圆切线的证明及有关计算（一）
一、课标要求
了解切线的概念：探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线。会过圆上一点画圆的切线。
二、教学目标
1．归纳直线与圆相切的性质和判定方法以及切线长定理，并能运用这些知识进行计算和证明；2．在计算与证明中培养学生的分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力。
三、教学重点
运用切线的性质和判定方法进行计算与证明。
四、教学难点
灵活运用所学知识解决有关切线问题。
五、【基础知识回顾】
（一）.切线的定义：
（二）.切线性质：
圆的切线______于过切点的半径.
提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常连接圆心和切点，即可得垂直关系
（三）.切线判定：
(1) 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线.（定义）
(2) 经过半径的外端且______这条半径的直线是圆的切线.（判定定理）
(3) 如果圆心到一条直线的距离等于______，那么这条直线是圆的切线.
提醒：1、在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明（连半径，证垂直）.
2、当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切（作垂直，证半径）. （四）.切线长
（1）切线长定义：
经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的，叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线两条切线的夹角
六．【典型例题解析】
考点一：与切线性质有关的计算
例1、（九上P122 1(4)）如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，且
∠P=70°，则∠C=_______.
分析：连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB, 易得四边形
APBO的内角∠AOB的度数，从而可得∠C。
（变式）如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，点C在⊙O上，
且∠ACB=50°，则∠P=_______.
例2、如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC
的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分
别为D，E，则⊙O的半径为（）
A．8B．6 C．5 D．4
分析：连接OD、OE，则OD⊥BA，OE⊥AC,根据切线长定理
得AD=AE，易得正方形ADOE;若设OD=x，根据勾股定理可得OD2+BD2=BO2从而得到方程，通过解方程既得⊙O的半径。
【备考指导】解决与切线有关的求角度或线段问题的方法：当已知切线时，常作辅助线连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，然后利用勾股定理或相关的三角函数知识计算线段长度；而在求角度时，往往与圆周角、圆心角有关，求解过程中有时需要作出合适的辅助线，构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解。
考点二：与切线判定有关的证明
例3.已知：如图, AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, 且DE⊥AC于点E.
(1)求证: DE是⊙O的切线；
(2) 若∠C＝30°,CD＝10 cm, 求⊙O的直径．
分析：(1)若所证直线与圆的交点字母标出,则连接这条半径,证明这
条半径________所证直线；
(2)利用等腰三角形和直角三角形知识可求．
【备考指导】证明直线是圆的切线的方法：①可以利用定义判定，
与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②若已知直线与圆有公
共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直；③若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径.可简述为：无切点、作垂直、证相等.
七、中考链接
（一）基础达标训练
1．（13.河池）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点，
则PA=．
2. (14.湘潭)如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，Ｃ为⊙Ｏ外一点，过Ｃ作⊙Ｏ的切线，切点为Ｂ， 连接ＡＣ交⊙Ｏ于Ｄ，∠Ｃ＝３８°，点Ｅ在ＡＢ右侧的半圆上运动（不与Ａ、Ｂ重合）， 则∠ＡＥＤ的大小是（ ）
Ａ．１９° Ｂ．３８° Ｃ．５２° Ｄ．７６°
第1题 第2题 第3题
3.（12.玉林）如图，Ｒｔ△ＡＢＣ的内切圆⊙Ｏ与两直角边ＡＢ，ＢＣ分别相切于点Ｄ，Ｅ，过劣弧ＤＥ（不包括端点Ｄ，Ｅ）上任一点Ｐ作⊙Ｏ的切线ＭＮ与ＡＢ、ＢＣ分别交于点Ｍ、Ｎ，若⊙Ｏ的半径为ｒ，则Ｒｔ△ＭＢＮ的周长为 （ ）
4.（14.玉林）如图，直线ＭＮ与⊙Ｏ相切于点Ｍ，ＭＥ＝ＥＦ 且ＥＦ∥ＭＮ，则ｃｏｓＥ＝ ．
5.（12.玉林改编）如图，以△ＡＢＣ的ＢＣ边上一点Ｏ为圆心的圆，经过Ａ、Ｂ两点，且与ＢＣ边交于点Ｅ，Ｄ为ＢＥ的下半圆弧的中点，连接ＡＤ交ＢＣ于Ｆ，若ＡＣ＝ＦＣ．
求证：ＡＣ是⊙Ｏ的切线；
（二）能力提升
1.（14.无锡）如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为
D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，∠A=30°，给出下面3个结论：
①AD=CD ；②BD=BC ；③AB=2BC ，其中正确结论的个数是（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
r A 2
5 D. 2r . C r 23 B.r
.
