高等数学第二章复习题
及答案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学习题集及解答
第二章
一、 填空题
1、设()f x 在x a =可导，则0()()
lim x f a x f a x x →+--=
。
2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3)
lim 2h f h f h →--=
。 3、设1
()x
f x e -=，则0
_____________(2)(2)
lim
h f h f h
→--=
。 4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2
x f x f x x x π
'=
=<<-，则0_______________________()f x =
。 5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy
dx =
。 6、()x f x xe =，则_______________
(ln 2)f '''=
。
7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________
a =
。
8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________
()f x '-=。
9、()(1)(2)
()f x x x x x n =+++，则_________________
(0)f '=
。
10、ln(13)x y -=+，则____________________
y '=。
11、设0()1f x '=-，则0
___________00lim
(2)()
x x
f x x f x x →=---。 12、设tan x y y +=，则_________________________
dy =。
13
、设ln
y =_______________(0)y '''=。 14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是
______________________
。
15、1cos
0()0
0x x f x x
x λ
?≠?=??=?，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是
_______________________
。
16、知曲线323y x a x b =-+与x 轴相切 ，则2b 可以通过a 表示为____________
。
二、 选择题。
17、设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（ ）。
A 充分了必要条件，
B 充分但非必要条件，
C 必要条件但非充分条件，
D 既非充分条件又非必要条件。
18、函数3221()3
1
x
x f x x
x ?≤?=??>?在1x =处 （ ）
A 左右导数均存在，
B 左导数存在，右导数不存在，
C 左导数不存在，右导数存在，
D 左右导数均不存在。 19、设周期函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，周期为4，又0
(1)(1)
lim
12x f f x x
→--=-，则曲线
()y f x =在点(5,(5))f 处的切线斜率为 （ ）
A
1
2
， B 0 ， C –10， D –2 。 20、设函数1
1cos (1)1()0a
x x f x ??
--=???
1
1
x x ≠= 则实常数a 当()f x 在1x =处可导时必满足（ ） A 1a <-； B 10x -≤<； C 01x ≤<； D 1a ≥
21、已知212
()2x x x ax b x ??->=?+≤? ，且(2)?'存在，则常数,a b 的值为 （ ）
A 2,1;a b ==
B 1,5;a b =-=
C 4,5;a b ==-
D 3, 3.a b ==- 22、函数()f x 在(,)-∞+∞上处处可导，且有(0)1f '=，此外，对任何的实数,x y 恒有
()()()2f x y f x f y xy +=++，那么()f x '=（ ）
A ;x e
B ;x
C 21x +；
D 1x +。
23、已知函数()f x 具有任何阶导数，且2()[()]f x f x '=，则当n 为大于2的正整数时，
()f x 的n 阶导数()()n f x 是 （ ）
A 1![()]n n f x +；
B 1[()]n n f x +；
C 2[()]n f x ；
D 2![()].n n f x 24、若函数()y f x =有01
()2
f x '=，则当0x ?→时，该函数在0x x =处的微分dy 是x ?的（ ）
A 等价无穷小；
B 同阶但不等价的无穷小；
C 低阶无穷小；
D 高阶无穷小。
25、设曲线1
y x
=
和2y x =在它们交点处两切线的夹角为?，则tan ?= （ ） A 1-； B 1; C 2； D 3 。
26、设由方程组2110y x t te y =-??++=? 确定了y 是x 的函数，则20
2
t d y
dx ==（ ）
A 21e ；
B 212e ；
C 1e -；
D 1
2e
- 。
一、 填空题的答案 1、2
)(a f ' 2、-1 ； 3、21
4
1-e ； 4、3 5、-1
6、6+2ln2
7、2
8、1
9、n! 10、-x
x --+3
13
ln 3 11、1 12、dx y dy 1sec 12-=
13、2
3
-
14、0=-y x 15、2>λ 16、 624a b =
二、选择题答案：
17、A 18、B 19、D 20、A 21、C 22、C 23、A 24、B 25、D 26、B 三、综合题：
27、求曲线cux y =上与直线1=+y x 垂直的切线方程。 剖析：求曲线的切线议程关键有垂点，一是求切点，二是求切线斜线。
解：设切点为)(00y x 则点).(00y x 处的切线斜度为
01|x x x y k =
='=
依题意知所求切线（）坐y x +1=垂直，从而11
=x 10=x 利切点为)01(、；切线（）为.1=k
故所求切线方程为10-=-x y 即：1-=x y 设x
e
x f 1)(-= 则21
04
1)2()2(lim
-
→-=--e tc f tc f t 9、如果)(x f 为偶函数，且)0(-f 存在 证明0)0(=-f 证明：因为)(x f 为偶函数，所以)()(x f x f =
-从而
)0(0
)
0()()(lim 0)0()(lim
)0(00
f x f x f x f x f x f f x x '-=---=-=--=→-→ ∴:0)0(2='f 故0)0(='f
28、讨函数
?????=≠=0
01sin 2
x x x
x y 在0=x 处方程连续性与可得
解：)0(1
sin lim lim 20
0y x
x y x x ==→→，所以函数y 在0=x 处连续 又01sin lim 1
sin
lim
)0(lim 020
0===--→→→x
x x x x x y y x x x 故函数y 在0=x 处可导、值0|
='=x y x
29、已知
???<-≥=0
)(2x x x x x f 求)0().0(-+''f f 及是否存在)0(2f '
解:
0lim 0
)0()(lim )0(2
00==--='++→→+x x x f x f f x x 1lim 0)0()(lim
)0(00
-=-=--='--
→→-x
x
x f x f f x x 故不存在)0(f ' 30、已知)(00
sin )(,
x f x x
x x x f '??
?≥<=求
解： x x f x cos )(.0='<时当
1
)(.0='>x f x 时当
11lim )(lim )0(0
=='='++→→+x x x f f
所以：1)0(1=f 从而
?
?
?≥<='010
cos )(x x x x f 31、证明：双曲线22a xy =上往一点处切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a 。
证明：设),(00y x 为双曲线2a xy =上的一点，则该点处切线的斜
率为,202x a k -=从而切线方程为)(00
2
02x x x a y y --=-
令
0=x 得y 轴上的截距为0
2
0202
x a x a y y =+=
令0=y 得x 轴上的截距为02x x =
从而 20
2
02|2.2|21|||21a x a x y x s ===
32、设x
e y x
1sin
1
tan
=求y '
解：)1
(sin 1sin )(1
tan 1tan
'+'='x
e x e
y x x