河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试(I )
理科数学
总分150分．考试时间120分钟
答卷前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上相应的位置． 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5 mm 黑色笔 迹签字笔写在答题卡上． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一?选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}
2
0M x x x =+>，(){}
ln 10N x x =->，则（ ）
A. M N ?
B. M N ?
C. ()1,M N ?=+∞
D.
()2,M N ?=+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【
详
解
】
{}
()()
20,10,M x x x =+>=-∞-?+∞，
(){}
{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,
所以，M N ?，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.
故选：A.
【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2.已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A. 3
B. 3i
C. 4
D. 4i
【答案】C 【解析】 【分析】
根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2
(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C .
【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题. 3.以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.
则下列选项错误的是（ ）
A. 清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业
B. 清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高
C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散
D. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数超过一半 【答案】D 【解析】
【分析】
根据统计表和分布图中的数据信息，对选项进行逐一分析判断，得出答案.
【详解】A. 根据统计表，本科生选择继续深造的比例为80.4%，硕士生选择就业的比例为89.2%，所以判断正确.
B. 根据统计表，本科生就业率17.3%, 硕士生的就业率为为89.2%.判断正确.
C. 根据分布图，签三方就业的毕业生中，硕士生的就业城市主要分布在北京、广东、上海；本科生的就业城市相对比较分散.判断正确.
D. 根据分布图, 毕业学生中，本科生人数占绝大多数，签三方就业的毕业生中,留在北京的本科生占18.2%，而硕士生和博士生分别占43.0%、51.2%， 所以毕业生留在北京的没有达到一半，所以判断错误. 故选：D
【点睛】本题考查对统计图表的认识，根据图表得出有用的信息，读懂图表是关键，属于基础题.
4.若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21
a b
+的最小值为（ ） A. 4
B. C. 9
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.
【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所
以
212122(2)59b a a b a b a b a b ??+=++=++ ???，当且仅当22b a a b =时，即13
a b ==时取等号，
此时，min
219a b ??
+= ???
故选：C
【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.
5.要使得满足约束条件42y x y x x y ??
-??+?
，的
变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个
约束条件为（ ） A. 4x y +≤
B. 4x y +
C. 6x y +
D.
6x y + 【答案】C 【解析】 【分析】
设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可；
【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222
d =
==，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示
故选:C .
【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.
6.若{}n a 是公比为()0q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）
A. 若{}n a 是递增数列，则10a <，0q <
B. 若{}n a 是递减数列，则10a >，01q <<
C. 若0q >，则4652S S S +>
D. 若1
n n
b a =
，则{}n b 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】
选项,,A B C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项,,A B C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确.
【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误； C 选项中，若11
1,2
a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，()111
0n n n n b a q b a q
++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.
【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.
7.为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π??
=- ???
的图象（ ） A. 向左平移6
π
个单位长度 B. 向右平移
6
π
个单位长度
C. 向左平移56π
个单位长度 D. 向右平移56
π
个单位长度
【答案】D 【解析】 【分析】
先将函数()sin 6f x x π??=- ???
用诱导公式变形为5()sin 6f x x π?
?=+ ???，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案. 【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ???????
?
=-=--=-+=+
? ? ? ????????
?
, 由5()sin 6f x x π?
?=+ ??
?的图象得到函数()sin g x x =的图象，
向右
56
π
个单位长度即可. 故选：D.
【点睛】本题主要考查三角函数图象的
平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.
8.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1
()sin 23
f x x x =-.若2tan
5a f π??= ??
?
，32log cos 5b f π??= ???，2cos 5c f π?
?= ??
?大小关系为（ ）
A. a b c <<
B. b c a <<
C. b a c <<
D.
c b a <<
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意当0x 时2
()1cos 203
f x x '=-
>，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tan
tan 154
ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π
<，由函数的单调性可得出答案.
