相似三角形的性质
【教学目标】
1．初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。
2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。
3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。
【教学重难点】
重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明。
难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用。
【教学过程】
一、设计龟免赛跑故事导入新课
有一只极速乌龟和骄傲的兔子在规定的两块相似四边形的场地上进行比赛，谁先跑完一圈谁为胜，已知：免子的速度是乌龟的4倍，结果乌龟跑完一圈只用了一个小时，兔子说，我睡上半个小时再跑，也能比你先跑完一圈；你认为兔子的说的话对吗？你能猜到比赛的最后结果吗？
(以“龟兔赛跑”精典故事开头，引起同学对这堂课的兴趣。)
二、自主探究，发现新知
1．分组猜想探究活动，完成下列实验报告单
(学生经历动手实验 - 观察－思考－归纳－发现的学习过程，分别总结两个相似三角形的周长比与相似比的关系，面积比与相似比的关系。注重学生动手实验、探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。)
猜测得到命题：相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方。2．验证猜想，得出结论（小组讨论）
探究：如果两个三角形相似，它们的周长比是否等于相似比呢？两个相似多边形呢？
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么
?AB BC CA
k
A
B B
C C A
===
''''''
?AB=kA′B'，BC=kB'C'，CA=kC'A'
?
AB BC CA kA B kB C kC A
k
A B B C C A A B B C C A
++''+''+''
==
''+''+''''+''+''
可以得到相似三角形周长的比等于相似比
类似的方法还可以得出相似多边形周长的比等于相似
延伸问题：
探究：
（1）如图27．2-11（1），?ABC∽? A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比呢？
图27．2-11（1）
分析：如图27．2-11，分别作出?ABC和? A'B'C'的高AD和A'D'。
∵∠ADB=∠A'D'B'=900又∠B=∠B'
∴?ABD∽?A'B'D'
∴1
''''
AD AB
k
A D A B
==（在此得出相似三角形对应高的比等于相似比）1111111
1
2
1
2
ABC
A B C
BC AD
S
S B C A D
?
?
?
=
?
=
()()
1111
2
1111
1
2
1
2
kB C kA D
k
B C A D
=
?
可以得到：相似三角形面积比等于相似比的平方
相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比吗？
（2）如图图27．2-11（2），四边形ABCD 相似于四边形A'B'C'D'，相似比为k 2，它们的面积比是多少？
图27．2-11（2）
∵
ABC A B C S S '''=V V ACD A C D S S '''=V V k 2
2
∴ABCD A B C D S S ''''=四边形四边形ABC ACD A B C A C D S S S S ''''''
+=+V V V V k 22
相似多边形面积比等于相似比的平方 三、运用性质，熟悉新知
1．已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 2
1/3
周长比 0.01 10 面积比
10000
0.0001
2．实际问题的解决
在福州中环线的建设施工中，曾遇到这样一个实际问题：由于马路拓宽，有一个面积是100平方米、周长80米的三角形的绿化地被削去了一个角，变成了一块梯形绿地，原绿化地的一边AB 的长由原来的20米缩短成12米（如图所示）。为了保证福州的绿化建设，市政府规定：因为种种原因而失去的绿地面积必须等面积补回。这样就引出了一个问题：这块失去的面积到底有多大？它的周长是多少？
你能够将上面生活中的实际问题转化为数学问题吗？
E
B
C
D
A 12
实际问题：如图，已知，在△ABC 中，DE∥BC，AB=20m ，BD=12m ， △ABC 的周长为80m ，面积为100m 2，求：△ADE 的周长和面积。
（通过探索、论证，到运用解决实际问题，一方面学生摸索到了从已知到未知的研究方法，另一方面又感受到了数学来源于生活又服务于生活。）
3．引申分别连接CD 和BE 交于点G.
C
B
A
求：（1）
S
S
CDE
ADE ??（2）DEC S ?，
S
BDE
?
