第十五章 分式
15.1 分式
【预习速填】
1.分式的概念.分式有三个要素:①形如A
B 的式子;②A,B 都是 ;③分母B 中含有 .满足这三个条件的式子即为分式.区别整式和分式的唯一标准是看分母中是否含有字母,若分母中含有字母,则式子就是分式,若分母中字母,则分子是整式.此外,在列分式表示实际问题中的某个量时,一定要注量关系的转化.
2.分式有(无)意义及分式值为0的条件.理解时注意以下几点:①分式的分母表示除数,由于除数不能为0,所以要确定分式是否有意义,就必须看分式的字母是为0.若分母为0,则分式 意义;若分母不为0,则分式 意义.而分式分母是含有字母的整式,它的值随分式中字母取值的变化而变化,所以对于分式,要确定其是否有意义,关键是分析分母中所含字母的取值;②分式值为0条件是分母不为0且分子 .
3.分式的基本性质一般地,对于任意一个分数a
b ,有a
b =a ?c
b ?
c , a b =a ÷c
b ÷
c (c ≠0)其中a,b,c 是数类比分数的基本性质,我们能得出分式的基本性质:分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式,分式的值 .用式子表示是A
B
= , A B
= (c ≠0),其中A 、B 、C 是整式.分式
的基本性质是分式变形的理论依据,运用分式的基本性质给分式变形时定要注意限制条件“c ≠0”,同时还要注意隐含条件“b ≠0”.
4.分式的约分.分式约分的依据是分式的基本性质,把一个分式的分子与分母所有 约去,使所得结果成为最简分式或整式注意,约分不改变分式的值,在分子、分母是多项式时,要先将分子、分母分解因式,再约分.
5.分式的通分.分式通分的依据同样是分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式 的同分母的分式,通分的关键是确定各分式的最简公分母,即各分母的所有因式的最高次幂的 .
【自我检测】
1.如果分式
y
x x y
4中x 与y 的值同时扩大到原来的10倍,那么这个式的值( ) A.不变
B.扩大到原来的40倍
C.扩大到原来的10倍
D.缩小到原来的1
10
倍
2.下列分式中是最简分式是( )
A. m 2?n 2
m 2+n 2 B. m 2+3m
m 2?9 C.
x 2?y 2(x +y )3
D.
(m ?n )2m 2?n 2
3.下列各式:①x +y x ?y ②3x 2?1③x 3-1
x ④x 2+y 2π
⑤
a ?
b 5
⑥0⑦3
4(x+y).其中整式有 ,分式有 .
(填序号)
4.若(m+n)人完成一项工程需要m 天,则n 个人完成这项工程需要 天. (假定每个人的工作效率相同)
5.当x 时,分式
x
x ?1
,有意义;
6.当b 时,分式1
5?3b 无意义;
7.当x 时,分式x 2?1
x +1的值为0. 8.通分:(1) 2
3a 2b 与
3
4ab
2
;(2) 1x +2与2
x ?2.
参考答案
【预习速填】
1. 【答案】整式 ， 字母
2.【答案】无 ， 有 ， 为0
3.【答案】不变 ， A ?C
B ?
C ， A ÷C
B ÷
C 4.【答案】公因式 5.【答案】相等 ， 积
【自我检测】
1.【解析】x 和y 同时扩大10倍后分式变为
()y
x xy
y x xy y x y +?=+?=+??4104101001010x 104
【答案】C
2.【解析】不能再通过因式分解约分的分式是最简分式。因此A 选项不能再约分。 【答案】A
3.【解析】利用整式和分式的定义判断即可。 【答案】④⑤⑥⑦ , ①②③
4.【解析】等量关系为这项工程的总量不变，因此可知()()n
m n m X X n m n m +=
?=+,
【答案】
m (m +n )n
5.【解析】要使分式有意义，分母不能为0，即x-1≠0，x≠1 【答案】≠1
6.【解析】当分母5-3b=0时，即b=5
3时，分式无意义。 【答案】=5
3
7.【解析】分式的值为0，分子为0，分母不为0. 【答案】=1
8.【解析】(1)最简公分母是12a 2b 2
, 23a 2b =2?4b 3a 2b ?4b =
8b
12a 2b 2
34ab 2
=
3?3a 3a 2b ?3a =9a
12a 2b 2
(2)最简公分母是(x+2)(x-2),
1
x +2=
(x ?2)
(x +2)(x ?2)
=
(x ?2)x 2?4
2x ?2=2(x +2)(x +2)(x ?2)=2x +4
x 2?4
第十六章 分式
15.2 分式的运算
【预习速填】
1.分式的乘法法则.分式的乘法法则与以前学过的分数的乘法法则相同,即分式乘分式,用分子的积作为积的 ,分母的积作为积的 ,用式子表示a
b
·c
d = .在进行分式的乘法运算
时要注意,如果分式的分子、分母是多项式,先分解因式,再约分.
2.分式的除法法则.分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘用式子表示是a
b
÷c
d = · = .在进行分式的除法运算时要注意,如果除式是整式,可以把
它看成分母为“1”的分式,再按照除法法则计算在进行分式的乘除运算时,运算结果一定要化为最简分式或整式.利用分式的乘除法解决实际问题时,要弄清题目中的数量关系,再列式解答,注意列出的式子在计算时要符合实际.
3.分式的乘除混合运算.分式的乘除混合运算与分数的乘除混合运算的运算顺序相同,都是按照从左到右的顺序,有括号的先算括号里面的进行分式乘除混合运算的步骤是:①把乘除混合运算先统一成 运算;②把分子、分母中能分解因式的多项式 ;③约分.