2.（14.内江）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，
以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC
相切于点D、E，则AD为（）
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
3.（1
4.贺州九下P102第11题变式）如图，ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ分别与⊙Ｏ相切于Ｅ，Ｆ，Ｇ，且ＡＢ∥ＣＤ，ＢＯ＝６ｃｍ，ＣＯ＝８ｃｍ．
（１）求证：ＢＯ⊥ＣＯ；（２）求ＢＥ和ＣＧ的长．
4.（13.南宁）如图，在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE ⊥AC于点E，BE交⊙O于点F。
（1）求证：DE是O的切线。
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长。
5.（14.南宁）如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切与点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB 的延长线交于点D，则CD 的长为.
圆切线的有关证明和计算 已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠= ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 解：（1） （2） 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过 B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC= 1 3 时，求⊙O 的半径. （１）通过平行找垂直。如果以下几种题型 如图，已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E . (1)求证:DE 是⊙O 的切线； (2)若2 1 cos = C , 6DE =, 求⊙O 的直径. 已知：如图，⊙O 为ΔABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF 使得BA 平分 ∠CBF ，过点A 作A D ⊥BF 于D （１）求证：DA 为⊙O 的切线 （２）若BD=1,⊙O 的半径为2 5 ，求tan ∠BAD F A D B O C (2)通过计算角的度数找垂直 如果以下题型 D C O A B E
10.已知，A 是⊙O 上一点，半径的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC=BC,AC= 2 1 OB 。 （１）求证：AB 是⊙O 的切线 （２）若∠ACD=４５°,OC=2,求弦CD 的长 D O C A B 已知如图，点D 是⊙O 的直径延长线上一点，点B 在⊙O 上，且OA=AB=AD (1)求证：BD 是⊙O 的切线 (2)若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且BE=８,tan ∠BFA= 2 5 ,求⊙O 的半径 B F E D A O C 已知：如图，在⊿ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过 A,B,C 三点，∠DOC=2∠ACD=90° A (1)求证：直线AC 是⊙O 的切线； D (2)如果∠ACB=75°,⊙O 的半径为２,求BD 的长 B C O (3)根据角与角的关系推导 已知：如图，AB 是O 的直径，BC 切O 于B ，AC 交O 于P ，D 为BC 边的中点，连结DP ． (1) DP 是O 的切线； (2) 若3 cos 5 A ， O 的半径为5， 求DP 的长. 如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， O P C D B A
圆切线的证明及有关计算（一） 一、课标要求 了解切线的概念：探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线。会过圆上一点画圆的切线。 二、教学目标 1．归纳直线与圆相切的性质和判定方法以及切线长定理，并能运用这些知识进行计算和证明；2．在计算与证明中培养学生的分析问题、解决问题以及综合运用知识的能力。 三、教学重点 运用切线的性质和判定方法进行计算与证明。 四、教学难点 灵活运用所学知识解决有关切线问题。 五、【基础知识回顾】 （一）.切线的定义： （二）.切线性质： 圆的切线______于过切点的半径. 提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常连接圆心和切点，即可得垂直关系 （三）.切线判定： (1) 和圆有唯一公共点的直线是圆的切线.（定义） (2) 经过半径的外端且______这条半径的直线是圆的切线.（判定定理） (3) 如果圆心到一条直线的距离等于______，那么这条直线是圆的切线. 提醒：1、在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明（连半径，证垂直）. 2、当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切（作垂直，证半径）. （四）.切线长 （1）切线长定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的，叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的相等，这一点和圆心的连线两条切线的夹角 六．【典型例题解析】 考点一：与切线性质有关的计算 例1、（九上P122 1(4)）如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，且
