2018年 高三数学概率复习（2）
古典概型
【知识点】 若是从考查的内容来分析，集中考查一些常见的概率模型，如摸球模型、分配模型、取数模型，从题的难度来看，一般是中低档题，由于随机事件的概率与实际生活密切相关，在高考中自然受到重视．
基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等．
如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个
基本事件的概率都是1n ；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P(A)＝m
n ．
古典概型的概率公式
P(A)＝A 包含的基本事件的个数
基本事件的总数.
例1 袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．
(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？
【解析】 (1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法． 又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．
(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A ：“摸到白球”，B ：“摸到黑球”，C ：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为1
11
，而白球有5个．
故一次摸球摸到的白球的可能性为5
11，
同理可知摸到黑球、红球的可能性均为3
11，
显然这三个基本事件出现的可能性不相等，
所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型． 【答案】 (1)11种，是古典概型 (2)3个，不是古典概型
探究1 古典概型需满足两个条件：①对于每次随机试验来说，只可能出现有限个不同的试验结果；②对于所有不同的试验结果而言，它们出现的可能性是相等的．
思考题1 下列问题中是古典概型的是( ) A ．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B ．掷一颗质地不均匀的骰子，求出现1点的概率 C ．在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率 D ．同时掷两颗骰子，求向上的点数之和是5的概率
【解析】 A ，B 两项中的基本事件的发生不是等可能的；C 项中基本事件的个数是无限多个；D 项中基本事件的发生是等可能的，且是有限个．
【答案】 D
例2 (1)将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： ①两数之和为5的概率；
②两数中至少有一个奇数的概率．
【解析】 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件． ①记“两数之和为5”为事件A ，则事件A 中含有4个基本事件，所以P(A)＝436＝1
9.
∴两数之和为5的概率为1
9
.
②设“两数中至少有一个奇数”为事件B ，则事件B 中含有27个基本事件．所以P(B)＝2736＝34
. ∴两数中至少有一个奇数的概率为3
4
.
(2)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
①若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；
②若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．
【解析】 ①甲校两男教师分别用A ，B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E ，F 表示．
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)共9种．
从中选出两名教师性别相同的结果有：(A ，D)，(B ，D)，(C ，E)，(C ，F)共4种，选出的两名教师性别相同的概率为P ＝4
9
.
②从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)共15种，
从中选出两名教师来自同一学校的结果有：
(A ，B)，(A ，C)，(B ，C)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)共6种，选出的两名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝2
5
.
探究2 求古典概型的概率可分三步： (1)算出基本事件的总个数n.
(2)求出事件A 包含的基本事件个数m. (3)代入公式P(A)＝m
n
，求出P(A)．
思考题2 (1)(2015·广东文)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A ．0.4
B ．0.6
C ．0.8
D ．1
【解析】 设5件产品中合格品分别为A 1，A 2，A 3，2件次品分别为B 1，B 2，则从5件产品中任取2件的所有基本事件为A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2，共10个，其中恰有一件次品的所有基本事件为：A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，共6个．故所求概率为P ＝6
10
＝0.6.【答案】 B (2)(2014·广东理)从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．
【解析】 利用排列组合知识求出基本事件的总数和事件“七个数的中位数是6”包含的基本事件的个数，再利用古典概型的概率公式求解．
从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，基本事件共有C 107＝120(个)，记事件“七个数的中位数为6”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为C 63C 33＝20，故所求概率P(A)＝20120＝16
.
例3 (2013·辽宁卷改编)甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中
选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题．
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少 ? (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【思路】 这是一个古典概型的概率问题，关键是计算出公式中的m ，n ，然后直接应用公式
P(A)＝事件A 包含的基本事件数试验基本事件总数
＝m n 进行求解．
【解析】 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90种，即基本事件总数是90.
(1)记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数： 甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4＝24.
∴P(A)＝m n ＝2490＝4
15
.
(2)先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题．
记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 包含的基本事件数为4×3＝12.
∴由古典概型概率公式，得P(B)＝1290＝2
15.由对立事件的性质可得P(C)＝1－P(B)＝1－
215＝1315
. 【答案】 (1)415 (2)13
15
探究3 含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面求解比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质P(A)＝1－P(A －
)进一步求解．
思考题3 盒中装着标有数字1，2，3，4的卡片各2张，从盒中任意抽取3
张，每张卡片被抽出的可能性相等，求：
(1)抽出的3张卡片上最大的数字是4的概率； (2)抽出的3张中有2张卡片上的数字是3的概率； (3)抽出的3张卡片上的数字互不相同的概率．
【分析】 本题是等可能抽取，且与组合有关，可用等可能性事件的概率公式求解．
【解析】 (1)“抽出的3张卡片上最大的数字是4”的事件记为A ，由题意P(A)＝C 21C 62＋C 22C 61C 83＝9
14
.
