一、选择题
1．如图，菱形ABCD 中，50A ∠=?，则ADB ∠的度数为（ ）
A ．65?
B ．55?
C ．45?
D ．25?
2．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（ ）
A ．4﹣22
B ．32﹣4
C ．1
D ．2
3．在ABCD 中AB BC ≠．F 是BC 上一点，AE 平分FAD ∠，且E 是CD 的中点，则下列结论：①AB BF =；②AF CF CD =+；③AF CF AD =+；④AE EF ⊥，其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②④
C ．③④
D ．①②④ 4．已知平行四边形ABCD 的一边长为5，则对角线AC ，BD 的长可取下列数据中的（ ）
A ．2和4
B ．3和4
C ．4和5
D ．5和6 5．已知点()0,0A ，()0,4B ，()3,4C t +，()3,D t ．记()N t 为ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则()N t 所有可能的值为（ ）
A ．6、7
B ．7、8
C ．6、7、8
D ．6、8、9 6．如图，在菱形ABCD 中，对角线BD ＝4，AC ＝3BD ，则菱形ABCD 的面积为（ ）
A ．96
B ．48
C ．24
D ．6
7．如图，在123A A A △中，160A ∠=?，230A ∠=?，131A A =，3+n A 是
1(1,2,3)n n A A n +=???的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（ ）
A ．100912
B ．10101
2 C ．10111
2 D ．10211
2
8．如图，以平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连结这四个点，得四边形EFGH ，当()090ADC αα∠=?<
A ．①③④
B ．②③⑤
C ．①③④⑤
D ．②③④⑤ 9．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )
A 3
B ．3
C ．3
D ．310．下列命题中，正确的命题是（ ）
A ．菱形的对角线互相平分且相等
B ．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是
矩形
C ．矩形的对角线互相垂直平分
D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形
11．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点M 是边AB 上一点（不
与点A ，B 重合），作ME ⊥AC 于点E ，MF ⊥BC 于点F ，若点P 是EF 的中点，则CP 的最小值是（ ）
A ．1.2
B ．1.5
C ．2.4
D ．2.5
12．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AB 上，且:1:2AE BE =，连接AD ，CE 交于点F ，若60ABC S =△，则DBEF S =四边形（ ）
A ．15
B ．18
C ．20
D ．25
二、填空题
13．如图，平行四边形ABCD 中，CE AD ⊥于点E ，点F 为边AB 的中点，连接EF ，CF ，若12
AD CD =，38CEF ∠=?，则AFE ∠=_____________．
14．菱形ABCD 有一个内角是60°，它的边长是2，则此菱形的对角线AC 长为_________．
15．如图，EF 过ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若ABCD 的周长为19， 2.5OE =，则四边形EFCD 的周长为_____．
16．如图，直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，CD AB ⊥于点D ，AF 平分CAB ∠交CD 于点E ，交BC 于点F ，//EG AB 交CB 于点G ，FH AB ⊥于H ，以下4个结论：①ACD B ∠=∠；②CEF △是等边三角形；③CD FH DE =+；④BG CE =中正确的是______（将正确结论的序号填空）
17．如图，将长方形纸片ABCD 沿着对角线BD 翻折，点C 落在点C '处，BC '与AD 交于点E ．若20AD cm =，5AB cm =，则DE =_______cm ．
18．已知：如图，把长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使D C 、分别落在D C ''、的位置，若65EFB ?∠=，则AED '∠的度数为_________．
19．如图，在Rt ABC △中，90A ?∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ?∠=，那么DE 的长是__________．
20．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和AB 上，BE=2，AF=2，BF=4，将△BEF 绕点E 顺时针旋转，得到△GEH ，当点H 落在CD 边上时，F ，H 两点之间的距离为______．
三、解答题
21．在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连结CD ，DE ．
（1）如图
①若90CDE ∠=?，求证：A E ∠=∠．
②若BD 平分CDE ∠，且24E ∠=?，求A ∠的度数．
（2）设()45A αα∠=>?，DEC β∠=，若CD CE =，求β关于α的函数关系式，并说明理由．
22．如图所示，沿AE 折叠长方形ABCD 使点D 恰好落在BC 边上的点F 处，已知8AB cm =，BC 10cm =．
（1）求EC 的长
（2）求AFE ?的面积．
23．如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，5cm AD =，9cm BC =，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q ．
（1）试说明不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形．
（2）当点P 在点B ，C 之间运动到什么位置时，四边形ABPQ 是平行四边形？并说明理由．
24．如图，菱形ABCD 中，60B ∠=?，点E ，F 分别在BC 和CD 上，BE CF =，求证：AE AF =．
25．（1）如图，已知线段a ，c ，求作Rt ABC ，使得90C ∠=?，BC a =，AB c =；
（2）在Rt ABC 中，斜边AB 边上的中线长为5，7BC =，试比较AC ，BC 的大小． 26．如图1，在四边形ABCD 中，若,A C ∠∠均为直角，则称这样的四边形为“美妙四边形”．
（1）概念理解：长方形__________________美妙四边形（填“是”或“不是”）； （2）性质探究：如图l ，试证明：2222CD AB AD BC -=-；
（3）概念运用：如图2，在等腰直角三角形ABC 中，,90AB AC A =∠=?，点D 为BC 的中点，点E ，点F 分别在,AB AC 上，连接,DE DF ，如果四边形AEDF 是美妙四边形，试证明：AE AF AB +=．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
由菱形得到AB=AD ，进而得到∠ADB=∠ABD ，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AD=AB ，