∠P=70°，则∠C=_______. 分析：连接OA、OB，则OA⊥PA，OB⊥PB, 易得四边形 APBO的内角∠AOB的度数，从而可得∠C。 （变式）如图，P A、PB切⊙O于A、B两点，点C在⊙O上， 且∠ACB=50°，则∠P=_______. 例2、如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=8，O为BC 的中点，以O为圆心作半圆，使它与AB，AC都相切，切点分 别为D，E，则⊙O的半径为（） A．8B．6 C．5 D．4 分析：连接OD、OE，则OD⊥BA，OE⊥AC,根据切线长定理 得AD=AE，易得正方形ADOE;若设OD=x，根据勾股定理可得OD2+BD2=BO2从而得到方程，通过解方程既得⊙O的半径。 【备考指导】解决与切线有关的求角度或线段问题的方法：当已知切线时，常作辅助线连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，然后利用勾股定理或相关的三角函数知识计算线段长度；而在求角度时，往往与圆周角、圆心角有关，求解过程中有时需要作出合适的辅助线，构造与所求角有关的圆心角或直角三角形进行求解。 考点二：与切线判定有关的证明 例3.已知：如图, AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D, 且DE⊥AC于点E. (1)求证: DE是⊙O的切线； (2) 若∠C＝30°,CD＝10 cm, 求⊙O的直径． 分析：(1)若所证直线与圆的交点字母标出,则连接这条半径,证明这 条半径________所证直线； (2)利用等腰三角形和直角三角形知识可求． 【备考指导】证明直线是圆的切线的方法：①可以利用定义判定， 与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②若已知直线与圆有公 共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直；③若未知直线与圆的交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径.可简述为：无切点、作垂直、证相等. 七、中考链接 （一）基础达标训练 1．（13.河池）如图，⊙O的半径为3，P是CB延长线上一点，PO=5，PA切⊙O于A点， 则PA=．
专题提升(十二)与圆的切线有关的计算与证明 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__． 图Z12－1 经典母题答图 【解析】如答图，连结OC. ∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直． 【中考变形】 [2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小； (2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
图Z12－2 解：(1)如答图①，连结AC， ∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°， ∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°， 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°； 中考变形答图①中考变形答图② (2)如答图②，连结AD， 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°， ∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°， ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°. 【中考预测】 [2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P.
圆的切线证明与计算专题训练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于E，B为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 2.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 3.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30O，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线.
5.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于点E. 求证：AC是⊙D的切线. 6.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧BC的中点，DP⊥AC，垂足为点P. 求证：PD是⊙O的切线. 7.已经⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连接CO，若AD//OC交⊙O于D. 求证：CD是⊙O的切线. 8.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90O，弦BD=BA，AB=12，BC=5,BE⊥DC交DC的延长线与点E. 求证：BE是⊙O的切线.
9.如图，在△ABC中，∠C=90O，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点 D. （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD=5，求AC的长. 10.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点. （1）求证：GE是⊙O的切线； （2）若OC=5，CE=6，求AE的长. 11.如图，在Rt△ABC中，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径作圆. （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求证：AB+EB=AC. 12.如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作DE⊥BC于E. （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30O，AB=8，求DG的长.
与圆的切线有关的计算与证明(1) 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P =30°,0 O的半径为1,贝U PB的长为1 . 图Z12- 1 经典母题答图 【解析】如答图，连结0C. ??PC 为O O 的切线，.?./PC0 = 90 在RtSCP 中，??OC= 1,/P = 30°, ??0P= 20C= 2, ??PB= OP- 0B= 2- 1= 1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；⑵已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直. 【中考变形】 [2017天津]已知AB是O 0的直径，AT是O 0的切线，/ ABT= 50°, BT交O0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D. (1) 如图Z12-2①，求/ T和/CDB的大小； (2) 如图②，当BE= BC时，求/ CD0的大小.