(2)“抽出的3张中有2张卡片上的数字是3”的事件记为B ，则P(B)＝C 22C 61C 83＝328.
(3)“抽出的3张卡片数字互不相同”的事件记为C ，则P(C)＝C 43C 21C 21C 21C 83＝4
7.
【答案】 (1)914 (2)328 (3)4
7
例4 有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
(1)其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表.
的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
【解析】 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
123126个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手，从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为
由以上树状图知所有结果共有18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，
a 2
b 2共4种，
故所求概率P ＝418＝2
9.
【答案】 (1)3，9，9，3 (2)2
9
探究4 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决．
思考题4 (2015·山东文)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，3名女同学B 1，B 2，B 3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．
【解析】 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13
.
(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}， {A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}， {A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}， 共15个．
3．(2016·武汉调研)同时抛掷两颗均匀的骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率为( )
A.118
B.112
C.19
D.16
答案 C
解析 同时抛掷两颗骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(1，5)，(2，6)，(5，1)，(6，2)，共4种，故P(A)
＝436＝19
. 4．(2016·合肥二模)从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( )
A.13
B.512
C.12
D.712 答案 A
解析 设2名男生记为A 1，A 2，2名女生记为B 1，B 2，任意选择两个在星期六、星期日参加某公益活动，共有A 1A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，B 1B 2，A 2A 1，B 1A 1，B 2A 1，B 1A 2，B 2A 2，B 2B 1 12种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2 4种情况，则发生概率为P ＝412＝1
3，故选A.
【自主训练】
1．(2015·新课标全国Ⅰ文)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A.3
10 B.15 C.110 D.120
答案 C
解析 基本事件的总数为10，其中能构成一组勾股数的只有{3，4，5}，∴所求概率为110
，选C.
2．一枚硬币连掷2次，恰好出现1次正面的概率是( ) A.12 B.14 C.34 D ．0
答案 A
解析 列举出所有基本事件，找出“只有1次正面”包含的结果．一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)共4个，而只有1次出现正面的包括(正，反)，(反，正)2个，故其概率为24＝1
2
.
3．从1，2，…，9这9个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是
( )
A.59
B.49
C.1121
D.1021
答案 C
解析 基本事件总数为C 93，设抽取3个数，和为偶数为事件A ，则A 事件包括两类：抽取3个数全是偶数，或抽取3个数中2个奇数1个偶数，前者有C 43种，后者有C 41C 52种，所以A 中基本事件数为C 43
＋C 41
C 52
，所以符合要求的概率为C 43＋C 41C 52C 93＝11
21
.故选C.
4．(2015·广东理)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( ) A.5
21 B.10
21 C.1121 D ．1
答案 B
解析 由题意得基本事件的总数为C 152，恰有1个白球与1个红球的基本事件个数为C 101C 51，所以所求概率
P ＝C 101C 51C 152＝1021
.
5．(2016·衡水调研卷)一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，若他记得密码的最后一位是偶数，则他不超过2次就按对的概率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15
答案 C
解析 只按一次就按对的概率是1
5.按两次就按对的概率是4×15×4＝15，所以不超过2次就按对
的概率是15＋15＝2
5
，选C.
6．(2016·孝感二模)某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．若他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.15 答案 A
解析 已知2位女同学和2位男同学走出的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，
女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝1
2
.
7．(2016·甘肃模拟)投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数(m ＋ni)2为纯虚数的概率为( ) A.13 B.14 C.16 D.112
答案 C
解析 投掷两颗骰子共有36种结果，因为(m ＋ni)2＝m 2－n 2＋2mni ，所以要使复数(m ＋ni)2为纯虚数，则有m 2－n 2＝0，即m ＝n ，共有6种结果，所以复数为纯虚数的概率为
6
36＝1
6
，故选C. 8．(2016·广西南宁测试)某高校要从6名短跑运动员中选出4人参加全省大学生运动会中的4×100 m 接力赛，其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则甲跑第二棒的概率为( ) A.415 B.215 C.421 D.15 答案 C
解析 从6名短跑运动员中任选4人参加4×100 m 接力赛，其中甲不跑第一棒且乙不跑第四棒的方法共有A 64－2A 53＋A 42＝252种，在这252种方法中甲跑第二棒的方法共有C 41·A 42＝48种，因此所求的概率为48252＝4
21
，故选C.
9．(2016·云南统考)在1，2，3，4，5，6，7，8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为( ) A.956 B.9
28 C.914 D.59 答案 B
解析 分析可知，要满足题意，则抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P ＝C 42·C 32C 85＝9
28
.