∴∠ADB=∠ABD=(180°-∠A)÷2=(180°-50°)÷2=65°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，菱形的邻边相等，属于基础题，熟练掌握菱形的性质是解决本题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD ＝∠ADB ＝45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED ，从而得到∠DAE ＝∠AED ，再根据等角对等边的性质得到AD ＝DE ，然后求出正方形的对角线BD ，再求出BE ，最后根据等腰直角三角形的直角边等于
斜边的2
倍计算即可得解． 【详解】
解：在正方形ABCD 中，∠ABD ＝∠ADB ＝45°，
∵∠BAE ＝22.5°，
∴∠DAE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，
在△ADE 中，∠AED ＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠DAE ＝∠AED ，
∴AD ＝DE ＝4，
∵正方形的边长为4，
∴BD ＝
∴BE ＝BD ﹣DE ＝
﹣4，
∵EF ⊥AB ，∠ABD ＝45°，
∴△BEF 是等腰直角三角形，
∴EF ＝
2BE ＝2
×（﹣4）＝4﹣． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD 是解题的关键，也是本题的难点．
3．C
解析：C
【分析】
首先延长AD ，交FE 的延长线于点M ，易证得△DEM ≌△CEF ，即可得EM ＝EF ，又由AE 平分∠FAD ，即可判定△AEM 是等腰三角形，由三线合一的知识，可得AE ⊥EF ，进而可对各选项进行判断．
【详解】
解：延长AD ，交FE 的延长线于点M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠M ＝∠EFC ，
∵E 是CD 的中点，
∴DE ＝CE ，
在△DEM 和△CEF 中，
M EFC DEM CEF DE CE ∠=∠??∠=∠??=?
，
∴△DEM ≌△CEF （AAS ），
∴EM ＝EF ，
∵AE 平分∠FAD ，
∴AM ＝AF ，AE ⊥EF ．
即AF ＝AD +DM ＝CF +AD ；故③，④正确，②错误．
∵AF 不一定是∠BAD 的角平分线，
∴AB 不一定等于BF ，故①错误．
故选：C ．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 4．D
解析：D
【分析】
由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
【详解】
解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形， 所以12（AC-BD ）＜5＜12
（AC+BD ）， 由题中数据可得，AC 和BD 的长可取5和6，
故选D ．
【点睛】
本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题． 5．C
解析：C
【分析】
分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．
【详解】
解：当t=0时，A （0，0），B （0，4），C （3，4），D （3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；
当t=1时，A （0，0），B （0，4），C （3，5），D （3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个
点；
当t=1.5时，A （0，0），B （0，4），C （3，5.5），D （3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点； 当t=2时，A （0，0），B （0，4），C （3，6），D （3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；
故选项A 错误，选项B 错误；选项D 错误，选项C 正确；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力．
6．C
解析：C
【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
【详解】
解：∵BD ＝4，AC ＝3BD ，
∴AC ＝12，
∴菱形ABCD 的面积为
12AC×BD ＝11242
??＝24． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握． 7．B
解析：B
【分析】
根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．
【详解】
解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：
A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，
∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°，
∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形，
同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．
△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=
012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=1
12，
△A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=
2
1142=， …， 所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1
21
2n -，
则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为
120211221
122n --==1010
12． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．
8．D
解析：D
【分析】
根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，
∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出
∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG ，推出
∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD ，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，AB ∥CD ，
∵平行四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E 、F 、G 、H ，
∴BE=AE=CG=DG ，AH=DH=BF=CF ，
∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，
∵AB ∥CD ，
∴∠BAD=∠BCD=180°-α，
∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α， ∴①错误；②正确；
∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，
∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE ，
在△FBE 、△HAE 、△HDG 、△FCG 中，
BF AH DH CF FBE HAE HDG FCG BE AE DG CG ===??∠=∠=∠=∠??===?
