2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析
一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1) 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是
(A) 1x
e
-. (B) 1ln
1x x
+-
. (C)
11x +
-. (D) 1cos x -. [ B ]
【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.
【详解】 当0x +→时，有1(1)~x
x
e
e
x -=---；111~
2
x x +-；
2
111cos
~
().2
2
x x x -=
利用排除法知应选(B).
(2) 曲线1ln(1)x
y e x
=
++，渐近线的条数为
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为0
1lim[
ln(1)]x
x e x
→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；
又 1lim [
ln(1)]0x
x e x
→-∞
++=，所以y=0为水平渐近线；
进一步，2
1ln(1)
ln(1)
lim
lim [
]lim
x
x
x x x y e e x
x
x
x
→+∞
→+∞
→+∞
++=+
==lim
11x x
x e
e
→+∞
=+，
1
l i m [1]l i m [l n (1)]x x x y x
e x x
→+∞
→+∞-?=++-=lim [ln(1)]x
x e x →+∞+-
=lim [ln (1)]lim ln(1)0x
x
x
x x e e x e --→+∞
→+∞
+-=+=，
于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).
(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0
()().
x F x f t dt =?
则下列结论正确的是
(A) 3(3)(2)4
F F =--. (B) 5(3)(2)4
F F =
. (C) )2(4
3)3(F F =
-. (D) )2(4
5)3(--
=-F F . [ C ]
【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】 根据定积分的几何意义，知F (2)为半径是1的半圆面积：1(2)2
F π=
，
F (3)是两个半圆面积之差：2
21
13(3)[1()]228F πππ=
?-?==3(2)4
F ， ?
?
---==
-0
3
30
)()()3(dx x f dx x f F )3()(30
F dx x f ==
?
因此应选(C).
(4) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是 (A) 若0
()lim x f x x
→存在，则f (0)=0. (B) 若0
()()lim x f x f x x
→+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim
x f x x
→存在，则(0)f '存在. (D) 若0
()()
lim
x f x f x x
→--存在，则(0)f '存在
[ D ]
【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f (0)=0. 若0
()lim
x f x x
→存在，则0
()(0)
()(0)0,(0)lim
lim
00
x x f x f f x f f x x
→→-'====-，可见(C)也正确，
故应选(D). 事实上，可举反例：()f x x =在x =0处连续，且
()()
lim
x f x f x x
→--=0
lim
0x x x x
→--=存在，但()f x x =在x =0处不可导。
(5) 设函数f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0.f x ''> 令),,2,1)(( ==n n f u n , 则下列结论正确的是
(A) 若12u u >，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u >，则{}n u 必发散.
(C) 若12u u <，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u <，则{}n u 必发散. [ D ]
【分析】 可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。
【详解】 设f (x )=2
x , 则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''><，但
2
{}{}n u n =发散，排除(C); 设f (x )=
1x
, 则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且
12()0,f x u u ''>>，但1
{}{}n u n
=收敛，排除(B); 又若设()ln f x x =-，则f (x )在(0,)+∞上
具有二阶导数，且12()0,f x u u ''>>，但{}{ln }n u n =-发散，排除(A). 故应选(D).
(6) 设曲线:(,)1((,)L f x y f x y =具有一阶连续偏导数)，过第II 象限内的点M 和第IV 象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是
(A) (,)T
f x y dx ?. (B) (,)T
f x y dy ?
.
(C)
(,)T
f x y ds ?
. (D)
(,)(,)x y T
f x y dx f x y dy ''+?
. [ B ]
【分析】 直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选项。
【详解】 设M 、N 点的坐标分别为11221212(,),(,),,M x y N x y x x y y <>. 先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：
21(,)0T
T
f x y dx dx x x ==->??; 21(,)0T
T
f x y dy dy y y =
=-
?
;
(,)0T T
f x y ds ds s =
=>?
?
;
(,)(,)(,)0x y T
T
f x y dx f x y dy df x y ''+=
=?
?
.
故正确选项为(B).
(7) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是
(A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.
(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. [ A ]
【详解】用定义进行判定:令
0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，
得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x . 因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=??
-+=??-+=?
又 01
1
011
101
=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的. (8) 设矩阵?????
