函数的图像
【知识梳理】 一、函数的图像
1、作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图象。
2、识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面. 二、函数图像的变化
1、平移变换:(1)水平平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到;
(2)竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到.
①()y f x =h
左移→()y f x h =+; ②()y f x =h
右移→()y f x h =-; ③()y f x =h 上移→()y f x h =+; ④()y f x =h
下移→()y f x h =-.
2、对称变换:(1)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到; (2)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到; (3)函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到; (4)函数1
()y f
x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到.
①()y f x =轴
x →()y f x =-;②()y f x =轴
y →()y f x =-;③()y f x =a
x =→直线(2)y f a x =-;④()y f x =原点
→()y f x =--.
提示:()i 若()(),R f a x f b x x +=-∈恒成立,则()y f x =的图象关于2
a b
x +=成轴对称图形, 若()(),R f a x f b x x +=--∈,则()y f x =的图象关于点(
,0)2
a b
+成中心对称图形. ()ii 函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线1
()2
x b a =-对称.
3、翻折变换:(1)函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到;
(2)函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留
()y f x =在y 轴右边部分即可得到.
4、伸缩变换:(1)函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长
(1)a >或压缩(01a <<)为原来的a 倍得到;
(2)函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的
1
a
倍得到. ①()y f x =ω
?→x ()x
y f ω
=;② ()y f x =ω
?→y ()y f x ω=.
【经典例题】
【例1】函数()y f x =与()y g x =的图像如下图:则函数()()y f x g x =?的图像可能是( A )
A .
B .
C .
D .
【例2】说明由函数2x
y =的图像经过怎样的图像变换得到函数3
2
1x y --=+的图像.
【解析】:(1)将函数2x y =的图像向右平移3个单位,得到函数3
2x y -=的图像;
(2)作出函数3
2
x y -=的图像关于y 轴对称的图像,得到函数3
2
x y --=的图像;
(3)把函数3
2
x y --=的图像向上平移1个单位,得到函数3
2
1x y --=+的图像.
【例3】(1)试作出函数1
y x x
=+
的图像; (2)对每一个实数x ,三个数2
,,1x x x --中最大者记为y ,试判断y 是否是x 的函数?若是,作出其图像,讨论其性质(包括定义域、值域、单调性、最值);若不是,说明为什么? 【例4】已知函数2
()|43|f x x x =-+
(1)求函数()f x 的单调区间,并指出其增减性;
(2)若关于x 的方程()f x a x -=至少有三个不相等的实数根,求实数a 的取值范围. 【课堂练习】
1、下列每组两个函数的图象中,正确的是( )
A. B. C. D.
2、在下列图象中,二次函数2
y ax bx =+与指数函数()x
b y a
=的图象只可能是( )
3、已知函数a y x
=
与2
,y ax bx =+则下列图象正确的是( )
4、函数y =的图象是( )
5、函数31
2
x y x -=
+的图象 ( )
A. 关于点(2,3)-对称
B. 关于点(2,
3)-对称 C. 关于直线2x =-对称 D. 关于直线3y =-对称 6、设函数()y f x =定义在实数集上,则函数(1)y f x =-与(1)y f x =--的图象关于( )对称 A.直线0x = B.直线1x = C.点(0,0) D.点(1,0) 7、在以下四个按对应图象关系式画出的略图中,不正确...的是( ) A .2|log |y x = B. |x|
2y = C. 2
0.5log y x = D. 1
3
||y x
-
=
o y
x
o y
x
o y x
o y
x
8、已知函数()y f x =的图象如图,则(1)y f x =-的图象是( )
1
1-1
o y
x
A
1
1-1
o y
x
B
-21
-1
o
y
x
C
1
1
-1
o
y
x
D 11
-1
o y
x
9、下列命题中:①函数()y f x =的图象与()x f y =的图象关于直线y x =对称;②若()()f x f x =--,则()f x 的图象关于原点对称;③若()()f x f x =-,则()f x 的图象关于y 轴对称;④()y f x =的图象与()y f x =-的图象关于y 轴对称,其中真命题是( )
A 、②③
B 、②③④
C 、①②③
D 、全都是 10、若函数2log |1|y ax =-图象的对称轴是2,x =则非零实数a 的值为 . 11、函数(||)y f x m =-的图象与(||)y f x =的图象关于直线 对称. 12、方程2
|23|(2)x x a x +-=-有四个实数根,求实数a 的取值范围. 【课后作业】 1、函数1
ln
|23|
y x =-的图象为( )
2、下列函数的图像中,经过平移或翻折后不能与函数2log y x =的图象重合的函数是( )
A .2x
y = B .12
log y x = C .42x y = D .21
log 1y x =+
