1.3习题精解
1. 判断下列信号是否是周期的，如果是周期的，求出它的基频和公共周期。 (1) )30sin()5sin(34)(t t t f ππ+-=
(2) )30cos()10cos(
)(t t t f ππ= (3) )20cos()10cos()(t t t f -=π (4) )4
2cos(2)2cos()(π
--=t t t f
解:
（1）6
13052121==ΩΩ=n n 因此，公共周期5
2
5212110=?=Ω=πππn T ,
基频Hz T f 5.22
5
100===
(2) )40cos 20(cos 5.0)30cos()10cos()(t t t t t f ππππ+== 2
140202121==ΩΩ=n n 因此，公共周期s n T 10
1
20212110=?=Ω=πππ
基频Hz T f 101
0==
(3) 由于两个分量的频率比值20
1021π
=ΩΩ是无理数，因此无法找出公共周期。所以是非周期
的。
(4) 两个分量是同频率的，基频 =0f 1/π Hz 。因此，公共周期π==0
1
f T s 。 2.指出并证明下列信号中哪些是功率信号，哪些是能量信号，哪些既不是功率信号也不是能量信号。
(1) )2(2)1(5)(---+t u t u t u (2) )2(6)1(5)(---+t u t u t u
(3) )(5t u e t -
(4) )()1(5t u e t
+- 解:
(1) 波形如题2解图(a)所示。显然是功率信号。
t d t f T P T T T ?-∞→=2
)(21lim 16163611lim 22110=??
????++=???→∞t d t d t d T T T W
)(t f 6
4
1
)
(t f 61
(2) 波形如题2解图(b)所示。显然是能量信号。
J dt dt E 3716116122
121
02=?+?=+=?? (3) 能量信号 1.0101)(lim 0
101025=-
===??∞
∞
---∞
→T
t t t T e dt e dt e E J (4) 功率信号，显然有 1=P W
3. 周期信号如题图3所示，试计算信号的功率。
t
)
(t f 0257
4
5--2
-2
….
….
题3图
解： 周期T=7 ，一个周期的能量为 ()J dt dt E 5624316245
27
52
2=?+?=-+=?? 信号的功率为 87
56
===T E P W
4. 画出下列信号的波形。 (1) )22(3)(1-=t t t f δ (2) )2()(2)(2-+=t t u t f δ (3) )2()(2)(3-=t t u t f δ 解：
()()()t f t f t f 321,,的波形分别如题4解图（a ）
、(b)、(c)所示。 1
0(1.5)
()
t f 1t
2
(2)
()
t f 2t
2
2
(2)
()
t f 3t
(a)
(c)
(b)
题4解图
5. 完成下列信号的计算。
(1) )3()24(2t t δ+； (2) )24(3t e t
--δ；
(3) )2
()3
2sin(π
δπ
+
+
t t ； (4) )4()()
2(---t t u e
t δ。
解：
(1) )(6)3
()24(2t t
t δδ=+；
(2) )2(5.0)2(5.0)24(633-=-=----t e t e t e t t δδδ (3) )2
(23)2
()3
sin()2
()3
2sin(πδπ
δπ
ππ
δπ
+-
=+
+
-=+
+
t t t t (4) )4()4()(2)2(-=----t e t t u e t δδ
6. 求下列积分。 (1)
?∞∞-+-dt t t )3()4(2
δ; (2)
?
-+-63
2)4()4(dt t t δ;
(3) ?
-+++-63
2
)]42(2)4()[6(dt t t t δδ; (4) ?∞-10
3sin )
(dt t
t
t δ。 解：
(1) 5)3()94()3()4(2
-=+-=+-??∞
∞
-∞∞
-dt t dt t t δδ
(2) 0)4()4(63
2=+-?
-dt t t δ (因4-=t 不在积分范围（-3，6）内)
(3)
2)]2(2)4(10[)]42(2)4()[6(63
63
2=+++-=+++-??
--dt t t dt t t t δδδδ
(4)
3)3(3)(3sin )
(1010=?=??
∞-∞
-dt t Sa t dt t
t t δδ。 （()133sin lim 30==→t t t Sa t ）
7.画出题图7中的信号的一阶导数波形。
t
)
(1t f 0
4
6
3t
)(2t f 0
22
44
6
3t
)
(3t f 024
46
题7图
解：
()()()t f t f t f '3'2'1,,的波形分别如题7解图（a ）
、(b)、(c)所示。 2
4
t
(4)
63
t 0
632
-2
(4)
(4)(4)
2
4
t
t
62
-2
(4)
(4)-4/3
4/3
()
t f '1()
t f '2()
t f '3(a)
(c)
(b)
题7解图
8.对于题8图中的信号)(t f ，为以下各式作图。 (1) )3()(+=t f t y (2) )22()(-=t f t x (3) )22()(t f t g -= (4) )15.0()(--=t f t h (5) )(t f e （偶分量）
(6) )(0t f （奇分量）
t
)
(t f 0
2
3
题8图
解： 各波形如题8解图所示。
1
-2-104
32-31
-2-104
32-31
-2-10
4
32-31
-2-104
32-31
-2-104
32-31
-2-104
32-322
2
2
21
-81
1
-1
t
t
t
t
t
t
()
3+t f ()
22-t f ()
t f 22-()
15.0--t f ()
t f e ()
t f o
题8解图
9.周期信号如题9图所示，试计算信号的功率。
t
21
2
5
()
t f
题9图
解： 周期T=7 ，
()5.15
1
+=t t y
其能量为J dt t dt y 3355.1515
.25.22
5
.25.22
=??
?
??+=??--
信号的功率为 3
5==
T E P W
10.用基本信号或阶跃信号表示题10图中的信号，并求出它们的能量。
解：
(a) )3(2)3(2)(361-+-=t G t G t f ，可以看成三个矩形。 能量为 4824216241=?+?+?=E J
(b) )3(2)3(2)(162-+-=t Q t G t f ，可以看成一个矩形和一个三角形相加。
能量为 67.34422
1
22431642=???+??+?=E J (c) )3(2)3(6)(133---=t Q t Q t f ，可以看成一个矩形和两个三角形相加。
能量为 33.534163
1
2163=??+?=E J
11. 画出下列信号的波形。
(1) ][cos )(1t u t f π=; (2) )]2()2([2
|
|)(2--+=
t u t u t t f ; (3))]2()([sin )(3t u t u t t f ---=π; (4) )sgn()()(24t t G t f =; (5) )2()(265-=t Q t G f ; (6) )sin(|)|2()(6t t u t f π-= 解：
各信号的波形如题11解图所示。
t )(1t f 022446t )
(2t f 022
4
46
3t
)(3t f 02446
题10图
1-2-10
4
3
2
-30.5-1.50 1.5-2.51
-2-10
4
32-31
-104
321
-101
-2-104
32-31
1
1
-1
t
t
t
t
t
t
2.5
1
)
(2t f )
(3t f 1
-1()
t f 11
()
t f 4()
t f 5()
t f 6
题11解图
12.求下列积分。 (1) ?∞∞
--'dt t t t )]()([4
cos
δδπ
; (2) ?∞---+t
dt t t ])2()2([δδ
(3) ?
--'-63
2)4()4(dt t t δ; (4) ?∞∞
---dt t x t )()2(δδ
解：
(a) 1)]()([4
cos
-=-'?∞∞-dt t t t δδπ
;
(b) )2()2(])2()2([--+=--+?∞-t u t u dt t t t δδ (c) 8)4()4(63
2=-'-?
-dt t t δ
(d)
??