（3）DGE S ?，EGC S ?，BDG S ?，BGC S ?。
（对引例的变式是培养学生多层次、多角度思维能力的一种较好形式。复杂图形中观察基本图形对学生来说有一定的难度，教师借助于多媒体的力量，采用图形的闪烁，色彩的变化等手段，突出基本图形，突破难点。） 四、小结反思， 自主评价
1． 知识技能部分的小结：
相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系；两条有关定理的证明思路与证明方法；定理的运用（进行有关简单的计算）。
2．自主评价：
如：对网格图上的两个格点三角形相似的认识；对运用定理解决问题的注意点的反思性总结；对自己及同伴在课堂上数学学习表现的评价；提出自己的困惑与不解，或进行质疑等。
3． 教师根据学生自主评价情况作适当的点评。
【作业布置】
F
C
B
A
C
1.选做题：（1）对引例继续探究
过点E作EF//AB，EF交BC于点F，其他条件不变，则EFC
的面积等于多少？平行四边形DBFE面积为多少？(作业的布置，帮助学生对知识的保持和迁移，尊重学生的个体差异满足多样化的学习需要，使不同层次的学生有不同的收获。)
【课后反思】
本节课是论证几何中“相似形”的重点内容之一，是在学会相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的全面研究。它是全等三角形的拓展，也是解决有关实际问题的重要工具。本节课的引入，是以“龟兔赛跑”精典故事开头，引起同学对这堂课的兴趣。整个探究活动部分，主要是对网格图上的格点三角形进行研究，选择网格图上的格点三角形进行研究，主要考虑网格有支架作用，便于学生进行边长、周长、面积的计算。另外对于网格图，学生在相似三角形的判定中已有接触，比较熟悉。这个部分注重学生动手实验、探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。课本例题进行“再创造”，以福州的中环线建设为背景，提出数学问题。这样的设计，既可以调动学生的学习热情与积极性，又可以使学生认识到，现实生活中处处有数学，提高学生应用数学的意识。在得出定理后，及时进行思维训练。通过探索、论证，到运用解决实际问题，一方面学生摸索到了从已知到未知的研究方法，另一方面又感受到了数学来源于生活又服务于生活。对引例的变式是培养学生多层次、多角度思维能力的一种较好形式。
小结部分，拟让学生小结反思与自主评价。这样做，有利于学生巩固刚获得的知识和技能，有利于学生提高归纳能力和语言表达能力，有利于学生逐步养成对已学知识的反思习惯，有利于学生逐步树立敢于提出自己独到见解的求真精神，有利于学生逐步形成正确的数学价值观。当然，教师也将根据学生小结、自主评价的实际情况作适当的点评，以体现师生互动，发挥教师的主导作用。
《相似三角形的性质》教案 课标要求 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方． 教学目标 知识与技能：1．了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题．过程与方法：通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力． 情感、态度与价值观：通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识． 教学重点 相似三角形性质定理的理解与运用． 教学难点 探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题． 教学流程 一、情境引入 三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等． 问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？ 引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系． 二、探究归纳 回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？ 探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少． 图1
图2 问题1：如图2，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′．AD 和A ′D ′的比是多少？ 追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？ 解：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∴∠B ＝∠B ′ ∵△ABD 和△A ′B ′D ′都是直角三角形 ∴△ABD ∽△A ′B ′D ′ ∴==''''AD AB k A D A B 问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k ？ 结论:相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比． 问题3：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，对应线段的比呢？ 推广：相似三角形对应线段的比等于相似比． 问题4：如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，它们的周长有什么关系？ 结论：相似三角形的周长比等于相似比． 思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？ 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′对应高AD 和A ′D ′． 2122 ABC A B C BC AD S BC AD k k k S B C A D B C A D ?'''??==?=?=''''''''? 结论：相似三角形面积比等于相似比的平方． 三、应用提高 例：如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ．若△ABC 的边
27.2.2 相似三角形的性质 上大附中何小龙 一、新课导入 1.课题导入 问题1：相似三角形有什么性质？ 问题2：三角形中有各种各样的几何量，除了三条边的长度、三个内角的度数外，还有高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等.如果两个三角形相似，那么除边、角外的其他几何量之间有什么关系呢？ 这节课我们研究相似三角形的性质(板书课题) . 2.学习目标 （1）知道三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. （2）知道相似三角形对应线段的比等于相似比. （3）知道相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.学习重、难点 重点：相似三角形性质. 难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材P37. （2）自学时间：6分钟. （3）自学要求：完成探究提纲. （4）探究提纲：
②求对应中线的比. AD AB k A D A B =='''' ③求对应角平分线的比. AD AB k A D A B =='''' ④相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比. ⑤相似三角形对应线段的比等于相似比. ⑥相似三角形的周长比等于相似比. 2.自学：学生参照自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：关注学生能否理清证明思路. ②差异指导：根据学情分类指导. （2）生助生：小组内相互交流、研讨. 4.强化：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比、对应线段的比都等于相似比. 1.自学指导 （1）内容：教材P38. （2）自学时间：8分钟. （3）自学方法：完成自学参考提纲. （4）自学参考提纲： ①探索相似三角形的面积比与相似比之间的关系. 设△ABC 与△A ′B ′C ′的相似比为k ，分别作△ABC 和△A ′B ′C ′的对应
A C B C' A' 第6章第5节相似三角形的性质（2） 【教学目标】 1．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；了解性质定理的探索过程和证明方法. 2．会运用图形的相似性质解决一些简单的实际问题； 3．经历探索性质定理的形成过程，使学生体验从特殊到一般的认知规律，以及由观察—猜想—论证—归纳的数学思维过程. [设计意图]重视数学对象的逻辑关系和内部联系，引导学生积极体验数学结论的理和美的要求. 【教学重难点】 重点：探索得出相似三角形对应线段的比等于相似比；并会运用性质解决实际问题. 难点：由特例归纳出一般结论. [设计意图]教师通过对重难点的把握，提高学生合作探究、解决问题的能力，让学生体会到由特殊到一般的数学研究方法，并能够运用到数学学习过程中. 【教学过程】 本节课的内容结构是：对应高（已有经验）---对应中线（特例1）---对应角平分线（特例2）---其他对应线段（通例）---位置对应线段（一般结论）---现实问题（应用） 一、设置情境，引出问题 远古的时候，有一位国王非常聪明，他把国家治理得井井有条，一片繁荣景象.他还酷爱数学，每日早朝之时，必先考考各位大臣的聪明才智.有一天，国王说：我有两块形状相同的三角形土地，一块是4亩，一块是16亩，现在我想把每块土地都分割成两块三角形形状，我只有一个要求就是-----分割线之比是1:2,各位大臣有多少种方法？办法高明者奖励黄金10两,白银10两.