3、若函数()f x 在(4,)+∞上为减函数,且对任意的,x R ∈有(4)f(4)f x x +=-,则( )
A .(2)f >(3)f
B .(2)f >(5)f
C .(3)f >(5)f
D .(3)f >(6)f
4、(2009安徽)设a <,b 函数2
()()y x a x b =--的图象可能是(
)
5、已知下图①的图象对应的函数为(),y f x =则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中,只可能是( )
A .(||)y f x =
B .|()|y f x =
C .(||)y f x =-
D .(||)y f x =- 6、函数1
()1||
f x x =
+的图象是(
)
7、已知函数()f x 的定义域为[,],a b 函数()y f x =的图象如下图所示,则函数(||)f x 的图象大致是(
)
12、设函数(),()f x g x 的定义域分别为,,F G 且,F G .若对,x F ?∈都有()(),g x f x =则称()g x 为()f x 在G 上的一个“延拓函数”.已知函数1()()(2
x
f x x =≤0),若()
g x 为()f x 在R 上的一个延拓函数,且()g x 是偶函数,则函数()g x 的解析式为________.
8、若对任意,x R ∈不等式||x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是( )
A .a <-1
B .||a ≤1
C .||a <1
D .a ≥1
9、()f x 定义域为R ,对任意,x R ∈满足()(4)f x f x =-且当[)2,x ∈+∞时,()f x 为减函数,则( ) A .(0)f <(1)f <(5)f B .(1)f <(5)f <(0)f C .(5)f <(0)f <(1)f D .(5)f <(1)f <(0)f 10、若函数|1|
1
()
2
x y m -=+的图像与x 轴有公共点,则m
的取值范围是________.
11、若直线y x m =+
曲线y =有两个不同的交点,则m 的取值范围是________.
【参考答案】
【课堂练习】
1、 D
2、 A
3、 C
4、 C
5、 A
6、D
7、 C
8、 C
9、 C
10.1/2 11. x=m/2 12.x2+(2+a)x-2a-3=0, 由Δ=0以及-(2+a)/2<1可得a= -6+25,∴-6+25 【课下作业】 1、A 2、C 3、D 4、C 5、C 6、C 7、B 8、B 9、C 10、-1≤m<0 11、1≤m< 2 12、g(x)=2|x| 华师大版八年级数学下《函数及其图像》知识点归纳一.变量与函数 1 .函数的定义:一般的,在某个变化过程中有两个变量x和y,对于x的每一个数值y都有唯一的值与之对应,我们说x叫做自变量,y叫做因变量,y叫做x的函数。 2.自变量的取值范围: (1)能够使函数有意义的自变量的取值全体。 (2)确定函数自变量的取值范围要注意以下两点:一是使自变量所在的代数式有意义;二是使函数在实际问题中有实际意义。 (3)不同函数关系式自变量取值范围的确定: ①函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。 ②函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。 ③函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被开方数大于或等于零的全体实数。 3 .函数值:当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题: (1)当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。 (2)当已知函数值求自变量的值就是解方程。 (3)当给定函数值的一个取值范围,欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。二.平面直角坐标系: 1.各象限内点的坐标的特征: (1)点p(x,y)在第一象限→x>0,y>0. (2)点p(x,y)在第二象限→x<0,y>0. (3)点p(x,y)在第三象限→x<0,y<0 (4)点p(x,y)在第四象限→x>0,y<0. 2 .坐标轴上的点的坐标的特征: (1)点p(x,y)在x轴上→x为任意实数,y=0 (2)点p(x,y)在y轴上→x=0,y为任意实数 3 .关于x轴,y轴,原点对称的点的坐标的特征: (1)点p(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y). (2)点p(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y). (3)点p(x,y)关于原点对称的点的坐标为(-x,-y) 4 .两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征: (1)点p(x,y)在第一、三象限夹角平分在线→x=y. 3 幂函数知识点归纳 一、 幂函数定义:对于形如:() x f x α=,其中α为常数.叫做幂函数 定义说明: 1、 定义具有严格性,x α 系数必须是1,底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的,可分为五类: 1)1α>时图像是竖立的抛物线.例如:()2x f x = 2)=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3)01α<< 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2 x f x = 4)=0α时图像是除去(0,1)的一条直线.即() 0x f x =(0x ≠) 5)0α<时图像是双曲线(可能一支).