?≠=-=--?∞
∞-2
2
)
2()()2(x x x dt t x t δδδ
13. 画出下列各信号的波形。
(1) )()1()(1n u n n f +=
(2) )]5()([)(2--=n u n u n n f (3) ()()()n u n f n
--=5.03
(4) ()n u n f n
-=2)(4 解：各波形如题13解图所示。
4
3
2
1
()
n f 1n
1
234
4
321
()
n f 2n
123
44
3
21
()
n f 3n
1234
4
321
()
n f 4n
12
-2
题13解图
14. 对于题14图中的信号)(t f ，为以下各式作图。 (a) )3()(1+=t f t f ； (b) )22()(2-=t f t f ； (c) )22()(3t f t f -=； (d) )15.0()(4--=t f t f ； (e) )(t f e （偶分量）； (f) )(0t f （奇分量）。 解： 各波形如题14解图所示。
1-5
-3
21
t
()
t f 113
21
t
()
t f 21
2
-1
21t
()
t f 32-10
-2
21
t
()
t f 42
-2
-4
21
t
()t f e 4
2
-2
-4
21
t
()
t f o 4
-1
题14解图
t
)
(t f 02
4
2-题14图
15.求下列函数的卷积积分()()t f t f 21* （1） ()()()()t u t f t u e t f t ==-231,
；
（2） ()()()t u e t f t f t 321-== （3）()()()()t u e t f t tu t f t -==21,
（4） ()()()()5,121-=-=t u t f t u t f （5） ()()()()()21,21---==t u t u t f t tu t f
现求解如下： （1） ()()()()t u t f t u e t f t ==-231,；
解：
()()()()()
()t u e e d e d t u u e t f t f t t
t
30
303321131
31---∞
∞---=-==-?=*??τττττττ
（2） ()()()t u e t f t f t 321-== 解：
()()()()t u te d e d e d e e t f t f t t
t t
t t
t 3030303321------???===?=*τττττ
（3）()()()()t u e t f t tu t f t -==21,
解：
()()()()()()()()()()()
(
)()
()
t u e
t e
d e t u e t u d e t u t f t f t f t f t
t
t
t t
1110
00121121-+=+=-=-*=*=*=*------??τττττ
τ
（4） ()()()()5,121-=-=t u t f t u t f
解：
()()()()()()665121--=-*-=*t u t t u t u t f t f
（5） ()()()()()21,21---==t u t u t f t tu t f
解：
()()()()()()
()()()()()[]()()()()
222
11121212121,21
2
2221'2211-----=---*=*---==-t u t t u t t t t u t t f t f t t t f t u t t f δδδδ
16.已知
（1）()()()
()t u e t t tu t f t 11-+=*-
（2）()()[]()()()()111)
1(1
----=*----t u e
t u e t u e t f t t
t
求()t f 1 现求解如下：
（1）()()()
()t u e t t tu t f t 11-+=*-,求()t f 1 解：
把()()()
()t u e t t tu t f t 11-+=*-求导2次
()()()
()t u e e t t f t t --='
-=*11δ
（2）()()[]()()()
()111)1(1----=*----t u e t u e t u e t f t t t ，求()t f 1 解： 左式：
()()[]{}()()()[]()()()[]
()()()
t u e t f t f t u e t t f t u e t e t f t u e t f t t
t
t
t
-----*-=-*=-*='*111
1
1
δδ
右式：
()()()()[]
()()()()()()()()()()()()()()()()
()()()
11111111111111011)1(--=-+-----+=-+-----+=----------------------t u e t u e t e t u e t t e t u e t t e t u e t t e t u e t t u e t u e dt
d
t t t t t t t t t t δδδδδδδδ所以
()()()()()()1111--=*-----t u e t u e t u e t f t f t t t
把()()[]()()()
()111)1(1----=*----t u e t u e t u e t f t t t 代入上式，得
()()()()
()()()()()()()
1111111)1(1--=--=-----------t u t u t f t u e t u e t u e t u e t f t t t t
17．已知下列()()n f n f 21,的值，求()()n f n f 21*。 （1）()()()n u n f n f ==21 （2）()()()()()1,21--==n n n f n u n f δδ
现求解如下：
（1）()()()n u n f n f ==21 解：
()()()()()()n u n n u n u n f n f 121+=*=*
（2）()()()()()1,21--==n n n f n u n f δδ
解：
()()()()()[]()()1121--=--*=*n u n u n n n u n f n f δδ
18．已知()()()()n u b n f n u a n f n n ==21,，求()()n f n f 21*。
解：
()()()()∑=-=*=*n
i i n i n
n
b a n b n u a n f n f 0
21
当b a ≠时
()()()()a
b a b
b
a b a b b a b b a n b n u a n f n f n n i n
i
n
i n n
i i
n i n n --=
-??? ??-=?
?
? ??==*=*+++==-∑∑1
1
1
00
2111
当b a =时
()()()()()n n
i n n
i i
n i n
n
b n b b
a n
b n u a n f n f 10
21+===*=*∑∑==-
上二式在0≥n 成立，故得
()()()()()()()
?????=+≠--=*=*++b
a n u
b n b a n u a
b a b n b n u a n f n f n n n n n 1,
1121
当1==b a 时
()()()()n u n n u n u 1+=*
19．已知()()()()()()1,,sin 321--===n a n n f n u a n f n n f n δδπ，
求()()()n f n f n f 321**。 解：
()()()()()()()()()()
[]()()()[]()()()[]()()[]
()()(){}
()π
δπδππδπδπδδπδδπn n n n u a n u n a n n u a n u a n n n u a n u a n n n u a n u a n n a n u a n n u a n n a n n u a n n f n f n f n
n
n
n
n n n n n n n sin sin 1]1[sin 1sin 1sin 1sin 1sin ]
1[sin 11321=*=---+*=--*=-*-*=-*-*=-*-**=--**=**++ 这里用到性质：
()()()1-+=n u n n u δ
()()()n n a n a n δδδ==0
2.3 习题精解
1. 前四个勒让德(Legendre)多项式
012233()1()3
1()2
25
3()2
2==??=- ?????=- ?
??P t P t t
P t t P t t t
证明它们在区间(-1，1)内是正交函数集。
解：
在区间(-1，1)内，有
1
1*
2101111
1()*()|02
P t P t dt tdt t ---===?? 11*23102111311()*()()()|0222P t P t dt t dt t t ---=-=-=?? 11*3421031115353()*()()()|02284P t P t dt t t dt t t ---=-=-=?? 11*2421121113131()*()()()|02284P t P t dt t t dt t t ---=-=-=?? 11*3531131115311()*()()()|02222P t P t dt t t t dt t t ---=-=-=?? 11*236421231113153573()*()()()()|02222848P t P t dt t t t dt t t t ---=--=-+=?? 在(-1，1)区间内满足
?
-*=2
11
0)()(dt t P t P j i (i j ≠ )。它们在区间(-1，1)内是正交函数集。
2 . 证明{cos ,cos(2),...,cos()t t nt (n 为正整数)}，是在区间(0,2)π的正交函数集。它是否是完备的正交函数集？ 证明：
在区间(0,2)π内，有
2000
cos()cos()d 020
m n T m t n t t m n T
m n π?≠??ΩΩ==≠???==??当当当 {cos ,cos(2),...,cos()t t nt (n 为正整数)}是在区间(0,2)π的正交函数集。但不是完备的。因为：在正交函数集{cos ,cos(2),...,cos()t t nt (n 为正整数)}之外，存在函数)0)(sin(≠Ωm t m 满足：
2000
sin()cos()d 0,m t n t t π
ΩΩ=?
对于所有的m 和n 。
3. 题3图给出冲激序列∑∞
-∞
=-=
k T kT t t )()(0
δδ。
求)(0
t T δ的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。
题3图
解：
00
020
211()T jn t T n F t e dt T T δ+
-Ω-=
=
?
000
1
()jn t
T n t e
T δ∞
Ω=-∞
∴=
∑
001a T =，0
0200
222
()cos T T n a t n tdt T T δ+
-=
Ω=
?
，因为偶函数0n b = 001
0012()cos T n t n t T T δ∞
=∴=+Ω∑，上述002T πΩ=
4. (1) 直接用定义求题4图所示三角波)(t f 的三角傅里叶级数。
(2) 利用3题的结果求题2.4图所示三角波)(t f 的三角傅里叶级数。
0T 0
2T 0
T -)
(0
t T δt
)
(0T t -δ)
(t δ
题4图
解：
1）利用直接法求解：
00
012
T A A a tdt T T -=
-
=?
； 因为信号为去直为奇函数，
所以0n a =；
00
02sin n T A A b t n tdt T T n π-=
-
Ω=?
01sin ()2n n t A A f t n
π∞=Ω∴=+∑，上述
002T πΩ=
2）利用3题的结果求解： 令[]100
()()()()A
f t A t u t u t T T =--- 则100000()()[()][()((1))]n n A f t f t nT A t nT u t nT u t n T T ∞
∞
=-∞
=-∞??=-=
-----+????