解：⑴如答图①，连结AC , ??AT 是。O 的切线，AB 是。O 的直径, ??AT 丄 AB ,即/ TAB = 90°, ? 50°,?d 90°-/ ABT = 40 由AB 是O O 的直径，得/ ACB = 90° ? Q AB = 90°』ABC = 40°,/-CDB =/CAB = 40°; ⑵如答图②，连结AD , 在厶 BCE 中，BE = BC ,/ EBC = 50 ? / BCE =/BEC = 65°, ?/ BAD = /BCD = 65 ? OA = OD ，?/ ODA =/ OAD = 65 ? / ADC =/ ABC = 50°, ? / CDO =/ ODA -/ADC = 65°- 50°= 15 【中考预测】 [2017宿迁]如图Z12-3, AB 与。O 相切于点B , BC 为。O 的弦，OC 丄OA , OA 与BC 相交于点 P. 图 Z12- 2 中考变形答图① 中考变形答图②
圆的有关切线证明和计算 D 1如图，已知：△ ABC内接于O 0,点D在0C的延长线上, (1)求证：AD是O 0的切线； (2)若AC = 6,求AD的长。 A 2、如图，以△ ABC的直角边AB为直径的半圆O 0与斜边AC交于点D, E是BC边的中点，连接DE。 (1)求证：DE与O 0相切; (2)若AD、AB的长是方程x2—10x+ 24= 0的一个根，求直角边BC的 长。 3、如图，Rt△ ABC中，/ B = 90度，C是AB上的一点，以0为圆心，0B为半径的圆与AB交于点E,交AC于点D，其中DE // 0C (1)求证：AC为O 0的切线; (2) 若AD = 23，且AB 径、CD的长。 4、如图，AB是O 0的直径，延长线于点D， 交AB的延长线于点C。 (1)求证：CD是O 0的切线； 10 20 (2)若CB = — , CE=—，求AE 的长。 3 3
5、已知，如图，AB是O O的直径，O O过AC的中点D，过D作DE丄BC交BC于点E。 (1) 求证：DE是O O的切线； (2) 如果CD = 4, CE= 3,求O O的半径。 C 6、如图，等腰△ ABC中，AC = BC = 10, AB = 12,以BC为直径作O AB 于点D，交AC于点G, DF丄AC ,垂足为F,交CB的延长线于点 (1)求证：直线EF是O O的切线； (2)求DF、DE的长。 C 7、已知如图，直角梯形ABCD中，AD // BC, AD丄AB，且满 足AD + BC = CD，以AB为直径作O 0。 (1)求证：CD是O 0的切线； (2)若AD = 2, BC = 6,求O 0 的半径。 C与AE切于点E,过 8、如图, Rt△ ABC中，/ ACB = 90° CD丄AB于D,以CD为半径作O 点 B 作BM // AE。 (1)求证：BM是O C的切线； (2)作DF丄BC 于F,若AB = 16,/ DBM = 60° 求EF 的长。 B 9、如图，直角梯形ABCD中，/ A =/ B = 90° AD // B C , E为AB上一点，DE平分/ ADC , CE 平 分/ BCD。 (1)以AB为直径的圆与边CD有怎么样的关系？ (2)该题材中以CD为直径的圆与AB的位置关系如何，请证明你的猜想。 A E
中考数学与圆的切线相关的证明与计算 圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 一、圆的切线的判定及相关计算 1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点， 连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE . 求证：AC 是⊙O 的切线． 例题1图 【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD ＝∠BCA， 再结合直径所对圆周角为直角即可得证． 证明：如解图，连接AD.