例如 ()-1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧:指数越大,图像相对位置越高(指大图高) ②幂指数互为倒数时,图像关于y=x 对称 ③结合以上规律,要求会做出任意一种幂函数图像 练习:做出下列函数的图像: 1、1α> ①3 y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74 y x = 2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12 y x = 3、0α< ①2 y x -= ②1 y x -= ③32 y x - = ④43 y x =— 三、 幂函数的性质 y=x 3 幂函数的性质要结合图像观察,随着α取值范围的变化,性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关,通常化分数指数幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性:α>0时,在(0,+∞)单调递增:α=0无单调性;α<0时,在(0,+∞)单调递减 4、 过定点:α>0时,过(0,0)、(1,1)两点;α≤0时,过(1,1) 5、 由 ()0 x f x α=>可知,图像不过第四象限 四、 幂函数类型题归纳 (一) 定义应用: 1、下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21 (1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = 2、若幂函数()y f x = 的图像过点2????? ,则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()() 22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数,且经过原点,则实数m 的值为__________. 4、已知函数()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <,则k 的值为________ ,函数()f x 的 解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ? ? ∈--- ???? ,已知幂函数()f x x α=是偶函数,且在区间()0,+∞上是减函数,则满足要求的α值的个数是__________. 6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数,集合()(){} |M x f x g x ==,则集合M 中 元素的个数是( ) (A)1或2或0 (B) 1或2或3(C)1或2或3或4 (D)0或1或2或3 (二) 图像及性质应用 1、 右图为幂函数y x α =在第一象限的图像,则 ,,,a b c d 的大小关系是 ( ) ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> d y=x ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 2、如图:幂函数n m y x =(m 、n N ∈,且m 、n 互质)的图象在第一,二象限,且不经过原点,则有 ( ) ()A m 、n 为奇数且 1m n < ()B m 为偶数,n 为奇数,且1m n > ()C m 为偶数,n 为奇数,且1m n < b c 第六章:函数及其图像 知识点: 一、平面直角坐标系 1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴,构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征: (1)各象限内点的坐标有如下特征: 点P (x, y )在第一象限?x >0,y >0; 点P (x, y )在第二象限?x <0,y >0; 点P (x, y )在第三象限?x <0,y <0; 点P (x, y )在第四象限?x >0,y <0。 (2)坐标轴上的点有如下特征: 点P (x, y )在x 轴上?y 为0,x 为任意实数。 点P (x ,y )在y 轴上?x 为0,y 为任意实数。 3.点P (x, y )坐标的几何意义: (1)点P (x, y )到x 轴的距离是| y |; (2)点P (x, y )到y 袖的距离是| x |; (3)点P (x, y )到原点的距离是22y x + 4.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征: (1)点P (a, b )关于x 轴的对称点是),(1b a P -; (2)点P (a, b )关于x 轴的对称点是),(2b a P -; (3)点P (a, b )关于原点的对称点是),(3b a P --; 二、函数的概念 1、常量和变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量;保持数值不变的量叫做常量。 2、函数:一般地,设在某一变化过程中有两个变量x 和y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数。 (1)自变量取值范围的确是: ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数,自变量取值范围是全体实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数,自变量取值范围是使分母不为0的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数,自变量取值范围是使被开方数非负的实数。 注意:在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,还必须使实际问题有意义。 (2)函数值:给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 (3)函数的表示方法:①解析法;②列表法;③图像法 (4)由函数的解析式作函数的图像,一般步骤是:①列表;②描点;③连线 三、几种特殊的函数 1、一次函数 幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义:对于形如:() x f x α=,其中α为常数.叫做幂函数 定义说明: 1、 定义具有严格性,x α系数必须是1,底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的,可分为五类: 1)1α>时图像是竖立的抛物线.例如:()2x f x = 2)=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3)01α<< 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4)=0α时图像是除去(0,1)的一条直线.即() 0x f x =(0x ≠) 5)0α<时图像是双曲线(可能一支).