∑
∑
0000000()()[()((1))][()]{()((1))}AC n n A A
f t f t u t nT u t n T A t nT t nT t n T T T δδ∞
∞
=-∞=-∞??''==----++-----+??
??∑∑ 0001100000122()cos cos n n n A A
A A t nT A n t n t T T T T T δ∞
∞∞=-∞==??=-+-=-++Ω=Ω ???
∑∑∑ 0011
0sin 2()cos t AC n n n t
A A f t n d T n ττπ∞∞-∞==Ω∴=Ω=∑∑? 2D A f =，所以01sin ()2n n t
A A f t n
π∞=Ω=+∑
5. 已知周期信号)(t f 的前4
1
周期波形如题5图所示。根据下列各种情况的要求，画出)(t f 在
一个周期的波形??
? ??-2~2T T 。 (1) )(t f 是偶函数，只含有偶次谐波； (2) )(t f 是偶函数，只含有奇次谐波；
(3) )(t f 是偶函数，含有偶次谐波和奇次谐波； (4) )(t f 是奇函数，只含有偶次谐波； (5) )(t f 是奇函数，只含有奇次谐波。
(6) )(t f 是奇函数，含有偶次谐波和奇次谐波。
)
(t f 0
0T 0
2T 0
T -t
A
()
f t 1
题5图
解：
1）)(t f 是偶函数，只含有偶次谐波 2）)(t f 是偶函数，只含有奇次谐波
1
12
-
()
f t t
2
T -2
T
1
12
-
()
f t t
2
T -2
T
题5图（a ） 题5图（b ）
3）)(t f 是偶函数，含有偶次谐波和奇次谐波
1
12
-()
f t t
2
T -2
T
1
12
-
()
f t t
2
T -2
T
题5图（c ） 题5图（d ）
4）)(t f 是奇函数，只含有偶次谐波 5）)(t f 是奇函数，只含有奇次谐波
1
12
-
()
f t t
2
T -2
T
1
12
-
()
f t t
2
T -2
T
题5图（e ） 题5图（f ）
6. 周期信号)(t f 的双边频谱如题6图所示，求其三角函数表示式。
或
n F 1
题6图
解：
根据n n n a F F -=+，()n n n b j F F -=-求得 1112a F F -=+=
333()2b j F F j -=-=-
()2cos 2sin3f t t j t =-
7. 已知周期矩形信号)(1t f 及)(2t f 如题7图所示。求：
(1) )(1t f 的参数为μs 5.0=τ，μs 1=T ，V 1=A ，则谱线间隔和带宽为多少？ (2) )(2t f 的参数为μs 5.1=τ，μs 3=T ，V 3=A ，则谱线间隔和带宽为多少？ (3) )(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比为多少？
(4) )(1t f 基波幅度与)(2t f 的三次谐波幅度之比为多少？
题7图
解：
1
2()(
)cos n A A n f t Sa n t T T
T
ττπτ
Ω∞
==+
∑ （1） 谱线间隔为611
2210(/)rad s T π
πΩ=
=?或11000f KHz = 带宽为6112410(/)B rad s π
πτΩ=
=?或11
1
2000f B KHz τ=
=
（2） 同理可求：谱线间隔为62222
10(/)3
rad s T ππΩ=
=?或110003f KHz = 带宽为6222410(/)3B rad s π
πτΩ=
=?或2212000
3
f B KHz τ== ()
f t 0t
A
2
τ-
2
τ
T
-T
（3） 1
112111222121122
22120.5
(
)
10.53(
)
2211():() 1.533 1.51()()
3A T Sa Sa A A T Sa Sa T T T T Sa A T Sa T πτπττπττπτπτπτ???===???
（4） 1
112111222121122
2212
0.5
(
)
10.53(
)
2231():()1331.53 1.51()()3A T Sa Sa A A T Sa Sa T T T T Sa A T Sa T πτπττπττπτπτπτ???===???
8. 求题8图所示半波余弦脉冲的傅里叶变换，并画出频谱图。
题8图
解：
()[()()]cos 22f t E u t u t t ττπ
τ
=+--
?{[()()]22
E u t u t ττ+--}(
)2
E Sa Ωτ
τ=
?[cos
t πτ][()()]πππδΩδΩττ
=++- ?[()f t ]=12π?{[()()]22E u t u t ττ
+--}*?[cos t πτ]
=12π()2E Sa Ωττ*[()()]πππδΩδΩττ
++- =2E τ[(
)()2222
Sa Sa ΩτπΩτπ++-]=22cos 2[1()]
E Ωτ
τΩτππ
- 9. 计算下列信号的傅里叶变换。
(1) j sgn(32)t e t - (2) )]([d d )
1(2t u e t
t -- (3) )1(2+-t u e t
(4) ?????><1
,01),2cos(t t t π (5) 4
22+t
解：
（1）?[sgn()t ]=2j Ω??[sgn(32)t -]=3
22j e j ΩΩ
--
()f t 0t
E
2
τ-
2
τ
()
F j ΩΩ
2E τ
π
32
π
??[j sgn(32)t
e t -]=3
(1)2
2(1)
j e
j ΩΩ---
-
（2）
)]([d d )1(2t u e t t --?j Ω?[2(1)
()t e
u t --]=2j e Ω?[2()t e u t -]=22
j e j ΩΩ+ （3）?[()u t ]=1()j πδΩΩ+
?2(1)j t e u t -+?(2)1
[(2)](2)
j e j ΩπδΩΩ----- 2(1)t
e u t -+?1
(2)1
2(2)122j t j t
j t
e e e
dt e j j ΩΩΩΩ
Ω
----∞
-∞
==
--? （4）cos(),120,1
t t t π?
??>?
2
221
2cos
4cos 2
()()222[1(
)][1()]
E E Sa Sa τΩτ
τΩππ
ΩΩΩτΩππππ
===
=++---
（5）因为
222142t e Ω-?+???→对称性
2
24
t ?+22122e e ΩΩππ---=
10. 试分别利用下列几种方法证明Ω+Ωπδ?j 1)()(t u 。 (1) 利用符号函数??
????+=)sgn(2121)(t t u ；
(2) 利用矩形脉冲取极限)(∞→τ；
(3) 利用积分定理??
????=?∞-t
t u ττδd )()(；
(4) 利用单边指数函数取极限]0,lim )([0
≥=-→t e t u at a
解：
（1）略
（2）()()22
u t u t ττ+--?(
)2
Sa Ωτ
τ?()()u t u t τ--?2
(
)2
j Sa e
τ
ΩΩτ
τ-
22
sin(
)
sin()22(
)[cos sin ]sin
2
222
2
sin()21cos sin()cos 2j j Sa e
j j j j τ
Ωτ
Ωτ
τΩτΩτΩτττΩΩτΩΩΩτΩτΩτΩτΩΩΩΩΩ
-Ω=-=--=-=--
2
sin()
1cos lim (
)lim
lim
2
sin()11
lim ()j Sa e
j j j j τ
ωττττΩτ
ΩτΩττΩΩΩ
ΩτππδΩπΩΩΩ-→∞
→∞→∞→∞=+
-=+=+
（3）略
（4）
()0
00
11
[()]limlim limlim[
]
1111lim lim (cos sin )1sin cos 1sin 1lim lim lim ()
t
a j a j t t a t a j t t t t t t F u t e e d e a j a j e t j t j j j j t t t j j j j τΩτΩΩτΩΩ
ΩΩΩΩΩΩΩΩΩππδΩΩΩΩΩπΩΩ
---+→∞→→∞→-→∞→∞→∞→∞→∞==-++=
-=--=+-=+=+? 11. 若)(t f 的傅里叶变换为[]20201
()()()2
a a F j G G ΩΩΩ=-Ω++Ω，如题11图所示，求)(t f 并画图。
题11图
解：
21sin ()22a a at G at
Ωπ?? []002020001sin ()()()22sin ()cos cos j t
j t a a a at G G e e at a at Sa at t t t
ΩΩπππΩ-Ω-Ω++Ω?