4.分式的乘方.分式的乘方是把分子、分母分别乘方,即(a
b
)n= 的乘方法则计算时要注意:①必须将分子、分母看成一个整体,然后将这两个整体分别乘方;②分式乘方时要先确定乘方结果的符号,正分式的任何次幂都为 ,负分式的偶次幂为正, 次幂为负;③系数不要漏掉乘方分式与分数有相同的混合运算顺序,都是先乘方,再乘除;每一步注意符号的确定,最后要化成最简分式或整式.
5.同分母分式的加减法.同分母分式相加减,分母不变,把分子相 ,用式子表示是a
c ±b
c
=
a±b
c
.计算时要注意“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减,各分子都应添加括号,以避免出现符号错误.
6.异分母分式的加减.异分母分式相加减,先 ,变为同分母的分式,再加用式子表示是a
c
±
c d =ad
bd
±bc
bd
= . 异分母分式相加减的关键是通分,在通分时应注意:①如果各分母的系
数都是整数,常取它们的系数的 ,作为最简公分母的系数;②若分母的系数不是整数,先用分式的基本性质将其化为 ,再求最小公倍数;③若分母的系数是负数,应利用符号法则,把负号提取到前面;④若分母是多项式,先按某一字母顺序排列,然后再进行 ,确定最简公分母.强调:不管是同分母分式的加减法还是异分母分式的加减法,其计算的结果一定要是最简分式或整式.
7.分式的混合运算.分式与分数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后 .有括号的先算括号里面的,同级运算按从左往右的顺序进行,最后的运算结果必须化为最简分式或整式,在进行运算的过程中,要注意正确运用运算法则,必要时活运用交换律、结合律、分配律,使计算简便.
8.负整数指数幂.一般地,当n是正整数时, a-n= (a≠0),这就是说a-n是a n的倒数因为零
不能作除数,所以a≠0是a-n=1
a n
的先决条件,在进负整数指数幂的有关计算时,要注意,虽然a-n (n为正整数)的指数为负数,但结果不一定是负数.
a-n=
{
1
a n
>0(a>0) 1
a n
>0(a<0,且n为偶数) 1
a n
<0(a<0,且n为奇数)
9.整数指数幂的性质.在学习了负整数指数幂和0指数幂后,指数的范围已到全体整数,以前所学的幂的运算性质仍然成立,可以作如下归纳:①a m a n= (m,n是整数);②(a m)n=a mn(m,n是整数);③(ab)n=a n b n(数);④a m÷a n=a m-n(m,n是整数,a≠0);⑤(b
a
)n= (n是整数,b≠0). 10.科学记数法.用科学记数法表示小于1的正数是负整数指数幂在实际生活中的应用，
即小于1的正数可以用科学记数法表示为的形式,其中1≤a<10,n正整数在运用时,要确定两个值—a和n,确定a时,是将小于1的正数的小数移至左起第一个不为0的数字后面所得到的数n的确定有两种方法:①n是等于数的第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0):②确定a的值时,需要将原数的小数点向右移动到第一个不为0的数字之后,看小数点移了几位,n就是几.例如:用科学记数法表示0.000000354,先确定a的值是3.54,再数3的前面0的个数,即n为8,所以0.000000354=3.54×10-8.
【自我检测】
1.若分式x2?y2
a2x?a2y ?ax+ay
(x+y)2
的值等于5,则a的值是( )
A.5
B.-5
C.1
5
D.?1
5
2.某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000000001s,把0.000000001s用科学记数法可以表示为( )
A.0.1×10-8s
B.0.1×10-9s
C.1×10-8s
D.1×10-9s
3. ?
n m
2÷(?n
m
)?
m 2
n
的计算结果为 . 4.(?
2x 4y 23z
)3
的计算结果为 .
5.(x-1)0
=1成立的条件是 .
6.a 2
·(-a)2
(-a)3
= , (-a 2) -1
= , -a -1
= ,[ (-a) -1]2
= . 7.计算
(1) 2a 4b 25cd 3
?
4a 4c 2d 7b 2
(2)
3a 2b 3c 3d
÷（?
5a 2b
c 4
d 2x
)
(3)
1?a a
?a 2+a a 2?1 (4)
x 2?1x +1
÷
x 2?2x +1x 2?x
8.计算 (1)
a +b
（a ?b）
2?(
a ?
b a
)2÷
a +
b a
(2)(?
2ab 3c 2d
)2
÷
6a 2b
3
?(?3c
b
2)3
9.计算
(1) x 2+y 2x ?y
?
2xy
x ?y
;
(2)2b 3a +1+3b 3a +1?5b
3a +1 10.计算 (1) 12
m 2?9?2
m ?3; (2)x 2+9x
x 2+3x +x 2?9
x 2+6x +9
11.计算 (1) (3x
y )2?
13x +y
?x y
÷y
3
;
(2)
a +1a
?(2a a +1)2?(1a ?1?1
a +1)；
(3)(1?a 2+8
a 2+4a +4)÷4a ?4
a 2+2a ; (4)
3x +6
x 2+4x +4
÷
x ?2
x +2-
1
x ?2
.
12.先化简,再求值(
a 2?
b 2
a 2?2a
b +b
2
+
a
b ?a
)÷
b 2
a 2?ab
, 其中a,b 满足a=1,b=?1
3
.
13.计算:(-1)2
+|2-x|+(100-π)0
. 14.用科学记数法表示下列各数:
0.00004；-0.034；0.00000045；0.003009
15.一个长方体的长为2×10-3
m,宽为1.5×10-2
m,高为1.2×10-3
m,求它的体积.