例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧:指数越大,图像相对位置越高(指大图高) ②幂指数互为倒数时,图像关于y=x 对称 ③结合以上规律,要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察,随着α取值范围的变化,性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关,通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性:α>0时,在(0,+∞)单调递 增:α=0无单调性;α<0时,在(0,+∞)单调递减 4、 过定点:α>0时,过(0,0)、(1,1)两 点;α≤0时,过(1,1) 5、 由 ()0 x f x α=>可知,图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 (1)下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = (2(3 2 3 1. (1)、函数3 x y =的图像是( ) (2)右图为幂函数y x α =在第一象限的图像,则,,,a b c d 的大小关系是 ( ) 三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1.“五点法”描图 (1)y =sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2,1 (π,0) ? ?? ??? 32π,-1 (2π,0) (2)y =cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1),? ?????π2,0,(π,-1),? ???? ? 3π2,0,(2π,1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y =sin x y =cos x y =tan x 定义域 R R {x |x ≠k π+π 2 ,k ∈Z} 图象 值域 [-1,1] [-1,1] R 对称性 对称轴: x =k π+ π2(k ∈Z); 对称轴: x =k π(k ∈Z) 对称中心: 对称中心:? ?? ?? ?k π2,0 (k ∈Z) 3.一般地对于函数(),如果存在一个非零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性; 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以1叫做y=sin x,y=cos x的上确界,-1叫做y=sin x,y=cos x的下确界. 函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1.“五点法”描图 (1)y =sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ? π2,1 (π,0) ? ?? ??? 32π,-1 (2π,0) (2)y =cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1),? ?????π2,0,(π,-1),? ???? ? 3π2,0,(2π,1) 2.三角函数的图象和性质 3.一般地对于函数(),如果存在一个非零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性; 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以1叫做y=sin x,y=cos x的上确界,-1叫做y=sin x,y=cos x的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y =A sin(ωx +φ)+k 的形式逐步分析ωx +φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域;含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. (3)换元法:把sin x 或cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题. 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如:y =sin 2x -4sin x +5,令t =sin x (|t |≤1),则y =(t -2)2+1≥1,解法错误. 5.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如y =A sin(ωx +φ) (ω>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出x 所在的区间.应特别注意,应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y =sin ? ?????2x -π4;(2)y =sin ? ?? ???π4-2x . 6、y =A sin(ωx +φ)+B 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即A =最高点-最低点 2; ②B 的确定:根据图象的最高点和最低点,即B = 最高点+最低点 2 ; ③ω的确定:结合图象,先求出周期,然后由T =2π ω (ω>0)来确定ω; ④φ的确定:把图像上的点的坐标带入解析式y =A sin(ωx +φ)+B ,然后根据 φ的范围确定φ即可,例如由函数y =A sin(ωx +φ)+K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为-φω(即令ωx +φ=0,x =-φ ω )确定φ. 二、三角函数的伸缩变化 高一数学幂函数知识点总结 一、一次函数定义与定义式: 自变量x和因变量y有如下关系: y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地,当b=0时,y是x的正比例函数。 即:y=kx(k为常数,k≠0) 二、一次函数的性质: 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例,比值为k 即:y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时,b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质: 1.