10．(2016·惠州调研)设A ，B 两名学生均从两位数学教师和两位英语教师中选择一位教师给自己来补课，若A ，B 不选同一位教师，则学生A 选择数学教师，学生B 选择英语教师的概率为( )
A.13
B.512
C.12
D.712
答案 A
解析 设两位数学教师用1，2表示，两位英语教师用3，4表示，不妨让A 先选，B 后选(不重复)，则他们所有的选择结果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，共12种情况，其中学生A 选择数学教师，学生B 选择英语教师(数学在前，英语在后)的结果有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，共4种情况，所以所求概率P ＝1
3
.
11．从集合{a ，b ，c ，d ，e}的所有子集中任取一个，则该子集恰是集合{a ，b ，c}的子集的概率是________． 答案 14
12．(2014·新课标全国Ⅱ文)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________． 答案 13
解析 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为P ＝39＝1
3
.
13．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________． 答案 59
解析 对立事件为：两次抽的卡片号码中都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽了卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－49＝5
9
.
14．如图所示是某市2016年2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．
(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；
(2)求此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率． 答案 (1)16 (2)2
3
解析 (1)在2月1日至今2月12日这12天中，只有5日，8日共2天的空气质量优良，所以此人到达当时空气质量优良的概率P ＝212＝1
6
.
(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间至多有1天空气重度污染”，即“此人到达该市停留期间0天空气重度污染或仅有1天空气重度污染”．
“此人在该市停留期间0天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或8日或9日”，其概率为312＝1
4
.
“此人在该市停留期间仅有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是3日或5日或6日或7日或10日”，其概率为5
12
.
所以此人停留期间至多有1天空气重度污染的概率为P ＝14＋512＝2
3
.
15．(2015·天津文)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛． (1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, 现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有可能的结果；
②设A 为事件“编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率．
答案 (1)3，1，2 (2)①略 ②35
解析 (1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3，1，2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．
②编号为A 5和A 6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共9种．
因此，事件A 发生的概率P(A)＝915＝3
5
.
16．(2015·安徽文)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100)．
(1)求频率分布直方图中a 的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率． 答案 (1)0.006 (2)0.4 (3)110
解析 (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022＋0.022＋0.028)×10＝1，所以a ＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，
所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4.
(3)受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B 1，B 2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B 1，B 2}，故所求的概率为110
.
1．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是( )
A.4
5
B.35
C.25
D.15
答案 D
解析 基本事件的个数有5×3＝15，其中满足b>a 的有3种，所以b>a 的概率为315＝1
5.
2．从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于( ) A.110 B.18 C.16 D.15
答案 D
解析 在正六边形中，6个顶点选取4个，种数为15.选取的4点能构成矩形的，只有对边的4个顶点(例如AB 与DE)，共有3种，∴所求概率为315＝1
5
.
3．甲乙两人一起去某地旅游，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A.136 B.1
9 C.536 D.16
答案 D
解析 甲乙两人任选4个景点共有方法A 64A 64种，而最后一小时他们在同一个景点的情况有C 61
A 53
A 53
种，所求概率为P ＝C 61A 53A 53A 64A 64＝1
6
，故选D.
4．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29 D.19
答案 D
解析 由个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数分别为一奇一偶．若个位数为奇数时，这样的两位数共有C 51C 41＝20个；若个位数为偶数时，这样的两位数共有C 51C 51＝25个；于是，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20＋25＝45个．其中，个位数是0的有C 51×1＝5个．于是，所求概率为545＝1
9
.
5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，若每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34
答案 A
解析 由题意得，甲、乙两位同学参加小组的所有可能的情况共3×3＝9种．又两位同学参加同一个兴趣小组的种数为3，故概率为39＝1
3
.
6．一袋中装有大小相同，编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号和不小于15的概率为( ) A.132 B.164 C.332 D.364 答案 D
解析 基本事件为(1，1)，(1，2)，…，(1，8)，(2，1)，(2，2)，…，(8，8)，共64种．两球编号之和不小于15的情况有三种，分别为(7，8)，(8，7)，(8，8)，∴所求概率为3
64.
7．袋中有2个白球，2个黑球，若从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是( ) A.34 B.56 C.16 D.13 答案 B
解析 该试验中会出现(白1，白2)，(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共6种等可能的结果，事件“至少摸出1个黑球”所含有的基本事件为(白1，黑1)，(白1，黑2)，(白2，黑1)，(白2，黑2)和(黑1，黑2)共5种，据古典概型概率公式，得事件“至少摸出1个黑球”的概率是5
6
.
8．(2016·合肥调研)我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一排，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”，则事件A 发生的概率为( ) A.16 B.112 C.512 D.124 答案 B
解析 由题意知，五种不同属性的物质任意排成一列有A 55＝120种排法，事件A 表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”可看作五个位置排列五个元素，第一位置有五种排列方法，不妨假设是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，有两种选择，不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数为5×2×1×1×1＝10，所以事件A 发生的概率为P(A)＝10120＝1
12，故选B.