?
?------=21
1121
112
A , ???
?
?
?
?=00
0010
001B , 则A 与B (A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .
(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ]
【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.
又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(B) .
(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为p (0
(A) 2
)1(3p p -． (B) 2
)1(6p p -.
(C) 22)1(3p p -． (D) 22)1(6p p -． [ C ] 【详解】 “第4次射击恰好第2次命中”表示4次射击中第4次命中目标, 前3次射击中有1次命中目标, 由独立重复性知所求概率为：2
2
1
3)1(p p C -. 故选(C) .
(10) 设随机变量(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，)()(y f x f Y X 分别表示Ｘ，
Ｙ的概率密度，则在Ｙ＝y 的条件下，Ｘ的条件概率密度)|(|y x f Y X 为
(A) )(x f X ． (B) )(y f Y ． (C ) )()(y f x f Y X . (D)
)
()(y f x f Y X ． [ A ]
【详解】 因(Ｘ,Ｙ)服从二维正态分布，且Ｘ与Ｙ不相关，故Ｘ与Ｙ相互独立，于是
)|(|y x f Y X =)(x f X . 因此选(A) .
二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)
(11)
1
2
3
1
1x
e dx x
?
=
1
21.2
e
【分析】 先作变量代换，再分部积分。
【详解】 1
1
1
2
132
13
2
1
1
2
11()t
x
t
t
x e dx t e dt te dt x
t
==-
=?
?
?
=1
1
11
21112
2
2
1.2
t
t t
tde te
e dt e =-
=
??
(12) 设f (u ,v )为二元可微函数，(,)y x
z f x y =，则z x
??=112ln .y x
f yx f y y -''?+?
【详解】 利用复合函数求偏导公式，有
z x
??=112ln .y x
f yx f y y -''?+?
(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432x
y y y e '''-+=的通解为
32122.x x
x
y C e C e
e =+- 其中21,C C 为任意常数.
【详解】 特征方程为 2
430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方
程430y y y '''-+=的通解为 312.x x
y C e C e =+
设非齐次线性微分方程2432x
y y y e
'''-+=的特解为*2x
y ke
=，代入非齐次方程可
得k= ?2. 故通解为32122.x x x
y C e C e e =+-
(14) 设曲面:1x y z ∑++=，则dS y x ??∑
+|)|(=
4 3.3
【详解】 由于曲面∑关于平面x =0对称，因此dS x ??∑
=0. 又曲面:1x y z ∑++=具
有轮换对称性，于是
dS y x ??
∑
+|)|(=dS y ??∑
||=dS x ??∑
||=dS z ??∑
||=
dS z y x ??∑
++|)||||(|3
1
=
dS ??
∑
3
12
383
1?
?=
=
4 3.3
(15) 设矩阵????
??
?
?
?=00
010000100
0010
A , 则3A 的秩为1. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ??????
?
?
?=00
000000000
1000
3A , 故r (3
A )=1. (16) 在区间(0, 1)中随机地取两个数, 则两数之差的绝对值小于
2
1的概率为
4
3．
【详解】 这是一个几何概型, 设x , y 为所取的两个数, 则样本空间
}1,0|),{(<<=y x y x Ω, 记}2
1||,),(|),{(<
-∈=y x y x y x A Ω.
故 Ω
S S
A P A
=
)(4
3
143
==，其中ΩS S A ,分别表示A 与Ω 的面积. 三、解答题：(17－24小题，共86分. )
(17) (本题满分11分)
求函数2
2
2
2
(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值。
【分析】 由于D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。
【详解】 因为
(,)22x f x y x xy '=-，2
(,)42y f x y y x y '=-，解方程： 2
2
220,
420
x y f x x y f y x y '?=-=??'=-=?? 得开区域内的可能极值点为(2,1)±. 其对应函数值为(2,1) 2.f ±=
又当y=0 时，2
(,)f x y x =在22x -≤≤上的最大值为4，最小值为0.
当224,0,22x y y x +=>-<<，构造拉格朗日函数 2
22
2
2
2
(,,)
2(4)
F x y x y x y x
y λλ
=+-
++- 解方程组 22222220,4220,40,x y F x xy x F y x y y F x y λλλ'?=-+=?
