2019年高考数学总复习 10-6 排列与组合(理)但因为测试新人教B版

1.(2018·福州三中月考)某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( ) A．120 B．84

C．52 D．48

[答案] C

[解析] 间接法：C38－C34＝52种．

2．(2018·成都模拟)甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有( )

A．20种B．30种

C．40种D．60种

[答案] A

[解析] 分三类：甲在周一，共有A24种排法；

甲在周二，共有A23种排法；

甲在周三，共有A22种排法；

∴A24＋A23＋A22＝20.

3．(2018·沧州模拟)10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2个站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为( ) A．C27A55B．C27A22

C．C27A25D．C27A35

[答案] C

[解析] 从后排抽2人的方法种数是C27；前排的排列方法种数是A25，由分步计数原理知不同调整方法种数是C27A25.

4．(2018·广东揭阳模拟)一个汽车牌照号码共有五位，某市汽车牌照号码可以上自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( ) A．180种B．360种

C．720种D．960种

[答案] D

[解析] 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，

其余三位各有4种选法，因此该车主的车牌号码可选的所有可能情况共有A 15·A 13·A 14·A 14·A 1

4＝960种，故选D.

5.(2018·柳州模拟)如图所示的几何体是由一个正三棱锥P －ABC 与正三棱柱ABC －A 1B 1C 1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A 1B 1C 1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有( )

A ．24种

B ．18种

C ．16种

D ．12种

[答案] D

[解析] 先涂三棱锥P －ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C 1

3×C 1

2×C 11C 1

2

＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．

6．(2018·菏泽模拟)从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )

A ．3

B ．4

C ．6

D ．8

[答案] D

[解析] 当公比为2时，等比数列可为1、2、4,2、4、8. 当公比为3时，等比数列可为1、3、9. 当公比为3

2

时，等比数列可为4、6、9.

同时，4、2、1,8、4、2,9、3、1和9、6、4也是等比数列，共8个．

7．(2018·昆明模拟)将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有________．

[答案] 24种

[解析] 将4名新来的同学分配到A 、B 、C 三个班级中，每个班级至少安排一名学生有C 24A 3

3种分配方案，其中甲同学分配到A 班共有C 23A 2

2＋C 13A 2

2种方案．因此满足条件的不同方案共有C 24A 3

3－C 23A 2

2－C 13A 2

2＝24(种)．

8.有6个大小不同的数按如图的形式随机排列，设第一行的数为M1，第二、三行中的最大数分别为M2、M3，则满足M1

[答案] 240

[解析] 设6个数按从小到大顺序依次为a1、a2、a3、a4、a5、a6.

据题设条件知M3＝a6，

可依第二行最大数M2分类讨论．

①若M2＝a5，有排法C14·C13·A22·A33＝144种．

②若M2＝a4，则a5必在第三行有排法C13·C12·A22A33＝72种．

③若M2＝a3，则a4、a5都在第三行有排法C12·A22A33＝24种，据条件知M2不能小于a3.

∴满足题设条件的所有不同排列的个数为144＋72＋24＝240个．

9．在空间直角坐标系O－xyz中有8个点：P1(1,1,1)、P2(－1,1,1)、…、P7(－1，－1，－1)、P8(1，－1，－1)(每个点的横、纵、竖坐标都是1或－1)，以其中4个点为顶点的三棱锥一共有________个(用数字作答)．

[答案] 58

[解析] 这8个点构成正方体的8个顶点，此题即转化成以正方体的8个顶点中的4个点为顶点的三棱锥一共有多少个，则共有三棱锥C14C34＋(C24C24－2×4－2)＋C34C14＝58个．[点评] 用间接法求解更简便些，从正方体的8个顶点中任取4个，有不同取法C48种，其中这四点共面的(6个对角面、6个表面)共12个，∴这样的三棱锥有C48－12＝58个．10．(2018·苏州调研)某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，求该外商不同的投资方案有多少种？

[解析] 根据题意分两类，一类：先将3个项目分成两组，一组有1个项目，另一组有2个项目，然后再分配给4个城市中的2个，共有C23A24种方案；另一类1个城市1个项目，即把3个元素排在4个不同位置中的3个，共有A34种方案．由分类加法计数原理可知共有C23A24＋A34＝60(种)方案.

