动力学
第十五章拉格朗日方程
在第十三章中曾经指出，根据达朗伯原理可以把动力学问题化成静力学问题的形式来处理，在第四章中讨论的虚位移原理是任意质点系平衡的普遍原理。本章中我们首先将这两种原理结合应用得到动力学普遍方程，然后将其用广义坐标的形式表示，推导出更便于求解非自由质点系动力学问题的拉格朗日方程。
第一节动力学普遍方程
设一运动着的质点系，其中第i个质点的加速度为a i，质量为m i，依达朗伯原理在每一瞬时作用在该质点上的主动力F i，约束力F Ni以及假想加在质点上的惯性力F Ii= －ma i 组成平衡力系，即
F i + F Ni+ (－ma i) = 0 (i=1，2，…，n)
应用虚位移原理，给质点系任一组虚位移δr i (i=1，2，…，n)，则质点系上所有主动力，约束力和惯性力在这虚位移中作的元功之和应等于零。于是可得
假定质点系所受的约束是理想约束，则所有约束力在虚位移中的元功之和恒为零，于是上式可写成
(15-1)
如用直角坐标系，式（15-1）可写成
(15-2)
式中分别是和在直角坐标轴上的投影。
式（15-1）和式（15-2）称为动力学普遍方程，这一方程表明:具有理想约束的质点系运动时, 在任一瞬时，作用于质点系的所有主动力和惯性力在任一虚位移中所作元功之和等于零。
下面举例说明这一方程的应用.
第二节拉格朗日方程
由上节可知动力学普遍方程是不包含理想约束力的动力学方程组，这是它的优势所在，但是由于在虚位移计算中采用非独立的直角坐标，从而对确定的动力学系统所得到的方程一般不是最少的。本节所介绍的拉格朗日方程是动力学普遍方程的广义坐标形式，所得到的方程组中方程的个数最少。在推导拉格朗日方程之前首先证明两个恒等式：
(15-3)
(15-4)
式中n，N分别是质点系中质点的个数和质点系的广义坐标数。若质点系受到s个理想完整的约束则有N=3n-s；是第i个质点的位矢，它是广义坐标q i和时间t的函数，即
证明式（15-3）：将对时间求导得
(15-5)
式中广义坐标对时间的变化率称为广义速度，注意到和只是广义坐标和时间的函数，因此式(15-5)对第j个广义速度取偏导数，便可证得式(15-3)。
证明式（15-4）：将式(15-5)对某一广义坐标求偏导数，得
因为是广义坐标和时间的函数，将其对时间求导数，得
比较以上两式，其右端相同，故得
即式(15-4)得证。
下面推导拉格朗日方程。
将
两边取变分，得
代入动力学普遍方程式（15-1）得
交换上式的求和顺序，有
(15-6)上式中，方括号内的第一项称为对应于广义坐标q j的广义主动力。
(15-7)
第二项称为对应于广义坐标q j的广义惯性力，即
将恒等式（15-3）和式（15-4）代入上式，有
（15-8）
上式中括号内是质点系的动能E K，所以式(15-8)可写成
(15-9)
将式(15-7)和式(15-9)代入式(15-6)后，有
如果系统只受完整约束，由虚位移的独立性，可得
（15-10）
这一组N个方程就是广义坐标形式的质点系运动微分方程，即拉格朗日方程，简称拉氏方程。
若为保守系统则作用于质点系的力是有势力，由式（12-39）知
代入式（4-7），有
即
（15-11）
将式(15-11)代入式(15-10)，则拉氏方程可改写为
(15-12)
现将动能与势能之差用L表示，即令
(15-13)
L称为拉格朗日函数。注意到势能只是广义坐标的函数，不含广义速度，即，于是式（15-12）可写为
(15-14)
即
(15-15)
这就是质点系所受的力是有势力时的拉格朗日方程。
由式（15-10）可以看出，拉氏方程的数目和广义坐标的数目相等即与质点系的自由度相等。具体应用时只需计算系统的动能和广义力；对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。因此，对于约束多而自由度少的动力学系统，应用拉氏方程求解要比用其他方法求解方便。下面举例说明。
第十五章思考题
·15-1 动力学普遍方程的实质是什么?
·15-2 动力学普遍方程与拉格朗日方程有何不同?
·15-3 推导拉格朗日方程时，哪一步用到了完整约束的条件?对动力学普遍方程在推导时是否应用到这一条件?
·15-4 当系统作相对运动时, 拉格朗日方程是否适用?为什么?