[设计意图]调动学生学习兴趣,激发其探究欲望.情境的设置既引导学生回顾已学的相似三角形性质,又引发学生要继续探索其他性质的需要. 分析题意可以得到解决问题的办法就是:找到相似三角形中哪些线段的比等于相似比. 二、合作探究，形成新知 问题1:△ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，AD 和''A D 分别是△ABC 和△'''A B C 的中线， 那么 ?'' AD A D = 问题2: △ABC ∽△'''A B C ，相似比为k ，AD 和''A D 分别是△ABC 和△'''A B C 的角 平分线，那么 ?'' AD A D = [设计意图] 在探索相似三角形对应中线、对应角平分线性质时，迁移了相似三角形对应高的证明方法，对学生来讲，这两个结论证明并不难，因为有了上节课的经验.将典型特例作为引导性材料,让学生直观感知性质,形成性质的“模式直观”. 问题3:角平分线、中线变为对应角的三等分线、四等分线、…n 等分线，对应边的三等分线、四等分线、…n 等分线,结论还成立吗? [设计意图]适度铺垫，让学生拾阶而上.有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质.
一、相似的有关概念 1．相似形 具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性 两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比 两个相似图形的对应角相等，对应边成比例． 二、相似三角形的概念 1．相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形． 如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”． A ' B ' C ' C B A 2．相似比 相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”． 三、相似三角形的性质 1．相似三角形的对应角相等 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，． A ' B ' C ' C B A 2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ． 相似三角形的性质及判定
A ' B ' C ' C B A 3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的 中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ==== '''''''' （k 为相似比）． M ' M A ' B ' C 'C B A 图1 如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ==== ''''''''（k 为相似比）． H 'H A B C C 'B 'A ' 图2 如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的 角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ==== '''''''' （k 为相似比）． D ' D A ' B C 'C B A 图3 4．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有 AB BC AC k A B B C A C ==='''''' （k 为相似比） ．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC k A B B C A C A B B C A C ++===='''''''''''' ++．
数学教学设计 6.5 相似三角形的性质（1） 教学目标 1．探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题． 2．发展学生合情推理和有条理的表达能力． 教学重点 理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决有关的问题． 教学难点 能根据已知条件，构建数学模型，有条理的说理． 教学过程（教师） 学生活动 设计思路 旧知回顾 如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，你能得到什么？ 积极思考，回答问题——大多数学生会运用所学知识发表自己的观点： ∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'， ． 即：对应角相等、对应边成比例． 引导学生回忆相似三角形的相关内容，为学习新知识铺垫． 探索发现 如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点， （1）△DEF 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）这两个三角形的相似比是多少？ （3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？ 观察、思考，运用三角形相似的判定方法得 出△DEF 与△ABC 相似，并运用对应边的关系得出△DEF 与△ABC 相似比为1 2 ，△DEF 的周 长与△ABC 的面积比为1 4．用类似的方法可以解 决变式后的问题． 通过特殊问题的研 究，发现两个相似三角形的周长比与面积比的规律，得出猜想． 继续取△DEF 的各边中点M 、N 、P ，得到下图． （1）△MNP 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）这两个三角形的相似比是多少？ （3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？ 通过建模，培养学生的归纳能力． 推理猜测 根据刚才的探究，你有什么猜想？ 1．相似三角形周长的比等于相似比． 观察、思考、感悟得出相似三角形的周长比与面积比的规律． 经历探究——感悟——猜想的过程． A′ B′ C′ AB BC CA A B B C C A == ''''''C A B F D E C A B E D F M N P B C A