9．(2016·洛阳统考)安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为
( )
A.115
B.15
C.14
D.12
答案 B
解析 由题意分析可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第1～3天，第2～4天，第3～5天，第4～6天，共四种情况，∴所求概率P ＝4·A 33C 63·A 33＝1
5
. 10．(2013·江苏)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n(m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为________． 答案
20
63
解析 从正整数m ，n(m ≤7，n ≤9)中任取两数的所有可能结果有C 71C 91＝63个，其中m ，n 都取奇数的结果有C 41C 51＝20个，故所求概率为20
63
.
11．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于________． 答案 35
解析 从5个小球中任选两个小球的方法数为C 52＝10，其中不同色的方法数为C 31C 21＝6，所以所求概率为P ＝610＝3
5
.
12．高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有2名男生，2名女生，第二组有3名男生，2名女生．现在班主任老师要从第一组选2人，从第二组选出1人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得． (1)求选出的3人均是男生的概率； (2)求选出的3人中有男生也有女生的概率．
解析 (1)记第一组的4人分别为A 1，A 2，a 1，a 2；第二组的5人分别为B 1，B 2，B 3，b 1，b 2.设“从第一组选出2人，从第二组选出1人”组成的基本事件空间为Ω，则Ω＝{(A 1，
A 2，
B 1)，(A 1，A 2，B 2)，(A 1，A 2，B 3)，(A 1，A 2，b 1)，(A 1，A 2，b 2)，(A 1，a 2，B 1)，(A 1，a 2，B 2)，(A 1，a 2，B 3)，(A 1，a 1，b 1)，(A 1，a 2，b 2)，(A 1，a 2，B 1)，(A 1，a 2，B 2)，(A 1，a 2，B 3)，(A 1，a 2，b 1)，(A 1，a 2，b 2)，(A 2，a 1，B 1)，(A 2，a 1，B 2)，(A 2，a 1，B 3)，(A 2，a 1，b 1)，(A 2，a 1，b 2)，(A 2，a 2，B 1)，(A 2，a 2，B 2)，(A 2，a 2，B 3)，(A 2，a 2，b 1)，(A 2，a 2，b 2)，(a 1，a 2，B 1)，(a 1，a 2，B 2)，(a 1，a 2，B 3)，(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)}，共有30个． 设“选出的3人均是男生”为事件A ，则事件A 含有3个基本事件． ∴P(A)＝330＝110，∴选出的3人均是男生的概率为1
10
.
(2)设“选出的3个人有男生也有女生”为事件B ，则事件B 含有25个基本事件，∴P(B)＝2530＝56，∴选出的3人中有男生也有女生的概率为56
. 13．甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球，2个红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢． (1)求游戏Ⅰ中甲赢的概率；
(2)求游戏Ⅱ中乙赢的概率，并比较这两种游戏哪种游戏更公平，试说明理由．
解析 (1)∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球的基本事件有5×5＝25(个)，其中甲赢有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，3)，(3，5)，(5，5)，(3，1)，(5，1)，(5，3)，(2，2)，(2，4)，(4，4)，(4，2)，共13个基本事件， ∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为P ＝1325
.
(2)设4个白球为a ，b ，c ，d ，2个红球为A ，B ，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球基本事件有6×6＝36(个)，其中乙赢有(a ，A)，(b ，A)，(c ，A)，(d ，A)，(a ，B)，(b ，B)，(c ，B)，(d ，B)，(A ，a)，(A ，b)，(A ，c)，(A ，d)，(B ，a)，(B ，b)，(B ，c)，(B ，d)，共16个基本事件，∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为P ′＝1630＝8
15.