，
∴△FBE ≌△HAE ≌△HDG ≌△FCG （SAS ），
∴∠BFE=∠GFC ，EF=EH=HG=GF ，③正确；
∴四边形EFGH 是菱形，
∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE ，
∴∠EFG=90°，
∴四边形EFGH 是正方形，⑤正确；
∴EH ⊥GH ，④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
9．D
解析：D
【分析】
根据菱形的性质可得到直角三角形，利用勾股定理计算即可；
【详解】
如图，AC 与BD 相较于点O ，
∵四边形ABCD 是菱形，4AC =，
∴AC BD ⊥，2AO =，
又∵∠ABC=60゜，
∴30ABO ∠=?，
∴24AB AO ==， ∴224223BO =-= ∴243BD BO ==；
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．
【详解】
解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；
B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；
C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；
D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．
11．A
解析：A
【分析】
先由勾股定理求出AB=5，再证四边形CEMF是矩形，得EF=CM，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出CM=2.4，即可得出答案．
【详解】
解：连接CM，如图所示：
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴2222
345
AC BC
++=，
∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB=90°，
∴四边形CEMF是矩形，
∴EF=CM，
∵点P是EF的中点，
∴CP=1
2
EF，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵△ABC的面积=1
2AB×CM=
1
2
AC×BC，
∴CM=
?
AC BC
AB
=
34
2.4
5
?
=，
∴CP=12EF=12
CM=1.2， 故选：A ．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
12．D
解析：D
【分析】
过D 作DG ∥AB ，交CE 于G ，连接DE ，根据三角形中位线的定理可得CG ＝EG ，通过△DGF ?△AEF ，可得AF=DF ，再利用三角形的面积可求解．
【详解】
过D 作DG ∥AB ，交CE 于G ，连接DE ，
∵D 为BC 的中点，
∴DG 为△BCE 的中位线，
∴BE ＝2GD ，CG ＝EG ，
∵:1:2AE BE =，
∴AE=GD ，
∵DG ∥AB ，
∴∠AEF=∠DGF ，∠EAF=∠GDF ，
∴△DGF ?△AEF ，
∴AF=DF ，
∵60ABC S =△，
∴S △ABD ＝30，S △AED ＝10，
∴S △AEF ＝5，
∴S 四边形DCEF ＝S △ABD ?S △AEF ＝30?5＝25，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
二、填空题
13．24°【分析】延长CF 交DA 延长线于点G 证△BCF ≌△AGF 得GF=FC 由垂直得△FEC 是等腰三角形可知△BFC 是等腰三角形求出∠GFE 和∠GFA 即可【详解】解：延长CF 交DA 延长线于点G ∵AG ∥B
解析：24°
【分析】
延长CF 交DA 延长线于点G ，证△BCF ≌△AGF ，得GF=FC ，由垂直得△FEC 是等腰三角形，12AD CD =
，可知△BFC 是等腰三角形，求出∠GFE 和∠GFA 即可． 【详解】
解：延长CF 交DA 延长线于点G ，
∵AG ∥BC ，
∴∠G=∠BCF ，∠GAF=∠B ，
∵AF=FB ，
∴△AGF ≌△BCF ，
∴GF=CF ，AG=BC ，
∵CE AD ⊥，
∴EF=FG=FC ，∠GEC=90°，
∵38CEF ∠=?，
∴∠FEG=∠FGE=52°，
∠GFE=76°， ∵12
AD CD =
， ∴BC=BF=AF ，
∵AG=BC ，
∴AG=AF ，
∠G=∠AFG=52°， AFE ∠=76°-52°=24°．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题关键是作出适当的辅助线，构造等腰三角形．
14．或2【分析】根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形分两种情况画出图形结合勾股定理求出AC的长【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BDOA=OCOB=ODAD=AB=2若∠BAD=60°∴
解析：23或2
【分析】
根据菱形有一个内角为60°可以得到等边三角形，分两种情况，画出图形，结合勾股定理求出AC的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AD=AB=2，
若∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=2，
∴OD=1，
∴OA=22
213
-=，
∴AC=23；
若∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=2；
故答案为：32．
【点睛】
此题考查了菱形的性质和勾股定理，等边三角形的判定和性质，要记住菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四条边都相等．
15．145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=
解析：14.5
【分析】
根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，根据已知求解即可．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分
∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
∴AE=CF，OF=OE=2.5
∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF
=AE+DE+CD+EF
=AD+CD+EF
=19
2.5 2
×2
=14.5．
故答案为：14.5．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．
16．①③④【分析】连接EH得出平行四边形EHBG推出BG=EH求出
∠CEF=∠AFC得出CE=CF证△CAE≌△HAE推出CE=EH即可得出答案【详解】解：如图连接EH∵∠ACB=90°∴∠3+∠4=9
解析：①③④
【分析】
连接EH，得出平行四边形EHBG，推出BG=EH，求出∠CEF=∠AFC，得出CE=CF，证
△CAE≌△HAE，推出CE=EH，即可得出答案．
【详解】
解：如图，连接EH，
∵∠ACB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠B+∠4=90°，
∴∠3=∠B，故①正确；
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴∠1+∠AFC=90°，∠2+∠AED=90°，
∵AE 平分∠CAB ，
∴∠1=∠2，
∵∠AED=∠CEF ，
∴∠CEF=∠AFC ，
∴CE=CF ，
∴△CEF 是等腰三角形，故②错误；
∵AF 平分∠CAB ，FH ⊥AB ，FC ⊥AC ，
∴FH=FC ，
在Rt △CAF 和Rt △HAF 中，
AF AF CF FH =??=?