相似三角形的性质 【教学目标】 1．初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。 2．在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。 3．在学习过程中，进一步改善独立思考、合作学习、自主评价等学习品质。 【教学重难点】 重点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的探究与证明。 难点：相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用。 【教学过程】 一、设计龟免赛跑故事导入新课 有一只极速乌龟和骄傲的兔子在规定的两块相似四边形的场地上进行比赛，谁先跑完一圈谁为胜，已知：免子的速度是乌龟的4倍，结果乌龟跑完一圈只用了一个小时，兔子说，我睡上半个小时再跑，也能比你先跑完一圈；你认为兔子的说的话对吗？你能猜到比赛的最后结果吗？ (以“龟兔赛跑”精典故事开头，引起同学对这堂课的兴趣。) 二、自主探究，发现新知 1．分组猜想探究活动，完成下列实验报告单
(学生经历动手实验 - 观察－思考－归纳－发现的学习过程，分别总结两个相似三角形的周长比与相似比的关系，面积比与相似比的关系。注重学生动手实验、探索过程，并利用小组合作方式，培养学生的合作意识。)
猜测得到命题：相似三角形的周长比等于相似比。相似三角形的面积比等于相似比的平方。2．验证猜想，得出结论（小组讨论） 探究：如果两个三角形相似，它们的周长比是否等于相似比呢？两个相似多边形呢？ 如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么 ?AB BC CA k A B B C C A === '''''' ?AB=kA′B'，BC=kB'C'，CA=kC'A' ? AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A ++''+''+'' == ''+''+''''+''+'' 可以得到相似三角形周长的比等于相似比 类似的方法还可以得出相似多边形周长的比等于相似 延伸问题： 探究： （1）如图27．2-11（1），?ABC∽? A'B'C'，相似比为k1，它们的面积比呢？ 图27．2-11（1） 分析：如图27．2-11，分别作出?ABC和? A'B'C'的高AD和A'D'。 ∵∠ADB=∠A'D'B'=900又∠B=∠B' ∴?ABD∽?A'B'D' ∴1 '''' AD AB k A D A B ==（在此得出相似三角形对应高的比等于相似比）1111111 1 2 1 2 ABC A B C BC AD S S B C A D ? ? ? = ? = ()() 1111 2 1111 1 2 1 2 kB C kA D k B C A D = ? 可以得到：相似三角形面积比等于相似比的平方 相似三角形对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比吗？
1.3 相似三角形的性质 学习目标： 1.知道相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比． 2.理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 3.能用三角形的性质解决简单的问题． 学习重难点： 1、重点：相似三角形的性质与运用． 2、难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解． 学习过程： 一、自学引导 1．问题：已知：?ABC∽?A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？ 问题：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外， 我们还可以得到哪些结论？ 二、研学指导 1、自读文本15页，并思考以下问题：
（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？写出推导过程． （2）如果两个三角形相似，它们的对应边上的高线、中线，对应角的平分线之间有什么关系？写出推导过程． （3）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？写出推导过程． 2、结论——相似三角形的性质： 性质1 相似三角形周长的比等于 ，对应高的比等于 ，对应中线的比等于 ，对应角平分线的比等于 ． 性质2 相似三角形面积的比等于 ． 三、固学辅导 例 1 已知：△ABC ∽ △A′B′C′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B′C′＝24 cm ，求BC 、AB 、A′B′、A′C′的长． 例2 如图在ΔABC 和ΔDEF 中，AB=2DE ，AC=2DF ，∠A=∠D，ΔABC 的周长是24，面积是 ΔDEF 的周长和面积． 解： E A C B D F
相似三角形的性质及应用练习卷 一、填空题 1、已知两个相似三角形的相似比为 3，则它们的周长比为 ； 2、若△ABC ∽△A ′B′C′，且 AB 3 A B 4 ，△ABC 的周长为 12cm ， △ 则A ′B′C′的周长为 ； 3、如图 1，在△ABC 中，中线 BE 、CD 相交于点 G ，则 DE BC S = ； △GED ： △S GBC = ； 4、如图 2，在△ABC 中， ∠B=∠AED，AB=5，AD=3，CE=6，则 AE= ； 5、如图 3，△ABC 中，M 是 AB 的中点，N 在 BC 上，BC=2AB ，∠BMN=∠C ， △则 ∽△ ， 相似比为 ， BN NC = ； ， 6、如图 4，在梯形 ABCD 中，AD∥BC =4：9，则 ：S = △S ADE △：S BCE △S ABD △ABC ； 7、如图 5，在△ABC 中，BC=12cm ，点 D 、F 是 AB 的三等分点，点 E 、G 是 AC 的三等分点，则 DE+FG+BC= ； D A E D A E M A A E D F D A E G B C C B C B C B 8、两个相似三角形的周长分别为 5cm 和 16cm ，则它们的对应角的平分线的比为 ； 9、 两个三角形的面积之比为 2：3 ，则它们对应角平分线的比为 ，对应边的高的比 为 ；对应边的中线的比 周长的比 图 5 C 10、已知有两个三角形相似，一个边长分别为 2、3、4，另一个三角形最长边长为 12，则 x 、y 的 值为 ； 二、选择题 11、下列多边形一定相似的为（ ） A 、两个矩形 B 、两个菱形 C 、两个正方形 D 、两个平行四边形 12、在△ABC 中，BC=15cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，另一个和它相似的三角形的最短边是 5cm ，则最长 边是（ ） A 、18cm B 、21cm C 、24cm D 、19.5cm 13、如图，在△ABC 中，高 BD 、CE 交于点 O ，下列结论错误的是（ ） A A 、CO·CE=CD·CA B 、OE·OC=OD·OB E D C 、AD·AC=AE·AB D 、CO·DO=BO·EO O B C B G 图 4 N 图 2 图 1 图 3