∵|1325－12|<|815－1
2|，∴游戏Ⅰ更公平．
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
高三数学第二轮专题复习：概率与统计 高考要求 概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容要充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法 重难点归纳 本章内容分为概率初步和随机变量两部分第一部分包括等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验第二部分包括随机变量、离散型随机变量的期望与方差 涉及的思维方法观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化主要思维形式有逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维 典型题例示范讲解 例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下 ［10，15］4 ［30，35)9 ［15，20)5 ［35，40)8 ［20，25)10 ［40，45)3 ［25，30)11 (1)列出样本的频率分布表(含累积频率)； (2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图 命题意图本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法
知识依托频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法 错解分析解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区别 技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系 解 (1)由所给数据，计算得如下频率分布表 数据段频数频率累积频率 ［10,15) 4 0.08 0.08 ［15,20) 5 0.10 0.18 ［20,25)10 0.20 0.38 ［25,30)11 0.22 0.60 ［30,35)9 0.18 0.78 ［35,40)8 0.16 0.94 ［40,45) 3 0.06 1 总计50 1 (2)频率分布直方图与累积频率分布图如下
南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题 (总分160分，考试时间120分钟) 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 参考公式： 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的 指定位置上） 1．已知集合{}|(4)0A x x x =-<，{}0,1,5B =，则A B =I ▲ ． 2．设复数(,z a i a R i =+∈为虚数单位），若(1)i z +?为纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ▲ ． 4．执行如图所示的伪代码，若0x =，则输出的y 的值为 ▲ ． 5．口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ ． 6．若抛物线2 2y px =的焦点与双曲线22 145 x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ． 7．设函数1 x x y e a e =+-的值域为A ，若[0,)A ?+∞，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知锐角,αβ满足()()tan 1tan 12αβ--=，则αβ+的值为 ▲ ． 9．若函数sin y x ω=在区间[0,2]π上单调递增，则实数ω的取值范围是 ▲ ． 时间(单位:分钟) 频率 组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a 0.020 0.010 0.005 第3题图 Read x If 0x > Then ln y x ← Else x y e ← End If Print y 第4题图
2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2） 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1． 12i 12i + = - A． 43 i 55 --B． 43 i 55 -+C． 34 i 55 --D． 34 i 55 -+ 2．已知集合() {} 223 A x y x y x y =+∈∈ Z Z ，≤，，，则A中元素的个数为 A．9 B．8 C．5 D．4 3．函数()2 e e x x f x x - - =的图像大致为 4．已知向量a，b满足||1 = a，1 ?=- a b，则(2) ?-= a a b A．4 B．3 C．2 D．0 5．双曲线 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>3 A．2 y x =B．3 y x =C． 2 y=D． 3 y= 6．在ABC △中， 5 cos 2 C 1 BC=，5 AC=，则AB= A．2B30C29 D．25 7．为计算 11111 1 23499100 S=-+-++- …，设计了右侧的程序框图，则在空白 框中应填入 A．1 i i=+ B．2 i i=+ C．3 i i=+ D．4 i i=+ 8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723 =+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 开始 0,0 N T == S N T =- S 输出 1 i= 100 i< 1 N N i =+ 1 1 T T i =+ + 结束 是否
1（2018金山二模）. 函数3sin(2)3 y x π =+的最小正周期T = 3（2018虹口二模）. 已知(0,)απ∈，3cos 5 α=-，则tan()4 π α+= 3（2018青浦二模）. 若1 sin 3α= ，则cos()2 πα-= 4（2018黄浦二模）. 已知ABC ?的三内角A B C 、、所对的边长分别为a b c 、、，若 2222sin a b c bc A =+-，则内角A 的大小是 4（2018宝山二模）. 函数()2sin 4cos4f x x x =的最小正周期为 5（2018奉贤二模）. 已知△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 所对的边. 若 222b c a +-=， 则A ∠= 5（2018普陀二模）. 在锐角三角形ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若 222()tan b c a A bc +-=，则角A 的大小为 7（2018静安二模）. 方程cos2x =的解集为 7（2018黄浦二模）. 已知函数2sin cos 2()1 cos x x f x x -= ，则函数()f x 的单调递增区间是 7（2018徐汇二模）. 函数2 (sin cos )1 ()1 1 x x f x +-= 的最小正周期是 8（2018浦东二模）. 函数2 ()cos 2f x x x =，x ∈R 的单调递增区间为 9（2018杨浦二模）. 若3 sin()cos cos()sin 5 x y x x y x ---=，则tan2y 的值为 11（2018杨浦二模）. 在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，2a =， 2sin sin A C =. 若B 为钝角，1 cos24 C =-，则ABC ?的面积为 12（2018虹口二模）. 函数()sin f x x =，对于123n x x x x <<
第11章第1讲 时间：60分钟 满分：100分 一、选择题(8×5＝40分) 1．(2018·广东广州1月)下列说法： ①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小； ②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率m n 就 是事件的概率； ③百分率是频率，但不是概率； ④频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值； ⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值． 其中正确的是 ( ) A ．①②③④ B ．①④⑤ C ．①②③④⑤ D ．②③ 答案：B 解析：由概率的相关定义知①④⑤正确． 2．在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球个数的概率为 ( ) A.38 B.37 C.27 D.928 答案：C 解析：白球个数多于黑球个数，则白球取3个或2个，故概率为C 33＋C 23C 15C 38 ＝27，故选C. 3．福娃是2018年北京第二十九届奥运会的吉祥物，每组福娃都由“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两人随机地从一组福娃中选取一个留作纪念，按甲先选乙再选的顺序不放回的选择，则在他俩选择的福娃中“贝贝”和“晶晶”一只也没有被选中的概率是 ( ) A.110 B.35 C.310 D.25 答案：C 解析：依题意知，甲、乙两人谁先选，选哪一只都是等可能的，
甲先选乙后选的总方法有5×4种，而都没有选到“贝贝”和“晶 晶”的方法有3×2＝6种，所以所求概率为65×4＝310 . 4．(2018·河南实验中学3月)有6个座位连成一排，三人就座，恰有两人空位相邻的概率是 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45 答案：C 解析：有6个座位连成一排，三人就座，共有A 36种坐法，有三 个空位，在三个人的4个空隙中选两个安排1个空位和两个相邻空位， 则恰有两个空位相邻的坐法有A 33A 24，故所求概率是35，故选C. 5．六个运动员站在六条跑道上准备参加比赛，其中甲不站在一、二跑道，乙站在五或六跑道的概率为 ( ) A.15 B.110 C.115 D.31240 答案：A 解析：这是一个等可能概率问题，乙有C 12种选择，甲有C 13种选 择，其余4人有A 44种选择，而6人没有任何限制的选择有A 66种，所 以概率为C 12C 13A 44A 66 ＝15.故选A. 6．(2018·福建，8)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( ) A ．035 B ．0.25 C ．0.20 D ．0.15 答案：B 解析：∵20组随机数中恰有2个大于等于1且小于等于4的共 有191、271、932、812、393五组，∴其概率为520＝0.25.故选B.