参考答案
【预习速填】
1.【答案】分子 ， 分母 ， a ?c
b ?d
2.【答案】a b
， d c
， a ?d b ?c
3.【答案】乘法 ， 分解因式
4.【答案】a n b
n ， 正 ， 奇 5.【答案】加减
6.【答案】通分 , ad ±bc bd
, 最小公倍数 , 整数 , 分式 , 因式分解
7.【答案】加减
8.【答案】1
a
n
9.【答案】a m+n
, b n a
n 10.【答案】a ×10-n
【自我检测】
1.【解析】对分式进行化简得
()()()()()()()5
1
,51x 2222222=
===+++?--+=++?--a a a a y x y x y x a y x a y x y x y x ay ax y a x a y 【答案】C
2.【解析】科学计数法中整数位不能为0，A 和B 错误；小数点向右移动了9位，因此D 正确。 【答案】D
3.【解析】n
m
n m n m m n n m m n m n =??=?
??? ??-÷-2222 【答案】m
n
4.【解析】()
()3
123
3
2
43
24276
83232z
y x z y x z y x -=-=???
? ??- 【答案】?
8x 12y 627z 3
5.【解析】任何非零数的0次幂等于1. 【答案】x ≠1
6.【答案】-a 3
, ?1a
2 , ?1a
, 1
a
2
7.【解析】 (1) 原式=
8a 8b 2c 2d 35b 2cd 3=8a 8c 35d 2
(2) 原式=?3a 2b 3c 3d
?
c 4
d 2x 5a 2b
=-
3b 2cdx 5
(3) 原式=
1?a a
?a (a +1)
(a +1)(a ?1)=-1 (4) 原式=
x 2?1x +1
?
x 2?x
x 2?2x +1
=
(x +1)（x ?1）
x +1
?
（x ?1）（x ?1）
2
=x 、
8.【解析】(1) 原式=
a +b
（a ?b）
2?
（a ?b）
2
a 2
?a a +b =1
a
(2) 原式=
4a 2b 6c 4d 2
?b 3
6a 2?(?
27c 3b 6
)=-
18b 3cd 2
9.【解析】 (1) 原式=
x 2+y 2?2xy
x ?y
=x ?y
(2) 原式=0
3a +1=0 10.【解析】 (1) 原式=?2(m ?3)(m ?3)(m +3）
=
?2
m +3
(2) 原式=2x +6
x +3=2
11.【解析】(1) 原式=9x 2
y 2?1
3x +y ?x y ?3
y =9x 2?3x (3x +y )y 2(3x +y )
=?3x
y 2+3xy ;
(2) 原式=
a +1a
?
4a 2
(a +1)
2?
(a +1)?(a ?1)(a +1)(a ?1)=4a (a ?1)?2(a +1)(a ?1)=4a 2?4a ?2
a 2?1
(3) 原式=
a 2+4a +4?(a 2+8)a 2+4a +4
?
a 2+2a
4a ?4=4a ?4(a +2)2
?
a (a +2)
4a ?4=a
a +2
(4) 原式=3(x +2)(x +2)2?x +2x ?2?1
x ?2=2
x ?2
12.【解析】原式=[(a+b)(a?b)
a+b2?a
a?b
]?a2?ab
b
=b
a?b
?a2?ab
b
=a
b
,
a=1,b=?1
3
,代入原式=-3.
13.【答案】原式=1+π?2+1=π
14.【答案】4×10-5；-3.4×10-2；4.5×10-7；3.009×10-3
15.【答案】2×10-3×1.5×10-2×1.2×10-3=(2×1.5×1.2)×(10-3×10-2×10-3)=3.6×10-8m3 它的体积是3.6×10-8m3.
第十七章分式
15.3 分式方程
【预习速填】
1.分式方程的概念.分母中含有的方程叫做分式方程.判断一个方程是不是分式方程,关键是抓住三个重要的特征:①是方程;②含有分母;③分母中含有未知数.
2.分式方程的解法.理解时注意以下几点:①解分式方程的基本思路是将分式方程化为 ,具体做法是 ,即方程的两边乘最简公分母;②解分式方程的一般步骤是:a.在方程的两边同乘最简公分母,去 ,化成整式方程;b.解这个整式方程;c.把整式方程的解代入原方
程 ;d.写出原方程的解;③一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0,因此检验时常将整式方程的解代入 ,如果最简公分母的值不为 ,则整式方程的解是原分式方程的解,否则,这个解不是原分式方程的解,因而原分式方程 . 3.列分式方程解应用题.列分式方程解决实际问题的一般步骤是①审一审清题找出 ,②设—合理设③列一根等量天系列出式 ;④解一解方程;⑤验答一检验并写答案,在检验时,分式方程与整式程有不同之处,分式方程的检验分两步进行,既要检验所求的是否为方的解,还要检验所求的解是否满足实际意义.
【自我检测】
1.下列关于x 的方程:①x ?13
=5②1x =4x ?1③1x (x-2)+x=1④x a =1
b ?1(a 、b 为常数)其中,是分式方程的
有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.关于x 的分式方程x +2
x ?1+3=m
x ?1无解,则m 的值为( ) A.1
B.-1
C.3
D.-3
3.甲做60个零件和乙做80个零件共用4h,若甲、乙每小时做的零件的个数比为3:4,问甲、乙两人每小时各做多少个零件?设甲、乙两人每小时分别做零件3x 、4x 个,则列方程为 .
4.解方程:(1)
x
x +1=2x
3x +3
+1;(2)
3
x 2?9
+
x
x ?3
=1.
5.某工程需在规定日期内完成,若由甲队单独做,恰好如期完成;若由乙队单独做,要超过规定日期三天完成.现由甲、乙两队合做两天,剩下的工程由乙队单独做,恰好在规定日期完成,问规定日期是多少天?
6.甲、乙两地相距828km,一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地,直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍,直达快车比普通快车晚出发2h,比普通快车早4h 到达乙地,求两车的平均速度.
