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【易错题】高中必修二数学下期中模拟试卷(及答案)

一、选择题

1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为

30o ，则该长方体的体积为（）

A ．8

B ．62

C ．82

D ．83

2．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（）

A ．1073

B ．

453

π+ C ．

16323π+ D ．32333

π+ 3．已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ?是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（）

A ．48π

B ．24π

C ．16π

D ．323π

4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )

A ．202π+

B ．203π+

C ．242π+

D ．243π+

5．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．()1,1-

B ．()(),11,∞∞--?+

C ．[]1,1-

D ．][()

,11,∞∞--?+

6．下列命题正确的是（） A ．经过三点确定一个平面

B ．经过一条直线和一个点确定一个平面

C ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

D ．四边形确定一个平面

7．圆心在x +y =0上，且与x 轴交于点A （-3，0）和B （1，0）的圆的方程为（） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)5x y -++= C ．22(1)(1)5x y -++=

D ．22(1)(1)5x y ++-=

8．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 为球O 的直径，且SC OA ⊥，SC OB ⊥，OAB V 为等边三角形，三棱锥S ABC -的体积为

，则球O 的半径为( ) A ．3

B ．1

C ．2

D ．4

9．在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（）

A ．

B ．12

C ．

3 D ．3-

10．如图1，ABC ?是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，T 为线段AC 的中点，G 是

BC 的中点，ABE ?与BCF ?分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE ?与

BCF ?分别沿AB 与BC 向上折起（如图2），则在翻折的过程中下列结论可能正确的个数为（）

图1 图2

（1）直线AE ⊥直线BC ；（2）直线FC ⊥直线AE ；（3）平面//EAB 平面FGT ；（4）直线//BC 直线AE .

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

11．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=

．则下列结论中正确的个数为

①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；

③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ?的面积与BEF ?的面积相等， A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）

A ．64

B ．

643

C ．16

D ．

163

二、填空题

13．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：

①直线AM 与1CC 是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与1MB 是异面直线； ④直线AM 与1DD 是异面直线．

其中正确的结论的序号为________．

14．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面

ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O

的表面积为__________.

15．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=?，4AB AC ==，

23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.

16．如图，在ABC V 中，AB BC ⊥，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交

AC ，SC 于点D ，E ，又SA AB =，SB BC =，则二面角E BD C --的大小为_______________.

17．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是．

18．已知双曲线

的半焦距为，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线

的准线被双曲线截得的弦长是

（为双曲线

的离心率），则的值为__________．

19．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆

O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．

20．如图：点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1A P ∥面1ACD ；③1DP BC ^； ④面1PDB ^面1ACD ．其中正确的命题的序号是__________.

三、解答题

21．已知点(3,3)M ，圆2

:(1)(2)4C x y -+-=. （1）求过点M 且与圆C 相切的直线方程；

（2）若直线40()ax y a -+=∈R 与圆C 相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求实数a 的值.

22．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面

ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，90BAD ∠=?，3AD BC =，2AO OD =.

（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD .

（2）试问在棱PA 上是否存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，若存在，试指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由.

23．已知点()1,0P ，()4,0Q ，一动点M 满足2MQ MP =. （1）求点M 的轨迹方程；

（2）过点()2,3A 的直线l 与（1）中的曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程. 24．如图，在Rt AOB V 中，30OAB ∠=?，斜边4AB =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且平面AOB ⊥平面AOC ．动点D 在斜边AB 上．

（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；

（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值．

25．已知圆()2

2:14C x y -+=内有一点1,12P ?? ???

，过点P 作直线l 交圆C 于,A B 两点．（1）当点P 为AB 中点时，求直线l 的方程；（2）当直线l 的倾斜角为45o 时，求弦AB 的长． 26．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，且

2PA AB BC ===,2 2.AC =

（1）证明：三棱锥P ABC -为鳖臑；

（2）若D 为棱PB 的中点，求二面角D AC P --的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑是指四面皆为直角三角形的三棱锥.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】

首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o

，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】

在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，

根据线面角的定义可知130AC B ∠=o

，

因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =，所以该长方体的体积为222282V =??= C. 【点睛】

该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.

2．D

解析：D 【解析】【分析】

由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积. 【详解】

由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积2221132

42333233333

V πππ=??+??+???=+. 故选：D . 【点睛】

本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.