《相似三角形的性质》教案 教学目标 知识与技能 1、理解掌握相似三角形周长比、面积比与相似比之间的关系；掌握定理的证明方法. 2、灵活运用相似三角形的判定和性质，解决相关问题. 过程与方法： 1、对性质定理的探究经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度. 2、通过实际情境的创设和解决，使学生逐步掌握把实际问题转化为数学问题，复杂问题转化为简单问题的思想方法. 3、通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力. 情感与态度： 在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律；通过学生之间的交流合作，软件应用的验证，让学生体验成功的喜悦，树立学习的自信心；通过对生活问题的解决，体会数学知识在实际中的广泛应用. 教学重点 相似三角形性质定理的探索、理解及应用. 教学难点 综合应用相似三角形的性质与判定，探索三角形中面积与线段之间的关系. 教学方法与手段 探究式教学、小组合作学习、多媒体教学. 教学过程 一、创设情境，引入新课 1、如果两个三角形相似，那么它们的对应边、对应角各有什么特性？ 研究三角形的问题，除了探索边和角之外，我们还经常计算它们的 周长和面积，那么相似三角形的周长和面积有什么特性呢？ 2、问题情境： 某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁原有一个面积为100平方米、周长为80米的三角形绿化地.由于马路的拓宽，绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是：
被削去的部分面积有多少？周长是多少？你能解决这个问题吗？ 二、实践交流，探索新知 1、做一做： 学生：将课前准备好的正方形网格中两个三角形的各边进行测量和计算. 2、想一想：你发现上面两个相似三角形的周长比和相似比有什么关系？ 3、验一验：是不是任何两个相似三角形都有此关系呢？你能加以验证吗？ 4、在学生思考、讨论的基础上，鼓励并引导学生分析、讨论证法，写出规范的证明过程. 三、归纳小结： 相似三角形性质定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 四、基础训练，加深理解 练一练：已知两个三角形相似，请完成下列表格： 比或周长比则要开平方. 五、综合应用，解决问题 已知：如图，DE ∥BC ，AB =30m ，BD =18m ，△ABC 的周长为80m ，面积为100m 2，求△ ADE 的周长和面积？ 解析：∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC D
相似三角形复习学案 葛家中学 崔名宇 复习目标： 相似是解决数学中图形问题的重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。 1．会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。 2．能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。 3．能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。 一．知识要点： 1、比例、第四比例项、比例中项、比例线段； 2、比例性质： （1）基本性质： bc ad d c b a =?= ac b c b b a =?=2 （2）合比定理：d d c b b a d c b a ±=±?= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++? ==n d b b a n d b m c a n m d c b a 3、相似三角形定义：________________________________． 4、判定方法： ______________________________________________________________________ 5、相似三角形性质： （1）对应角相等，对应边成比例； （2）对应线段之比等于 ；（对应线段包括哪几种主要线段？） （3）周长之比等于 ； （4）面积之比等于 ． 6、相似三角形中的基本图形． （1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型： （3）旋转型： （4）母子三角形： 二、练习： （一）、自我训练 训练1：判断 A B C D E A B C D E A B C D A B C D E D A B C
1．两个等边三角形一定相似。（ ） 2．两个相似三角形的面积之比为1∶4，则它们的周长之比为1∶2。（ ） 3．两个等腰三角形一定相似。（ ） 4．若一个三角形的两个角分别是40°、70°，而另一个三角形的两个角分别是70°、70°，则这两个三角形不相似。（ ） 训练2：填空 1．如果3=a ，12=c ，则a 与c 的比例中项是 ． 2．已知， 542c b a ==，则=-+-+b c a b c a 22 ． 3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=3，BD=2，EC=1，则AC= ． 4.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是 ． 5．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相 似的是 ． 6.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为 ． 7．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是 ． （二）、大展身手： 1. 已知2 1=b a ，则b a a +的值为__________ 2．如图，平行四边形ABCD 中，AE ∶EB=1∶2，若S △AEF =6，则S △CDF = ． A ． B ． C ． D ． A B C A ． B ． C ． D ． A E D C B F