+=Ω=Ω
题11解图
()F j Ω0
Ω
1/2
0-Ω0
Ω0α-Ω+0α
Ω-()f t t
a
π
12. 已知信号11()()()j ()f t F j R X ΩΩΩ?=+，)(1t f 的波形如题12图（a ）所示，若有信号
)(2t f 的波形如题12图（b ）所示。求2()F j Ω。
题12图(a) 题12图(b)
解：
211111()[()()](2)(2)222
t t
f t f f F j F j ΩΩ=+-?+-
*211()(2)(2)2(2)F j F j F j R ΩΩΩΩ=+=
13. 若已知)()(Ωj F t f ?，确定下列信号的傅里叶变换： (1))1(t f - (2))1()1(t f t -- (3))52(-t f 解：
（1）(1)()j f t F j e ΩΩ--?-
（2）(1)(1)(1)(1)t f t f t tf t --=---??[(1)f t -]-?[(1)tf t -]
=[()]
()j j d F j e F j e
j d ΩΩ
ΩΩΩ
-----()j dF j je d ΩΩΩ--=-
（3）5
21(25)()22
j f t F j e ΩΩ--?
14. 已知三角脉冲)(1t f 的傅里叶变换为21()Sa 24
E F j τΩτ
Ω??=
???
，试用有关定理求
210()(2)cos()=-Ωf t f t t τ的傅里叶变换2()F j Ω。
解：
2()f t ?
1
2π
?[1(2)f t τ-]*?[0cos()t ω] =
22001Sa *[()()]224
j E e τΩ
τΩτ
πδΩδΩπ-??+Ω+-Ω ???
002()2()2200()()Sa Sa 4
44j j E e e τΩτΩΩτΩττ-+Ω--Ω?+Ω-Ω?
????=
+ ?
?????????
()
f t 0
t
2
1()
f t 0
t
2-12
002222200()()Sa Sa 4
44j j j E e e e τττΩ
ΩτΩττ-ΩΩ-?+Ω-Ω?
????=
+ ?
?????????
15. 若已知()()f t F j Ω?，确定下列信号的傅里叶变换。
(1))2(t tf (2))()2(t f t -
(3))2()2(t f t -- (4)dt
t df t )
( 解：
（1）(2)d
tf t j d ω
??[(2)f t ]=()
12()22
dF j
d j
j
F j d d Ω
ΩΩΩ
??=????
（2）(2)()t f t -??[()tf t ]-2?[()f t ]()
2()dF j j
F d ΩΩΩ
=- （3）(2)(2)t f t --??[(2)tf t -]-2?[(2)f t -]()
2()2
2
dF j
j
F j d Ω
ΩΩ-=
-- （4）[][]()()
()()()df t d d dF j t
j j F j F j F j dt d d d ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ
?=-=-- 16. 分别利用线性性质、时域积分性质和时域卷积定理求题16图所示梯形脉冲的傅里叶变
换，并大致画出12ττ=情况下该脉冲的频谱图。
题16图
解：
（1）利用线性性质
112()()[()()]222
E f t t u t u t τττ
ττ=
-+--- 1
11212()()[()()]222E f t t u t u t τττττ=-+---
12()()()f t f t f t =-??[1()f t ]-?[2()f t ]22221111
2()42()4E E Sa Sa τΩττΩτ
ττττ????=-
? ?--????
1121()()8sin sin
()44
E
ΩττΩττΩττ+-=
- （2）利用时域积分性质
令1()(),f t f t '=21
2()(),E
f t f t A ττ''==
-则 ()f t 0t
E 12τ-1
2
τ2
τ
-
2
τ
信科0801《信号与系统》复习参考练习题一、单项选择题：
14、已知连续时间信号,) 2(100)2(50sin )(--=t t t f 则信号t t f 410cos ·)(所占有的频带宽度为（） A ．400rad ／s B 。200 rad ／s C 。100 rad ／s D 。50 rad ／s
15、已知信号)(t f 如下图（a ）所示，其反转右移的信号f 1(t) 是（ ） 16、已知信号)(1t f 如下图所示，其表达式是（ ） A 、ε（t ）＋2ε(t －2)－ε(t －3) B 、ε(t －1)＋ε(t －2)－2ε(t －3) C 、ε(t)＋ε(t －2)－ε(t －3) D 、ε(t －1)＋ε(t －2)－ε(t －3) 17、如图所示：f （t ）为原始信号，f 1(t)为变换信号，则f 1(t)的表达式是（ ） A 、f(－t+1) B 、f(t+1) C 、f(－2t+1) D 、f(－t/2+1)
18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（ ） 19。信号)2(4sin 3)2(4cos 2)(++-=t t t f π π 与冲激函数)2(-t δ之积为（ ） A 、2 B 、2)2(-t δ C 、3)2(-t δ D 、5)2(-t δ ，则该系统是（）＞－系统的系统函数．已知2]Re[,6 51)(LTI 202s s s s s H +++= A 、因果不稳定系统 B 、非因果稳定系统 C 、因果稳定系统 D 、非因果不稳定系统 21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（ ） A 、常数 B 、 实数 C 、复数 D 、实数+复数 22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（ ） A 、阶跃信号 B 、正弦信号 C 、冲激信号 D 、斜升信号
信号与系统期末考试试题 一、选择题（共10题，每题3分 ，共30分，每题给出四个答案，其中只有一个正确的） 1、 卷积f 1(k+5)*f 2(k-3) 等于 。 （A ）f 1(k)*f 2(k) （B ）f 1(k)*f 2(k-8)（C ）f 1(k)*f 2(k+8)（D ）f 1(k+3)*f 2(k-3) 2、 积分 dt t t ? ∞ ∞ --+)21()2(δ等于 。 （A ）1.25（B ）2.5（C ）3（D ）5 3、 序列f(k)=-u(-k)的z 变换等于 。 （A ） 1-z z （B ）-1-z z （C ）11-z （D ）1 1--z 4、 若y(t)=f(t)*h(t),则f(2t)*h(2t)等于 。 （A ） )2(41t y （B ）)2(21t y （C ）)4(41t y （D ）)4(2 1 t y 5、 已知一个线性时不变系统的阶跃相应g(t)=2e -2t u(t)+)(t δ,当输入f(t)=3e —t u(t)时，系 统的零状态响应y f (t)等于 （A ）(-9e -t +12e -2t )u(t) （B ）(3-9e -t +12e -2t )u(t) （C ）)(t δ+(-6e -t +8e -2t )u(t) （D ）3)(t δ +(-9e -t +12e -2t )u(t) 6、 连续周期信号的频谱具有 （A ） 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 （C ）离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性 7、 周期序列2)455.1(0 +k COS π的 周期N 等于 （A ） 1（B ）2（C ）3（D ）4 8、序列和 ()∑∞ -∞ =-k k 1δ等于 （A ）1 (B) ∞ (C) ()1-k u (D) ()1-k ku 9、单边拉普拉斯变换()s e s s s F 22 12-+= 的愿函数等于 ()()t tu A ()()2-t tu B ()()()t u t C 2- ()()()22--t u t D 10、信号()()23-=-t u te t f t 的单边拉氏变换()s F 等于 ()A ()()()232372+++-s e s s ()() 2 23+-s e B s
精品文档 为 O 信号与系统试题库 一、填空题： 1? 计算 e (t 2) u(t) (t 3) 。 2. 已知X(s) — 士的收敛域为Re{s} 3, X(s) s 3 s 1 的逆变换为 。 3. 信号x(t) (t) u(t) u(t to)的拉普拉斯变换 为 。 4. 单位阶跃响应 g(t )是指系统对输入为 的零状态响应。 5. 系统函数为H (S ) ( 2) ； 3)的LTI 系统是稳 (s 2)(s 3) 定的，贝g H(s)的收敛域 为 。 6. 理想滤波器的频率响应为 H (j ) 2' 100 , 如果输入信号为 0, 100 7 x(t) 10cos(80 t) 5cos(120 t) , 则输出响应y(t) 则描述系统的输入输出关系的微分方程7. 因果LTI 系统的系统函数为 H(s) s 2 s 2 4s 3