2018年高考数学试卷（文科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）设全集U={x∈R|x＞0}，函数f（x）=的定义域为A，则?U A为（）A．（0，e] B．（0，e） C．（e，+∞）D．[e，+∞） 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 3．（5分）已知A（1，﹣2），B（4，2），则与反方向的单位向量为（）A．（﹣，）B．（，﹣）C．（﹣，﹣）D．（，） 4．（5分）若m=0.52，n=20.5，p=log20.5，则（） A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m 5．（5分）执行如图所示的程序框图，输出n的值为（） A．19 B．20 C．21 D．22 6．（5分）已知p：x≥k，q：（x﹣1）（x+2）＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞） C．（1，+∞）D．[1，+∞） 7．（5分）一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051～125之间抽得的编号为（） A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106 8．（5分）若直线x=π和x=π是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）图象的两条相邻对称轴，则φ的一个可能取值为（） A．B．C．D．
9．（5分）如果实数x，y满足约束条件，则z=的最大值为（）A．B．C．2 D．3 10．（5分）函数f（x）=的图象与函数g（x）=log2（x+a）（a∈R）的图象恰有一个交点，则实数a的取值范围是（） A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣ 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．（5分）已知直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，则经过O、A、B 三点的圆的标准方程为． 12．（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为． 13．（5分）在[0，a]（a＞0）上随机抽取一个实数x，若x满足＜0的概率为，则实数a 的值为． 14．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上的一点M（1，t）（t＞0）到焦点的距离为5，双曲线﹣=1（a＞0）的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为． 15．（5分）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）=2x，若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，则实数a的取值范围是． 三、解答题（共6小题，满分75分） 16．（12分）已知向量=（sinx，﹣1），=（cosx，），函数f（x）=（+）?． （1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，在△ABC中，角A，B，
2018年高职高考数学模拟试题一 数 学 本试卷共4页，24小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形 码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共15题，每小题5分，共75分） 1. 设集合{}2,0,1M =-，{}1,0,2N =-,则=M N I ( ). A.{}0 B. {}1 C. {}0,1,2 D. {}1,0,1,2- 2．设x 是实数，则 “0>x ”是“0||>x ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．若sin 0α<且tan 0α>是，则α是（ ） A ．第一象限角 B ． 第二象限角 C ． 第三象限角 D ． 第四象限角
4．函数21 )1lg(-+-=x x y 的定义域为（ ） A ． B. C. D. 5．已知点)33,1(),3,1(-B A ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A ．3π B ．6 π C ．32π D ． 65π 6．双曲线22 1102 x y -=的焦距为（ ） A ． B ． C ． D ． 7．设函数()???≤+->=0 , 10 ,x log 2x x x x f ，则()[]=1f f （ ） A ．5 B ．1 C ．2 D ．2- 8．在等差数列{n a }中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 9．已知过点),2(m A -和)4,(m B 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A ．0 B ．－8 C ． 2 D ． 10 10. 函数x x cos sin 4y =是 （ ） (A) 周期为π2的奇函数 (B)周期为π2的偶函数 (C) 周期为π的奇函数 (D) 周期为π的偶函数 11、设向量a ρ=(2,-1), b ρ=(x,3)且a ρ⊥b ρ则x=（ ） A. 21 B.3 C. 2 3 D.-2 12. 某公司有员工150人，其中50岁以上的有15人，35~49岁的有45人，不到35岁的有90人.为了调查 员工的身体健康状况，采用分层抽样方法从中抽取30名员工，则各年龄段人数分别为（ ） （A ）5,10,15 (B) 5,9,16 (C)3,9,18 (D) 3,10,17 13．已知01a << ，log log a a x =1log 52 a y = ，log log a a z =- ） A ．x y z >> B ．z y x >> C ．y x z >> D ．z x y >> 14. 过点P(1,2)且与直线013=+-y x 垂直的直线是（ ） }2|{≤x x }12|{≠≤x x x 且}2|{>x x } 12|{≠-≥x x x 且
第十三章概率与统计本章知识结构图
第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.