第十五章习题
·15-1 如图15-7所示的升降机，在主动轮C上作用一驱动力偶M，使质量m1的物体A上升。已知平衡物B的质量为m2，主动轮C和从动轮D都为均质圆轮，半径和质量分别为r和m3。如不计胶带质量，试求A物的加速度。
图15-7
·15-2 图15-8所示调速器由两个质量各为m1的滑块及质量为m2的平衡重块组成，长l的杆不计重量，弹簧刚度为k，当θ=0时，为原长。若调速器绕铅垂轴等角速度旋转，试求ω与θ的关系。
图15-8
·15-3 如图15-9所示，板DE质量为m1，放在三个质量均为m2的滚子A、B和C上，今在板上作用一水平向右的力F，使板与滚子运动。如板与滚子，以及滚子与水平面之间均无滑动，试求板DE的加速度.滚子可视为均质圆柱，不计滚动摩擦。
图15-9
·15-4 椭圆规尺放在水平面内，由曲柄带动，如图15-10所示。设曲柄OC与椭圆规尺AB都为均质杆，质量分别为m1和2m1，且OC=AC=BC=l。滑块A与B的质量相等均为m2，如作用在曲柄上的驱动力矩为MO不计摩擦，试求曲柄的角加速度。
图15-10
·15-5 如图15-11所示，铰接平行四边形机构O1O2AB位于铅直平面内，杆O1A，O2B 各长l，质量不计；杆AB为均质杆，质量m。设在O1A杆上作用一常力矩M，试求O1A转动到任意位置时的角加速度，并求θ=90o时的角加速度的值。
图15-11
·15-6 如图15-12所示，在质量为m1的均质圆柱C上绕着一根细绳，绳的质量可以不计。绳的另一端跨过不计质量的滑轮O与质量为m2的物块A相连，物块放在粗糙的水平面上，动摩擦因数为μ。如果圆柱由静止落下作平面运动，试求物块和圆柱质心的加速度。
图15-12
·15-7 如图15-13所示，一绳跨过两定滑轮A与B，并吊起一动滑轮C，绳子不在滑轮上的各端都是铅垂的，滑轮上吊有重W＝40N的重物，绳的两端分别挂有重量各为W1=20N，W2=30N的两重物。如滑轮与绳的重量以及轴承的摩擦均可不计，试求这三个重物的加速度。
图15-13
·15-8 图15-14所示滑轮组中，三个物块A，B，C质量分别为m A=10kg， m B=20kg，m C=20kg。物块与地面间的动摩擦因数均为μ=0.2，滑轮质量不计，试求各重物的加速度。
图15-14
·15-9 用动力学普遍方程推导刚体平面运动微分方程。
·15-10 如图15-15所示，半径为r的滑轮可绕水平轴O转动，在滑轮上跨过一不可伸长的绳，绳的一端悬挂质量为m1的重物C，另一端与刚性系数为k的铅垂弹簧相连。设滑轮的质量m2均布于轮缘上，绳与滑轮间无滑动。试求系统的振动周期。
图15-15
·15-11如图15-16所示，椭圆摆由一半径为r，质量为m1的均质圆盘A与一小球B 构成，圆盘可沿水平面纯滚动。小球质量为m2用长为l的杆AB与圆盘相连，杆AB能绕与图面垂直且与圆盘相连的A轴转动，不计杆的质量。试求椭圆摆的运动微分方程(小球大小不计)。
图15-16
·15-12 如图15-17所示，一质量为m的质点在一半径为r的圆环上运动，此圆环又以匀角速度ω绕其铅垂直径AB转动。试求此质点的运动微分方程以及使角速度保持不变的力矩M。
图15-17
·15-13 如图15-18所示，一均质圆盘半径为r，质量为m1，可绕其自身的水平轴O 转动，在圆盘的A点以长为l的细绳悬挂一质量m2为的重物(视为质点)。设绳子不可伸长其质量略去不计。试写出系统运动的微分方程。
图15-18
·15-14 如图15-19所示，质点M在重力作用下沿直杆AB运动，AB以匀角速度绕铅垂轴z作定轴转动，杆AB与水平成φ角。试求质点的运动规律。
图15-19
·15-15如图15-20所示，长为2l，质量为m的均质杆AB的两端沿框架的水平及铅垂边滑动，框架以匀角速度ω绕铅垂边转动。忽略摩擦，试建立杆的相对运动微分方程。
图15-20
·15-16 如图15-21所示，物块A的质量为m1，可沿光滑水平面作直线运动；均质轮C的质量为m2沿直线BD作纯滚动；力F按F=Hsinωt的规律变化（H和ω都是常量）。试建立系统的运动微分方程。
图15-21
·15-17如图15-22所示，质量为m1的均质杆OA长为l，可绕水平轴O在铅垂面内转动，其下端有一与支座相连的螺线弹簧，刚度系数为k，当时θ=0，弹簧无变形。OA杆的A端装有可自由转动的均质圆盘，盘的质量为m2，半径为r，在盘面上作用有力矩为M的常力偶，设广义坐标为φ和θ，如图所示。求该系统的运动微分方程。
图15-22
·15-18 如图15-23所示，绕在圆柱体A上的细绳，跨过质量为m的均质滑轮O，与一质量为m B的重物B相连。圆柱体的半径为r，质量为m A，对于轴心的回转半径为ρ。如绳与滑轮之间无滑动，开始时系统静止，问回转半径ρ满足什么条件时，物体B向上运动。
图15-23