精品文档8. 一因果LTI连续时间系统满足： 弟5畔6y(t) d^ 3畔2x(t)，则系统的单dt d t dt dt 7 位冲激响应h(t) 为 。 9.对连续时间信号X a(t) 2sin(400 t) 5cos(600 t)进行抽 样，则其奈奎斯特频率为。 10.给定两个连续时间信号X(t)和h(t), 而x(t)与h(t)的卷积表示为y(t)，则x(t 1) 与h(t 1)的卷积为 。 11.卷积积分X(t t1)* (t t2) 。 12.单位冲激响应h(t)是指系统对输入为的零状态响应。 13. e 2t u(t)的拉普拉斯变换 为。 14.已知X(s)七七的收敛域为 3 Re{s} 2 , s 2 s 3 X (S)的逆变换为 _____________________ 15.连续LTI系统的单位冲激响应h(t)满足____________________ ，贝g系统稳定。为。 17.设调制信号X(t)的傅立叶变换X(j )已知， 16.已知信号X(t) cos( 0t),则其傅里叶变换
信号与系统》复习参考练习题一、单项选择题：
14、已知连续时间信号,) 2(100) 2(50sin )(--= t t t f 则信号t t f 410cos ·)(所占有的频带宽度为（） A ．400rad ／s B 。200 rad ／s C 。100 rad ／s D 。50 rad ／s
f如下图（a）所示，其反转右移的信号f1(t) 是（） 15、已知信号)(t f如下图所示，其表达式是（） 16、已知信号)(1t A、ε（t）＋2ε(t－2)－ε(t－3) B、ε(t－1)＋ε(t－2)－2ε(t－3) C、ε(t)＋ε(t－2)－ε(t－3) D、ε(t－1)＋ε(t－2)－ε(t－3) 17、如图所示：f（t）为原始信号，f1(t)为变换信号，则f1(t)的表达式是（） A、f(－t+1) B、f(t+1) C、f(－2t+1) D、f(－t/2+1) 18、若系统的冲激响应为h(t),输入信号为f(t),系统的零状态响应是（）
19。信号)2(4 sin 3)2(4 cos 2)(++-=t t t f π π 与冲激函数)2(-t δ之积为（ ） A 、2 B 、2)2(-t δ C 、3)2(-t δ D 、5)2(-t δ ，则该系统是（）＞－系统的系统函数．已知2]Re[,6 51 )(LTI 202s s s s s H +++= A 、因果不稳定系统 B 、非因果稳定系统 C 、因果稳定系统 D 、非因果不稳定系统 21、线性时不变系统的冲激响应曲线如图所示，该系统微分方程的特征根是（ ） A 、常数 B 、 实数 C 、复数 D 、实数+复数 22、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示，则系统的输入应当是（ ） A 、阶跃信号 B 、正弦信号 C 、冲激信号 D 、斜升信号 23. 积分 ?∞ ∞ -dt t t f )()(δ的结果为( ) A )0(f B )(t f C.)()(t t f δ D.)()0(t f δ 24. 卷积)()()(t t f t δδ**的结果为( ) A.)(t δ B.)2(t δ C. )(t f D.)2(t f
信科0801《信号与系统》复习参考练习题 参考答案 信号与系统综合复习资料 考试方式：闭卷 考试题型：1、简答题（5个小题），占30分；计算题（7个大题），占70分。 一、简答题： 1．dt t df t f x e t y t ) ()()0()(+=-其中x(0)是初始状态， 为全响应，为激励，)()(t y t f 试回答该系统是否是线性的？[答案：非线性] 2．)()(sin )('t f t ty t y =+试判断该微分方程表示的系统是线性的还是非线性的， 是时变的还是非时变的？[答案：线性时变的] 3．已知有限频带信号)(t f 的最高频率为100Hz ，若对)3(*)2(t f t f 进行时域取样， 求最小取样频率s f =？[答案：400s f Hz =] 4．简述无失真传输的理想条件。[答案：系统的幅频特性为一常数，而相频特性为通过原点的直线] 5．求[]?∞ ∞ --+dt t t e t )()('2δδ的值。[答案：3] 6．已知)()(ωj F t f ?，求信号)52(-t f 的傅立叶变换。 [答案：521(25)()22 j f t e F j ωω --?]
7．已知)(t f 的波形图如图所示，画出)2()2(t t f --ε的波形。 [答案： ] 8．已知线性时不变系统，当输入)()()(3t e e t x t t ε--+=时，其零状态响应为 )()22()(4t e e t y t t ε--+=，求系统的频率响应。[答案： ()) 4)(2(52)3(++++ωωωωj j j j ] 9．求象函数2 ) 1(3 2)(++= s s s F ,的初值)0(+f 和终值)(∞f 。 [答案：)0(+f =2，0)(=∞f ] 10．若LTI 离散系统的阶跃响应为)(k g ，求其单位序列响应。 其中：)()2 1 ()(k k g k ε=。 [答案：1111 ()()(1)()()()(1)()()(1)222 k k k h k g k g k k k k k εεδε-=--=--=--] 11．已知()1 1 , 0,1,20 , k f k else ==??? ，()2 1 , 0,1,2,3 0 , k k f k else -==??? 设()()()12f k f k f k =*，求()3?f =。[答案：3] 12．描述某离散系统的差分方程为()()()122()y k y k y k f k +---=
信号与系统 题目部分，(卷面共有200题,0.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(7小题,共0.0分) [1]题图中，若h '（0）=1，且该系统为稳定的因果系统，则该系统的冲激响应()h t 为。 A 、231()(3)()5t t h t e e t ε-= +- B 、32()()()t t h t e e t ε--=+ C 、3232()()55t t e t e t εε--+ D 、3232()()5 5 t t e t e t εε-- + - [2]已知信号x[n]如下图所示，则x[n]的偶分量[]e x n 是。
[3]波形如图示，通过一截止角频率为50rad s π，通带内传输值为1，相移为零的理想低通 滤波器，则输出的频率分量为（） A 、012cos 20cos 40C C t C t ππ++ B 、012sin 20sin 40C C t C t ππ++ C 、01cos 20C C t π+ D 、01sin 20C C t π+
[4]已知周期性冲激序列()()T k t t kT δδ+∞ =-∞ = -∑ 的傅里叶变换为()δωΩΩ，其中2T πΩ= ；又 知111()2(),()()2T T f t t f t f t f t δ? ? ==++ ?? ? ；则()f t 的傅里叶变换为________。 A 、2()δωΩΩ B 、24()δωΩΩ C 、2()δωΩΩ D 、22()δωΩΩ [5]某线性时不变离散时间系统的单位函数响应为()3(1)2()k k h k k k εε-=--+，则该系统是________系统。 A 、因果稳定 B 、因果不稳定 C 、非因果稳定 D 、非因果不稳定 [6]一线性系统的零输入响应为（2 3 k k --+）u(k), 零状态响应为(1)2()k k u k -+,则该系统 的阶数 A 、肯定是二阶 B 、肯定是三阶 C 、至少是二阶 D 、至少是三阶 [7]已知某系统的冲激响应如图所示则当系统的阶跃响应为。 A 、(1 2.72)()t e t ε-- B 、(1 2.72)()t e t ε-+ C 、(1)()t e t ε-- D 、(1)()t e t ε-- 二、填空题(6小题,共0.0分) [1]书籍离散系统的差分方程为1()(1)(2)(1)2 y k y k y k f k --+-=-，则系统的单位序列 响应()h k =__________。
《信号与系统》复习题 1． 已知f(t)如图所示，求f(-3t-2)。 2． 已知f(t)，为求f(t0-at)，应按下列哪种运算求得正确结果？（t0和a 都为正值） 3．已知f(5-2t)的波形如图，试画出f(t)的波形。 解题思路：f(5-2t)?????→?=倍 展宽乘22/1a f(5-2×2t)= f(5-t) ??→?反转f(5+t)??→?5 右移 f(5+t-5)= f(t) 4．计算下列函数值。 （1） dt t t u t t )2(0 0--?+∞ ∞-） （δ （2） dt t t u t t )2(0 --?+∞ ∞-） （δ （3） dt t t e t ?+∞ ∞ --++）（2)(δ
