2015-2016学年福建省福州市教院二附中高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线在平面外是指（）
A．直线与平面没有公共点
B．直线与平面相交
C．直线与平面平行
D．直线与平面最多只有一个公共点
2．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）
A．B．1 C．D．
3．下列说法中正确的是（）
A．三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线一定在同一平面内
D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内
4．已知直线l1经过A（﹣3，4），B（﹣8，﹣1）两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
5．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）
A． B．4 C． D．2
6．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2
7．直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（）
A． B．C． D．
8．设a 是函数x 的零点，若x 0＞a ，则f （x 0）的值满足（ ）
A ．f （x 0）=0
B ．f （x 0）＜0
C ．f （x 0）＞0
D ．f （x 0）的符号不确定
9．已知两条直线ax+y ﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a 等于（ ） A ．1或﹣3 B ．﹣1或3 C ．1或3 D ．﹣1或﹣3
10．在正方体ABCD ﹣A′B′C′D′中，点P 在线段AD′上运动，则异面直线CP 与BA′所成的角θ的取值范围是（ ）
A ．0＜
B ．0
C ．0
D ．0
11．已知PD⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）
A ．2对
B ．3对
C ．4对
D ．5对
12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱线长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=，
则下列结论中错误的是（ ）
A ．AC⊥BE
B ．EF∥平面ABCD
C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值
D ．异面直线A
E ，B
F 所成的角为定值
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共16分．把答案填在题中横线上．） 13．无论m 为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y ﹣7m ﹣4=0恒过定点 ． 14．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ．
15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是．
16．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB=AD=4cm，AA1=2cm，则点A1到平面AB1D1的距离等于
cm．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，0），C（1，1）（1）求点C到直线AB的距离；
（2）求AB边的高所在直线的方程．
18．已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
19．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．
（1）求证：BD1∥平面A1DE；
（2）求证：A1D⊥平面ABD1．
20．（1）直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．若l在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；
（2）已知A（﹣2，4），B（4，0），且AB是圆C的直径，求圆C的标准方程．
21．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=，M是AB
的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求MC与平面EAC所成的角．
22．已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0
（1）求实数m的值．
（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间
（3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．
2015-2016学年福建省福州市教院二附中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线在平面外是指（）
A．直线与平面没有公共点
B．直线与平面相交
C．直线与平面平行
D．直线与平面最多只有一个公共点
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，由此依次判断可得答案．
【解答】解：根据直线在平面外是指：直线平行于平面或直线与平面相交，
∴直线在平面外，则直线与平面最多只有一个公共点．
故选D．
2．如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）
A．B．1 C．D．
【考点】平面图形的直观图．
【分析】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且斜边长是2，得到直角三角形的直角边
长，做出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果．
【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，
∴直角三角形的直角边长是，
∴直角三角形的面积是，
∴原平面图形的面积是1×2=2
故选D．
3．下列说法中正确的是（）
A．三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线一定在同一平面内
D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】根据不共线的三点确定一个平面，可判断A是否正确；
根据两条相交直线确定一个平面α，第三条直线与这两条直线分别相交且交点不重合时，也在α内，由此可判断B正确；
根据当点在直线上时，不能确定平面来判断C是否正确；
根据空间四边形四点不共面来判断D是否正确．
【解答】解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；
对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；
对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；
对D，由C可知D正确．
故选：D．
4．已知直线l1经过A（﹣3，4），B（﹣8，﹣1）两点，直线l2的倾斜角为135°，那么l1与l2（）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】由斜率公式可得直线l1的斜率，由倾斜角可得直线l2的斜率，可判垂直关系．
【解答】解：由题意可得直线l1的斜率k1==1，
又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1，
显然满足k1?k2=﹣1，∴l1与l2垂直