【详解】由题意知由当0x 时,2
()1cos 203
f x x '=->，所以()f x 在[)0+，
∞上单调递增，且()00f =
又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，
上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tan
tan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05
π
<， 由()f x 在定义域上单调递增，则3
222tan cos log cos 5
55f f f πππ?
??
??
?>> ?
? ??
??
??
?
所以b c a <<. 故选：B .
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题
9.如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则
m
n
=（ ）
A
12
B.
23
C.
34
D. 1
【答案】B 【解析】
【
分析】
以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为
23，得出点,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案.
【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以
2m =，3n =，所以
23
m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设等边三角形的边长为23(
)()
2
2
233
3-
=，
由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =
?=,2
33
OJ =所以())
230,23,1，，A J C
??
? ???
()0,2OA =,(
)
3,1OC =
,23OJ ??
= ? ???
)
23233,13,33n OA mOC nOJ m
n m m ???=+=+-=- ?? ?????
所以
23
30
3
2
n
m
m
?
-=
?
?
?=
?
，解得
3
2
n
m
=
?
?
=
?
所以
2
3
m
n
=
故选：B.
【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.
10.区块链是数据存储?传输?加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（）
A. 4
B. 8
C. 12
D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数.
【详解】如图，
A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.
由题意知恰有3条边且无孤立点，
所以满足条件的图有3
6
416
C-=(个).
故选：D.
【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
11.地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②
已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C 点和D 点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ）
A. ①
B. ①②
C. ②③
D. ①③
【答案】A 【解析】 【分析】
根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论.
【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；
1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率2
22210c a b b e a a a -??===-≈ ???
，命题②错误；
根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A.
【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.
12.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ） A.
13
B.
2 C.
23
D. 1
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ， 取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积111
3
A B F V EO S =
??△ 【详解】
如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，
取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 111
2112
A B F S =??=△， 可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为11111
11333
A B F V EO S =??=??=△
故选：A
【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题.
二?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.6
2x x ??- ??
?的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答)
【答案】60 【解析】 【分析】
先求出二项式展开式的通项6216(2)r r r
r T C x
-+=-，再令622r -=即得解.
【详解】由题得()
61
62166(2)(2)r
r r
r r r r
r T C x x C x ---+=?-?=-.
令622r -=，解得2r ，
所以2x 的系数为22
6(2)60C ?-=.
故答案为：60
【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
14.记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =?=，则n S =_________. 【答案】231
22
n n - 【解析】 【分析】
设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得17
3474772
a a a a S a +?==?=， 所以37,a =
所以1+27,3d d =∴=.
所以2(1)31
3222n n n S n n n -=+
?=-. 故答案为：231
22
n n -.
【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15.若抛物线()2
20y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=则p 的值为_________. 【答案】2 【解析】 【分析】
求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值.
【详解】抛物线的焦点为,02p F ??
???
，双曲线的方程可化为2222
12y x p p -=，所以223c p =， 所以其一个焦点化为()
10,3F p ，所以221133134p FF p p =+==，所以2p =. 故答案为：2.
【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 16.已知函数()(2)1x f x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为_________. 【答案】324
3,54e e ??????
【解析】 【分析】
把()0f x <转化为(2)1x
kx k e x +<+，即1
(2)x x k x e
++<
，然后，利用数形结合法求解即可.
【详解】由()(2)10x
f x kx k e x =+--<得，(2)1x
kx k e x +<+，即1
(2)x
x k x e ++<，在平面直角坐标系中画出函数g()(2)x k x =+和1
()+=
x
x h x e 的图象如图所示，
为了满足不等式()0f x <的解集中恰有三个整数，只需要满足(2)(2)
(3)(3)h g h g >???
，解得
3
2
4
354k e e <
故答案为：3243,54e e ????
??
【点睛】本题考查利用数形结合，求参数范围的问题，本题采用数形结合法求解，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，属于中档题
三?解答题：共70分．解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4
sin 5
BAC ∠=. （1）求BC 的长：
（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠.