5．已知离散系统框图，写出差分方程。 解：2个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为x(k) 左○ ∑:x(k)=f(k)-a 0*x(k-2)- a 1*x(k-1)→ x(k)+ a 1*x(k-1)+ a 0*x(k-2)=f(k) (1) 右○ ∑: y(k)= b 2*x(k)- b 0*x(k-2) (2) 为消去x(k)，将y(k)按（1）式移位。 a 1*y(k-1)= b 2* a 1*x(k-1)+ b 0* a 1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b 2* a 0*x(k-2)-b 0* a 0*x(k-4) (4) (2)、（3）、（4）三式相加：y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*[x(k)+ a 1*x(k-1)+a 0*x(k-2)]- b 0*[x(k-2)+a 1*x(k-3)+a 0*x(k-4)] ∴ y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b 2*f(k)- b 0*f(k-2)═>差分方程 6．绘出下列系统的仿真框图。 )()()()()(10012 2t e dt d b t e b t r a t r dt d a t r dt d +=++ 7．判断下列系统是否为线性系统。 （2） 8．求下列微分方程描述的系统冲激响应和阶跃响应。 )(2)(3)(t e dt d t r t r dt d =+
湖南理工学院成教期末考试试卷 课 程 名 称《信号与系统》 2010年度第 I 学期 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分 1. 已知 f (t )的傅里叶变换为F (j ω), 则f (2t -3)的傅里叶变换为 。 2、 ()dt t e t 12-?+∞ ∞ --δ 。 3 =-?∞ ∞ -dt t t )()5cos 2(δ= 。 4. 已知 651 )(2+++=s s s s F ，则=+)0(f ; =∞)(f 。 5. 已知 ω ωπδεj t FT 1 )()]([+=，则=)]([t t FT ε 。 6. 已知周期信号 )4sin()2cos()(t t t f +=，其基波频率为 rad/s ； 周期为 s 。 7. 已知 )5(2)2(3)(-+-=n n k f δδ，其Z 变换 =)(Z F ；收敛域为 。 8. 已知连续系统函数1 342 3)(23+--+=s s s s s H ，试判断系统的稳定 性： 。 9．已知离散系统函数1 .07.02 )(2 +-+=z z z z H ，试判断系统的稳定性： 。 10．如图所示是离散系统的Z 域框图，该系统的系统函数H(z)= 。 二．(15分)如下方程和非零起始条件表示的连续时间因果LTI 系统， ?????==+=++-- 5 )0(',2)0()(52)(452 2y y t f dt df t y dt dy dt y d 已知输入 )()(2t e t f t ε-=时，试用拉普拉斯变换的方法求系统的零状态响应 )(t y zs 和零输入响应)(t y zi ，0≥t 以及系统的全响应),(t y 0≥t 。 班级： 学生学号： 学生姓名： 适用专业年级：2007 物理 出题教师： 试卷类别：A （√） 、B （）、C （ ） 考试形式：开卷（ √）、闭卷（ ） 印题份数：
信号与系统试题库 一、选择题 共50题 1.下列信号的分类方法不正确的是（ A ）： A 、数字信号和离散信号 B 、确定信号和随机信号 C 、周期信号和非周期信号 D 、因果信号与反因果信号 2.下列说法正确的是（ D ）： A 、两个周期信号x (t )，y (t )的和x (t )+y(t )一定是周期信号。 B 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和2，则其和信号x (t )+y(t ) 是周期信号。 C 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和π，其和信号x (t )+y(t )是周期信号。 D 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和3，其和信号x (t )+y(t )是周期信号。 3.下列说法不正确的是（ D ）。 A 、一般周期信号为功率信号。 B 、时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。 C 、ε(t )是功率信号； D 、e t 为能量信号; 4.将信号f (t )变换为（ A ）称为对信号f (t )的平移或移位。 A 、f (t –t 0) B 、f (ｋ–k 0) C 、f (at ) D 、f (-t ) 5.将信号f (t )变换为（A ）称为对信号f (t )的尺度变换。 A 、f (at ) B 、f (t –k 0) C 、f (t –t 0) D 、f (-t ) 6.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（ B ）。 A 、)()0()()(t f t t f δδ= B 、()t a at δδ1)(= C 、)(d )(t t εττδ=?∞- D 、)()-(t t δδ=
信科0８01《信号与系统》复习参考练习题 一、单项选择题（2分1题,只有一个正确选项,共20题,４０分) １、已知连续时间信号则信号所占有得频带宽度为(C) A.400rａd／ｓB。200 raｄ/ｓC。1０0 ｒad／s D。50 rad/s 2、已知信号如下图(a）所示,其反转右移得信号f1(t) 就是( Ｄ) ３、已知信号如下图所示,其表达式就是(B) Ａ、ε(t)＋２ε（t－2)-ε(t-３）B、ε(t－1)＋ε(ｔ－2）-2ε(t-3) Ｃ、ε（t)＋ε(ｔ－２)-ε(ｔ-３) D、ε（t-1)+ε(t-２)－ε(t-3） 4、如图所示:ｆ(t)为原始信号,f1（t)为变换信号，则f1(t)得表达式就是( D )
A、f（－t+１) B、ｆ(t＋1）?Ｃ、f（-２t＋1）Ｄ、 f(－t/2+1) ５、若系统得冲激响应为h(t),输入信号为f(t）,系统得零状态响应就是( Ｃ) ?6。信号与冲激函数之积为( B ) A、2 B、２ C、３ D、５ 7线性时不变系统得冲激响应曲线如图所示,该系统微分方程得特征根就是（ B ） A、常数Ｂ、实数Ｃ、复数 D、实数+复数 8、线性时不变系统零状态响应曲线如图所示,则系统得输入应当就是( A ) A、阶跃信号Ｂ、正弦信号Ｃ、冲激信号 D、斜升信号 9、积分得结果为( A)?A B C、D、 10卷积得结果为( Ｃ）?Ａ、B、Ｃ、D、 １１零输入响应就是( B )?Ａ、全部自由响应B、部分自由响应?Ｃ、部分零状态响应Ｄ、全响应与强迫响应之差? 1２号〔ε(ｔ)－ε(ｔ-２)〕得拉氏变换得收敛域为( C ) A、Re［s］>０ B、Ｒe[ｓ]>２ C、全S平面 D、不存在 13知连续系统二阶微分方程得零输入响应得形式为，则其2个特征根为( A ）?Ａ。-1,－２B。－1，2 C。１,-2 D。1,2 14数就是( Ａ) A.奇函数B。偶函数C。非奇非偶函数Ｄ。奇谐函数 １5期矩形脉冲序列得频谱得谱线包络线为(Ｂ)
《信号与系统》复习题 1．已知 f(t) 如图所示，求f(-3t-2) 。 2．已知 f(t) ，为求 f(t0-at) ，应按下列哪种运算求得正确结果？（t0 和 a 都为正值）
3．已知 f(5-2t) 的波形如图，试画出f(t) 的波形。 解题思路：f(5-2t)乘a 1 / 2展宽 2倍f(5-2 × 2t)= f(5-t)
反转 右移 5 f(5+t) f(5+t-5)= f(t) 4．计算下列函数值。 （ 1） （ 2） （ t ） t 0 )dt t 0 u(t 2 （t t 0）u(t 2t 0 )dt （ 3） (e t t ) （t 2）dt 5．已知离散系统框图，写出差分方程。 解： 2 个延迟单元为二阶系统，设左边延迟单元输入为 x(k) ∑ 0 1 1) → 左○ :x(k)=f(k)-a *x(k-2)- a*x(k- x(k)+ a 1*x(k-1)+ a 0*x(k-2)=f(k) (1) ∑ y(k)= b 2*x(k)- b 0*x(k-2) (2) 右○ : 为消去 x(k) ，将 y(k) 按（ 1）式移位。 a 1*y(k-1)= b 2 * a 1*x(k-1)+ b * a 1*x(k-3) (3) a 0*y(k-2)= b 2 * a 0*x(k-2)-b 0* a 0*x(k-4) (4) (2) 、（ 3）、（ 4）三式相加： y(k)+ a 1*y(k-1)+ a 0*y(k-2)= b *[x(k)+ a 1 *x(k-1)+a *x(k-2)]- b *[x(k-2)+a 1*x(k-3)+a *x(k-4)] 2 0 0 0 ∴ y(k)+ a 1 *y(k-1)+ a *y(k-2)= b 2 *f(k)- b *f(k-2) ═ >差分方程