3．D

解析：D 【解析】

【分析】

根据球的性质可知球心O 与ABC ?外接圆圆心O '连线垂直于平面ABC ；在Rt POE ?和

Rt OO A ?'中利用勾股定理构造出关于半径R 和OO '的方程组，解方程组求得R ，代入球的体积公式可得结果. 【详解】

设O '为ABC ?的外心，如下图所示：

由球的性质可知，球心O 与O '连线垂直于平面ABC ，作OE AD ⊥于E 设球的半径为R ，OO x '=

ABC ?为等边三角形，且3AB = 3AO '∴=OO '⊥Q 平面ABC ，AD ⊥平面ABC ，OE AD ⊥

OO AE x '∴==，3OE AO '==在Rt POE ?和Rt OO A ?'中，由勾股定理得：

22222OE PE O O O A R ''+=+=，即()2

363x x R +-=+=

解得：3x =，3R =∴球的体积为：343233

V R ππ==

本题正确选项：D 【点睛】

本题考查棱锥外接球的体积求解问题，关键是能够确定棱锥外接球球心的位置，从而在直角三角形中利用勾股定理构造方程求得半径.

4．B

解析：B 【解析】

该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为

221

5221122032

S πππ=?+??+??=+，故选B ．

5．D

解析：D 【解析】

分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．

详解：∵点A（﹣3，4），B（3，2），过点P（1，0）的直线L与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥k PB或k≤k PA，

∵PA的斜率为40

=﹣1，PB的斜率为

=1，

∴直线l的斜率k≥1或k≤﹣1，

故选：D．

点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.

6．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据确定一个平面的公理及推论即可选出.

【详解】

A选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B选项，根据平面基本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C选项，根据公理一可知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项D,空间四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选C.

【点睛】

本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.

7．A

解析：A

【解析】

【分析】

由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上，故圆心M 的坐标为（-1，1），再由点点距得到半径。【详解】

由题意得：圆心在直线x=-1上，又圆心在直线x+y=0上， ∴圆心M 的坐标为（-1，1），

又A （-3，0），半径

则圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=5．故选A ．【点睛】

这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

8．C

解析：C 【解析】【分析】

根据题意作出图形，欲求球的半径r ．利用截面的性质即可得到三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r 的方程，即可求出r ，从而解决问题．【详解】

解：根据题意作出图形：设球心为O ，球的半径r ．

SC OA ⊥Q ，SC OB ⊥，SC ∴⊥平面AOB ，

三棱锥S ABC -的体积可看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和．

23S ABC S ABO C ABO V V V r r ---∴=+=??=

三棱锥三棱锥三棱锥， 2r ∴=．

故选：C ．

【点睛】

本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定将三棱锥S ABC -的体积看成是两个小三棱锥S ABO -和C ABO -的体积和，属于中档题．

9．A

解析：A 【解析】

如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，

则,MN BD NP AC P P ，

∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）．又由题意得PQ MQ ⊥，11

,22

PQ AB MQ CD =

=. 设2AB BC CD ===，则2PM =

又11

2,222

MN BD NP AC =

=== ∴PNM ?为等边三角形， ∴60PNM =?∠，

∴异面直线AC 与BD 所成角为60?，其余弦值为1

．选A ．点睛：

用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．

10．C

解析：C

【解析】【分析】

（1）翻折时使得平面ABE ⊥平面ABC ，由面面垂直的性质定理得出BC ⊥平面ABE ，从而使得（1）有可能；

（2）翻折时使得点E 、F 两点重合，利用勾股定理可证得此时AE CE ⊥，即

AE FC ⊥；

（3）翻折时使得平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，利用面面垂直的性质定理、直线与平面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证明出平面//EAB 平面

FGT ；

（4）利用反证法，可推出//BC AE 不成立. 【详解】

（1）翻折时，若平面ABE ⊥平面ABC ，由于ABC ?是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，

则BC AB ⊥，又Q 平面ABE I 平面ABC AB =，BC ?平面ABC ，BC ∴⊥平面

ABE ，

AE ?Q 平面ABC ，此时AE BC ⊥；

（2）设AB BC a ==，则2AC a =

，且有AE CF a ==，

翻折时，若点E 、F 重合，则AE CE a ==，222AE CE AC ∴+=，此时，

AE CE ⊥，即AE FC ⊥；

（3）如下图所示：

翻折时，若平面ABE 和平面BCF 同时与平面ABC 垂直，取AB 的中点D ，连接DE 、FG 、GT 、FT .