参考答案
【预习速填】 1.【答案】未知数
2.【答案】整式方程 ， 去分母 ， 分母 ， 检验 ， 最简公分母 ， 0 ， 无解
3.【答案】等量关系 ， 未知数 ， 分式方程
【自我检测】
1.【解析】①④不是分式方程，分母中不含未知数。 【答案】C
2.【解析】解分式方程，得()14,132+==-++m x m x x ，当x=1时分式无意义，此时m=
3.即分式方程无解。 【答案】C
3.【解析】由题意列分式方程即可。 【答案】60
3x
+80
4x =4
4.【解析】(1)方程两边乘(3x+3),得3x=2x+3x+3
解得x=32
(2)方程两边乘(x 2
-9),得3+x(x+3)=x 2
-9. 解得x=-4 .
5.【解析】设规定日期是x 天,则甲队单独做需要x 天,乙队单独做需要(x+3)天,
2
x +x
x +3
=1解得x=6
规定目期是6天.
6.【解析】解:设普通快车的平均速度是xkm/h,则直达快车的平均速度是1.5xkm/h
828x
-
8281.5x
=4+2解得x=46
1.5x=1.5×46=69
平均速度是46km/h,直达快车的平均速度是69km/h 。
17.2.2 分式的加减法（1） 同步练习 一、请你填一填(每小题4分,共36分) 1. 异分母分式相加减，先________变为________分式，然后再加减. 2. 分式xy 2,y x +3,y x -4 的最简公分母是________. 3. 计算：222321xyz z xy yz x +-=_____________. 4. 计算：)1 1(1x x x x -+-=_____________. 5. 已知22y x M -=2222y x y xy --+y x y x +-,则M=____________. 6. 若（3－a ）2与|b －1|互为相反数，则b a -2 的值为____________. 7. 如果x ＜y ＜0，那么x x | |+xy xy | |化简结果为____________. 8. 化简y x y x --2 2 的结果为____________. 9. 计算22+-x x －22 -+x x =____________. 二、判断正误并改正: (每小题4分,共16分) 1. a b a b a a b a a b a --+=--+=0（ ） 2. 11 )1(1 )1(1)1()1(1)1(22222-=--=---=-+-x x x x x x x x x （ ） 3. )(21 21 21 2222y x y x +=+（ ） 4.222b a c b a c b a c +=-++（ ） 三、认真选一选:(每小题4分,共8分) 1. 如果x ＞y ＞0,那么x y x y -++11的值是（ ） A.零 B.正数 C.负数 D.整数
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这 六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48 ，即： 3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3 n ， 3 3n n ÷、相等吗？（ 3 3= n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n不能为0） (2) 33 4n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分 式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整 式，分母含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分 式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ? 分式的混合专题练习 3234)1(x y y x ? x y xy 22 63)3(÷ a a a a 21 22)2(2+? -+ 41441)4(222--÷+--a a a a a 5、x y x y x y -+- 6、a a a 31211++ 7、4 )223(2 -÷+-+x x x x x x 8、44212-+-m m 9、423)231(--÷--m m m 10、2 2 22x xy y xy xy y x ---- 11、224+--a a 12、112+-+x x x 13、1 )111(-÷ -+-a a a a a 14、 1 1 12112--+--x x x 15、m m -+-329122 16、a+2－a -24 17、2 2221106532x y x y y x ÷? 18、ac a c bc c b ab b a -+-++ 19、2 22 24421y xy x y x y x y x ++-÷ +-- 20、224)2222(x x x x x x -?-+-+- 21、262--x x ÷ 443 2+--x x x 22、 1?? ? ???÷ ÷a b b a b a 324923 23、m n n n m m m n n m -+-+--2 24、1 111-÷? ?? ??--x x x 25、( ﹣)÷ 26、( 22+--x x x x )2 4-÷x x ; 27、??? ? ??++÷--ab b a b a b a 22222 28、??? ??--+÷--13112x x x x 。 29、、() 2 211n m m n m n -??? ? ??-÷??? ??+; 30、16842 2+--x x x x ,其中x =5、 31、已知2 1)2)(1(12++-=+-+x B x A x x x ,求A 、 B 的值。 32、先化简,再求值2 2 )11(y xy y x y y x -÷-++,其中2-=x ,1=y 、 33、3,3 2 ,1)()2(2 22222-==+--+÷+---b a b a a b a a b ab a a b a a 其中 一、分式方程计算： （1） 21)2(11+-?+÷-x x x x （2）32232)()2(b a c ab ---÷ （3）2323()2()a a a ÷- （4）0142)3()101( )2()21(-++-----π （5）222)()()(b a a b ab ab b a b a b -?-+-÷- （6 ）(3103124π--????-?-÷ ? ????? （7）2211y x xy y x y x -÷???? ??++- 二、分式方程 1、（1）3513+=+x x ； （2) 11322x x x -+=--- (4)512552x x x =--- (5) 25231x x x x +=++. （6） （7） （8） 三、1、先化简，再求值)1121(1 222+---÷--x x x x x x ，其中31-=x 1 211422+=+--x x x x x 233321122--=++-x x x x x x x x 231392---++ 2、若使 互为倒数，求x 的值。 3、若分式方程 3234=++x m mx 的解为1=x ，求m 的值。 2 3223+---x x x x 与 四、二元一次方程组 解方程组： 五、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组 56556--=--x x x 22(1)(5)2511 x y x y ?++-=?+=? 226232x x x x +---=0 |a + b + 7| + a 2b 2–10ab + 25＝0 2123x x x ++-+2226x x x -+-=2632x x x --+ 15 ． 1分式 第 1 课时从分数到分式 教学目标 1．