()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果； （2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。 分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。 解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 （2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的
海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科） 2018.1 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）复数12i i += A. 2i - B. 2i + C. 2i -- D. 2i -+ （2 ）在极坐标系中Ox ，方程2sin ρθ=表示的圆为 （3（4A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 （5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ?为正三角形，则实数m 的值为 A. B. C. 或 D. （6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个 小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为 A. 15 B. 25 C. 35 D. 45 （7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ①三棱锥的体积为1 6 ②三棱锥的四个面全是直角三角形
③三棱锥的四个面的面积最大的是2 所有正确的说法是 A. ① B. ①② C. ②③ D. ①③ （8）已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p = 的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M 在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 A.使得MFK ?为等腰三角形的点M 有且仅有4个 B.使得MFK ?为直角三角形的点M 有且仅有4个 C. 使得4MKF π ∠=的点M 有且仅有4个 D. 使得6 MKF π ∠=的点M 有且仅有4个 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）点(2,0)到双曲线2 214 x y -=的渐近线的距离是 . （10）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 . （11）设抛物线2:4C y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直 线和抛物线C 交于,A B 两点，则OA OB += . （12）已知(51)n x -的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n = . （13）已知正方体1111ABCD A BC D - 的棱长为点M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11AC 上，若 1PM =，则PQ 长度的最小值为 .
2018年高考数学理科试卷（江苏卷） 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．． ． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ．
6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．已知函数()??? ??<<-+=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值 是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条 渐近线的距离为 c 2 3 ，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()()15f f 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上 的最大值与最小值的和为 ．
哈师大附中2018年高三第三次模拟考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上. 2回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. A.B.C.D. 第I 卷(选择题共60分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合??? ???≤-+011x x x A ，B={0，1，2，3}，则A∩B=( ) A.{-1，0，1} B.{0，1} C.{-1，0} D.{0} 2.已知复数()i i z +-=2212，则复数z 的模为( ) A.5 B.5 C. 10 3 D.25 3.在2018年初的高中教师信息技术培训中，经统计，哈尔滨市高中教师的培训成绩X ～ N(85，9)，若已知P(80 11 12 13 3 5 7 2 2 4 6 9 1 5 5 7 图1 统计与概率专题 一、知识点 1、随机抽样：系统抽样、简单随机抽样、分层抽样 1、用简单随机抽样从100名学生（男生25人）中抽选20人进行评教，某男生被抽到的概率是( ) A ． 1001 B ．251 C ．5 1 D ． 5 1 2、为了解1200名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为( ) A ．40 B ．30 C ．20 D ．12 3、某单位有职工160人，其中业务员有104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，现用分层抽样法从中抽取一容量为20的样本，则抽取管理人员( ) A ．3人 B ．4人 C ．7人 D ．12人 2、古典概型与几何概型 1、一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率是( ) A ．83 B ．32 C ．31 D ．4 1 2、如图所示，在正方形区域任意投掷一枚钉子，假设区域内每一点被投中的可能性相等，那么钉子投进阴影区域的概率为____________． 3、线性回归方程 用最小二乘法求线性回归方程系数公式1 2 211 ???n i i i n i x y nx y b a y bx x nx ==-==--∑∑，． 二、巩固练习 1、随机抽取某中学12位高三同学，调查他们春节期间购书费用（单位：元），获得数据的茎叶图如图1， 这12位同学购书的平均费用是（ ） A.125元 B.5.125元 C.126元 D.5.126元 2、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，时速在[50,60) 的汽车大约有（ ） A .30辆 B . 40辆 C .60辆 D .80辆 3、某校有高级教师26人，中级教师104人，其他教师若干人．为了了解该校教师 的工资收入情况，若按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查，已知从其 他教师中共抽取了16人，则该校共有教师 ______人． 4、执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ． 0.04 0.030.020.01频率 组距时速8070605040开始 10n S ==， S p 高三数学连堂练习 第二轮专题(一)(函数、不等式、导数)训练 一、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上 1.设()y f x = 的图象如右图所示， 则反函数1()f x -= ． 2.若函数2()f x x bx c =++对任意实数t ，都有(2)(2)f t f t +=-, 则(0),(2),(3)f f f 从小到大排列是______________. 3.已知函数ax x x f +-=3)(在区间(1,1)-上是增函数, 则实数a 的取值范围是___________. 4.]1,0[,2)34()(∈-+-=x a b x a x f ，若0()2f x ≤≤恒成立， 则a 的取值范围为_____． 