ABE ?Q 是等边三角形，且D 为AB 的中点，DE AB ⊥∴.

Q 平面ABE ⊥平面ABC ，平面ABE I 平面ABC AB =，DE ?平面ABE . DE ∴⊥平面ABC ，同理可证FG ⊥平面ABC ，//DE FG ∴， DE ?Q 平面FGT ，FG ?平面FGT ，//DE ∴平面FGT .

G Q 、T 分别为BC 、AC 的中点，//AB GT ∴，

AB ?Q 平面FGT ，GT ?平面FGT ，//AB ∴平面FGT . DE AB D =Q I ，∴平面//EAB 平面FGT ；

（4）假设AE 与BC 可能平行，BC AB ⊥Q ，则AE AB ⊥，事实上60BAE ∠=o ，即AE 与AB 不垂直，假设不成立，因此，AE 与BC 不可能平行. 因此，可能正确命题的个数为3. 故选：C. 【点睛】

本题考查的是线面位置关系的判定，判断时要熟悉线面、面面平行与垂直的判定、性质定理，考查推理能力，属于中等题.

11．B

解析：B 【解析】

试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质

12．D

解析：D 【解析】

根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ?的面积

12442S =??=，所以该多面体的体积116

4433

V =??=，故选D.

二、填空题

13．③④【解析】【分析】【详解】试题分析：因为四边不共面所以直线与是异面直线所以①错误的；同理直线与也是异面直线直线与是异面直线直线与是异面直线所以②是错误的；③是正确的④是正确的故填③④考点：空间中直

解析：③④ 【解析】【分析】【详解】

试题分析：因为1,,,A M C C 四边不共面，所以直线AM 与1CC 是异面直线，所以①错误的；同理，直线AM 与BN 也是异面直线，直线BN 与1MB 是异面直线，直线AM 与

1DD 是异面直线，所以②是错误的；③是正确的,④是正确的，故填③④．

考点：空间中直线与直线的位置关系的判定．

14．【解析】【分析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形且平面可得因为为直角三角形可得所以因此结合几何关系可求得外接球的半径代入公式即可求球的表面积【详解】本题主要考查空间几何体由题意得该四面体的四个解析：20π

【解析】【分析】

由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，可得PC =

PB =PBC V 为直角三角形，可得BC =PB BC ⊥，因此

AB BC ⊥，结合几何关系，可求得外接球O 的半径

R ===O 的表面积．

【详解】

本题主要考查空间几何体．

由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且PA ⊥平面ABC ，

2PA AB ==，4AC =，PC =PB =

因为PBC V 为直角三角形，

因此BC =BC =（舍）．

所以只可能是BC = 此时PB BC ⊥，因此AB BC ⊥，所以平面ABC 所在小圆的半径即为22

r ==，又因为2PA =，

所以外接球O 的半径R ===

所以球O 的表面积为24π20πS R ==．【点睛】

本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC 的长，即得到AB BC ⊥，再结合几何性

质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题．15．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查

解析：

【解析】

【分析】

设三棱锥P ABC

-外接球球心为O，半径为R，如图所示作辅助线，设

OO h

=，则()2

222

R PD h OH

R h CO

?=-+

，解得答案.

【详解】

设三棱锥P ABC

-外接球球心为O，半径为R，

BAC

∠=?，故O在平面ABC的投影为BC中点1O，D为AC中点，

PA PC

=，故PD AC

⊥，侧面PAC⊥底面ABC，故PD⊥底面ABC.

连接1

O D，作OH PD

⊥于H，易知1

OO DH为矩形，设

OO h

=，

则

()2

222

R PD h OH

R h CO

?=-+

，22

PD=，12

OH DO

==，

CO=，解得

R=.