了解分式的概念，知道分式与整式的区别和联系． 2．了解分式有意义的含义，会根据具体的分式求出分式有意义时字母所满足的条件． 3．理解分式的值为零、为正、为负时，分子分母应具备的条件． 教学重点 分式的意义． 教学难点 准确理解分式的意义，明确分母不得为零． 教学设计一师一优课一课一名师( 设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 一艘轮船在静水中的最大航速是20 km/h，它沿江以最大船速顺流航行100 km所用时间， 与以最大航速逆流航行60 km 所用的时间相等．江水的流速是多少？ 提示：顺流速度＝水速＋静水中的速度；逆流速度＝静水中的速度－水速． ● 自主学习指向目标 1．自学教材第 127 至 128 页． 2．学习至此：请完成《学生用书》相应部分． 三、合作探究，达成目标 探究点一分式的概念 S V10060 活动一：阅读教材思考问题：式子a ，S以及式 子20＋ v 和 20－ v 有什么共同特点？它们与 分数有什么相同点和不同点？ 展示点评：如果 A，B 表示两个 ________( 整式 ) ，并且 B 中含有 ________( 字母 ) ，那么式A 子B叫做分式． 小组讨论：如何判断一个式子是否为分式？分式与整式有什么区别？ 反思小结： 判断一个式子是否为分式，可根据：①具有分数的形式；②分子、分母都是整式；③分母中含有字母，分式与整式的区别在于：分式的分母中含有字母，而整式的分母中不含字母． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 探究点二 分式有意义的条件 活动二： (1) 当 x ≠0时，分式 2 有意义； 3x (2) 当 x ≠1时，分式 x 有意义；x － 1 5 1 (3) 当 b ≠3时，分式 5－ 3b 有意义； x ＋ y (4)x ， y 满足 __x ≠y __时，分式 x － y 有意义． 展示点评： 教师示范解答的一般步骤，强调分母不为零． 小组讨论： 归纳分式有意义的条件． 反思小结： 对于任何分式，分母均不能为零，即当分母不为零时，分式有意义；反之，分母为零时，分式无意义． 针对训练： 见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．知识小结—— (1) 学习了分式， 知道了分式与分数的区别． (2) 知道了分式有意义和值 为零的条件． 2．思想方法小结——类比、转化等数学思想． 五、达标检测，反思目标 2 x ＋ y 1 x 1．下列各式① x ，② 5 ，③ 2－ a ，④ π－ 1中，是分式的有 ( C ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 2．当 x 为任意实数时，下列分式中，一定有意义的是( C ) x － 1 x ＋ 1 x － 1 x － 1 A. x 2 B. x 2－ 1 C. x 2＋1 D. x ＋ 2 3．某食堂有煤 m t ，原计划每天烧煤 a t ，现每天节约用煤 b(b 分式 一 下列各有理式中，哪些是整式，哪些是分式。 1x ， 2x π， 23a b ， 20.5xy y +， b c a +， 32y -+， 5x z y -， 18- 二 x 等于什么数时，分式的值为零。 （1） 3289x x -+ （2） 26412x x x -+- （3） 33x x -+ 三 当x 满足什么条件时，分式 211x x +-满足 （1）分式的值为零 （2）分式没有意义 （3）分式的值是1 四 不改变分式的值，把下列各式分子和分母中各项的系数都化为整数，并且使各项系数 最小。 （1）11231134 a b a b +- （2） 0.3 1.20.051 x x +- （3）22230.41010.64x y x y + - 五 不改变分式的值，使下列各式的分子与分母的最高次项的系数为正数。 （1）2 2311a a a a --+- （2）211x x -- （3）3 211 a a a ---+ 六 约分 （1）322222x x y x y xy -- （2）()()()()32 247474x y a b x y a b -+-+ （3）33222 y y y y y +-+- 分式的计算 一 先化简再求值 （1）2 232712 x x x x +--+ 其中13x =- （2）22 26362x xy y x x y xy ----+ 其中9x =-， 13y =- （3）22222222a b c bc c a b ab --+--+ 其中3a =， 7b =，2c =- 二 计算 （1）232231049x y a b ab xy ? （2）22346b a a b -? （3）322243x z xz y y ÷- （4）3 4224189xy x y x y ÷- （5）22212221 a a a a a a -+-+?+- （6）222233a b a a b a b a b ++÷-- （7）()22 22 4442x xy y x y x y -+-÷- （8）23222222x y x x x y x xy y x y x xy y -+÷?++--+ 16．2分式的运算 第1课时 课前自主练 1．计算下列各题： （1）3 2 × 1 6 =______；（2） 3 5 ÷ 4 5 =_______；（3）3a·16ab=________； （4）（a+b）·4a b2=________；（5）（2a+3b）（a-b）=_________．2．把下列各式化为最简分式： （1） 2 2 16 816 a a a - -+ =_________；（2） 22 22 () () x y z x y z -- +- =_________． 3．分数的乘法法则为_____________________________________________________； 分数的除法法则为_____________________________________________________．4．分式的乘法法则为____________________________________________________； 分式的除法法则为____________________________________________________．课中合作练 题型1：分式的乘法运算 5．（技能题） 2 2 3 4 xy z ·（- 2 8z y ）等于（） A．6xyz B．- 23 38 4 xy z yz - C．-6xyz D．6x2yz 6．（技能题）计算： 2 3 x x + - · 2 2 69 4 x x x -+ - ． 题型2：分式的除法运算 7．（技能题） 2 2 ab cd ÷ 3 4 ax cd - 等于（） A． 2 2 3 b x B． 3 2 b2x C．- 2 2 3 b x D．- 22 22 3 8 a b x c d 8．（技能题）计算： 2 3 a a - + ÷ 2 2 4 69 a a a - ++ ． 课后系统练 16.3.1 分式方程 同步测试 ◆知能点分类训练 知能点1 分式方程 1．下列方程中分式方程有（ ）个． 2D 34 （3）22122563 x x x x x x x --=--+-。 5．解下列分式方程: 6 7．解下列关于x 的方程: （1）1(1);(2) 1 a m n b b x a x x +=≠- -+=0（m ≠0）． 8．解方程：2155 ()14x x x x ---= ． 9 11．a 为何值时，关于x 的方程223 242 ax x x x += --+会产生错误？ 12．已知分式方程21 x a x +-=1的解为非负数，求a 的取值范围． ， ， ． （3）根据上面的规律，可将关于x 的方程2221 111 x x a x a -+=-+--变形为_______，方程的解是_________，?