11.(2018·广东广州综合测试)将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3个学校，要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为( )

A．96 B．114

C．128 D．136

[答案] B

[解析] 若某一学校的最少人数是1,2,3,4,5，则各有7,5,4,2,1种不同的分组方案．故不同的分配方法种数是(7＋5＋4＋2＋1)A33＝19×6＝114.

12．(2018·甘肃兰州高手诊断)某位高三学生要参加高校自主招生考试，现从6所高校中选择3所报考，其中两所学校的考试时间相同．则该学生不同的报名方法种数是( ) A．12 B．15

C．16 D．20

[答案] C

[解析] 若该考生不选择两所考试时间相同的学校，有C34＝4种报名方法；若该考生选择两所考试时间相同的学校之一，有C24C12＝12种报名方法，故共有4＋12＝16种不同的报名方法．

13.(2018·天津理)如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有( )

A．288种B．264种

C．240种D．168种

[答案] B

[解析] 当涂四色时，先排A、E、D为A34，再从B、F、C三点选一个涂第四种颜色，如B，再F，若F与C同色，则涂C有2种方法，若F与C异色则只有一种方法，故A34A13(2＋1)＝216种．

当涂三色时，先排A、E、D为C34A33，再排B有2种，F、C各为一种，故C34A33×2＝48，故共有216＋48＝264种，故选B.

14.(2018·洛阳模拟)一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有( )

A ．6种

B ．8种

C ．36种

D ．48种

[答案] D

[解析] 如图所示，三个区域按参观的先后次序共有A 2

3种参观方法，对于每一种参观次序，每一个植物园都有2类参观路径，∴共有不同参观路线2×2×2×A 2

3＝48种．

15．(2018·重庆一中)为配合即将开幕的2019年上海世博会，某大学拟成立由4名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初选，2名男同学，4名女同学成为了候选人，每位候选人当选正式队员的机会是相等的．

(1)求当选的4名同学中恰有1名男同学的概率． (2)求当选的4名同学中至少有3名女同学的概率．

[解析] 从2男4女共6名同学中选取4人，不同选法共有C 4

6＝15种， (1)恰有1名男同学当选的情况有C 1

2·C 3

4＝8种， ∴所求概率P ＝8

15

.

(2)当选的4名同学中至少有3名女同学的情况有C 34C 12＋C 4

4＝9种，∴所求概率P ＝915＝35

.

16．(2018·深圳模拟)用0,1,2,3,4这五个数字，可以组成多少个满足下列条件的没有重复数字的五位数？

(1)被4整除；

(2)比21034大的偶数；

(3)左起第二、四位是奇数的偶数．

[解析] (1)被4整除的数，其特征应是末两位数是4的倍数，可分为两类：当末两位数是20、40、04时，其排列数为3A33＝18，当末两位数是12、24、32时，其排列数为3A12·A22＝12.故满足条件的五位数共有18＋12＝30(个)．

(2)①当末位数字是0时，首位数字可以为2或3或4，满足条件的数共有3×A33＝18个．

②当末位数字是2时，首位数字可以为3或4，满足条件的数共有2×A33＝12个．

③当末位数字是4时，首位数字是3的有A33＝6个，首位数字是2时，有3个，共有9个．

综上知，比21034大的偶数共有18＋12＋9＝39个．

(3)方法一：可分为两类：

末位数是0，有A22·A22＝4(个)；

末位数是2或4，有A22·A12＝4(个)；

故共有A22·A22＋A22·A12＝8(个)．

方法二：第二、四位从奇数1,3中取，有A22个；首位从2,4中取，有A12个；余下的排在剩下的两位，有A22个，故共有A22A12A22＝8(个)．

1．从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )

A．85 B．56

C．49 D．28

[答案] C

[解析] 分两类计算，C22C17＋C12C27＝49，故选C.