作法与图形:通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线,可以作出一次函数的图像——一条直线。因此,作一次函数的图像只需知道2点,并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质:(1)在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式:y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0,b),与x轴总是交于(-b/k,0)正比例函数的图像总是过原点。 3.k,b与函数图像所在象限: 当k>0时,直线必通过一、三象限,y随x的增大而增大; 当k<0时,直线必通过二、四象限,y随x的增大而减小。 当b>0时,直线必通过一、二象限; 当b=0时,直线通过原点 当b<0时,直线必通过三、四象限。 特别地,当b=O时,直线通过原点O(0,0)表示的是正比例函数 的图像。 这时,当k>0时,直线只通过一、三象限;当k<0时,直线只通 过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式: 已知点A(x1,y1);B(x2,y2),请确定过点A、B的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x,y),都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程:y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程,得到k,b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照 某个确定的对应关系f,使对于函数A中的任意一个数x,在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 函数图像及性质知识点总结和经典题型 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间: 求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A 、ω的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; x y sin =的递增区间是)(Z k ∈,递减区间是)(Z k ∈; x y cos =的递增区间是[]πππk k 22, -)(Z k ∈,递减区间是[]πππ+k k 22,)(Z k ∈, x y tan =的递增区间是)(Z k ∈, 3.对称轴及对称中心: sin y x =的对称轴为2x k ππ=+,对称中心为(,0) k k Z π∈; cos y x =的对称轴为x k π=,对称中心为2(,0)k ππ+; tan y x =无对称轴,对称中心为k 2 (,0)π ; 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说,对称中心及零点相联系,对称轴及最值点联系。 4.函数B x A y ++=)sin(?ω),(其中00>>ωA 最大值是B A +,最小值是A B -,周期是,频率是,相位是?ω+x ,初 相是?;其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω,凡是该图象及直线 B y =的交点都是该图象的对称中心。 y =A sin(ωx +φ)+B 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即A =最高点-最低点 2 ; ②B 的确定:根据图象的最高点和最低点,即B =最高点+最低点 2 ; ③ω的确定:结合图象,先求出周期,然后由T =2π ω (ω>0)来确定ω; ④φ的确定:把图像上的点的坐标带入解析式y =A sin(ωx +φ)+B ,然后根据φ的范围确定 φ即可,例如由函数y =A sin(ωx +φ)+K 最开始及x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为-φ ω (即 令ωx +φ=0,x =-φ ω )确定φ. 5.三角函数的伸缩变化 先平移后伸缩 sin y x =的图象?????????→向左(>0)或向右(0) 平移个单位长度 得sin()y x ?=+的图象() ωωω ?????????→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1) 1 到原来的纵坐标不变 得sin()y x ω?=+的图象()A A A >?????????→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1) 为原来的倍横坐标不变 得sin()y A x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ?=++的图象. 先伸缩后平移 sin y x =的图象(1)(01) A A A ><????????→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变) 得sin y A x =的图象(01)(1) 1 () ωωω <<>?????????→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变 得sin()y A x ω=的图象 (0)(0)???ω >??????→向左或向右平移 个单位 得sin ()y A x x ω?=+的图象(0)(0) k k k >??????→向上或向下平移个单位长度 得sin()y A x k ω?=++的图象. 函数的图像 【知识梳理】 一、函数的图像 1、作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图象。 2、识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面. 二、函数图像的变化 1、平移变换:(1)水平平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到; (2)竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到. ①()y f x =h 左移→()y f x h =+; ②()y f x =h 右移→()y f x h =-; ③()y f x =h 上移→()y f x h =+; ④()y f x =h 下移→()y f x h =-. 