主应力 6、单向 7、二向 8、三向 二、填空题 1、解： （1）应力分量 MPa MPa xy y x 200 50-===τσσ max min 57.0507.022x y MPa MPa σσσσ+??==±=??-?? MPa MPa 0.70 0.57321-===∴σσσ （2）最大剪应力 MPa 0.3220 .70.572 3 1max =+= -= σστ 2、解： （1）应力分量 MPa MPa MPa xy y x 253060-===τσσ max min 74.2603015.822x y MPa MPa σσσσ+??+=±= ±=???? 08 .152.74321===∴σσσMPa （2）最大剪应力 MPa 1.3720 2.742 3 1max =-= -=σστ 三、计算题 1、 解 简化力系 () ()() [] 200m m d 32 109.11025.1W T M m 25KN .12 1 5.22D F -2F M 9.5KN 522.52F F F F 3 2 62 6Z 2 Max 2Max r3P ≈≤?+?= +=?=?===++=++=解出总σπσd 2、解 由题 () ()() [] σπσ≤≈?+?= +=-=??=??=?=≤≤?-==??=??=?=∑MPa d W T M M T m m N L X X F Z r AB 12932 104.1105.1105.1150101L F M 0M 0M mm N 104.1140101L F M 3 2 52 52 2353AB Max 1A 53BC 所以符合强度 3、解： （1）外力分析，将作用在胶带轮上的胶带拉力F1、F2向轴线简化，结果如图 传动轴受竖向主动力： kN 1436521=++=++=F F G F ， 此力使轴在竖向平面内弯曲。 附加力偶为： ()()m kN 8.16.03621?=?-=-=R F F M e ， 此外力偶使轴发生变形。 故此轴属于弯扭组合变形。 （2）内力分析 分别画出轴的扭矩图和弯矩图如图。 危险截面上的弯矩m kN 2.4?=M ，扭矩m kN 8.1?=T （3）强度校核 应力状态和强度理论 一、判断题 1.若单元体某一截面上的剪应力为零，则该截面称为主平面。（） 2.主平面上的剪应力称为主应力。（） 3.当单元体上只有一个主应力不为零时，称作二向应力状态。（） 5.图2所示单元体最大剪应力为25Mpa。（） 6.图3所示单元体为单向应力状态。（） 图2图3图4 7. 向应力状态如图4所示，其最大主应力σ1=3σ（）。 8. 任一单元体，在最大正应力作用面上，剪应力为零。（） 9. 主应力是指剪力为零的截面上的正应力。（） 10.力圆上任一点的横坐标值对应单元体某一截面上的正应力。（） 二、选择题 1.图1所示应力圆对应的单元体为图（）。 图5 三、选择题 1.若一点的应力状态为平面应力状态，那么该点的主应力不可能为：（）。 A 、σ1> 0 σ2=σ3=0 B、σ1> 0 σ2 =0 σ3 < 0 C、σ1>σ2>0 σ3=0 D、σ1>σ2>σ3>0 ２.已知单元体各面上的应力如图，则其主平面方位为（）。 A、B、 C、D、 四、填空题 １.图示为一平面应力状态的单元体及其应力圆，试在应力圆上表示０－１，０－２，０－３平面的位置。 图6 2.试验表明，材料受力后的破坏主要有两种形式，一种是，是由于或所引起；另一种是，是由于所引起的。 3.一单元体如图所示，则单元体的主应力为__________ ，为 __________ ，为__________ ，最大主应力与x 轴的夹角为__________ 。 五、简单计算 1.单元体上的应力如图7所示，试求其它应力和最大剪应力。 2.图8所示单元体，试求图示斜截面上的正应力和剪应力。 图7图8 3.试求图示单元体o斜截面应力。已知：。 图9 第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥应力状态及强度理论
第7章 应力状态和强度理论 (答案)
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《材料力学》第7章应力状态和强度理论习题解.
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