二、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 5. (本小题满分12分)求函数x x x f ln )(2-=的单调区间. 6. (本小题满分12分)已知函数()3x f x k =+(k 为常数),(2,2)A k -是函数1 ()y f x -=图象上的 点, (Ⅰ)求实数k 的值; (Ⅱ)函数1 ()y f x -=的解析式；(Ⅲ)将1 ()y f x -=的图象按向量(3,0)a = 平移，得到函数y =g(x )的图象,若12(3)()f x g x --≥1恒成立，试求实数m 的取值范围. 7. (本小题满分14分)已知：定义在R 上的函数)(x f 为奇函数, 且在),0[+∞上是增函数. (Ⅰ)求证：)(x f 在)0,(-∞上也是增函数； (Ⅱ)求对任意R ∈θ,使不等式0)sin 2()32(cos >-+-θθm f f 恒成立的实数m 的取值范围. 8. (本小题满分14分)如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花园AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，|AB |＝3米，|AD |＝2米， (I )要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则AN 的长应在什么范围内？ (II ) 若AN 的长度不少于6米，则当AM 、AN 的长度是多少时，矩形AMPN 的面积最小？并求出最小面积． 2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{} 10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B { }1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 252()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 222x y -+=上，则ABP ?面积的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C 2,32?? .D 22,32?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ） 8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A 123 .B 183 .C 243 .D 543 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若16PF OP =，则C 的离心率为 （ ） .A 5 .B 2 .C 3 .D 2 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0ab a b <+< .C 0a b ab +<< .D 0ab a b <<+ 2016年高考模拟试卷04 文科数学 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。第I 卷1至2页。第II 卷3至4页。考试结束后，将本草纲目试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无交通工效．．．．．．．．．．．．。 3.第I 卷共12小题，第小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 第I 卷 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合{}1,0,1M =-和{}0,1,2,3N =的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部 分所示的集合是（ ） A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}1,2,3- D ．{}1,0,1,2,3- 2. 命题“存在实数x ，使2280x x +-=”的否定是（ ） A ．对任意实数x , 都有2280x x +-= B ．不存在实数x ，使2280x x +-≠ C ．对任意实数x , 都有2280x x +-≠ D ．存在实数x ，使2280x x +-≠ 3. 若复数 1i 1 2i 2 b +=+（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2- B ．1 2 - C ．12 D ．2 4. 已知平面向量(1,2)AB =，(2,)AC y =，且0AB AC ?=，则23AB AC +=（ ） A ．(8,1) B ．(8,7) C ．()8,8- D ．()16,8 图1 达濠侨中高三数学（文科）第二轮复习题 概率与统计 一 选择题 1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( ) A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着 B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效 C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 2.为了解某社区居民的家庭收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A ．11.4万元 B ．11.8万元 C ．12.0万元 D ．12.2万元 3.一个频数分布表(样本容量为30)不小心被损坏了一部分，若样本中数据在[20,60)上的频率为0.8，则估计样本在[40,50)，[50,60)内的数据个数共为( ) A ．15 B ．16 C ．17 D ．19 4. 【2015高考新课标文】如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ） （A ） 310 （B ）15 （C ）110 （D ）1 20 5． 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ） A ．3142π+ B ． 112π+ C ．1142π- D ． 112π - 6.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1～50号，并按编号顺序平均分成10组（1～5号，6～10号，…，46～50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是（ ） A ．23 B ．33 C ．43 D ．53 7.在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等 2018年高三第一次模拟考试仿真卷 文科数学（B ） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．[2018·石家庄质检]已知命题，，则是成立的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．既不充分有不必要 D ．充要 2．[2018·黄山一模] 已知复数，，，是虚数单位，若是实数，则（ ） A ． B ． C ． D ． 3．[2018·长春一模]下列函数中既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．[2018·天一大联考]已知变量，之间满足线性相关关系，且，之间的相关数据如下表所示： 则（ ） A ．0.8 B ．1.8 C ．0.6 D ．1.6 5．[2018·乌鲁木齐一模 ]若变量，满足约束条件，则的最大值 是（ ） A ．0 B ． 2 C ．5 D ．6 6． [2018·常德期末]已知等差数列的公差和首项都不为，且成等比数列，则 （ ） A ． B ． C ． D ． 7．[2018·宁德一模]我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？” 意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次 娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（ ） A ． B ． C ． D ． 8．[2018·福州质检 ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ） A ． B ． C ． D ． 9．[2018·汕头期末] ） A ． B ． :12p x -<<2:log 1q x
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