典型例题： 1、过河问题
例 1．小船在 200m 的河中横渡，水流速度为 2m/s ，船在静水中的航速是 4m/s ，求：
1．小船怎样过河时间最短，最短时间是多少？
2．小船怎样过河位移最小，最小位移为多少？
v 2
v 1
解： 如右图所示，若用 v 1 表示水速， v 2 表示船速，则：
①过河时间仅由 v 2 的垂直于岸的分量 v ⊥决定，即 t
d
，与 v 1 无关，所以当 v 2⊥岸时，
v
过河所用时间最短，最短时间为 t
d
也与 v 1 无关。
v 2
②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当 v1＜v2 时，最短路程为 d ；
2、连带运动问题
指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。
例 2 如图所示，汽车甲以速度 v 1 拉汽车乙前进，乙的速度为 v 2，甲、乙都在水平面上运 动，求 v 1 ∶v 2
v 1
v 1 和 v 2cos α，两者应该
甲
v 1
解析：甲、乙沿绳的速度分别为
v 2
α
乙 相等，所以有 v 1∶v 2=cos α∶1
3、平抛运动
例 3 平抛小球的闪光照片如图。已知方格边长
a 和闪光照相的频闪间隔 T ，求： v 0、 g 、 v c
解析：水平方向： v 0
2a
竖直方向： s gT 2 , g
a
A
T
T 2
B
先求 C 点的水平分速度 v x 和竖直分速度 v y ，再求合速度 v C ：
C
v x
v 0
2a
, v y
5a
, v c
a 41 D
T
2T
2T
（ 2）临界问题
E
典型例题是在排球运动中， 为了使从某一位置和某一高度水平扣 出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？
例 4 已知网高 H ，半场长 L ，扣球点高 h ，扣球点离网水平距离 s 、求：水平扣球速度 v 的取值范围。
解析：假设运动员用速度 v max 扣球时，球刚好不会出界，用速度 v min 扣球时，球刚好不触
v max L s / 2h ( L s) g ；
g 2h
v
v
min
2(h H )
s
g
h s / g 2( h H )
实际扣球速度应在这两个值之间。
s H L 4、圆周运动
r 、r 、 r ，b 点到圆心的距离为例 5 如图所示装置中，三个轮的半径分别为 2 4
b、 c、 d 各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
c 解析： v a= v c，而 v b∶v c∶v
d =1 ∶2∶4，所以 v a∶ v b∶ v c∶
v d =2∶ 1∶ 2∶ 4；ωa∶ωb=2∶ 1，而ωb=ωc=ωd，所以
ωa∶ωb∶ω c∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得a a∶
a b∶a c∶a d=4∶1∶r ，求图中 a、
b a
2∶ 4 d 点评：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的
两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同
步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。
例6 小球在半径为 R 的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度 v、周期 T 的关系。（小球的半径远小于 R。）
解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力F 是重力 G和支持力 N 的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示有：
mg tan mv 2 mRsin 2 ，
Rsin
R cos h ，N
由此可得：v gRtan sin ,T 2 2 θ
g g F
（式中 h 为小球轨道平面到球心的高度）。
可见，θ越大（即轨迹所在平面越高），v 越大， T 越小。
点评：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆
周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向
心力方向水平。
例 7：长 l 0.5m ，质量可忽略不计的杆，其下端固定于O 点，上端连接着
F N 质量 m 2kg 的小球A，A绕O点做圆周运动，如图所示，在A点通过最高点mg 时，求在下面两种情况下，杆的受力：O
2 图 11
解析：对 A 点进行受力分析，假设小球受到向上的支持力，如图所示，则有
F向mg F N则 F N mg m v 2 分别带入数字则有
l
⑴F N =16N
⑵F N = -44N 负号表示小球受力方向与原假设方向相反
例8 质量为 M的小球在竖直面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点不脱离轨道的临界速度是 V，当小球以 3V 速度经过最高点时，球对轨道的压力大小是多少？
解析：对 A 点进行受力分析，小球受到向下的压力重力，其合力为向心力，有
F向mg F N
则 F N m v
2
mg
l
例解得 F N = 8mg
M 的物体 A 静止在水平转盘上，细绳另一9
如图所示，用细绳一端系着的质量为
O吊着质量为=0.6kg ．若
端通过转盘中心的光滑小孔m 的小球 B，A的重心到 O点的距离为
A 与转盘间的最大静摩擦力为 f =0.3kg 0.2m
，为使小球 B 保持静止，求转盘绕中心 O旋转的角速度ω的取值范围．（取g 2 ）=2N
=10m/s
解析：要使 B 静止， A 必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度． A 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时， A 有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时， A 有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心 O．