相似三角形性质2 知识精要 一、相似三角形的性质 1、（定义）：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 2、性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 3、性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比。 4、性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方。 二、相似三角形的应用 热身练习 一、填空题： 1、两个相似三角形的面积之比为9：16，它们的对应高之比为3：4 。 2、地图比例尺为1：2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm，面积为100cm2，实际周长为1000 m，实际面积为40000m2。 3、如果两个相似三角形最长边为35和14，它们的周长差为60，那么这两个三角形的周长分别为____100、40 __ 4、如图4，已知DE∥BC，AD：DB=2：3，那么S△ADE：S△ECB=4：15 。 5、两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为1:3 ，面积比为1:9 二、选择题： 1、如图，在ABCD中，AC与DE交于点F,AE：EB=1：2，S △AEF=6cm2，则S△CDF的值为（D ） A．12cm2B．15cm2C．24cm2D．54cm2 2、若菱形的周长为16cm，相邻两角的度数之比是1：2，则菱形的面积是（B ） A．32B．32C．32D．3 2 3、东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实 际距离的比为（B ） A．1：5000000 B．1：500000 C．1：50000 D．1：5000
三、解答题： 1、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD：BC=3：5， 求：（1）S△AOD：S△BOC的值；（2）S△AOB：S△AOD的值． 参考答案：（1）9：25 （2）5：3 2、如图，已知：△ABC∽△A′B′C′,且AB：A′B′=3：2，若AD与A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的对应中线。 (1)你发现还有哪些三角形相似? (2)若AD=9cm,则A＇D＇的长是多少？ (3）若AD分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD与△A′B′D′成立吗？ 故两个相似三角形的所有对应线段之比＝______，面积之比=_____。 参考答案：（1）△ABD∽△A′B′D′, △ACD∽△A′C′D′；（2）A＇D＇为6cm；（3）成立3：2、9：4。 精解名题 例1、已知梯形ABCD的周长为16厘米，上底CD=3厘米，下底AB=7厘米，分别延长AD和BC交于P，求△PCD的周长。 参考答案：∵AB∥CD ∴PD PA PC PB =设PD=3x ,PC=3y 3 7 PD PC CD PA PB AB === 3x CD PA AB = PA=7x ,PB=7y AD+BC=4x+4y=6 PD+PC=9 2 △PCD的周长为 15 2
九年级上册数学 第四章图形的相似 【学习目标】 1、理解相似三角形的性质； 2、利用相似三角形的性质解决一些实际问题. 【重点】理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方 【难点】掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用. 【教学过程】 一、知识回顾： （1）相似三角形有哪些判定方法？ （2）什么叫相似比？ （3）相似三角形有什么性质？ 二、知识点突破 活动1：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 【典型例题一】 例题1：如图，△ABC∽△A'B'C' ，相似比为2. (1)请你写出图中所有成比例的线段; (2)△ABC与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？ 拓展：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C' 的周长之比吗？ 从这两个题中，你能发现什么规律？ 结论：相似三角形的周长比等于，面积比等于。 【变式练习一】 例1判断正误： （1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；（） （2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它的三边的长都扩大为原来的9倍。
2、填空 1．若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为______． 2．已知△ABC与△DEF相似且对应中线之比为3∶4，则△ABC与△DEF的相似比为______． 3．已知两个相似三角形的相似比是，那么它们的对应高的比是___． 活动2：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 例1、如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k。 （1）四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比是多少？ （2）连接相应的对角线BD，B′D′，所得的△BCD与△B′C′D′相似吗?如果相似，它们周长的相似比各是多少？为什么？ (3）△ABD，△A′B′D′，△BCD，△B′C′D′的面积分别是 S△ABD，S△A′B′D′， S△BCD，S△B′C′D′,那么S△ABD/S△A′B′D′，S△BCD/S△B′C′D′各是多少？ （4）四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是多少？ 拓展：如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？两个相似的n边形呢？ 结论：相似多边形的周长比等于，面积比等于 .
