狭义相对论
狭义相对论基本原理：
1. 基本物理定律在所有惯性系中都保持相同形式的数学表达式，因此一切惯性系都是等价
的。
2. 在一切惯性系中，光在真空中的传播速率都等于c ，与光源的运动状态无关。
假设S 系和S ’系是两个相对作匀速运动的惯性坐标系，规定S ’系沿S 系的x 轴正方向以速度v 相对于S 系作匀速直线运动，x ’、y ’、z ’轴分别与x 、y 、z 轴平行，两惯性系原点重合时，原点处时钟都指示零点。
Ⅰ洛伦兹变换
现假设，x ’=k(x-vt)①，k 是比例系数，可保证变化是线性的，相应地，S ’系的坐标变换为S 系，有x=k(x ’+vt) ②，另有y ’=y ，z ’=z 。将①代入②：
x=k[k(x-vt)+vt ’] x=k^2*(x-vt)+kvt ’ t ’=kt+(1-k^2)x/kv 两原点重合时，有t=t ’=0，此时在共同原点发射一光脉冲，在S 系，x=ct ，在S ’系，x ’=ct ’，将两式代入①和②：
ct ’=k(c-v)t 得 ct ’=kct-kvt 即t ’=(kct-kvt)/c ct=k(c+v)t ’ 得 ct=kct ’+kvt ’ 两式联立消去t 和t ’
ct=k(kct-kvt)+kv(kct-kvt)/c ct=k^2ct-k^2vt+k^2vt-k^2v^2t/c c^2=k^2c^2-k^2v^2
k=
2
2
/11c
v -
将k 代入各式即为洛伦兹变换： x ’=2
2
/1c
v vt x --
y ’=y z ’=z t ’=
2
2
2/1/c
v c vx t --
或有
x=k(x ’+vt ’) x ’=k(x-vt) =k(1+v/c)x ’ =k(1-v/c)x 两式联立，
x ’=k(1-v/c)k(1+v/c)x ’ k=
2
2
/11c
v -
Ⅱ同时的相对性
S 中取A （x 1,y,z,t 1）和B （x 2,y,z,t 2），同时发出一光脉冲信号，即t 1=t 2，且x 1≠x 2。 在S 中，Δt=t 1-t 2=0 在S ’中，t 1’=
2
2
211/1/c
v c vx t -- t 2’=
2
2
222/1/c
v c vx t --，Δt ’=t 1’-t 2’=
2
2
2
12/1/)(c
v c v x x --，由于x 1≠
x 2，则S ’中，Δt ’≠0。
即在S 系中不同位置同时发生的两个事件，在S ’系中看来不是同时发生的。亦可说明时间和空间是相互联系的。
Ⅲ时间延缓效应（时钟变慢）
如Ⅱ中，对于S 系同时发生的两事件，在S ’系中出现了时间间隔，即时间膨胀或延缓。 设S ’系中的x 0’处先后在t 1’和t 2’发生两事件，则Δt ’=t 2’-t 1’。在S 系中，
Δt=t 2-t 1=
2
2
202/1/''c
v c vx t -+-
2
2201/1/''c
v c vx t -+=
2
2
/1t'c
v -?＞Δt ’
说明在S ’系中，两事件的时间间隔小于在S 系看来的间隔，即在S 系看来，S ’系中的时钟变慢了。（对于确定的两事件，时间间隔应相同，时间起点相同，S 中观察到的间隔要长一些，便认为是S ’系中的时钟变慢了。）
Ⅳ长度收缩效应（尺缩）
S ’系中放置一沿x 轴方向的长杆，设两端点的坐标是x 1’和x 2’，则静止长度ΔL ’=ΔL 0=x 2’-x 1’，称为固有长度。
在S 系中要测量长杆的长度，必须同时测出x 1和x 2，即t 1=t 2。由
x 1’=
2
2
11/1c
v vt x --和x 2’=
2
2
22/1c
v vt x --得ΔL 0=ΔL ’=x 2’-x 1’=
2
2
12/1c
v x x --=
2
2
/1c
v L -?则
ΔL=ΔL 022/1c v -＜ΔL 0即在S 系中观察运动的杆时，其长度比静止时缩短了。
Ⅴ速度变换法则
设一质点在两惯性系中的速度分量为 u x =dx/dt u y =dy/dt u z =dz/dt (S 系)
u x ’=dx ’/dt u y ’=dy ’/dt u z ’=dz ’/dt (S ’系) 由洛伦兹变换得 dx ’=
2
2
/1c
v vdt dx --
dy ’=dy dz ’=dz dt ’=
2
2
2/1/c
v c vdx dt --
前三式分别除以第四式得 u x ’=
2
/1c
vu v
u x x --
u y ’=
2
22/1/1c
vu c v u x y --
u z ’=2
22/1/1c
vu c v u x z -- 相应地有， u x =
2
/1'c vu v
u x x ++
u y =
2
22/1/1'c vu c v u x y +-
u z =2
22/1/1'c vu c v u x z +-
狭义相对论动力学 Ⅵ质速关系
设S 系中的x 0处有一静止粒子，因内力分裂为质量相等的A 、B 两部分，且分裂后m A
以速度v 沿x 轴正方向移动，m B 以速度-v 沿x 轴负方向移动。
则在S ’系看来m A 静止，即v A ’=0。而v B ’=
2/)(1c v v v v ----=2
2/12c v v
+-，则
v=-c^2/v B ’[1-2
2/'1c v B -]③。同时质心仍在x 0处未移动，有v 0’= -v 。由于动量守恒，（m A +m B ）=m A v A ’+m B v B ’，而v A ’=0，则
-v=m B v B ’/（m A +m B ）