对于 B，T mg
=
对于 A，T f Mr 2
1
T f Mr 2 2
1 6.5 rad/s
2 2.9 rad/s
所以 2.9 rad/s 6.5 r ad/s
练习：
1．在质量为 M的电动机飞轮上，固定着一个质量为 m的重物，重物到轴的距离为 R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过
A．M m
g B．M m g mR mR
C．M m g
D．
Mg mR mR
例 10 地球表面的平均重力加速度为 g ，地球半径为 R ，万有引力恒量为 G ，可以用下 式估计地球的平均密度是
（ ）
3g
3g
g
g
A ． 4 RG
B ． 4 R 2
G C ． RG D ． R 2
G
解析 在地球表面的物体所受的重力为
mg ，在不考虑地球自转的影响时即等于它受到的
Mm mg
G
2
地球的引力，即：
R
①
M
V
4 R
3
密度公式
V
②
地球体积
3
③
由①②③式解得
3g
4
RG
，选项 A 正确。
点评 本题用到了“平均密度”这个概念，它表示把一个多种物质混合而成的物体看成
M
是由“同种物质”组成的，用 V 求其“密度”。
例 11 “神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第 5 圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为
距地面高度 h=342km 的圆形轨道。已知地球半径
R=6.37× 103km ，地面处的重力加速度 g=10m/s 2 。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期 T 的公式（用 h 、R 、g 表示），然后计算周 期 T 的数值（保留两位有效数字） 。
解析 因万有引力充当飞船做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：
G Mm
m 4 2
(R
h)
G Mm '
m' g
(R h)
2
T 2
①
又 R
2 ②
T
2 (R
h) R h
R
g
代入数据解得： T=5421s
由①②得：
例 12 全球电视实况转播的传送要靠同步卫星。 同步卫星的特点是轨道周期与地球自转的周期相同。如果把它旋转在地球赤道平面中的轨道上，这种卫星将始终位于地面某一点的上空。一组三颗同步卫星，按图所示，排成一个正三角形，就可以构成一个全球通讯系统基 地，几乎覆盖地球上全部人类居住地区， 只有两极附近较小的地区为盲区。 试推导同步卫星的高度和速度的式子。设地球的质量用M 表示，地球自转 的角速度用 ω 表示。
解析 设卫星质量为 m ，轨道半径为 r ，根据同步卫星绕地心的匀速圆 周运动所需的向心力即为它受到的地球的引力，则有G
Mm
m 2 r 。解得 r 2
GM
r 3
2
G=6.67×
。其中 ω =7.27 × 10-5 rad/s 是地球的自转角速度， -11 2 2 是万有引力常量， 24
10 N · m/kg M=5.98×10 kg 是地球的质量。将这些数据代入上式，得同 步卫星离地心的距离为 r=4.23 × 107m 。
v r
GM
3
它的速率是 2
，其数值大小为： v=r ω =4.23 ×107×7.27 ×10-5 m/s=3.08 × 103m/s
点评 三颗互成 120°角的地球同步卫星，可以建立起全球通信网，每颗卫星大约覆盖40%的区域，只有高纬度地区无法收到卫星转播的信号。
例 13 地球同步卫星离地心距离为 r ，环绕速度大小为 v 1，加速度大小为 a 1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为 a 2，第一宇宙速度为 v 2 ，地球半径为 R ，则下列关
系式正确的是 （ ）
a 1
r a 1
( r
)
2
A ． a
2
R B ．
a
2
R
v 1 r v 1
R
C ．
v
2
R
D ．
v
2
r
解析 在赤道上的物体的向心加速度 a2≠ g ，因为物体不仅受到万有引力，而且受到地面对物体的支持力；随地球一起自转的物体不是地球卫星，它和地球同步卫星有相同的角速度；速度 v 1 和 v 2 均为卫星速度，应按卫星速度公式寻找关系。
设地球质量为 M ，同步卫星质量为 m ，地球自转的角速度为 ω，则
a
2
r
赤道上的物体 a
2 2
R
对同步卫星 1
a 1
r
GMm
m
v 1
2
所以 a
2
R 对同步卫星 r
2
r
v 1
GM
v 2 GM v 1
R
r
R
所以
v
2
r
所以 第一宇宙速度
故答案为 AD 。
例 14
a 1 g
某物体在地面上受到的重力为 160N ，将它放置在卫星中， 在卫星以加速度 2
随火箭向上加速度上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为
90N 时，求此时 卫星距地球表面有多远？（地球半径 R=6.4× 103km ，g 取 10m/s 2）
解析 设此时火箭上升到离地球表面的高度为 h ，火箭上物体受到的支持力为 FN ，物体 受到的重力为 mg ’，据牛顿第二定律
F N
mg ' ma
①
mg' Mm
mg
G Mm
G
2
在 h 高处
(R h)
②
在地球表面处
R
2 ③
mgR 2
②③代入①
F N
( h R )2
ma
h R
(
mg
1)
1.92 104
(km)
F ma ∴ N
点评 （ 1）卫星在升空过程中可以认为是坚直向上做匀加速直线运动，可根据牛顿第二定律列出方程，但要注意由于高度的变化可引起的重力加速度的变化，应按物体所受重力
约等于万有引力列方程求解。
（2）有些基本常识，尽管题目没有明显给出，必要时可以直接应用。例如，在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力，地球自转周期T=24 小时，公转周期 T=365天等。