'=-+=??'=+-=?
得可能极值点：53(0,2),(,
)2
2
±
，其对应函
数值为537(0,2)8,(,
).2
2
4
f f =±
=
比较函数值72,0,4,8,4
，知f (x , y )在区域D 上的最大值为8，最小值为0.
(18) (本题满分10分) 计算曲面积分 23,I x z d y d z
z y d z d x x y d x d y
∑
=
++??
其中∑为曲面2
2
1(01)4
y
z x z =--
≤≤的上侧。
【分析】 本题曲面∑不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。
【详解】 补充曲面：2
2
1:1,04
y
x z ∑+
==，取下侧. 则
1
23I xzdydz zydzdx xydxdy ∑+∑=
++??
1
23xzdydz zydzdx xydxdy ∑-++??
=(2)3D
z z dxdydz xydxdy Ω
++
?????
其中Ω为∑与1∑所围成的空间区域，D 为平面区域2
2
14
y
x +≤.
由于区域D 关于x 轴对称，因此30D
xydxdy =??. 又
(2)3z z dxdydz zdxdy Ω
Ω
+=??????=1
1
332(1).z
D zdz dxdy z z dz ππ=?-=????
其中z D 2
2
:14
y
x z +
≤-.
(19) (本题满分11分)
设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=
【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令
()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是找
到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。
【证明】 构造辅助函数()()()F x f x g x =-，由题设有F (a )=F (b )=0. 又f (x ), g (x )在(a , b )内具有相等的最大值, 不妨设存在21x x ≤, ),(,21b a x x ∈使得
12[,]
[,]
()max (),()max ()a b a b f x M f x g x M g x ====，
若21x x =，令1x c =, 则()0.F c =
若21x x <，因111222()()()0,()()()0F x f x g x F x f x g x =-≥=-≤，从而存在
12[,](,)c x x a b ∈?，使()0.F c =
在区间[,],[,]a c c b 上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得
12()()0F F ξξ''==.
再对()F x '在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，知存在12(,)(,)a b ξξξ∈?，有
()0F ξ''=， 即 ()(
)
.f g ξξ''''= (20) (本题满分10分)
设幂级数0
n n n a x ∞
=∑在(,)-∞+∞内收敛，其和函数y (x )满足
240,(0)0,(0) 1.y xy y y y ''''--===
(I) 证明：22,1,2,;1
n n a a n n +=
=+
(II) 求y (x )的表达式.
【分析】 先将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。
【详解】 (I)记y (x )=0
n
n n a x ∞
=∑, 则1
2
1
2
,(1),n n n
n
n n y na
x
y n n a
x
∞
∞
--=='''=
=
-∑∑代入微分方程
240,y xy y '''--=有
2
21
(1)240,n n
n
n
n n n n n n n a
x
na x a x ∞∞
∞
-===---=∑∑∑
即
2
(2)(1)2
4
0,
n
n
n
n n n
n n n n n a x n a x a x ∞
∞
∞
+===+
+
-
-
=∑∑∑ 故有 2(2)(1)240,
n n n
n n a n a a +++--
= 即 22,1,2,;
1
n n a a n n +=
=+ (II) 由初始条件(0)0,(0)y y '=
=知，010, 1.a a == 于是根据递推关系式22,1
n n a a n +=
+ 有22110,.!
n n a a n +==
故
y (x )=0
n
n n a x ∞
=∑ =21
21
20
1
!
n n n n n a x
x
n ∞
∞
+++===
∑∑=2
20
1().!
n x
n x x xe n ∞
==∑
(21) (本题满分11分)
设线性方程组
???
??=++=++=++0
4,02,
03221
3
21321x
a x x ax x x x x x ① 与方程
12321-=++a x x x ② 有公共解，求a 的值及所有公共解．
【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解.
【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:
?????
??-=++=++=++=++.12,04,02,0321
32
21
3
213
21a x x x x a x x ax x x x x x ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:
→???????
?
?-=11
2
1041021
0111
2
a a
a A ????
??
?
?
?-----110
00)
1)(2(000110
0111a a
a a a . 于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即
为③的通解，此时
??????
?
?
?→00
0000000100101
A ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ???
??