2、对称变换:(1)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到; (2)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到; (3)函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到; (4)函数1 ()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到. ①()y f x =轴 x →()y f x =-;②()y f x =轴 y →()y f x =-;③()y f x =a x =→直线(2)y f a x =-;④()y f x =原点 →()y f x =--. 提示:()i 若()(),R f a x f b x x +=-∈恒成立,则()y f x =的图象关于2 a b x +=成轴对称图形, 若()(),R f a x f b x x +=--∈,则()y f x =的图象关于点( ,0)2 a b +成中心对称图形. ()ii 函数()y f a x =+与函数()y f b x =-的图象关于直线1 ()2 x b a =-对称. 3、翻折变换:(1)函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; 《函数及其图像》知识点 一、函数的概念、变量(自变量、因变量)、常量的概念。 ①变量:在某一函数变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量。 ②自变量:在某一函数变化过程中,主动变化的量的叫做自变量。 ③因变量:在某一函数变化过程中,因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时,我们也称因变量是自变量的函数 ④常量:在某一函数变化中,始终保持不变的量,叫做常量。 练习:在函数r c π2=中,自变量是 ,因变量是 ,常量是 , 叫做 的函数。 二、函数的三种表示方法: ①解析法: ②列表法: 三、函数自变量的取值围: 平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴(x 轴),取向右为正方向;铅直的数轴叫做纵轴(y 轴),取向上为正方向;两条数轴的交点O 叫做坐标原点。 x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限(如图): 五、平面点的坐标:(横坐标,纵坐标) 如图:过点P 作x 轴的垂线段,垂足在x 轴上表示的数是2,因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段,垂足在y 轴上表示的数是3,因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为(2 , 3) 六、平面特殊位置的点的坐标情况:(连线) 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 (- ,-) (- ,+) (+ ,+) (+ ,-) (0 ,a ) (b , 0) 七、点的表示(横坐标,纵坐标)注意: ①不要丢了括号和中间的逗号; ②表示的意思:当___x =时,___y =如点A (2,1) 表示:当2x =时,1y = ③注意x 轴上点的特征:(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征:(0,___)即:横坐标等于0。 概括:坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。 八、对称点的坐标关系: ⑴关于x 轴对称的点:横坐标 ,纵坐标 。 y x O 第四象限 第三象限第二象限 第一象限 (一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r as =a r+s (a>0,r 、s∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r bs (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y =a x a>1 0 图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,0 幂函数 (1)幂函数的定义: 一般地,函数y x α =叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. ②过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). ③单调性:如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数.如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限,图象无限接近x 轴与y 轴. ④奇偶性:当α为奇数时,幂函数为奇函数,当α为偶数时,幂函数为偶函数.当q p α= (其中,p q 互质,p 和q Z ∈),若p 为奇数q 为奇数时,则q p y x =是奇函数,若p 为奇数q 为偶数时,则q p y x =是偶函数,若p 为偶数q 为奇数时,则q p y x =是非奇非偶函数. ⑤图象特征:幂函数,(0,)y x x α =∈+∞,当1α>时,若01x <<,其图象在直线y x =下 方,若1x >,其图象在直线y x =上方,当1α<时,若01x <<,其图象在直线y x =上 方,若1x >,其图象在直线y x =下方. 幂函数练习题 一、选择题: 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 ( ) A .y x =43 B .y x =32 C .y x =-2 D .y x =-14 2.函数2 -=x y 在区间]2,2 1[上的最大值是 ( ) A . 4 1 B .1- C .4 D .4- 3.下列所给出的函数中,是幂函数的是 ( ) A .3 x y -= B .3 -=x y C .3 2x y = D .13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是 ( ) A . B . C . D . 