解决这个问题的数学思想是_________． ◆中考真题实战 14．解方程：31144x x x --=--; 15．解方程：54 1x x -+=0． 14．解：（1）方程两边同乘以x-2，得2x=x-2， 解得x=-2．经检验，x=-2是原方程的解． （2）方程两边同乘以x （x+1），得（x+1）2+5x 2=6x （x+1），即x 2+2x+1+5x 2=6x 2+6x ， 解得x=1 4．经检验，x=14 是原方程的解． （3）方程两边同乘以（x-2）（x-3）， 得x（x-3）-（1-x2）=2x（x-2）， 解得x=1．经检验，x=1是原方程的解． 5．解：（1）方程两边同乘以（x-1）（x+1），得 （x+1）2-4=x2-1，化简得2x-2=0，∴x=1． 6 ） ∴原方程的解为x=7． =1-b， 7．解：（1）移项：a - x a 去分母：a=（1-b）（x-a）， 去括号：a=（1-b）x-a（1-b）， 第15章《分 式》 同步练习 （§ 分式的运算） 班级 学号 姓名 得分 一、选择题 1．(河南)一种花瓣的花粉颗粒直径约为 006 5米， 006 5用科学记数法表示为( )． A ．×10－5 B ．×10－6 C ．×10－7 D ．65×10－6 2．(山东淄博)化简2221121 a a a a a a +-÷--+的结果是( )． A ．1a B ．a C ． 1 1 a a +- D ． 1 1 a a -+ 3．化简：2 3 32x y xz yz z y x ?? ???? ?? ? ? ??? ????等于( )． A ．23 2y z x B ．xy 4z 2 C ．xy 4z 4 D ．y 5z 4．计算 37444x x y y x y y x x y ++----得( )． A ．264x y x y +- - B ． 264x y x y +- C ．－2 D ．2 5．化简111a ??+ ?-? ?÷2 21 a a a -+的结果是( )． A ．a ＋1 B ．11 a - C ． 1 a a - D ．a －1 6．下列运算中，计算正确的是( )． (A) ) (212121b a b a +=+ (B)ac b c b a b 2= + (C)a a c a c 1 1=+- (D) 01 1=-+-a b b α 7．a b a b a -++2 的结果是( )． (A)a 2- (B)a 4 (C)b a b --2 (D) a b - 8．化简2 2)11(y x xy y x -? -的结果是( )． (A) y x +1 (B)y x +- 1 (C)x －y (D)y －x 二、填空题 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法， 应用非常广泛， 运用转化思想能把复杂的问题转化为 简单问题， 把生疏的问题转化为熟悉问题， 本章很多地方都体现了转化思想， 如，分式除法、 分式乘法； 分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、 同分母的分式加减法；解分式 方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际 问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历 “实际问题 ——— 分式方程模型 ——— 求解 ——— 解释解的合理性 ”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法， 从分数的基本性质、 约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、 约分、 通分及分式的运算法则， 从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧， 无一不体现了类比思想的重要性， 分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】 1. 分式的概念以及基本性质 ; 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值 ( 通分与约分 ) 4. 幂的运算法则 【主要公式】 1. 同分母加减法则 : b c b c a 0 a a a 2. 异分母加减法则 : b d bc da bc da a 0, c 0 ; a c ac ac ac 3. 分式的乘法与除法 : b ? d bd , b c b ? d bd a c ac a d a c ac 4. 同底数幂的加减运算法则 : 实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法 m a nm+n mnm －n ; a ● =a ; a ÷ a =a 6. 积的乘方与幂的乘方 :(ab) m = a m b n , (a m ) n = a mn 负指数幂 : a -p = 1 p 7. a =1 典型题: 1．把分式)0(2≠-a a b a 中的字母的a ，b 都同时缩小3倍，那么分式的 值是 A 、扩大3倍 B 、缩小3倍 C 、改变 D 、不改变 2.将分式323x y xy -中的字母x ，y 都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ） A ．不变; B ．扩大为原来的3倍 C ．扩大为原来的9倍; D ．缩小为原来的 1 3 3．⑴若 1 3 +a 表示一个整数，则整数a ＝ . ⑵若分式23 x x -的值为负数，则x 的取值范围 ． 4. ⑴当x 时，分式 7 2 53-+÷ -+x x x x 有意义； ⑵ 若022(1)(1)2 x x x x -+--++-有意义，则x . 5．已知 322(2)(5)25 x a b x x x x -=-+-+-，则a =________．b =________． 6．⑴已知31=+ x x ，分式221 x x +=________； ⑵已知m 满足01102 =+-m m ，则4 4-+m m ＝____． 7．⑴若x 2 －4x ＋1＝0，则2 421 x x x ++的值为________； ⑵已知2 1 12=+-x x x ，则24 21x x x ++＝________． 8．⑴若 2 1 =-y y x ，则y x ＝___________； ⑵已知 b a b a +=+511，则b a a b +＝________________． 9．已知1=ab ，设11+++=b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则M 和N 的大小关系是________． 10．已知1=ab ，2=+b a 则式子 b a a b +＝________；221 1b a +＝________； 11．⑴已知已知2 111=-b a ，则b a ab -的值为 ； ⑵已知11m n -＝3，那么2322m mn n m mn n +---的值为________． 12．⑴若234a b c ==，则325a b c a b c -+++＝ ； ⑵已知5:3:2::=c b a ，则分式c b a c b a 32+-++＝ ． 13. 一件工作,甲独做a 小时完成,乙独做b 小时完成,则甲、乙两人合作完成需要( )小时. A. 11a b + B.1ab C.1a b + D.ab a b + 14．一个人要翻过两座山到另外一个村庄，途中的道路不是上山就是下山，已知他上山的速度为u ，下山的速度为u ′，单程的路程为s ．则这个人往返这个村庄的平均速度为（ ） '2'2' . . . . 2' ' ' u u s suu uu A B C D s u u u u u u ++++ 分式方程的增根 15．