故选A
5．如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（）
A． B．4 C． D．2
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．
【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h==3
故V==2
故选C
6．设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2
【考点】球的体积和表面积．
【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2=6a2，代入球的表面积公式，S球=4πR2，即可得到答案．
【解答】解：根据题意球的半径R满足
（2R）2=6a2，
所以S球=4πR2=6πa2．
故选B
7．直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（）
A． B．C． D．
【考点】两条平行直线间的距离．
【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．
【解答】解：直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距
离是： =．
故选：A．
8．设a是函数x的零点，若x0＞a，则f（x0）的值满足（）
A．f（x0）=0 B．f（x0）＜0
C．f（x0）＞0 D．f（x0）的符号不确定
【考点】函数单调性的性质．
【分析】作出y=2x和y=log x的函数图象，根据函数图象判断2和log x0的大小关系．
【解答】解：作出y=2x和y=log x的函数图象，如图：
由图象可知当x0＞a时，2＞log x0，
∴f（x0）=2﹣log x0＞0．
故选：C．
9．已知两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，则实数a等于（）
A．1或﹣3 B．﹣1或3 C．1或3 D．﹣1或﹣3
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】应用两直线平行关系的判定方法，列式直接求解即可．
【解答】解：两条直线ax+y﹣2=0和3x+（a+2）y+1=0互相平行，
所以=≠，
解得 a=﹣3，或a=1．
故选：A．
10．在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，点P在线段AD′上运动，则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是（）
A．0＜B．0C．0D．0
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】由A1B∥D1C，得CP与A1B成角可化为CP与D1C成角，由此能求出异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围．
【解答】解：∵A1B∥D1C，
∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．
∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为，
∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，
∴0＜θ≤．
故选：D．
11．已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（）
A．2对B．3对C．4对D．5对
【考点】平面与平面垂直的判定．
【分析】直接利用面面垂直的判定定理判断即利用题目中的条件找出线面垂直即可．
【解答】解：∵PD⊥矩形ABCD所在的平面且PD?面PDA，PD?面PDC，
∴面PDA⊥面ABCD，面PDC⊥面ABCD，
又∵四边形ABCD为矩形
∴BC⊥CD，CD⊥AD
∵PD⊥矩形ABCD所在的平面
∴PD⊥BC，PD⊥CD
∵PD∩AD=D，PD∩CD=D
∴CD⊥面PAD，BC⊥面PDC，AB⊥面PAD，
∵CD?面PDC，BC?面PBC，AB?面PAB，
∴面PDC⊥面PAD，面PBC⊥面PCD，面PAB⊥面PAD
综上相互垂直的平面有5对
故答案选D
12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】利用证线面垂直，可证AC⊥BE；判断A正确；
根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；
根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；
例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误．
【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE?平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；
∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF 的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；
∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合
时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；
故选D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共16分．把答案填在题中横线上．）
13．无论m为何值时，直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0恒过定点（3，1）．
【考点】恒过定点的直线．
【分析】将原方程转化为（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，令2x+y﹣7=0，①且x+y﹣4=0，②；然后根据①②求出该定点即可．
【解答】解：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，得
即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，
∴2x+y﹣7=0，①
且x+y﹣4=0，②
∴一次函数（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0的图象就和m无关，恒过一定点．
由①②，解得解之得：x=3 y=1 所以过定点（3，1）；
故答案为：（3，1）
14．经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为x=﹣3 ．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】经过点M（﹣3，1）且平行于y轴的直线上所有点的横坐标为﹣3，于是得到此直线方程．
【解答】解：经过A（﹣3，1），且平行于y轴的直线方程为：x=﹣3．
故答案为：x=﹣3．
15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是①④．
【考点】直角三角形的射影定理．
【分析】根据点的投影的做法，做出△PAC在该正方体各个面上的射影，这里应该有三种情况，做出在前后面上的投影，在上下面上的投影，在左右面上的投影，得到结果．
【解答】解：由所给的正方体知，
△PAC在该正方体上下面上的射影是①，
△PAC在该正方体左右面上的射影是④，
△PA C在该正方体前后面上的射影是④
故答案为：①④
16．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB=AD=4cm，AA1=2cm，则点A1到平面AB1D1的距离等于