2．(2018·安徽芜湖一中)从编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10个球中，任取5个球，则这5个球的编号之和为偶数的概率是( )

A.1

6

B.

1

3

C.1

2

D.

2

3

[答案] C

[解析] 从10个球中选5个有C 5

10种选法，取出的5个球编号之和为偶数的取法有：1偶4奇C 15C 4

5，3偶2奇C 35C 2

5，5偶C 5

5，

∴所求概率P ＝C 15C 4

5＋C 35C 2

5＋C 5

5C 5

10＝1

2

. 10个球的编号5奇5偶，从中任取5个，编号之和为奇数的与编号之和为偶数的一样多，∴P＝1

2

.

3．定义整数集合A 与B 的运算A*B 如下：A*B ＝{(x ，y)|x∈A，y∈B，且x ＋y 为偶数}，若A ＝{－1,0,1}，B ＝{1,2,3,4}，则集合A*B 中的元素个数为( )

A ．12

B ．6

C ．4

D ．2

[答案] B

[解析] x ＝－1时，y ＝1,3；x ＝0时，y ＝2,4；x ＝1时，y ＝1,3.故选B.

4．(2018·全国Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )

A ．12种

B ．18种

C ．36种

D ．54种

[答案] B

[解析] 先从三个信封中选取一个放数字1,2，有C 1

3种选法，再从3,4,5,6中选取两个放入一个信封中，则剩下的两个数字在另一个信封中，有放法C 2

4种，∴共有不同放法，C 1

3·C 2

4＝18种．

5．(2018·广西桂林调研考试)从9名学生中选出4人参加辨论比赛，其中甲、乙、丙三人至少有两人入选的不同选法的种数为( )

A ．36

B ．96

C ．63

D ．51

[答案] D

[解析] 若甲、乙、丙三人均入选，只需再从其余的6人中任选1人即可，有C 1

6种选法，若甲、乙、丙三人中只有2人入选，有C 2

3种方法，然后再从其余的6人中任选2人即可，有C 2

6种选法，所以一共有C 1

6＋C 23C 2

6＝51种选法．

6．若三角形的三边长均为正整数，其中一边长为4，另外两边长分别为b 、c ，且满足b≤4≤c，则这样的三角形有( )

A ．10个

B ．14个

C ．15个

D ．21个

[答案] A

[解析] 当b＝1时，c＝4；当b＝2时，c＝4,5；当b＝3时，c＝4,5,6；当b＝4时，c＝4,5,6,7.故共有10个这样的三角形．选A.

[点评] 注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．

7．(2018·绵阳市模拟)某地为上海“世博会”招募了20名志愿者，他们的编号分别是1号、2号、…，19号、20号．若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是( )

A．16 B．21

C．24 D．90

[答案] B

[解析] 由题意知5号和14号在所选4人中，且在同一组，故再从其余志愿者中选2人，如果5号和14号是编号较大的一组，则另二人只能从编号为1至4号的志愿者中选取，有C24种方法；如果5号和14号是编号较小的一组，则另二人只能从15至20号中选，有C26种选法，∴不同选法共有C24＋C26＝21种．

8．身穿兰、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿红色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有( )

A．48种B．72种

C．78种D．84种

[答案] A

[解析] 解法一：两种穿相同颜色衣服的人相邻的排法有A33A22A22＝24种，只有一种穿相同颜色衣服的人相邻的排法有2(A44A22－24)＝48，则穿相同颜色衣服的人不能相邻的排法有A55－24－48＝48，故选A.

解法二：按穿兰衣服的两人站位分有以下6类：

对于①②⑤⑥排上穿黄衣服的两人都只有两类方法．

第③类中排上穿黄衣服的两人只有一类方法．

第④类中排上穿黄衣服的两人有三类方法．

对于上述每一类安排方法，五人的不同站法共有A22A22＝4种，∴共有不同排法(4×2＋1

＋3)×4＝48种．