m B /m A =-v/(v B ’+v)=v B ’/(v B ’+v)-1 将③代入上式
m B /m A =
1/'1''2
22
2
2
2
--+-c
v c
c v v B B B
=
2
22
2
2
2222/'1'/'1c
v c
c v c v c c B B B -+---
V
B
A
·m
V V S S ’
=
2
2
/'11c
v B -
得m B =
2
2
/'1c
v m B A -，在S 系中二者以相同的速度沿相反方向运动，而在S ’系中，m A
静止，可看做静质量（m 0）。m B 以速率v B ’运动，可视为运动质量，称相对论质量。则运动物体的质量与其静质量的一般关系即
m=
2
2
0/1c
v m -
Ⅶ相对论动力学基本方程 相对论动量p=mv=
2
2
0/1c v v m - （p 、v 均为矢量）
物体受力F=dp/dt=d 2
2
0/1c
v v m -/dt (F 、p 、v 均为矢量)
当v< 由Ⅶ知，F=dp/dt=d(mv)/dt=vdm/dt+mdv/dt 。另有dx=vdt 经典力学中，质点动能增量即合力做的功，应用的相对论中， E k =?Fdx =? +dx m dt dv v dt dm )( =?+)(2dm v mvdv ④ 对质速方程m=2 2 0/1c v m -求微分有 dm=dv c v m )'/1( 2 20-=dv c v c v m )'/1()'/11( 222 20-- = dv c v c v m 3 22 2 0) /1(- 将上式与 2 2 0/1c v m -代入④式， E k =? -+ -dv c v c v m c v v m )) /1(/1( 3 2 2 2 3 02 2 =? -+ --dv c v c v m c v c c v vc m )) /1() /1()/1(( 3 2 2 2 3 03 2 2 2 2220 =?-dv c v c v m c 3 222 02 ) /1( （dm 代入此式） =? dm c 2 =mc^2+C 其中C 为积分常量，知v=0时，m=m 0,E k =0，代入求得C= -m 0c^2。则 E k =mc^2-m 0c^2 =m 0c^2( 1/112 2 --c v )⑤ 当v< 2 2/11 c v -作泰勒展开，得 2 2 /11c v -=1+v^2/2c^2+3v^4/8c^4+…… 取前两项有E k =m 0c^2（1+v^2/2c^2-1）=m 0v^2/2，即经典力学动能表达式。 而⑤式可改写为mc^2=E k +m 0c^2，m 0c^2是物体静止时的能量，称物体的静能，而mc^2为物体的总能量。将总能量用E 表示，写作E=mc^2= 2 220/1c v c m -即相对论质能关系。 泰勒展开：根据泰勒公式的简单形式，即迈克劳林公式，有f(x)=f(0)+f ’(0)x+f ’’(0)x^2/2!+……+f n (0)x^n/n!。对于f(v)= 2 2 /11c v - f ’(v)=3222) /1(21 *2c v c v --- = 3 222) /1(c v c v - f ’’(v)=25222*)/1(23*2c v c v c v --- +3222) /1(1 c v c - = 5 2242 ) /1(3c v c v -+ 3 2 2 2 ) /1(1c v c - f 3 (v)= 4 2 7222*)/1(25*6c v c v c v ---+ 4 5 2 2 2* ) /1(23c v c v -+ 252221 *)/1(23*2c c v c v --- = 7 2 2 6 3 ) /1(15c v c v -+ 5 2 2 4 ) /1(9c v c v - f 4 (v)= 6 39222*)/1(2105*2c v c v c v ---+ 6 2 7223*) /1(215 c v c v -+ 47222*)/1(215*2c v c v c v --- +5224)/1(6c v c -+47222*)/1(215*2c v c v c v ---+5 224) /1(3 c v c - = 9 2 2 8 4 ) /1(105c v c v -+ 7 2262 ) /1(90c v c v -+ 5 224) /1(9c v c - 此处，f(v)=f(0)+f ’(0)v+f ’’(0)v^2/2!+f 3 (v)v^3/3!+f 4 (v)v^4/4!+…… =1+0+v^2/2c^2+0+3v^4/8c^4+…… =1+v^2/2c^2+3v^4/8c^4+…… Ⅸ能量-动量关系 将p=mv=2 20/1c v v m -中的v^2解出，得v^2=22022 2c m p c p +，代入质能方程，得 E= ) /(122 0222 0c m p p c m +-= 2 20222 020c m p c m c m +=2 202c m p c + 则E^2=p^2c^2+m 0^2c^4即相对论能量-动量关系。同时可知，对于静质量为零的粒子， 如光子，有E=pc ，则p=mc^2/c=mc ，与p=mv 比较可得，静止质量为零的粒子总以光速c 运动。 结合普朗克的理论，由E=mc^2=h ν可得到光子的相对论质量m=h ν/c^2。h 为普朗克常量，ν为光的频率。
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