相似三角形的性质（第2课时） 一、教学目标 1．掌握相似三角形的性质定理2、3． 2．学生掌握综合使用相似三角形的判定定理和性质定理2、3来解决问题．3．进一步培养学生类比的教学思想． 4．通过相似性质的学习，感受图形和语言的和谐美 二、教法引导 三、重点及难点 1．教学重点：是性质定理的应用． 2．教学难点：是相似三角形的判定与性质等相关知识的综合使用． 四、课时安排 1课时 五、教具学具准备 投影仪、胶片、常用画图工具． 六、教学步骤 ［复习提问］ 叙述相似三角形的性质定理1． ［讲解新课］
让学生类比“全等三角形的周长相等”，得出性质定理2． 性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比． ∽， 同样，让学生类比“全等三角形的面积相等”，得出命题． “相似三角形面积的比等于相似比”教师对学生作出的这种判断暂时不作否定，待证明后再强调是“相似比的平方”，以加深学生的印象． 性质定理3：相似三角形面积的比，等于相似比的平方． ∽， 注：（1）在应用性质定理3时要注意由相似比求面积比要平方，这个点学生容易掌握，但反过来，由面积比求相似比要开方，学生往往掌握不好，教学时可增加一些这方面的练习．（2）在掌握相似三角形性质时，一定要注意相似前提，如：两个三角形周长比是，它们的面积之经不一定是，因为没有明确指出这两个三角形是否相似，以此教育学生要认真审题． 例1 已知如图，∽，它们的周长分别是60cm和72cm，且AB=1 5cm，，求BC、AB、、． 此题学生一般不会感到有困难．
例2 有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1：200和1：500，求甲地图与乙地图的相似比和面积比． 教材上的解法是用语言叙述的，学生不易掌握，教师可提供另外一种解法． 解：设原地块为，地块在甲图上为，在乙图上为． ∽∽且，． ． 学生在使用掌握了计算时，容易出现的错误，为了纠正或防止这类错误，教师在课堂上可举例说明，如：，而 ［小结］ 1．本节学习了相似三角形的性质定理2和定理3． 2．重点学习了两个性质定理的应用及注意的问题． 七、布置作业 教材P247中A组4、5、7． 八、板书设计
《27.2.2 相似三角形的性质》教学设计 湖北省嘉鱼县高铁中学孙幼阶 一、内容和内容解析 （一）内容 相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． （二）内容解析 判定和性质是研究几何图形的两个重要方面，我们已研究了相似三角形的判定，接下来就要对性质进行研究．与全等三角形一样，相似三角形的性质主要研究三角形几何量之间的关系． 由相似三角形的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例．三角形还有其他的几何量，如高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等．教材先是对相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比进行探究，推广得到对应线段的比等于相似比，以此作为基础，得到相似三角形面积的比与相似比的关系． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系的探究和运用． 二、目标和目标解析 （一）教学目标 1．了解相似三角形对应线段的比、面积的比与相似比的关系． 2．会利用相似三角形性质解决简单的问题． （二）目标解析 1．达成目标1的标志是：知道相似三角形对应线段的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，能够通过推理证明两条性质． 2．达成目标2的标志是：会利用相似三角形性质求有关线段的长和三角形的面积． 三、教学问题诊断分析 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，由定义可得到，且类比于全等三角形的对应角相等，对应边相等，这些性质学生易于发现．但三角形还有其他的量，如何提出它们的性质？可提出哪些性质？既要从一维层面上提，又要想到二维层面上来，对学生现有的认知基础来说，还有一定的难度． 本节课的教学难点：提出相似三角形性质的猜想． 四、教学支持条件分析 用几何画板佐证“相似三角形对应线段的比等于相似比”． 五、教学过程设计 （一）导出猜想，确定方向 问题1：对于相似三角形，我们已研究了它的定义与判定，根据已有的研究几何图形的经验，我们还需研究什么？可以从哪些角度来研究？ 师生活动：学生思考交流． 追问1：相似三角形的性质主要是研究三角形几何量之间的关系，三角形有哪些几何量？
相似三角形性质（二） 知识精要 一、相似三角形的性质 1、（定义）：相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 2、性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 3、性质定理2：相似三角形的周长比等于相似比． 4、性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方． 二、相似三角形的应用 热身练习 一、填空题： 1、两个相似三角形的面积之比为9:16，它们的对应高之比为 ． 2、地图比例尺为1:2000，一块多边形地区在地图上周长为50cm ，面积为1002 cm ，实际周长为 m ，实际面积为 2 m ． 3、如果两个相似三角形最长边为35和14，它们的周长差为60，那么这两个三角形的周长分别为______． 4、如图，已知DE ∥BC ，:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S ??= ． 5、两个相似三角形的相似比为1:3，则它们的周长比为 ，面积比为 ． 二、选择题： 1、如图，在 ABCD 中， AC 与DE 交于点F ，:1:2AE EB =，6AEF S ?=2 cm ，则CDF S ?的值 为（ ） A ．122 cm ； B ．152 cm ； C ．242 cm ； D ．542 cm ． 2、若菱形的周长为16cm ，相邻两角的度数之比是1:2，则菱形的面积是（ ）