一．填空题(本大题共10空，每空2分，共20分。) 1．()*(2)k k εδ-= . 2． sin()()2 t d π τδττ-∞ + =? . 3. 已知信号的拉普拉斯变换为 1 s a -，若实数a ，则信号的傅里叶变换不存在. 4. ()()()t h t f t y *=，则()=t y 2 . 5. 根据Parseval 能量守恒定律，计算?∞ ∞-=dt t t 2 )sin ( . 6. 若)(t f 最高角频率为m ω，则对 )2()4()(t f t f t y =取样，其频谱不混迭的最大间隔是 . 7. 某因果线性非时变（LTI ）系统，输入)()(t t f ε=时，输出为： )1()()(t t e t y t --+=-εε；则) 2()1()(---=t t t f εε时，输出)(t y f ＝ . 8. 已知某因果连续LTI 系统)(s H 全部极点均位于s 左半平面，则 ∞→t t h )(的值为 . 9. 若)()(ωj F t f ?，已知)2cos()(ωω=j F ，试求信号)(t f 为 . 10.已知某离散信号的单边z 变换为) 3(,)3)(2(2)(2>+-+=z z z z z z F ，试求其反变换 )(k f = . 二．选择题(本大题共5小题，每题4分，共20分。) 1.下列信号的分类方法不正确的是 ： A 、数字信号和离散信号 B 、确定信号和随机信号 C 、周期信号和非周期信号 D 、因果信号与反因果信号 2. )]2()()[2()]()2([2)(1--++-+=t t t t t t f εεεε，则)] 1()2 1()[21()(--+-=t t t f t f εε
第一章 绪论 一、单项选择 1、右图所示波形可用单位阶跃函数表示为（ D ）。 (A) f(t)=U(t)-U(t-1)+U(t-2)-U(t-3) (B) f(t)=δ(t)+δ(t-1)+2δ(t-2)-3δ(t-3) (C) f(t)=U(t)+U(t-1)+2U(t-2)-3U(t-3) (D) f(t)=U(t)+U(t-1)+U(t-2)-3U(t-3) 2、右图所示信号波形的时域表达式是（ D ）。 （A ） )1()1()()(---=t u t t u t f （B ） )1()()(-+=t u t tu t f （C ） )1()()(--=t u t tu t f （D ） )1()1()()(---=t u t t tu t f 3、信号)(t f 波形如右图所示，则其表达式为（ B ）。 （A ） )]1()1([+--t u t u t （B ） )]1()1([--+t u t u t （C ） )]1()1([++-t u t u t （D ） )]1()1([/1+--t u t u t 4、图示波形的表达式为（ B ）。 5、下图i(t)的表达式（ B ）。 6、已知()f t 的波形如下图所示，则(3)f t 波形为（ A ）。 7、已知)(t f 的波形如题 (a)图所示，则)22(--t f 为图3(b)图中的的波形为( A )。 8、已知f(t)的波形如题 (a)图所示，则f (5-2t)的波形为( C )。 9、已知信号f (t )的波形如题图所示，则f (t )的表达式为（ D ）。 （A ） (t ＋1)u(t) （B ） δ(t －1)＋(t －1)u(t) （C ） (t －1)u (t) （D ） δ(t ＋1)＋(t ＋1)u(t) 10、信号()f t 波形如下图a 所示，则图b 的表达式是（ C ）。 图a 图b （A ）(4)f t - （B ）(3)f t -+ （C ）(4)f t -+ （D ）(4)f t - 11、已知()f t 的波形如图所示，则' ()f t 的波形为（ B ）。 12、函数)(t f 的波形如下图所示，则)(t f 的一次积分的波形为（ A ）。 （A ） （B ） （C ） （D ） 13、信号f(t)的波形如题（a ）图所示，则f(－2t ＋1)的波形是（ B ）。 14、下列各表达式中正确的是（ B ）。 （A ）)()2t (t δδ= （B ）)(21)2t (t δδ= （C ）)(2)2t (t δδ= （D ）)2(2 1 )t (2t δδ= 15、已知t t f sin )(=，则dt t t f )()4 (δπ ? ∞ ∞ -- ＝（ B ） 。 （A ）22 （B ）22- （C ）42 （D ）4 2 - 16、 ? -2 2)10(dt t t δ＝（ C ）。 （A ） 100 （B ） 10 （C ） 0 （D ） 4 17、积分 2 [1sin()](2)84t t t dt ππ δ∞ -∞ +++-?的值为（ C ）。 （A ）8 （B ）16 （C ）6 （D ）4 18、 (2)(3)t t dt δε∞ -∞ --? 的值为（ B ）。 （A ）1 （B ）0 （C ）2 （D ）不确定 19、积分 (2)sin t tdt δ∞ -∞ -? 等于（ A ）。 （A ）sin 2 （B ）0 （C ）sin 4 （D ）2 20、积分 ? ∞ ∞ --+dt t t )2()1(2δ的值为( D )。
1． 系统的激励是)t (e ，响应为)t (r ，若满足dt ) t (de )t (r = ，则该系统为 线性、时不变、因果。（是否线性、时不变、因果？） 2． 求积分dt )t ()t (212-+?∞ ∞-δ的值为 5 。 3． 当信号是脉冲信号f(t)时，其 低频分量 主要影响脉冲的顶部，其 高频 分量 主要影响脉冲的跳变沿。 4． 若信号f(t)的最高频率是2kHz ，则t)f(2的乃奎斯特抽样频率为 8kHz 。 5． 信号在通过线性系统不产生失真，必须在信号的全部频带内，要求系统 幅频特性为 一常数相频特性为_一过原点的直线（群时延）。 6． 系统阶跃响应的上升时间和系统的 截止频率 成反比。 7． 若信号的3s F(s)= (s+4)(s+2) ，求该信号的=)j (F ωj 3(j +4)(j +2)ωωω。 8． 为使LTI 连续系统是稳定的，其系统函数)s (H 的极点必须在S 平面的 左半平面 。 9． 已知信号的频谱函数是）） 00(()j (F ωωδωωδω--+=，则其时间信号f(t)为 01 sin()t j ωπ 。 10． 若信号f(t)的2 11 )s (s )s (F +-=，则其初始值=+)(f 0 1 。 二、判断下列说法的正误，正确请在括号里打“√”，错误请打“×”。（每小题2分，共10分） 1.单位冲激函数总是满足)()(t t -=δδ （ √ ） 2.满足绝对可积条件∞
信号与系统题库 一．填空题 1. 正弦信号)4/ 2.0sin(5)(ππ+=t t f 的周期为： 10 。 2. ))()1((t e dt d t ε--= )(t e t ε- 3. ττδd t ? ∞ -)(= )(t ε 4. ? +---?3 2 5d )1(δe t t t = 5. ? +∞ ∞ --?t t d )4/(δsin(t)π= 6. )(*)(t t εε= )(t t ε 7. LTI 系统在零状态条件下，由 引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应。 8. LTI 系统在零状态条件下，由 引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。 9. )(*)(t t f δ= )(t f 10. )('*)(t t f δ= )('t f 11. )(*)(21t f t f 的公式为 12. =2*)(t δ 13. 当周期信号)(t f 满足狄里赫利条件时，则可以用傅里叶级数表示： ∑∞ =++=1 110)]sin()cos([)(n n n t nw b t nw a a t f ，由级数理论可知：0a = ， n a = ，n b = 。 14. 周期信号)(t f 用复指数级数形式表示为： ∑∞ -∞ == n t jnw n e F t f 1)(，则 n F = 。 15. 对于周期信号的重复周期T 和脉冲持续时间τ（脉冲宽度）与频谱的关系是： 当