⑴若分式方程 a x a x =-+1 无解，则a 的值为_________； ⑵若关于x 的分式方程13 1=---x x a x 无解，则a ＝ . 16．m 为 ，关于x 的方程2 34222+=-+-x x mx x 会产生增根？ 17.当k ＝ 时，方程x k x -- =-111 3 会产生增根； 分式方程的解 18.若关于x 的方程212 x a x +=--的解是非负数,则a 的取值范围是 一、八年级数学分式解答题压轴题（难） 1．已知分式 A =2344(1)11 a a a a a -++-÷-- （1）化简这个分式； （2）当 a ＞2 时，把分式 A 化简结果的分子与分母同时加上 4 后得到分式 B ，问：分式 B 的值较原来分式 A 的值是变大了还是变小了？试说明理由； （3）若 A 的值是整数，且 a 也为整数，求出符合条件的所有 a 值的和． 【答案】（1） 22a a +-；（2）原分式值变小了，见解析；（3）11 【解析】 【分析】 （1）根据分式混合运算顺序和运算法则化简即可得； （2）根据题意列出算式2622 a a A B a a ++-=--+，化简可得16(2)(2)A B a a -=-+，结合a 的范围判断结果与0的大小即可得； （3）由24122 a A a a += =+--可知，2a -=±1、±2、±4，结合a 的取值范围可得． 【详解】 解：（1）A=2344(1)11 a a a a a -++-÷-- =22 1311(2)a a a a ---?-- =2 (2)(2)11(2)a a a a a +--?-- =22 a a +-； （2）变小了，理由如下： ∵22 a A a += -， ∴62 a B a +=+， ∴261622(2)(2)a a A B a a a a ++-=-=-+-+； ∵2a >， ∴20a ->，24a +>， ∴0A B ->， ∴分式的值变小了； （3）∵A 是整数，a 是整数， 则24122 a A a a += =+--， ∴21a -=±、2±、4±， ∵1a ≠， ∴a 的值可能为：3、0、4、6、-2； ∴3046(2)11++++-=； ∴符合条件的所有a 值的和为11． 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 2．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当0a >，0b >时，∵2()20a b a ab b -=-+≥，∴2a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．请利用上述结论解决以下问题： (1)当0x >时，1x x +的最小值为_______；当0x <时，1x x +的最大值为__________． (2)当0x >时，求2316x x y x ++=的最小值． (3)如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值． 【答案】（1）2，-2；（2）11；（3）25 【解析】 【分析】 （1）当x ＞0时，按照公式ab a=b 时取等号）来计算即可；x ＜0时，由于-x ＞0，-1x ＞0，则也可以按照公式ab a=b 时取等号）来计算； （2）将2316x x y x ++=的分子分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可； （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来，再按照题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】 八年级数学上册《分式的概念》教案 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质 难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？ （交流讨论） （1）每位小朋友分 34 （2）分法： ① 每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果的34 ② 为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块，这六块占一个苹果的68 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（ 36=48，即：3326==4428??）由此表明了什么？ 分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为： 3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 3 34n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二合作交流，探究新知 1 分式的概念填空： （1 ）如果小王用a元人民币买了b袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。（2）一个梯形木板的面积是6 2 m，如果梯形上底是am，下底是bm，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a亩，b亩的稻田m kg，n kg，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式： 12 a m n b a b a b + ++ 、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母 含有字母） 一般地，如果f、g分别表示两个整式，并且g中含有字母，那么代数式f g 叫分式。 说明：分式的分子分母一般是多项式，单项式可以看成是只有一项的多项式。分母一定含有字母。 2 分式的基本性质 思考：33a 44a 与分式相等吗？ 2 2 a b a ab b 分式与分式相等吗？ 如果a≠0, 那么33a = 44a ,只要 2 2 a b a ab b 与都意义，那么 2 2 = a b a ab b 。 你认为分式和分数具有相同的性质吗？ 分式的分子和分母都乘以或除以一个不等非零多项式，分式值不变。分式的分子与分母约去共因式，分式的值不变。 用式子表示为：设h≠0,则f f h g g h ?= ? 3 分式的值为零的条件和分式有意义的条件 例1 求分式 5 6 x x - + 的值，（1）x=3, (2)x= 2 5 - 思考：（1）要是分式 5 6 x x - + 的值为零，x应等于多少？要使分式 (5) (6)(-5) x x x - + 的值为零，x 应等于多少？ 分式值为零的条件是什么？（分子为零，分母不等于零） 授课教案 学员姓名：_____ 授课教师：陈列_____ 所授科目：数学_____ 学员年级：八年级 上课时间_2013_年_03_月_09_日_13_时_00_分至_16_时00分共_3_小时 教学标题 分式的运算与反比例函数的概念 教学目标 掌握分式的运算性质，理解反比例函数的概念 教学重难点 分式的加减法、整数指数幂、反比例函数的图像与性质 上次作业检查 一、 分式的乘除法运算 1、分式乘除法性质 （1）乘法法则：分式乘分式 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。即： bd ac = （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； 用式子表示为：bc ad c d b a d c b a =?=÷ 2.分式的乘方 1.