A ．432 cm ； B ．832 cm ； C ．1632 cm ； D ．2432 cm ． 3、东海大桥全长32.5千米，如果东海大桥在某张地图上的长为6.5厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（ ） A ．1:5000000； B ．1:500000； C ．1:50000； D ．1:5000． 三、解答题： 1、如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，:3:5AD BC =． 求：（1）:AOD BOC S S ??的值；（2）:AOB AOD S S ??的值． 2、如图，已知：△ABC ∽△'''A B C ，且:''3:2AB A B =，若AD 与''A D 分别是△ABC 与△'''A B C 的对应中线． （1）你发现还有哪些三角形相似? （2）若9AD =cm ，则''A D 的长是多少？ （3）若AD 与''A D 分别是这两个三角形的对应高、对应角平分线，则△ABD 与△'''A B D 相似成立吗？ 故两个相似三角形的所有对应线段之比=______，面积之比=_________． 精解名题 例1、已知梯形ABCD 的周长为16厘米，上底3CD =厘米，下底7AB =厘米，分别延长AD 和BC 交于P ，求△PCD 的周长．
九年级数学上册：相似三角形性质定理1及其应用教案 （一）教学知识点 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比和对应中线的比与相似比的关系. （二）能力训练要求 1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程,理解相似多边形的性质. 2.利用相似三角形的性质解决一些实际问题. （三）情感与价值观要求 1.通过探索相似三角形中对应线段的比与相似比的关系,培养学生的探索精神和合作意识. 2.通过运用相似三角形的性质,增强学生的应用意识. ●教学重点 1.相似三角形中对应线段比值的推导. 2.运用相似三角形的性质解决实际问题. ●教学难点 相似三角形的性质的运用. ●教学方法 引导启发式 ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§4.8.1 A） 第二张：（记作§4.8.1 B） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 ［师］在前面我们学习了相似多边形的性质,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,相似三角形是相似多边形中的一种,因此三对对应角相等,三对对应边成比例.那么,在两个相似三角形中是否只有对应角相等、对应边成比例这个性质呢？本节课我们将进行研究相似三角形的其他性质. Ⅱ.新课讲解 1.做一做
投影片（§4.8.1 A ） 钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件,如图4－38,图纸上的△ABC 表示该零件的横断面△A ′B ′C ′,CD 和C ′D ′分别是它们的高. （1）B A AB '',C B BC '',C A AC ''各等于多少？ （2）△ABC 与△A ′B ′C ′相似吗？如果相似,请说明理由,并指出它们的相似比. （3）请你在图4－38中再找出一对相似三角形. （4）D C CD ''等于多少？你是怎么做的？与同伴交流. 图4－38 ［生］解：（1）B A AB ''=C B BC ''=C A AC ''=43 （2）△ABC ∽△A ′B ′C ′ ∵B A AB ''=C B BC ''=C A AC '' ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′,且相似比为3∶4. （3）△BCD ∽△B ′C ′D ′.（△ADC ∽△A ′D ′C ′） ∵由△ABC ∽△A ′B ′C ′得 ∠B =∠B ′ ∵∠BCD =∠B ′C ′D ′ ∴△BCD ∽△B ′C ′D ′（同理△ADC ∽△A ′D ′C ′） （4）D C CD ''=43
余庆县实验中学九年级（下）数学《三环五步》课堂教学 上课时间 2019年 月 日（第 周 星期 ） 总第 课时 课 题 27.2.2.相似三角形的性质 主 备 人 二次备课人 九年级（ ）班 学生 学习目标 掌握了相似三角形（相似多边形）对应边的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比、面积的比的性质定理。 学习重点 能用相似三角形性质定理进行简单证明及计算. 学习难点 能用相似三角形性质定理进行简单证明及计算. 使用要求 1.自学P37—38中的内容； 2.独立完成学案，然后小组交流、展示。 小组评价 评价人签名 2019年 月 日 学 习 过 程 备 注 一、 自主预习 探究问题 1、三角形相似的判定方法有那些？ 2、相似三角形有哪些性质? 3、自学课本P37页的内容，勾画出相关的性质，把不明白的地方标注出来。 二、自主学习 感受新知 1、在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，则有∠A=∠ , ∠B=∠ , ∠C= , 且 . 2、如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为K,你能发现它们的对应高的比吗？请给出简单的证明： 利用相同的方法，我们还可以得到相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比也等于 。 3、由△ABC ∽△A ′B ′C ′可得， ,你能否计算出 的值？ 4、由（3）可知相似三角形的周长比等于 比，那么它们的面积比等 A B C D A 1 B 1 D 1 C 1
于。 学习过程备注 三、自主交流运用新知。 1、认真阅读课本P38例题3，学习运用相似三角形的性质解决问题； 2、如果把一个三角形按照下面的条件改成和它相似的三角形： （１）把边长扩大为原来的１００倍，那么面积扩大为原来的多少倍？ （２）把面积扩大为原来的１００倍，那么边长扩大为原来的多少倍？ 3、三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积的 比为。 4、如图，△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC， EF∥AB。当D点为AB中点时，求S BFED :S △ABC 的值。 四、自主总结拓展新知： 性质1相似三角形对应高的比,对应中线的比, 对应角平分线的比, 周长的比都等于相似比。 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方． 五、自主应用当堂检测 1、如果两个相似三角形的面积之比为1:9,则它们对应边的比为对应高的比为周长的比为。 2、如果两个相似三角形的面积之比为2:7,较大三角形一边上的高为2，则较小三角形对应边上的高为。 3、如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？