例题1解图 ∵点E 是弧BD 的中点， ∴弧BE ＝弧DE， ∴∠1＝∠2 . ∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1， ∴∠ACB＝∠BAD. ∵ AB为⊙O 直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴∠DAC＋∠C＝90°. ∵∠C＝∠BAD， ∴∠DAC＋∠BAD＝90°. ∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ AC 是⊙O 的切线． 证明切线的常用方法： 1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”． (1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下： ① 利用等角代换： 通过互余的两个角之间的等量代换得证； ② 利用平行线性质证明垂直： 如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；
③ 利用三角形全等或相似： 通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证． (2)图中无90°角时： 利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线， 再根据“ 三线合一” 的性质得证． 2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”． 2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F . (1) 求证：DF 是⊙O 的切线； (2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长． 例题2图 【解析】 (1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P. 例题2解图
圆的切线证明及计算 一、知识回顾 1、切线证明的两种主要类型： （1）已知直线经过圆上某一点，辅助性的作法是连接圆心和这一点，判定方法是：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线。 （2）未知直线是否经过圆上的某一点，辅助线的作法是过圆心作直线的垂线段，判定方法是：到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 2、圆的有关计算：经常用到垂径定理、勾股定理等。 二、例题讲解： 例1：如图1，在Rt△ABC中，C90 ∠=,BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE EB ⊥. （１）求证：AC是△BDE的外接圆的切线； （２）若2 AD，求EC的长. 6 =AE 2= ,6 注：（1）角平分线、平行于角平分线一边的直线、等腰三角形中，任意两个作为条件都可以推导出第三个。 （2）直角三角形中的特殊边角关系的应用。 例2：如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆。 求证：（1）AC是⊙D的切线； （2）AB+EB=AC。 证明：（1）过点D作DF⊥AC于F. ∵AB为⊙D的切线, AD平分∠BAC, ∴BD=DF . ∴AC为⊙D的切线 .
（2）在△BDE和△DCF中, ∵BD=DF, DE=DC, ∴△BDE≌△DCF（HL）, ∴EB=FC . 又AB=AF, ∴AB+EB=AF+FC, 即AB+EB=AC . 三、课堂练习： 1、如图3，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，在∠ACD的外部作∠ACE=∠ACD，CE的反向延长线交AB的延长线于点P．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）若PC=4，PA=8，求sinP的值． 2、如图4，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交 BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB 长为半径作⊙D,AB＝5,EB＝3. 求证:⑴AC是⊙O的切线； ⑵求线段AC的长. 3、如图5，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接 圆⊙O，∠B的平分线BE交AC于D，交⊙O于E，过E 作EF∥AC交BA的延长线于F． （1）求证：EF是⊙O切线； （2）若AB = 15，EF = 10，求AE的长． 4、已知：如图6，∠ACB=60°，CE为∠ACB的角平分线，O为射线CE上的一点， ⊙O切AC于点D． （1）求证：BC与⊙O相切； （2）若⊙O的半径为6，P为⊙O上一点，且使得 ∠DPC=90°，求DP的长． 5、（2009年元月调考试题）如图7，在边长为4的正方形ABCD 中，以AD为直径作⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙C， 两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F.
与圆的切线有关的计算与证明 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__． 图Z12－1 经典母题答图 【解析】如答图，连结OC. ∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直． 【中考变形】 [2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小； (2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
图Z12－2 解：(1)如答图①，连结AC， ∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°， ∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°， 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°； 中考变形答图①中考变形答图② (2)如答图②，连结AD， 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°， ∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°， ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°. 【中考预测】 [2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P. (1)求证：AP＝AB； (2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．
切线证明法 切线的性质定理: 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的性质定理的推论１: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 切线的性质定理的推论２: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 切线长定理: 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径． 【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．思路：要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD ＝90o即可． 证明：连接OC，BC．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90o． 1AB＝OB． ∵∠CAB＝30o，∴BC＝ 2 1OD．∴∠OCD＝90o． ∵BD＝OB，∴BC＝ 2 ∴DC是⊙O的切线． 【评析】一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线． 【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线． 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另 一条直线是圆的切线．也就是既要注意运用圆的切线的 性质定理，又要运用圆的切线的判定定理．欲证明CD 是⊙O的切线，只要证明∠ODC＝90o即可． 证明：连接OD． ∵OC∥AD，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4． ∵OA＝OD，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠4．
圆的切线证明 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
C E A B O P 圆的切线证明 1（2011中考）.如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作 OP的垂线AB，垂足为点C,交⊙O于点B,延长BO与⊙O交 于点D，与PA的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O的切 线； 2 已知⊙O 中，AB是直径，过B 点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于 D，求证：CD是⊙O的切线。 3 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M求证：DM与⊙O相 切. 4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于 点，于点． D
（1）求证：是的切线； 5已知：如图⊙O是△ABC的外接圆，P为圆外一点，PA∥BC，且A为劣弧的中点，割线PBD过圆心，交⊙0于另一点D，连结CD． (1)试判断直线PA与⊙0的位置关系，并证明你的结论． (2)当AB=13，BC=24时，求⊙O的半径及CD的长． 6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的 长；(3)求图中阴影部分的面积． 7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一 点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。 (1) 求证：直线AC是圆O的切线； (2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。
8、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点 D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线； 9 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。 10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦 BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E. （1）求证：∠BCA=∠BAD；（3）求证:BE是⊙O的切线。
证明圆的切线 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
小专题证明圆的切线的两种类型 类型1 已知直线与圆的交点 【例1】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 【方法总结】直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等. 变式练习1 (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 变式练习2 (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D 作⊙O的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由.