5.下列命题中正确的是 ( ) A .当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B .幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1)点 C .若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D .幂函数的图象不可能出现在第四象限 6.函数3 x y =和3 1 x y =图象满足 ( ) A .关于原点对称 B .关于x 轴对称 C .关于y 轴对称 D .关于直线x y =对称 7. 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ) A .是奇函数又是减函数 B .是偶函数又是增函数 C .是奇函数又是增函数 D .是偶函数又是减函数 8.如图1—9所示,幂函数α x y =在第一象限的图象,比较1,,,,,04321αααα的大小( ) A .102431<<<<<αααα B .104321<<<<<αααα 1α 4α 2α 函数及其图像(知识点复习) 一、平面直角坐标系 1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴,构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系 内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。 2、不同位置点的坐标的特征: (1)各象限内点的坐标有如下特征: 点P(x, y)在第一象限x >0,y>0;点P(x, y)在第二象限x<0,y>0; 点P(x, y)在第三象限x<0,y<0;点P(x, y)在第四象限x>0,y<0。 (2)坐标轴上的点有如下特征: 点P(x, y)在x 轴上y 为0,x 为任意实数。 点P(x,y)在y 轴上x 为0,y 为任意实数。 3.点P(x, y )坐标的几何意义: (1)点P(x, y)到x 轴的距离是| y |;(2)点P(x, y)到y 袖的距离是| x |; (3)点P(x, y)到原点的距离是x 2 y2 4.关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征: (1)点P(a, b)关于x 轴的对称点是P1 (a, b) ; (2)点P(a, b)关于x 轴的对称点是P2 ( a, b) ; (3)点P(a, b)关于原点的对称点是P3 ( a, b); 二、函数的概念 1、在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量;保持数值不变的量叫做常量。 2、函数:一般地,设在某一变化过程中有两个变量x 和y,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数。 (1)自变量取值范围的确是: ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数,自变量取值范围是全体实数。 ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数,自变量取值范围是使分母不为0 的实数。 ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数,自变量取值范围是使被开方数非负的实 数。 注意:在确定函数中自变量的取值范围时,如果遇到实际问题,还必须使实际问题有意义。 (2)函数值:给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。 (3)函数的表示方法:①解析法;②列表法;③图像法 (4)由函数的解析式作函数的图像,一般步骤是:①列表;②描点;③连线 三、几种特殊的函数 函数及其图像知识点 《函数及其图像》知识点 一、函数的概念、变量(自变量、因变量)、常量的概念。 ①变量:在某一函数变化过程中,可以取不同数值的量,叫做变量。 ②自变量:在某一函数变化过程中,主动变化的量的叫做自变量。 ③因变量:在某一函数变化过程中,因为自变量的变化而被动变化的量叫做因变量。此时,我们也称因变量是自变量的函数 ④常量:在某一函数变化中,始终保持不变的量,叫做常量。 练习:在函数r c π2=中,自变量是 ,因变量是 ,常量是 , 叫做 的函数。 二、函数的三种表示方法: ①解析法:就是用一个函数关系式来表示函数变化规律。②列表法:就是用一个数据表来表示函数变化规律。③图像法:就是用线性图像来表示函数变化规律。 三、函数自变量的取值范围: 函数解析式类型 自变量取值满足的条件 应用举例 整式 全体实数 54+-=x y (x 为任意实数) 分式 分母不为零 ()22 3 2≠--= x x x y 二次(偶次)根式 被开方数非负 ()263≥-=x x y 平面直角坐标系。水平的数轴叫做横轴(x 轴),取向右为正方向;铅直的数轴叫做纵轴(y 轴),取向上为正方向;两条数轴的交点O 叫做坐标原点。 x 轴和y 轴将坐标平面分成四个象限(如图): 五、平面内点的坐标:(横坐标,纵坐标) 如图:过点P 作x 轴的垂线段,垂足在x 轴上表示的数是2,因此点P 的横坐标为 2 过点P 作y 轴的垂线段,垂足在y 轴上表示的数是3,因此点P 的纵坐标为 3 所以点P 的坐标为(2 , 3) 六、平面内特殊位置的点的坐标情况:(连线) 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x 轴上 y 轴上 (- ,-) (- ,+) (+ ,+) (+ ,-) (0 ,a ) (b , 0) 七、点的表示(横坐标,纵坐标)注意: ①不要丢了括号和中间的逗号; ②表示的意思:当___x =时,___y =如点A (2,1) 表示:当2x =时,1y = ③注意x 轴上点的特征:(___,0)即纵坐标等于0;y 轴上点的特征:(0,___)即:横坐标等于0。 概括:坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0。 八、对称点的坐标关系: ⑴关于x 轴对称的点:横坐标 ,纵坐标 。 y x O 第四象限 第三象限第二象限 第一象限 指数函数、对数函数及幂函数 Ⅰ.指数与指数函数 1.指数运算法则:(1)r s r s a a a +=; (2)() s r rs a a =; (3)()r r r ab a b =; (4)m n m n a a =; (5)m n n m a a - = (6),||,n n a n a a n ?