【答案】（1）12BC =（2）sin 5
ACE ∠= 【解析】 【分析】
(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长 (2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π??
∠=-∠=∠=∠= ???
，
求出AC AB ==
【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=.
因为,22B C ππ??
-∈-
??
?，所以.B C = 因为ABC 为锐角三角形，且4
sin 5
BAC ∠=， 所以3cos 5
BAC ∠=
. 又因为根据等腰三角形的性质， 可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以2
32cos 15
BAD ∠-=
则cos BAD ∠=
所以1sin tan 2
BAD BAD ∠=
∠= 所以6BD =，所以12BC = （2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π??
∠=-∠=∠=∠=
???
AC AB ===
在ACE △，因为222
cos 2AE AC CE CAE AE AC
+-∠=?
所以9CE =. 由
sin sin CE AE
CAE ACE
=∠∠
得sin 5
ACE ∠=
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18.如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面
ACD .
（1）证明：BC CD ⊥；
（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45?.求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）60?. 【解析】 【分析】
（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到CD ⊥平面.ABE ，进而可得
BC CD ⊥；
（2）先由题意，得到45BCE BCA ?∠=∠=，求得1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，求出两平面
ACD 和ABD 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.
【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ?平面ACD ， 所以BE CD ⊥.
因为AB ⊥平面BCD ，CD ?平面BCD ， 所以AB CD ⊥. 因为AB
BE B =，所以CD ⊥平面.ABE
因为BC ?平面ABE ，所以BC CD ⊥.
（2）解：因为BE ⊥平面ACD ，BCE ∠即为BC 与平面ACD 所成的角， 所以45BCE BCA ?∠=∠=，所以1BC AB ==，
以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系
C xyz -
则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A
(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)
CD CA BD BA
===-=
设平面ACD的一个法向量为()
111
,,
n x y z
=，
平面ABD的一个法向量为()
222
,,
m x y z
=
则
CD n
CA n
??=
?
?=
?
，
BD m
BA m
??=
?
?=
?
即1
11
x
y z
=
?
?
+=
?
，22
2
x y
z
-=
?
?
=
?
，
令12
1,1
y x
==可得(0,1,1),(1,1,0)
n m
=-=
所以
1
cos,
2
n m
n m
n m
?
<>==
由图知，二面角B AD C
--的平面角为锐角，所以二面角B AD C
--的大小为60?.
【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.
19.2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.
（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.
（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？
【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞 【解析】 【分析】
（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；
（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+?=， 设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B 故44()0.20.8
,0,1,2,3,4k
k
k
P X k C k -===
3314(3)0.20.80.0256P X C ===， 4404(4)0.20.80.0016P X C ==?=，
(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.
（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元， 则()1460000.24800E Y =??=
若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元，
则()25000410000.24200E Y =-??=(元) 则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞.
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左?右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右
焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足12
7PF PF =.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.
【答案】（1）2
214
x y +=（2）[]8,10
【解析】 【分析】
（1）易知c =，设2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方
程.
（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0?=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案.
【详解】（1）由12F F =c =，
设2PF x =，因为
12
7PF PF =，所以17PF x =，
在Rt △12PF F 中，2
2
2
1212PF PF F F =+，即22
4912x x =+，所以
1
2
x =， 所以284a x ==，解得2
2
2
2,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2
214
x y +=.
（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.
当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+， 则对边所在直线方程
y kx m =-，
另一边所在的直线方程为1y x n k =-
+，则对边所在直线方程为1
y x n k
=--， 联立2244x y y kx m
?+=?=+?，得()()222
148410k x kmx m +++-=，
由题意知(
)(
)2
2
2
2
64161140k m m k
?=--+=，整理得2
241k
m +=，
矩形的一边长为1d =，同理2
241n k +=
，矩形的另一边长为
2d =，
122
|4|1mnk S d d k =?=
=+
44==
44== 因为0k ≠，所以20k >，所以2
21
2k k
+
≥(当且仅当21k =时等号成立)， 所以22990,142k k ??∈ ?
