解三角形中的取值范围问题
1、已知a, b, c分别为ABC 的三个内角A, B,C 的对边，且2b cosC 2a c 。（ 1）求角B的大小；
（ 2）若ABC的面积为 3 ，求b的长度的取值范围。
解析：（ 1）由正弦定理得2sin BcosC 2sin A sin C ，在ABC 中，
sin A sin( B C )sin B cosC cos B sin C ，所以 sin C (2cos B1) 0 。
又因为 0 C, sin C0
1
，而 0B，所以B ，所以 cos B
123
（2）因为
S ABC3, 所以ac4
ac sin B
2
由余弦定理得 b2a2c22acscos B a2c2 ac ac，即 b2 4 ，所以 b 2
2、在△ABC中 , 角A, B, C所对的边分别为a,
b,c,已知cosC(cos A 3 sin A) cos B 0 .
(1)求角 B的大小;（2）若 a+c=1,求 b 的取值范围
【答案】解:(1) 由已知得cos(A B)cos Acos B 3 sin A cos B0即有sin Asin B 3 sin Acos B 0因为 sin A0 ,所以 sin B 3 cosB0 ,又 cos B0 ,所以 tan B 3 ,又 0B, 所以B.
1113
(2) 由余弦定理 , 有b2a2c22ac cos B .因为 a c 1,cosB, 有b23(a)2.
1,于是有1
1
224
又 0 a b21,即有b1.
42
3、已知，满足．
（I ）将表示为的函数，并求的最小正周期；
（II ）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，求的取值范围．
4、已知向量ur
x
r
x 2 x
ur r ( 3 sin，，f (x)m n
m,1)n(cos ,cos)
44g
4
(1)若 f ( x) 1 ，求 cos(x) 的值；
3
(2)在 ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ，且满足 a cosC 1 c b ，求函数 f ( B) 的取值范围.
2
【解析】
解：（ 1） Q f x m n3sin x
cos
x
cos2
x
3sin
x
1cos
x
1sin x
6
1, 4442222222
而 f x
x
1
.
1, sin
6 2
2
cos x
cos2 x
6
1 2sin
2 x
6
1 .
3
2
2 2
（ 2）Q a cosC
1 c b, a
a 2
b 2
c 2
1
c 2
2
2
1
2 2ab
2b, 即 b c
a
bc, cos A.
2
又 Q A
0, ,
A 又 Q 0
B 2
,
B ,
f B
3
3 6 2
6
1, .
3
2
2
5、已知锐角中内角、 、的对边分别为、 、，，且 .
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）设函数，图象上相邻两最高点间的距离为，求的取值范围 .
解：（Ⅰ）因为 , 由余弦定理知所以 .
又因为 , 则由正弦定理得 :,
所以 , 所以 .
（Ⅱ）
由已知 , 则
因为 ,, 由于 ,
所以 , .
根据正弦函数图象 , 所以 .
6、在中，内角、 、的对边分别为、 、，
C , 且
b
sin 2C
。
b sin A sin 2C
3
2 a
uuur uuur uuur uuur
（ 1）判断的形状； （2）若 | BA BC | 2 ，求 BA BC 的取值范围。
答案：（ 1 ）
sin B
sin 2C
,
sin B sin 2C ,
B 2
C 或 B 2C ，若 B 2C ，因为
sin A sin B
sin A sin 2C
C , 2
B , B C
(舍) B 2C
,
A C ,
ABC 为等腰三角形。
3
3 2
uuur uuur a 2 2
4, 2 a
2
（ 2） | BA BC | 2,
c 2ac cosB cos B
2
，
a
而 cos B
cos 2C ,
1 cos B 1,
1 a 2
4 , uuur uuur 2
,1 ，
BA BC
2
3
3