变式练习3 (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积. 类型2 未知直线与圆的交点 【例2】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D 相切. 【方法总结】直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等. 变式练习4 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA 长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F. 求证：CD与⊙O相切.
细说如何证明圆的切线 1（2011中考）.如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O 的切线； 2 已知⊙O 中，AB 是直径，过B 点作⊙O 的切线，连结CO ，若AD ∥OC 交⊙O 于D ，求证：CD 是⊙O 的切线。 3 如图，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于D ，DM ⊥AC 于M 求证：DM 与⊙O 相切. 4(2008年厦门市)已知：如图，中，，以为直径的交于点，于点． （1）求证：是的切线； 5 已知：如图⊙O 是△ABC 的外接圆，P 为圆外一点，PA ∥BC ，且A 为劣弧的中点，割线PBD 过圆心，交⊙0于另一点D ，连结CD ． (1)试判断直线PA 与⊙0的位置关系，并证明你的结论． (2)当AB=13，BC=24时，求⊙O 的半径及CD 的长．
6如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，已知∠CDB=∠OBD=30°．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)求弦BD的长；(3)求图中阴影部分的面积． 7.（2010北京中考）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，DOC=2ACD=90。 (1) 求证：直线AC是圆O的切线； (2) 如果ACB=75，圆O的半径为2，求BD的长。 8、（2011?北京）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC 的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线； 9 已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。 10（2013年广东省9分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC 交DC的延长线于点E. （1）求证：∠BCA=∠BAD；（3）求证:BE是⊙O的切线。 11（7分）（2013?珠海）如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数．
与圆的切线相关的线段计算 学习目标 1、利用圆的切线性质计算圆的相关线段； 2、会选择适当的做辅助线的方法；学习过程：切线的性质： ；与圆相关切线的辅助线常见做法：； 一、圆与切线有关的角度计算 例.如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心。若∠B=20°，则∠C 的大小等于 A.20° B.25° C.40° D.50° 练习.如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于A 、B 两点，若∠C=65°，则∠P 的度数为 A. 65° B. 130° C. 50° D. 100° 二、圆与切线有关的长度计算 1.如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C 为圆心的圆与 AB 相切于点D ，则☉C 的半径 为（）（A ）2.3（B ）2.4 （C ）2.5 （D ）2.6 第8题图 P O A B C
2.如图，已知，AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC3BC,CD与⊙O相切于D点，若CD3,则劣弧AD的长为 . 3.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在AB延长线上，CD与圆O相切于点C，∠A ＝30°，AC＝23，图中阴影部分的面积是；． 例.已知，如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，过D作DE⊥BC交BC于点E。 （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如果CD＝4，CE＝3，求⊙O的半径。 A B C D E
1．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．（1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长． 2.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E． （1）求证：AD是圆O的切线； （2）若PC是圆O的切线，BC=8，求DE的长
与圆的切线有关的计 算与证明
与圆的切线有关的计算与证明 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__． 图Z12－1 经典母题答图 【解析】如答图，连结OC. ∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直． 【中考变形】 [2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小； (2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