故答案为：

【点睛】

本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

16．60°【解析】【分析】首先证得是二面角的平面角解直角三角形求得的大小【详解】由于是的中点所以由于所以平面所以由于平面所以而所以平面所以所以是二面角的平面角设则所以所以在中所以所以故答案为：【点睛】本

解析：60° 【解析】【分析】

首先证得EDC ∠是二面角E BD C --的平面角，解直角三角形求得EDC ∠的大小. 【详解】

由于SB BC =，E 是SC 的中点，所以SC BE ⊥，由于,SC DE DE BE E ⊥?=，所以

SC ⊥平面BDE ，所以SC BD ⊥.由于SA ⊥平面ABC ，所以SA BD ⊥，而

SA SC S ?=，所以BD ⊥平面SAC ，所以,BD DC BD DE ⊥⊥，所以EDC ∠是二面

角E BD C --的平面角.设1SA AB ==，则SB BC ==

2SC =，所以在

Rt SAC ?中，1

SA SC =

，所以30SCA ∠=o ，所以60EDC ∠=o . 故答案为：60o 【点睛】

本小题主要考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.

17．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P 在△APC 中有AP ＋PC ＞AC 在△BPD 中有PB ＋PD ＞BD

解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】

取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，

而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.

如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．易求得P(2,4)．

18．62【解析】试题分析：由题意得抛物线的准线为x=-c 它正好经过双曲线的左焦点所以准线被双曲线截得的弦长为2b2a 所以2b2a=223be2即ba=23e2所以整理得2e4-9e2+1=0解得e=62 解析：

【解析】

试题分析：由题意，得抛物线的准线为

，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被

双曲线截得的弦长为，所以，即，所以

，整理，得

，解得

或．又

过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以

．

考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．

【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于

的等式，求取值范围问题就是建立关于

的不等式．

19．【解析】分析：设圆锥底面半径为则高为母线长为由圆锥侧面积为可得结合利用三角形面积公式可得结果详解：设圆锥底面半径为则高为母线长为因为圆锥侧面积为设正方形边长为则正四棱锥的斜高为正四棱锥的侧面积为故答

. 【解析】

分析：设圆锥底面半径为r ，则高为2r 5r ，由圆锥侧面积为π，可得25

r =

，结合2a r =，利用三角形面积公式可得结果. 详解：设圆锥底面半径为r ，则高为2h r =5r ，因为圆锥侧面积为π，

5r r ππ∴??=，255

r =

，设正方形边长为a ，则2224,2a r a r ==

，

正四棱锥的斜高为()22

242

a h r +=，

∴正四棱锥的侧面积为21365426225

a r r ???==，

故答案为

. 点睛：本题主要考查圆锥的性质、正四棱锥的性质，以及圆锥的侧面积、正四棱锥的侧面积，属于中档题，解答本题的关键是求得正四棱锥底面棱长与圆锥底面半径之间的关系.

20．①②④【解析】对于①因为从而平面故上任意一点到平面的距离均相等以为顶点平面为底面则三棱锥的体积不变正确；对于②连接容易证明且相等由于①知：平面平面所以可得面②正确；对于③由于平面若则平面则为中点与动

解析：. ① ② ④ 【解析】

对于①，因为11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故1BC 上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，∴以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，正确；对于②，连接111,A B A C 容易证明111//AC A D 且相等，由于①知：11//AD BC ，平面

11//BA C 平面1ACD ，所以可得1//A P 面1ACD ，②正确；对于③，由于DC ⊥平面111,BCB C DC BC ∴⊥，若1DP BC ^，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中

点，与P 动点矛盾，错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得

1DB ⊥面1ACD ，由面面垂直的判定知平面1PDB ⊥平面1ACD ，④正确，故答案为①②

④.

三、解答题

21．（1）3x =或34210x y +-=；（2）3

-. 【解析】

【分析】

（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r ，直接求解圆的切线方程即可．

（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a 即可．【详解】

（1）由圆的方程得到圆心(1,2)，半径2r =. 当直线斜率不存在时，直线3x =与圆C 显然相切；

当直线斜率存在时，设所求直线方程为3(3)y k x -=-，即330kx y k -+-=，

2=，解得34

k =-，

∴ 方程为3

3(3)4

y x -=-

-，即34210x y +-=. 故过点M 且与圆C 相切的直线方程为3x =或34210x y +-=.