??-101,
所以①与②的全部公共解为???
?
?
??-101k ，k 为任意常数.
2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时
??????
?
?
?-→00
0110010100001A ，故方程组③的解为: 011?? ?
? ?-??, 即①与②有唯一公共解: 为12
3
011x x x x ????
? ?
== ? ?
?
?-?
???. (22) (本题满分11分)
设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ T
)1,1,1(1-=α是Ａ的属于1λ的
一个特征向量,记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵.
(I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量．
(II) 求矩阵Ｂ．
【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.
【详解】 (I) 由11αα=A 得 1112
ααα==A A , 进一步 113
αα=A , 115
αα=A ， 故 13
5
1)4(ααE A A B +-=
113
15
4ααα+-=A A
1114ααα+-=
12α-=，
从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值?2的特征向量.
因E A A B +-=354, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.
设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又
Ａ为对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即
0,03121==ααααT
T
所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
0)1,1,1(321=???
?
? ??-x x x ,
其基础解系为: ???
??
??011,
????? ??-101 , 故可取2α=???
?
? ??011, 3α=????? ??-101.
即B 的全部特征值的特征向量为: ????? ??-1111k , ???
?
?
??-+????? ??10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任
意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数. (II) 令),,(321ααα=P =???
?
?
?
?--10
1011
111
, 则 ????
?
?
?-=-11
2
1
BP P ，
得 1
112
-?????
?
?-=P P B
=????
? ?
?--10
1011111????? ?
?-11
2
????
?
??--21
1
12111131
=????? ?
?---10
2012112????? ??--21
1
121
11131????
?
??--=01
1
101
110
. (23) (本题满分11分)
设二维随机变量(X , Y )的概率密度为
2,
01,01
(,)0,x y x y f x y --<<
<<
?=?
?
其它.
(I) 求{}Y X P 2>；
(II) 求Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度)(z f Z .
【详解】 (I) {}Y X P 2>??
>=y
x dxdy y x f 2),(?
?
--=
1221
0)2(y
dx y x dy 24
7=
.
( II) 先求Z 的分布函数:
??
≤+=
≤+=z
y x Z d x d y
y x f Z Y X P z F ),()()( 当Z <0时, 0)(=z F Z ; 当10<≤z 时, ??
=
1
),()(D Z dxdy y x f z F ?
?
---=
y z z dx y x dy 0
)2(
3
2
3
1z z -
=；
当21<≤z 时, ??
-
=2
),(1)(D Z dxdy y x f z F ?
?
-----
=111
)2(1y
z z dx y x dy
3
)2(3
11z --=；
当2≥z 时, 1)(=z F Z . 故Z ＝Ｘ+Ｙ的概率密度为
)(z f Z =)(z F Z '??
???<≤-<<-=.
,0,21,
)2(,10,22
2其他z z z z z (24) (数1, 3)(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为
????
?
????
<≤-<<=.
,0,1,
)
1(21,
0,21),(其他x x x f θθθθθ 其中参数θ(0<θ<1)未知, n X X X 21,是来自总体X 的简单随机样本, X 是样本均值
(I) 求参数θ的矩估计量θ?；
(II) 判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由. 【详解】 (I) dx x xf X E ),()(θ?
∞+∞
-=
dx x
dx x ??
-+
=
1
)1(22θθ
θθ
.4
12
)1(4
14
+
=
++=θ
θθ
令
X =+
4
12
θ
, 其中 ∑==
n
i i X n
X 1
1
，
解方程得θ的矩估计量为: θ?=2
1
2-X .
(II) )]()([4)(4)4(222X E X D X E X E +==)]()([
42
X E n
X D +=,
而dx x f x X E ),()(2
2
θ?
∞+∞
-=
dx x
dx x
??
-+
=
1
2
2
)1(22θθ
θθ
.6
16
13
2
+
+
=
θθ
)()()(2
2
X E X E X D -=22
)4
121(61
6
13
+-+
+
=θθθ
48
512
112
12
+
-
=
θθ
，
故)4(2
X E )]()([
42
X E n
X D +=n
n n
n n
n 1253133132
++
-+
+=θθ
2
θ
≠,
所以24X 不是2
θ的无偏估计量.