， ∴Rt △CAF ≌Rt △HAF （HL ），
∴AC=AH ，
在△CAE 和△HAE 中，
12AC AH AE AE =??∠=∠??=?
，
∴△CAE ≌△HAE （SAS ），
∴∠3=∠AHE ，CE=EH ，
∵∠3=∠B ，
∴∠AHE=∠B ，
∴EH ∥BC ，
∵CD ⊥AB ，FH ⊥AB ，
∴CD ∥FH ，
∴四边形CEHF 是平行四边形，
∴CE=FH ，
∴CD=CE+DE=FH+DE ，故③正确；
∵EG ∥AB ，EH ∥BC ，
∴四边形EHBG 是平行四边形，
∴EH=BG ，
∵CE=EH ，
∴BG=CE ．故④正确．
所以正确的是①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，有一定
的难度．
17．【分析】根据题意得到BE ＝DE 然后根据勾股定理得到关于线段ABAEBE 的方程解方程即可【详解】解：设ED ＝x 则AE ＝20﹣x ∵四边形ABCD 为矩形∴AD ∥BC ∴∠EDB ＝∠DBC ；由题意得：∠EBD 解析：858
【分析】
根据题意得到BE ＝DE ，然后根据勾股定理得到关于线段AB 、AE 、BE 的方程，解方程即可．
【详解】
解：设ED ＝x ，则AE ＝20﹣x ，
∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ∥BC ，
∴∠EDB ＝∠DBC ；
由题意得：∠EBD ＝∠DBC ，
∴∠EDB ＝∠EBD ，
∴EB ＝ED ＝x ；
由勾股定理得：
BE 2＝AB 2+AE 2，
即x 2＝52+（20﹣x ）2，
解得：x ＝
858， ∴ED ＝858
． 【点睛】
本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．
18．【分析】由长方形纸片可得再求解由折叠的性质求解结合平角的定义可得答案【详解】解：长方形纸片由折叠可得：故答案为：【点睛】本题考查的是矩形与折叠平行线的性质简单题解题的关键是理解折叠的性质
解析：50?
【分析】
由长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=?可得//,AD BC 再求解,DEF ∠ 由折叠的性质求解,D EF '∠ 结合平角的定义可得答案．
【详解】 解： 长方形纸片ABCD ，65EFB ∠=?，
//,AD BC ∴
65DEF EFB ∴∠=∠=?，
由折叠可得：65D EF DEF '∠=∠=?，
180180656550.AED D EF DEF ''∴∠=?-∠-∠=?-?-?=?
故答案为：50.?
【点睛】
本题考查的是矩形与折叠，平行线的性质，简单题，解题的关键是理解折叠的性质． 19．【分析】过D 作DF ⊥AC 于F 得到AB ∥DF 求得AF ＝CF 根据三角形中位线定理得到DF=AB ＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D 作DF ⊥AC 于F ∴∠DFC ＝∠A ＝90°∴AB ∥DF 解析：2 【分析】 过D 作DF ⊥AC 于F ，得到AB ∥DF ，求得AF ＝CF ，根据三角形中位线定理得到DF =12AB ＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：过D 作DF ⊥AC 于F ，
∴∠DFC ＝∠A ＝90°，
∴AB ∥DF ，
∵点D 是BC 边的中点，
∴BD ＝DC ，
∴AF ＝CF ，
∴DF =12
AB ＝1， ∵∠DEC ＝45°，
∴△DEF 是等腰直角三角形，
∴DE =2DF =2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
20．【分析】根据旋转的可证明△BEF ≌△CHE 作FM ⊥CD 于M 分别求出FMMH 的长利用勾股定理即可求解【详解】∵将△BEF 绕点E 顺时针旋转得到△GEH 点H 落在CD 边上∵BE=2AF=2BF=4∴GH=B
解析：10