（2）∵ 弦长AB

为 2. 圆心到直线40ax y -+=

的距离d =

∴2

24??+=??

，解得34

a =-. 【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．

22．（1）见解析；（2）在棱PA 上存在点E 且E 满足

2AE

=时能使得面//BOE 面PCD ，证明见解析. 【解析】【分析】

（1）可证PD ⊥平面PAB ，从而得到要证明的面面垂直. （2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AE

=时能使得面//BOE 面PCD ，利用面面平行的判断定理可证明该结论. 【详解】

（1）因为90BAD ∠=?，故BA AD ⊥

又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD I 底面ABCD AD =，BA ?平面ABCD ，所以BA ⊥平面PAD .

因为PD ?平面PAD ，故BA PD ⊥，

又因为PA PD ⊥，PA AB A =I ，PA ?平面PAB ，AB ì平面PAB ，

所以PD ⊥平面PAB ，而PD ?平面PCD ，故平面PAB ⊥平面PCD . （2）在棱PA 上存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，E 满足2AE

=，证明如下：因为

2AE

EP =，2AO OD =，所以D

AE EP AO O =，故//OE PD . 因为OE ?平面PCD ，PD ?平面PCD ，故//OE 平面PCD .

因为//BC AD ，1

OD AD BC =

=，故//,OD BC OD BC =，所以四边形BCDO 为平行四边形，故//BO CD ，

因为BO ?平面PCD ，CD ?平面PCD ，故//BO 平面PCD .

因为BO ?平面EOB ，EO ?平面EOB ，BO EO O ?=，故面//BOE 面PCD .

【点睛】

本题考查面面垂直的证明和面面平行的探索，前者注意空间中三种垂直关系的转化，后者应根据题设条件得到动点满足的位置特征，然后再根据判定定理来证明，本题属于中档题. 23．（1）2

4x y +=；（2）2x =或512260x y -+=. 【解析】【分析】

(1)设点M 的坐标，根据已知用数学表达式表示出来，再化简即可;

(2) 直线与曲线相交有且只有一个公共点，即为相切，可以用几何关系:圆心到直线的距离等于半径. 【详解】

（1）设点(),M x y ，点M 满足2MQ MP =，

2222(4)2(1)x y x y -+=-+

则点M 的轨迹方程C 为2

4x y += （2）设直线l 的方程为()32y k x -=-，

∵直线():32l y k x -=-与曲线C 只有一个公共点，

高中数学必修2综合测试题

正视图侧视图俯视图 2 1 1 高中数学必修2综合测试题文科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若直线1=x 的倾斜角为α，则=α( )． A ．0 B.3 π C ．2π D ．π 2．已知直线1l 经过两点)2,1(--、)4,1(-，直线2l 经过两点)1,2(、)6,(x ，且21//l l ，则=x （ )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 3.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )． A ．π25 B ．π50 C ．π125 D ．π200 4.若方程02 2 =++++k y x y x 表示一个圆,则k 的取值范围是( ) A.21> k B.21≤k C. 2 1 0<

80个高中数学易错题

2017年高考备考：高中数学易错点梳理一、集合与简易逻辑易错点1 对集合表示方法理解存在偏差【问题】1: 已知{|0},{1}A x x B y y =>=>，求A B I 。错解：A B =ΦI 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。正确结果：A B B =I 【问题】2: 已知22 {|2},{(,)|4}A y y x B x y x y ==+=+=，求A B I 。错解： {(0,2),(2,0)}A B =-I 正确答案：A B =ΦI 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A 为点集。反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集【问题】: 已知2 {|2},{|21}A x a x a B x x =<<=-<<，且B A ?，求a 的取值范围。错解：[-1，0）剖析：忽视A =?的情况。正确答案：[-1，2] 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合B A ?就有可能忽视了A =?，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性【问题】: 已知1∈{2a +,2 (1)a +, 2 33a a ++ }，求实数a 的值。错解：2,1,0a =-- 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a =-时，2 (1)a +=233a a ++=1；当1a =-时， 2a +=2 33a a ++=1；均不符合题意。正确答案：0a = 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。易错点4 命题的否定与否命题关系不明【问题】: 写出“若a M a P ??或，则a M P ?I ”的否命题。错解一：否命题为“若a M a P ??或，则a M P ∈I ” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。错解二：否命题为“若a M a P ∈∈或，则a M P ∈I ” 剖析：知识不完整，a M a P ??或的否定形式应为a M a P ∈∈且。正确答案：若a M a P ∈∈且，则a M P ∈I