??++52,2??
?
??，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.
【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21.已知函数()2,()ln x f x e x g x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.
（1）比较1x 与2x 的大小； （2）证明：()()210f x g x +<.
【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析 【解析】 【分析】
方法一：利用()20=+-=x
f x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得
2 ? ? 2 河北省衡水中学 2018 高三第一次模拟理科数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. 设全集为实数集 R ， M x 2 ， N x 1 x ，则图中阴影部分表示的集合是 ( ) A ． {x -2 ≤ x < 1} B ． {x -2 ≤ x ≤ 2 } C ． {x 1 < x ≤ 2} D ． {x x < 2} 2. 设 a ∈ R , i 是虚数单位，则“ a = 1 ”是“ a + i 为纯虚数”的（ ） a - i A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3．若{a n } 是等差数列，首项 a 1 > 0, a 2011 + a 2012 > 0 ， a 2011 ? a 2012 和 S n > 0 成立的最大正整数 n 是（ ） A ．2011 B ．2012 C ．4022 D ．4023 < 0 ，则使前 n 项 4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人”， 根据连续 7 天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） ①平均数 x ≤ 3 ；②标准差 S ≤ 2 ；③平均数 x ≤ 3 且标准差 S ≤ 2 ； ④平均数 x ≤ 3 且极差小于或等于 2；⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1。 A ．①② B ．③④ C ．③④⑤ D ．④⑤ 5. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，对角线 B 1D 与平面A 1BC 1 相交于点E ，则点 E 为△A 1BC 1 的（ ） A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 ?3x - y - 6 ≤ 0, 6.设 x , y 满足约束条件 ? x - y + 2 ≥ 0, ?x , y ≥ 0, a 2 + b 2 的最小值是（ ） 若目标函数 z = ax + b y (a , b > 0) 的最大值是 12，则 A. 6 13 B. 36 5 C. 6 5 D. 36 13 7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 （ ） A ．16 B ．4 C ．8 D ．2 8．已知函数 f ( x ) = 2 s in( x +) (ω > 0, -π < ? < π) 图像 的一部分（如图所示），则ω 与? 的值分别为（ ） A ． 11 , - 5π B ． 1, - 2π C ． 7 , - π D ． 10 6 4 , - π 5 3 3 10 6 9. 双曲线 C 的左右焦点分别为 F 1, F 2 ,且 F 恰为抛物线 y 2 = 4x 的焦点,设双 曲线C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF 1F 2 是以 AF 1 为底边的等腰三角形, 则双曲线C 的离心率为（ ） A ． B ．1 + C ．1 + D ． 2 + 10. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数 x 1, x 2 ，不等式 2 3 3 1
2012年第一次月考试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分) 1. (2010·银川一中第三次月考)已知M ={x |x 2＞4}，21,1N x x ? ? =≥??-?? 则C R M∩N = （ ） A ．{x |1＜x ≤2} B ．{x |－2≤x ≤1} C ．{x |－2≤x ＜1} D ．{x |x ＜2} 2. （2010··重庆四月模拟试卷） 函数1 lg(2) y x = -的定义域是 （ ） A. ()12， B. []14， C. [)12， D. (]12， 3. (理)（2010·全国卷I ）记cos(80)k ? -=,那么tan100?= （ ） A.k B. k - D. (文)（2010··全国卷I ）cos300? = （ ） A 12- C 12 D 4（理）（2010·宣武一模）若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π 3 S =，则6tan a 的值为（ ） A B ．C ． D ． 4.(文)（2010·茂名二模）在等差数列{}n a 中，已知1241,10,39,n a a a a =+==则n = （ ） A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 5. （2010·太原五中5月月考）在等比数列}{n a 中，前n 项和为n S ，若63,763==S S 则公比q 等于（ ） A ．-2 B ．2 C ．-3 D ．3 6. （2010·曲靖一中冲刺卷数学）函数f(x)是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f(x)= x +1，则函数f(x)在（1，2）上的解析式为 （ ） A ．f(x)= 3－x B ．f(x)= x －３ C ．f(x)= １－x D ．f(x)= x +1