图Z12－2 解：(1)如答图①，连结AC， ∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°， ∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°， 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°； 中考变形答图①中考变形答图② (2)如答图②，连结AD， 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°， ∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°， ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°. 【中考预测】 [2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P. (1)求证：AP＝AB； (2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．
A B O C D E 圆的有关切线证明和计算 1、如图，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，∠B ＝30°，∠D ＝30°， （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若AC ＝6，求AD 的长。 2、如图，以△ABC 的直角边AB 为直径的半圆⊙O 与斜边AC 交于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE 。 （1）求证：DE 与⊙O 相切； （2）若AD 、AB 的长是方程x 2－10x ＋24＝0的一个根，求直角边BC 的长。 3、如图，Rt △ABC 中，∠B ＝90度，C 是AB 上的一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 交于点E ，交AC 于点D ，其中DE ∥OC （1）求证：AC 为⊙O 的切线； （2）若AD ＝23，且AB 、AE 的长是关于x 的方程x2－8x ＋k ＝0的两个实数根，求⊙O 的半 径、CD 的长。 4、如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF ，交⊙O 于点E ，过点E 作直线DE ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若CB ＝103，CE ＝203 ，求AE 的长。 5、已知，如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，过D 作DE ⊥BC 交BC 于点E 。 O A B C D O A B E D C A B C D F E
（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果CD ＝4，CE ＝3，求⊙O 的半径。 6、如图，等腰△ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12，以BC 为直径作⊙O 交 AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。 （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求DF 、DE 的长。 7、已知如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，且 满足AD ＋BC ＝CD ，以AB 为直径作⊙O 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝2，BC ＝6，求⊙O 的半径。 8、如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，以CD 为半径作⊙C 与AE 切于点E ，过点B 作BM ∥AE 。 （1）求证：BM 是⊙C 的切线； （2）作DF ⊥BC 于F ，若AB ＝16，∠DBM ＝60°，求EF 的长。 9、如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AD ∥BC ，E 为AB 上一点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD 。 （1）以AB 为直径的圆与边CD 有怎么样的关系？ （2）该题材中以CD 为直径的圆与AB 的位置关系如何，请证明你的猜想。 A B C D E A B C O G F D E A D O B C E A B C D E M A B D E
∴⌒证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA，证明OA⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D，交AC 于E，B 为切点的切线交OD 延长线于 F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=BC， ∴∠3=∠4. ⌒ BD=DE，∠1=∠2. 又∵OB=OE，OF=OF， ∴△BOF≌△EOF（SAS）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC⊥EC，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E，连结OA，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ⌒⌒ ∴BE=CE， ∴OE⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE,