cm．
【考点】棱柱的结构特征．
【分析】利用锥体的体积公式可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积，对于三棱锥B1﹣AA1D1的体积，换一种算法，即以平面AB1D1为底，则点A1到平面AB1D1的距离等于其高，根据等体积法，可得点A1到平面AB1D1的距离．
【解答】解：由题意可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积是=，
三角形AB1D1的面积为4，设点A1到平面AB1D1的距离等于h，则，
则h=
故点A1到平面AB1D1的距离为．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，0），C（1，1）（1）求点C到直线AB的距离；
（2）求AB边的高所在直线的方程．
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】（1）由A、B的坐标求出AB的斜率，再根据点到直线的距离公式，进一步求出点C 到直线AB的距离；
（2）由（1）得直线AB的斜率，再求出AB边的高所在直线的斜率，则答案可求．
【解答】解（1）∵，
∴根据直线的斜截式方程，直线AB：，化成一般式为：4x﹣3y+12=0，
∴根据点到直线的距离公式，点C到直线AB的距离为；
（2）由（1）得直线AB的斜率为，∴AB边的高所在直线的斜率为，
由直线的点斜式方程为：，化成一般式方程为：3x+4y﹣7=0，
∴AB边的高所在直线的方程为3x+4y﹣7=0．
18．已知一个几何体的三视图如图所示．
（Ⅰ）求此几何体的表面积；
（Ⅱ）在如图的正视图中，如果点A为所在线段中点，点B为顶点，求在几何体侧面上从点A到点B的最短路径的长．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】（I）几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，由三视图判断圆锥与圆柱的底面半径与母线长，根据其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和，代入公式计算；
（II）利用圆柱的侧面展开图，求得EB的长，再利用勾股定理求AB的圆柱面距离．
【解答】解：（Ⅰ）由三视图知：几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的
底面半径为2，母线长分别为2、4，
其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和．
S圆锥侧=×2π×2×2=4π；
S圆柱侧=2π×2×4=16π；
S圆柱底=π×22=4π．
∴几何体的表面积S=20π+4π；
（Ⅱ）沿A点与B点所在母线剪开圆柱侧面，如图：
则AB===2，
∴以从A点到B点在侧面上的最短路径的长为2．
19．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点．
（1）求证：BD1∥平面A1DE；
（2）求证：A1D⊥平面ABD1．
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）连结A1D，AD1，A1D∩AD1=O，连结OE，推导出OE∥BD1，由此能证明BD1∥平面A1DE．
（2）推导出A1D⊥AD1，A1D⊥AB，由此能证明A1D⊥平面ABD1．
【解答】证明：（1）连结A1D，AD1，A1D∩AD1=O，连结OE，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，ADD1A1是矩形，
∴O是AD1的中点，∴OE∥BD1，
∵OE∥BD1，OE?平面ABD1，BD1?平面ABD1，
∴BD1∥平面A1DE．
（2）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=4，点E为AB中点，
∴ADD1A1是正方形，∴A1D⊥AD1，
∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥平面ADD1A1，
∴A1D⊥AB，
又AB∩AD1=A，∴A1D⊥平面ABD1．
20．（1）直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．若l在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；
（2）已知A（﹣2，4），B（4，0），且AB是圆C的直径，求圆C的标准方程．
【考点】圆的标准方程；直线的截距式方程．
【分析】（1）a=﹣1时，直接验证；当a≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点
（0，a﹣2），（，0），根据直线l在两坐标轴上的截距相等即可得出a的值；
（2）根据中点坐标公式算出圆的圆心坐标，再由两点距离公式算出半径，即可得到所求圆的标准方程．
【解答】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去；
当a≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a﹣2），（，0）．
∵直线l在两坐标轴上的截距相等，
∴a﹣2=，解得a=2或a=0；
（2）∵A（﹣2，4），B（4，0），
∴线段AB的中点C坐标为（1，2）．
又∵|AB|=，
∴所求圆的半径r=|AB|=．
因此，以线段AB为直径的圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=13．
21．如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，BD⊥平面ABC，AC=BC=BD=2AE=，M是AB
的中点．
（1）求证：CM⊥EM；
（2）求MC与平面EAC所成的角．
【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）根据题意得到三角形ABC为等腰直角三角形，根据M为AB中点，得到AM=BM=CM，且CM垂直于AB，根据EA与面ABC垂直，得到EA与AC垂直，设AM=BM=CM=1，表示出EM，EC，利用勾股定理的逆定理判断即可得证；
（2）过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，求出即可．
【解答】（1）证明：∵AC=BC=AB，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=CM，CM⊥AB，
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AC，
设AM=BM=CM=1，则有AC=，AE=AC=，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：EC==，
在Rt△AEM中，根据勾股定理得：EM==，
∴EM2+MC2=EC2，
∴CM⊥EM；
（2）解：过M作MN⊥AC，可得∠MCA为MC与平面EAC所成的角，
则MC与平面EAC所成的角为45°．
22．已知函数f（x）=x|x﹣m|，x∈R．且f（4）=0
（1）求实数m的值．
（2）作出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调区间
（3）若方程f（x）=k有三个实数解，求实数k的取值范围．
【考点】函数的图象．
【分析】（1）代值计算即可；
（2）化为分段函数，作图，由图得到函数的单调区间；
（3）方程的解转化为图象交点的个数问题，由图可知．
【解答】解：（1）∵f（4）=0，
∴4|4﹣m|=0
∴m=4，
（2）f（x）=x|x﹣4|=图象如图所示：
由图象可知，函数在（﹣∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减．
（3）方程f（x）=k的解的个数等价于函数y=f（x）与函数y=k的图象交点的个数，由图可知k∈（0，4）．