河北衡水中学2019高三第一次调研考试--数学（文） 高三年级数学试卷〔文科〕 本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两部分。第一卷共2页，第二卷共2页。 共150分。考试时间120分钟。 第一卷〔选择题 共60分〕 一、 选择题〔每题5分，共60分。每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的 序号填涂在答题卡上〕 A 假设q 那么pB 假设?p 那么?qC 假设q ?那么p ?D 假设p 那么q ? 2假设集合{} 0A x x =≥，且A B B =，那么集合B 可能是〔〕 A 、 {}1,2 B.{}1x x ≤ C.{}1,0,1- D.R 3等差数列}a {n 中，前15项的和90S 15=，那么8a 等于〔〕、 A 、245 B 、 6 C 、4 45 D 、12 4()f x 在R 上是奇函数，且)()2(x f x f -=+2(4)),(0,2)()2,(7)f x f x f x x f +=∈==当时，则 () A.2- B.2 C.98- D.98 5函数 ???≤->-=) 0(1) 0(log )(2 2x x x x x f ，那么不等式0)(>x f 的解集为〔〕 A.}10|{<
高三数学第一次月考试卷（集合、函数） 班级： 学号： 姓名： . 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1、如果C 、R 和I 分别表示复数集、实数集和纯虚数集，其中C 是全集。则有( ) A. C=R ∪I B. R ∩I=｛0｝ C. R ∩I=φ D. ＣcR=C ∩I 2、已知{1,3,5,7,9}I A B == ,{3,7}A B = ,{9}A B = ,则A B = （ ） A 、{1,3,7} B 、{1,5} C 、{3,7,9} D 、{3,7} 3、满足｛a ，b ｝UM=｛a ，b ，c ，d ｝的所有集合M 的个数是（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4、若命题P ：x ∈A B ，则 P 是（ ） A. x ?A B B. x ?A 或x ?B C. x ?A 且x ?B D. x ∈A B 5、用反证法证明：“若m ∈Z 且m 为奇数，则()1122 m m --± 均为奇数”，其假设正确的( ) A. 都是偶数 B. 都不是奇数 C. 不都是奇数 D. 都不是偶数 6、命题P:若 a.b ∈R ，则a b +>1是a b +>1的充分而不必要条件：命题q: 函数 y = (][),13,-∞-+∞ .则 （ ） A.“ p 或q ”为假 B. “p 且q ”为真 C. p 真q 假 D. p 假q 真 7、 已知01a <<，则方程|| |log |x a a x =的实根个数是( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、1个或2个或3个 8、已知0log 2log 2a b <<，则a ，b 的关系是 ( ) 9、 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，1()()3 x f x =，那么1 (9)f --的 值为( ) A 、2 B 、-2 C 、3 D 、-3 10、设0.3log 4a =，4log 3b =，2 0.3c -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
衡水中学2020—2021学年度上学期高三年级七调考试 文数试卷 本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 5．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，123z i =+，则 2 1 13z z =（ ） A ．112i - B ．131255 i - + C ．512i -+ D ．512i -- 2．已知集合{}M a =，{40}N x ax =-=∣，若M N N =，则实数a 的值是（ ） A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．0，2或2- 3．已知直线210x y --=的倾斜角为α，则 2 1tan 2tan 2 α α -=（ ） A ．14 - B ．1- C ．1 4 D ．1 4．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所作的预测．结合图，下列说法不正确的是（ ） A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