=? ?奇偶 2. 指数函数: 【基础过关】 类型一:指数运算的计算题 此类习题应牢记指数函数的基本运算法则,注意分数指数幂与根式的互化,在根式运算或根 指数函数 01 图 象 表达式 x y a = 定义域 R 值 域 (0,)+∞ 过定点 (0,1) 单调性 单调递减 单调递增 式与指数式混合运算时,将根式化为指数运算较为方便 1 、5+的平方根是______________________ 2、 已知2=n a ,16=mn a ,则m 的值为………………………………………………( ) A .3 B .4 C .3 a D .6 a 3、 化简 (b a b +-的结果是………………………………( ) A 、a - 、a a D 、2b a + 4、已知0.001a = ,求:413 3 223 3 8(14a a b a b -÷-+=_________________ 5、已知1 3x x -+=,求(1)1 12 2 x x - +=________________(2)332 2 x x -+=_________________ 6 、若y y x x -+=,其中1,0x y ><,则y y x x --=______________ 类型二:指数函数的定义域、表达式 指数函数的定义域主要涉及根式的定义域,注意到负数没有偶次方根;此外应牢记指数函数的图像及性质 函数) (x f a y =的定义域与)(x f 的定义域相同 1、若集合A={ 113x x y -= },B={ x s A B =?= 则____________________ 2、如果函数()y f x =的定义域是[1,2],那么函数 1(2)x y f -=的定义域是________ 3、下列函数式中,满足f(x+1)=1 2f(x)的是……………………………………………( ) A 、()1 12x + B 、 1 4x + C 、2x D 、 第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2 ,y=a(x-h)2,y =a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象, 能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 ,y =-x 2 ,y =2x 2 ,y =-2x 2 ,y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2 的性质: x y O 2. y=ax2+k的性质:(k上加下减) 3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减) 4. y=a (x-h)2+k的性质: 5. y=ax2+bx+c的性质: 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字 “左加右减,上加下减”. 方法二: 高考数学知识点:幂函数知识点_知识点总结 定义: 形如y=x^a(a为常数)的函数,即以底数为自变量幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域: 当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。而只有a为正数,0才进入函数的值域 性质: 对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。 总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下: 如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数,0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到: (1)所有的图形都通过(1,1)这点。 (2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。 (5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。 (6)显然幂函数无界。 函数的图像 【考纲说明】 1、掌握基本函数的图象的特征,能熟练运用基本函数的图象解决问题。 2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。 【知识梳理】 一、函数的图像 1、作图方法:描点法和利用基本函数图象变换作图;作函数图象的步骤:①确定函数的定义域;②化简函数的解析式;③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值(甚至变化趋势);④描点连线,画出函数的图象。 2、识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面. 二、函数图像的变化 1、平移变换:(1)水平平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到; (2)竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移 ||a 个单位即可得到. ① y=f(x)h 左移→y=f(x+h); ② y=f(x) h 右移→y=f(x h); ③y=f(x) h 上移→y=f(x)+h; ④y=f(x) h 下移→y=f(x) h. 2、对称变换:(1)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到; (2)函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到; (3)函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到; (4)函数1 ()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到. ①y=f(x) 轴 x →y= f(x); ②y=f(x) 轴 y →y=f( x); ③y=f(x) a x =→直线y=f(2a x); ④y=f(x) x y =→直线y=f 1(x);《函数及其图像》知识点归纳
专题13幂函数知识点归纳
初三总复习函数及其图像知识点
幂函数题型归纳
三角函数图像与性质知识点总结
三角函数图像与性质知识点总结
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函数图像知识点梳理