九年级数学与圆切线性质有关的证明及计算专题练习 1． 如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，⊙O 是△ABC 的外接圆，过点A 作⊙O 的切线，交CO 的延长线于点M ，CM 交⊙O 于点D . (1)求证：AM ＝AC ； (2)若AC ＝3，求MC 的长． 解：(1)连接OA ，∵AM 是⊙O 的切线，∴∠OAM ＝90°，∵∠B ＝60°，∴∠AOC ＝120°，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ＝30°，∴∠AOM ＝60°，∴∠M ＝30°，∴∠OCA ＝∠M ，∴AM ＝AC (2)作AG ⊥CM 于点G ，∵∠OCA ＝30°，AC ＝3，∴AG ＝32，由勾 股定理得，CG ＝33 2 ，则MC ＝2CG ＝33 2． 如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为BE ︵ 的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于点D ，连接AC ，B C . (1)试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若AD ＝2，AC ＝6，求AB 的长． 解：(1)相切，连接OC ，∵C 为BE ︵ 的中点，∴∠1＝∠2，∵OA ＝OC ，∴∠1＝∠ACO ，∴∠2＝∠ACO ，∴AD ∥OC ，∵CD ⊥AD ，∴OC ⊥CD ，∴直线CD 与⊙O 相切 (2)易得△ADC ∽△ACB ，∴AD AC ＝AC AB ，∴AB ＝3
3． 如图，在△ABC 中，BA ＝BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F. (1)求证：∠ABC ＝2∠CAF ； (2)若AC ＝210，CE ∶EB ＝1∶4，求CE 的长． 解：(1)连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠ABD ＝90°，∵AF 是⊙O 的切线，∴∠FAB ＝90°，即∠DAB ＋∠CAF ＝90°，∴∠CAF ＝∠ABD ，∵BA ＝BC ，∠ADB ＝90°，∴∠ABC ＝2∠ABD ，∴∠ABC ＝2∠CAF (2)连接AE ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°，设CE ＝x ，∵CE ∶EB ＝1∶4，∴EB ＝4x ，BA ＝BC ＝5x ，AE ＝3x ，在Rt △ACE 中，AC 2＝CE 2＋AE 2，即(210)2＝x 2＋(3x )2，∴x ＝2，∴CE ＝2 4． 如图，以Rt △ABC 的直角边A B 为直径作⊙O ，交斜边AC 于点D ，点E 为OB 的中点，连接CE 并延长交⊙O 于点F ，点F 恰好落在AB ︵ 的中点，连接AF 并延长与CB 的延长线相交于点G ，连接OF (1)求证：OF ＝1 2BG ； (2)若AB ＝4，求DC 的长． 解：(1)∵以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O ，点F 恰好落在AB ︵的中点，∴AF ︵＝BF ︵ ，∴∠AOF ＝∠BOF ，∵∠ABC ＝∠ABG ＝90°，∴∠AOF ＝∠ABG ，∴FO ∥BG ，∵AO ＝BO ，∴FO 是△ABG 的中位线，∴FO ＝12 BG (2)在△FOE 和△CBE 中，???∠FOE ＝∠CBE ， EO ＝EB ，∠OEF ＝∠BEC ， ∴△FOE ≌△CBE (ASA )，∴BC ＝FO ＝
圆的有关切线证明和计算 1、如图，已知：△ABC 接于⊙O，点D 在OC （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若AC ＝ 6，求AD 的长。 2 、如图，以△ABC 的直角边AB 为直径的半圆⊙O 与斜边AC 交于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE 。 （1）求证：DE 与⊙O 相切； （2）若AD 、AB 的长是方程x 2 －10x ＋24＝0的一个根，求直角边BC 3、如图，Rt△ABC 中，∠B＝90度，C 是AB 上的一点，以O 为圆心，E ，交AC 于点D ，其中DE∥OC （1）求证：AC 为⊙O 的切线； （2）若AD ＝，且AB 、AE 的长是关于x 的方程x2－8x ＋k ＝0的两个实数根，求⊙O 的半径、CD 的长。 4、如图，AB 是⊙O 的直径，AE 平分∠BAF，交⊙O 于点E ，过点E 线于点D ，交AB 的延长线于点C 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若CB ＝103，CE ＝20 3 ，求AE 的长。 5、已知，如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，过D 作DE⊥BC 交BC 于点E 。
（2）如果CD ＝4，CE ＝3，求⊙O 的半径。 6、如图，等腰△ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12，以BC 为直径作⊙O 交 AB 于点D ，交AC 于点G ，DF⊥AC，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。 （1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求DF 、DE 的长。 7、已知如图，直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AD⊥AB，且 满足AD ＋BC ＝CD ，以AB 为直径作⊙O。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若AD ＝2，BC ＝6，求⊙O 的半径。 8、如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于D ，以CD 为半径作⊙C 与AE 切于点E ，过点B 作BM∥AE。 （1）求证：BM 是⊙C 的切线； （2）作DF⊥BC 于F ，若AB ＝16，∠DBM＝60°，求EF 的长。 9、如图，直角梯形ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E 为AB 上一点，DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD。 （1）以AB 为直径的圆与边CD 有怎么样的关系？ （2）该题材中以CD 为直径的圆与AB 的位置关系如何，请证明你的猜想。 10、如图，AB 为⊙O 的直径，D 为BE 的中点，DC⊥AE 交AE 的延长线于 C 。 C B A B C D E