高一化学易错题及典型题型完整版

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高一化学易错题集锦及分析一元素化合物与化学概念部分【易错题】一、元素化合物知识 1、下列物质既能与盐酸反应又能与NaOH溶液反应的是（） A、Na 2CO 3 B、KHCO 3 C、Al 2O 3 D、NaHSO 4 解析：本题重点考查两点：（1）弱酸的酸式盐既能与强酸反应，又能与强碱反应，例如B选项：HCO 3 －＋H+=H 2O+CO 2 ↑；HCO 3 －＋OH－＝H 2 O +CO 3 2- （2）Al 2 O 3 是两性氧化物，既能和强酸又能和强碱反应。这是在初高中知识衔接讲解物质分类提到的。反应方程式到高二学，现在了解：Al 2O 3＋ 6H+=3H 2O+2Al3+；Al 2 O 3 ＋2OH－=2AlO 2 －+H 2 O。以后既能和强酸又能和强碱反应的物质将拓展为一个小专题，现在就要注意积累。答案：BC 2、下列关于Na 2O 2 的叙述正确的是（） A、Na 2 O 2 是淡黄色固体，久置于空气中变成Na 2 O B、Na 2 O 2 与水的反应中，Na 2 O 2 只作氧化剂 C、用Na 2 O 2 漂白过的织物、麦杆等日久又渐渐变成黄色 D、Na 2 O 2 放入饱和NaOH溶液中，放出大量的O 2 ，并有白色固体析出解析：A选项应中Na 2 O 2 久置于空气中会变成Na 2 CO 3 ；B选项Na 2 O 2 与水的反应中，Na 2 O 2 既作氧化剂又作还原剂，是氧化还原中的歧化反应；C选项Na 2 O 2 由于强氧化性而漂白物质，漂白之后不会再变色；D 选项饱和NaOH溶液中放入Na 2 O 2 ，由于 Na 2 O 2 与水反应，放出大量的O 2 ，水少了，溶质NaOH增多了，会有白色固体NaOH析出。其中C选项可漂白的物质也应总结成小专题，现阶段学过的有：活性炭，吸附褪色，物理变化；Na 2 O 2 、HClO由于强氧化性褪色，化学变化。以后注意继续补充。答案：D 3、经过下列试验，溶液仍为澄清透明的是（） A、饱和Na 2 CO 3 溶液中通入足量CO 2 B、NaHCO 3 溶液中加入过量NaOH溶液

高中数学必修2测试题附答案

数学必修2 一、选择题 1、下列命题为真命题的是（） A. 平行于同一平面的两条直线平行； B.与某一平面成等角的两条直线平行； C. 垂直于同一平面的两条直线平行； D.垂直于同一直线的两条直线平行。 2、下列命题中错误的是：（） A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β； B. 如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β； C. 如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β； D. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l,那么l ⊥γ. 3、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’ 中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 4、右图的正方体ABCD- A ’B ’C ’D ’ 中，二面角D ’-AB-D 的大小是（） A. 300 B.450 C. 600 D. 900 5、直线5x-2y-10=0在x 轴上的截距为a,在y 轴上的截距为b,则（） A.a=2,b=5; B.a=2,b=-5; C.a=-2，b=5 D.a=-2，b=-5 6、直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7、过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是（） A 4x+3y-13=0 B 4x-3y-19=0 C 3x-4y-16=0 D 3x+4y-8=0 8、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是：（） A.3 a π; B. 2 a π; C.a π2; D.a π3. A B D A ’ B ’ D ’ C C ’

高中数学易错题集锦

高中数学易错题集锦高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。错误解法由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。正确解法由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37 )3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。【例2】解下列各题 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2)1()1(-+-βα的最小值是不存在)D (18)C (8)B (4 49)A (- 思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα

高一化学必修一易错题错题总结

第三、四章易错题总结 1、金属钠常常保存在（） A水中 B煤油 C石蜡油中 D棕色瓶内 2、将一块铝箔，用砂纸打磨表面后，在酒精灯上加热融化，下列说法正确的是（） A 融化的是铝 B 融化的是Al2O3 C 融化物滴落 D 融化物不滴落 3、下列说法错误的是（） A 钠在空气中燃烧时先融化，再燃烧，最后所得产物只有Na2O B 镁因在空气中形成了一薄层致密的氧化膜保护了里面的镁，故镁不需要像钠似的特殊保护 C 铝制品在生活中非常普遍，这是因为铝不活泼 D 铁因在潮湿的空气中生成的氧化物疏松，不能保护内层金属，故铁制品往往需涂保护层 4、4.6g纯净的金属钠在干燥空气中被氧化后，得到7.0g固体，由此可判断其氧化产物是（） A 只有Na2O B 只有Na2O2 C Na2O和Na2O2 D无法确定 5、将一块金属钠分别投放到下列物质的溶液中，有气体放出且溶液质量减轻的是（） A CuSO4 B HCl C BaCl2 D NaOH 6、下列离子方程式中，正确的是（） A Na与H2O反应：Na + 2H2O ＝ Na+ + 2OH- + H2↑ B Na与盐酸反应：2Na + 2H+＝ 2Na+ + H2↑ C钠投入到CuSO4溶液中：Cu2+ + 2Na ＝ Cu + 2Na+ D Na与O2反应：4Na + O2＝ 4Na+ + 2O2- 7、在Na和H2O的反应中（） A Na 是氧化剂 B H2是氧化产物 C反应实质是钠置换水电离出的少量的H+ D反应实质是钠置换水中的氢气 8、将2.3g金属钠放入100g水中，完全反应后溶液的质量分数为（） A 4 100% 100 2.3 ? + B 4 100% 10040.1 ? +- C 4 100% 1004 ? + D 4 100% 100 2.30.1 ? +- 9、将一小块钠投入盛饱和澄清石灰水的试管里，不可能观察到的现象是（） A.熔成小球并在液面上游动 B.有气体生成 C.溶液底部有银白色物质生成 D.溶液变浑浊 10、Al粉投入某无色澄清的溶液中产生H2，则下列离子组合正确的是（） A．H+、Ca2+、Na+、NO3-B．Na+、Mg2+、Al3+、Cl- C．Cu2+、Mg2+、Cl-、OH-D．Ba2+、Cl-、OH-、NO3- 11、甲、乙两烧杯中各盛有100mL3mol/L的盐酸和氢氧化钠溶液，向两烧杯中分别加入等质量的铝粉，反应结束后测得生成的气体体积比为甲：乙=1：2，则加入铝粉的质量为（）

人教版高中数学必修二测试卷

高中数学必修二检测题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间90分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 、一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为4∶9，则此棱锥的侧棱被分成上下长度两部分之比为（） A ．4∶9 B ．2∶1 C ．2∶3 D ．2∶5 2 、如果实数x ，y 满足22 (2)3x y -+=，那么y x 的最大值是（） A 、3 B 、3- C 、33 D 、33 - 3 、已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 4 、如果两个球的体积之比为8:27,那么两个球的表面积之比为（） A.8:27 B. 2:3 C.4:9 D. 2:9 5 、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位cm ），则该几何体的表面积及体积为（）俯视图主视图侧视图 A.24πcm 2，12πcm 3 B.15πcm 2，12πcm 3 C.24πcm 2，36πcm 3 D.以上都不正确 6 、棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．不相交

7 、直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点（） A ．(0,0) B ．(0,1) C ．(3,1) D ．(2,1) 8 、两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（） A ．4 B C D 9、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（） (A)2 2 (B)4 (C)2 4 (D)2 10、在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角 D 、11AC 与1B C 成60角 11 、a ，b ，c 表示直线，M 表示平面，给出下列四个命题：①若a ∥M ，b ∥M ，则a ∥b ；②若b ?M ，a ∥b ，则a ∥M ；③若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ；④若a ⊥M ，b ⊥M ，则a ∥b .其中正确命题的个数有 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 12 、点4)()()1,1(22=++-a y a x 在圆的内部，则a 的取值范围是（） (A) 11<<-a (B) 10<-