分式乘方法则用式子表示是：()n n n a a b b = (n 是正整数,b ≠0) 注意：分式乘方要把分子分母分别乘方； 2.()[(1)*](1)()(1)n n n n n n n a a a a b b b b -=-=-=- 3.分式乘除,乘方混合运算时,要先乘方,再化除为乘,最后进行约分并把结果化成最简 分式或整式。 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． 二、分式的加减法运算 1、同分母分式的加减法法则：分母不变，把分子相加减．表示为 b c a b c b a ±=±。 注意：同分母分数的加减法法则是与同分母分式的加减法法则基本上是一致的，其中只有一 字之差，一个是数，一个是式． 2、异分母分式的加减法法则：先通分．变为同分母的分式后再加减．表示为： bd bc ad bd bc bd ad d c b a ±=±=±。 3、整数指数幂的性质 1）、当m,n 是正整数时， （1）a m ·a n ＝a n m +； （2）（a m ）n ＝a mn ； （3）（ab ）n ＝a n b n ． 第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 分式练习题 一、选择题 1．在下列各式中：22a ，1 a b +，1 a x -，2x x ，2m -，x y x +，分式的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．2 2．下列各式中不是分式的是（ ） A ．3x B ． x x C ． ab xy D ． 1 1x - 3．已知分式2133x x -+的值等于零，x 的值为（ ） A ．1 B ．1± C ． 1- D ． 1 2 4．实数a 、b 在数轴上的对应点如图，则代数式a b a b -+的值（ ） A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．不能确定 5.下列各式正确的是（ ） A 、11++=++b a x b x a B 、22x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 6.下列各分式中，最简分式是（ ） A 、()()y x y x +-8534 B 、y x x y +-22 C 、222 2xy y x y x ++ D 、() 2 22y x y x +- 7.在等式22 211a a a a a M +++=+中，M 的值为 （ ） A. a B. 1a + C. a - D. 2 1a - 8．如果分式1 3 x x +-有意义，那么x 的取值范围是 （ ） A ．0x ≠ B ．1x ≠- C ．3x ≠± D ．3x =± 9．下列式子正确的是（ ） A ．22b b a a = B ．0a b a b +=+ C ．1a b a b -+=-- D ．0.10.330.22a b a b a b a b --= ++ 10.下列分式中，计算正确的是( ) A 、32)(3)(2+=+++a c b a c b B 、b a b a b a +=++1 2 2 C 、1)()(22-=+-b a b a D 、 x y y x xy y x -=---1 222 11.若把分式xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值( ) A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 12．已知1m +1n =1m n +，则n m +m n 等于（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．2 13． 6 1x +表示一个整数，则整数x 的可能取值的个数是（ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．4 14.若0≠-=y x xy ，则分式=-x y 11（ ） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、-1 15．汽车从甲地开往乙地，每小时行驶1v 千米，t 小时后可以到达，如果每小时多行驶2v 千米，那么可以提前到达的 小时数是 （ ） A ．212v t v v + B ．112v t v v + C ．1212v v v v + D ．1221 v t v t v v - 二、填空题 1.x 时，分式 4 2 -x x 有意义；当x 时，分式1223+-x x 有意义. 分 式 ◆课前热身 1.若分式 2 1 x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ≠1 B ．x>1 C ． x=1 D ．x<1 2.化简22a a a +的结果是样 3.分式 11 1(1) a a a + ++的计算结果是（ ） A ． 11 a + B ． 1 a a + C ． 1a D ． 1 a a + 4.计算2 2()ab a b -的结果是（ ） A ．a B ．b C ．1 D ．－b 【参考答案】1. A 2.2a + 3.C 解析：本题考查了分式的加减运算.解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式.a a a a a a a a a 1 )1(1)1(1)1(1=++=++++= 原式.故选C. 4.B 解析：本题考查积的乘方运算与分式的化简，() 2 22 22ab a b b a b a b -==，故选B ． ◆考点聚焦 分式 分式的有关概念 有理式 最简分式 分式 最简公分母 分式的基本性质 分式的运算 知识点: 分式，分式的基本性质，最简分式，分式的运算，零指数，负整数，整数，整数指数幂的运算 大纲要求: 了解分式的概念，会确定使分式有意义的分式中字母的取值范围。掌握分式的基本性质，会约分，通分。会进行简单的分式的加减乘除乘方的运算。掌握指数指数幂的运算。 考查重点与常见题型: 1．考查整数指数幂的运算，零运算，有关习题经常出现在选择题中，如：下列运算正确的是（ ） A.-40 =1 B.(-2)-1= 12 C.(-3m-n )2=9m-n D.(a+b)-1=a -1+b -1 2.考查分式的化简求值。在中考题中，经常出现分式的计算就或化简求值，有关习题多为中档的解答题。注意解答有关习题时，要按照试题的要求，先化简后求值，化简要认真仔细，如： 化简并求值： x (x-y)2 . x 3-y 3 x 2+xy+y 2 +( 2x+2x-y –2),其中x=cos30°,y=sin90° ◆备考兵法 1.弄清分式有意义,无意义和值为零的条件 分式有意义的条件是分母不为零;无意义的条件是分母为零;值为零的条件是分子为零且分母不为零,弄懂这几个条件是做分式题很重要的一点. 2.分式基本性质的灵活应用 利用分式的基本性质熟练进行约分和通分,这是分式运算的基础,利用分式的基本性质时,要注意分子、分母同乘以和除以不为零的整式. 3.会进行分式的四则运算 分式的四则运算主要出现在化简中,与通分、约分、分式的基本性质联合,要保证最后结果为最简分式. ◆考点链接 1. 分式：整式A 除以整式B ，可以表示成 A B 的形式，如果除式B 中含有 ，那么 称 A B 为分式．若 ，则 A B 有意义；若 ，则 A B 无意义；若 ，则 A B ＝0. 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的 ．用式子表示为 . 3. 约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分．八年级上册数学-分式的概念
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