高三月考文科数学试卷 一、选择题 1.设全集为R ，集合2 {|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则=?B C A R （） A ．(3,0)-B ．(3,1]--C ．(3,1)--D ．(3,3)- 2．设i 为虚数单位，复数3(),()(1) a z a a i a R a =-+ ∈-为纯虚数，则a 的值为（） A ．-1 B ．1 C ．1± D ．0 3.若R d c b a ∈,,,，则” “c b d a +=+是“a ,b ,c ,d 依次成等差数列”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.函数]2 ,0[,1cos 4cos 32 π ∈+-=x x x y 的最小值为（） A ．31- B ．0 C ．3 1 D ．1 5.设x x x f sin cos )(-=把)(x f y =的图象按向量)0,(?=a (?>0)平移后，恰好得到函数y =f '(x )的图象，则?的值可以为() A.2π B.43π C.π D.2 3π 6.8sin 128cos 22-++=（） A ．4sin 2 B ．4sin 2- C ．4cos 2 D ．-4 cos 2 7．若函数322 ++=ax ax y 的值域为[)+∞,0，则a 的取值范围是() A ．()+∞,3 B ．[)+∞,3 C ．(][)+∞?∞-,30, D ．()[)+∞?∞-,30, 8.能够把椭圆C :)(x f 称为椭圆C 的“亲和函数” ）
A ．23)(x x x f += B 5()15x f x n x -=+C ．x x x f cos sin )(+=D ．x x e e x f -+=)( 9.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该 几何体的体积为() A.233C. 4323 10.设123,,e e e →→→ 为单位向量，且31212 e e k e → → →=+，） （0>k ， 若以向量12,e e →→ 为两边的三角形的面积为 1 2 ，则k 的值为( ) A 2 B 35 D 7 11.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2 A －B 2cos B －sin(A －B )sin B ＋cos(A ＋C )＝－3 5 ,a ＝42，b ＝5，则向量BA →在BC → 方向上的投影为（） A ．22 B ．22- C ．53 D ．5 3 - 12．设函数3()(33),(2)x x f x e x x ae x x =-+--≥-，若不等式()f x ≤0有解．则实数a 的最小值为（） A ．21e - B ．22e - C ．2 12e +D ．11e - 二、填空题 13.设D 为ABC ?所在平面内一点，,,3→ →→→→+==AC n AB m AD CD BC 则m n -= . 14.设），（20πα∈，若,54)6cos( =+πα则=+)122sin(π α . 15.函数x x y cos 3sin 4--=的最大值为 . 16.设函数)0(,2)22 ()(23>-++=x x x m x x f ，若对于任意的[1,2]t ∈,函数)(x f 在区间(,3)t 上总不是 单调函数,则m 的取值范围是为 . 三、解答题： 17.（10分）已知幂函数2 422 )1()(+--=m m x m x f 在),0(+∞上单调递增，函数.2)(k x g x -=(1)求m 的 值；(2)当]2,1[∈x 时，记)(),(x g x f 的值域分别为B A ,，若A B A =?，求实数k 的取值范围． 18.（12分）已知)cos ),2cos(2(x x π + =,))2 sin(2,(cos π +=x x ,
河北省衡水中学2018高三第一次模拟理科数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设全集为实数集R ，{} 24M x x =>，{} 13N x x =<≤，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{}21x x -≤< B ．{}22x x -≤≤ C ．{}12x x <≤ D ．{}2x x < 2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“ a i a i +-为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2011 B ．2012 C ．4022 D ．4023 4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） ①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤； ④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。 A C ．③④⑤D ．④⑤ 5. 在长方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1相交于点 E ，则点E 为△A 1BC 1的（ ） A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 6.设y x ,满足约束条件?? ? ??≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则 22a b +的最小值是（ ） A ．613 B ． 365 C ．65 D ．3613 （ ） A ．16π B ．4π C ．8π D ．2π 8．已知函数()2sin()f x x =+ω?(0,)ω>-π