保持周期T 不变，而将脉宽τ减小时，则频谱的幅度随之 ，相邻谱线的间隔不变，频谱包络线过零点的频率 ，频率分量增多，频谱幅度的收敛速度相应变慢。 16. 对于周期信号的重复周期T 和脉冲持续时间τ（脉冲宽度）与频谱的关系是： 当保持周期脉宽τ不变，而将T 增大时，则频谱的幅度随之 ，相邻谱线的间隔变小，谱线变密，但其频谱包络线过零点的坐标 。 17. 对于非周期信号)(t f 的傅里叶变换公式为：)(w F = 。 反变换公式：)(t f = 18. 门函数???? ?< =其他 2||1 )(τ τt t g 的傅里叶变换公式为： 19. )()(2t t εδ+的傅里叶变换为： 20. t e 23-的频谱是 。 21. )(3t ε的频谱是 。 22. 如果)(t f 的频谱是)(w F ，则)(0t t f -的频谱是 。 23. 在时-频对称性中，如果)(t f 的频谱是)(w F ，则)(t F 的频谱是 。 24. 如果)(1t f 的频谱是)(1w F ，)(2t f 的频谱是)(2w F ，则)(*)(21t f t f 的频谱是 。 25. 如果)(t f 的频谱是)(w F ，则 )(t f dt d 的频谱是 。 26. 如果)(t f 的频谱是)(w F ，则ττd f t ? ∞ -)(的频谱是 。 27. 由于t jnw e 0的频谱为)(20w w -πδ，所以周期信号∑∞ -∞ == n t jnw n e F t f 1)(的傅里叶变 换)(w F = 。 28. 指数序列)(n a n ε的z 变换为 。 29. 单位脉冲序列)(n δ的z 变换为 。
模拟试题一及答案 一、（共20分，每小题5分）计算题 1.应用冲激函数的性质，求表示式25()t t dt δ∞ -∞?的值。 2．一个线性时不变系统，在激励)(1t e 作用下的响应为)(1t r ，激励)(2t e 作用下的响应为)(2t r ，试求在激励1122()()D e t D e t +下系统的响应。 （假定起始时刻系统无储能）。 3．有一LTI 系统，当激励)()(1t u t x =时，响应)(6)(1t u e t y t α-=,试求当激励())(23)(2t t tu t x δ+=时，响应)(2t y 的表示式。（假定起始时刻系统无储能）。 4．试绘出时间函数)]1()([--t u t u t 的波形图。 二、（15分，第一问10分，第二问5分）已知某系统的系统函数为25 ()32 s H s s s +=++，试 求（1）判断该系统的稳定性。（2）该系统为无失真传输系统吗？ 三、（10分）已知周期信号f (t )的波形如下图所示，求f (t )的傅里叶变换F (ω)。 四、（15分）已知系统如下图所示，当0 1)0('=-f 。试求： （1）系统零状态响应；（2）写出系统函数，并作系统函数的极零图；（3）判断该系统是否为全通系统。 六． （15分，每问5分）已知系统的系统函数()2 105 2+++=s s s s H ，试求：（1）画出直 接形式的系统流图；（2）系统的状态方程；（3）系统的输出方程。 一、（共20分，每小题5分）计算题 1.解:25()500t t dt δ∞ -∞=?=? 2．解: 系统的输出为1122()()D r t D r t + 3．解: ()()t t u t u t dt -∞?=?， ()()d t u t dx δ= ，该系统为LTI 系统。 故在()t u t ?激励下的响应126()6()(1)t t t y t e u t dt e ααα ---∞ =?=--? 在()t δ激励下的响应2 2 ()(6())6()6()t t d y t e u t e u t t dx αααδ--==-+ 在3()2()tu t t δ+激励下的响应1818 ()12()12()t t y t e e u t t αααδαα --=--+。 4 二、（10分）解:（1） 21255 ()32(2)(1)1,s s H s s s s s s s ++= = ++++∴=-=-2,位于复平面的左半平面 所以,系统稳定. (2) 由于6 ()(3)4) j H j j j ωωωω+= ≠+常数＋（，不符合无失真传输的条件，所以该系统不能对 输入信号进行无失真传输。 三、（10分） 信号与系统试题库 一、填空题： 1. 计算=---)3()()2(t t u e t δ)3(1--t e δ。 2. 已知1131)(+++=s s s X 的收敛域为3}Re{- 信号与系统复习题含答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 （C ）) (t δ+(-6e -t +8e -2t )u(t) （D ）3) (t δ +(-9e -t +12e -2t )u(t) 6、 连续周期信号的频谱具有 （A ） 连续性、周期性 （B ）连续性、收敛性 （C ）离散性、周期性 （D ）离散性、收敛性 7、 周期序列2)455.1(0+k COS π的 周期N 等 于 (A) 1 （B ）2 （C ）3 （D ） 4 8、序列和() ∑∞ -∞=-k k 1δ等于 （A ）1 (B) ∞ (C) ()1-k u (D) ()1-k ku 9、单边拉普拉斯变换 ()s e s s s F 2212-+= 的愿函数等于 10、信号 ()()23-=-t u te t f t 的单边拉氏变换()s F 等于 二、填空题（共9小题，每空3分，共30分） 1、 卷积和[（） k+1 u(k+1)]*)1(k -δ=______________________ __ 2、 单边z 变换F(z)= 12-z z 的原序列 f(k)=______________________ 3、 已知函数f(t)的单边拉普拉斯变换 F(s)=1+s s ，则函数y(t)=3e -2t ·f(3t)的单边拉 普拉斯变换 Y(s)=_________________________ 4、 频谱函数F(j ω)=2u(1-ω)的傅里叶逆变换 f(t)=__________________ 5、 单边拉普拉斯变换 s s s s s F +++= 221 3)(的原函数 f(t)=__________________________ 6、 已知某离散系统的差分方程为 ) 1(2)()2()1()(2-+=----k f k f k y k y k y ，则系统的单位序列响应 h(k)=_______________________ 7、 已知信号f(t)的单边拉氏变换是F(s),则信号 ? -=2 )()(t dx x f t y 的单边拉氏变换 Y(s)=______________________________ 8、描述某连续系统方程为 该系统的冲激响应h(t)= 9、写出拉氏变换的结果()=t u 66 ，=k t 22 三（8分）已知信号 ()()()???? ?><==?./1,0,/1,1s rad s rad jw F j F t f ωωω设有函数()(), dt t df t s = 求? ?? ??2ωs 的傅里叶逆变换。 四、（10分）如图所示信号 ()t f ，其傅里叶变换 ()()[]t f jw F F =，求（1） ()0F （2） ()?∞ ∞-dw jw F 五、（12）分别求出像函数()25232 +-= z z z z F 在下列 三种收敛域下所对应的序列 （1）2?z （2） 5 .0?z （3）2 5.0??z 六、（10分）某LTI 系统的系统函数 ()1222 ++= s s s s H ，已知初始状态 ()(),20,00=='=--y y 激励()(),t u t f =求该系统 的完全响应。 试题三 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分，共30分) 1.设：如图—1所示信号。 则：信号f(t)的数学表示式为( )。 (A)f(t)=t ε(t)-t ε(t-1) (B)f(t)=t ε(t)-(t-1)ε(t-1) (C)f(t)=(1-t)ε(t)-(t-1)ε(t-1) (D)f(t)=(1+t)ε(t)-(t+1)ε(t+1) 2.设：两信号f 1(t)和f 2(t)如图—2。则：f 1(t)与f 2(t)间变换关系为( )。 (A)f 2(t)=f 1(2 1t+3) (B)f 2(t)=f 1(3+2t) (C)f 2(t)=f 1(5+2t) (D)f 2(t)=f 1(5+2 1t) 3.已知：f(t)=SgN(t)的傅里叶变换为F(j ω)=ω j 2, 则：F 1(j ω)=j πSgN(ω)的傅里叶反变换f 1(t)为( )。 (A)f 1(t)=t 1 (B)f 1(t)=-t 2 (C)f 1(t)=-t 1 (D)f 1(t)=t 2 4.周期性非正弦连续时间信号的频谱，其特点为( )。 (A)频谱是连续的，收敛的 (B)频谱是离散的，谐波的，周期的 (C)频谱是离散的，谐波的，收敛的 (D)频谱是连续的，周期的 5.设：二端口网络N 可用A 参数矩阵{a ij }表示，其出 端与入端特性阻抗为Z c2、Z c1，后接载Z L ，电源? U s 的频率为ωs ，内阻抗为Z s 。则：特性阻抗Z c1、Z c2仅与 ( )有关。 (A){a ij }，Z L (B){a ij },Z L ,Z s (C){a ij },ωs , *U s (D){a ij } 6.设：f(t)?F(j ω) 则：f 1(t)=f(at+b) ?F 1(j ω)为( ) (A)F 1(j ω)=aF(j a ω)e -jb ω (B)F 1(j ω)=a 1 F(j a ω)e -jb ω信号与系统试题库
---s e s s st 。 4. 单位阶跃响应)(t g 是指系统对输入为)(t u 的零状态响应。 5. 系统函数为) 3)(2(1 )(++=s s s H 的LTI 系统是稳定的，则)(s H 的收敛域为 2}R e {->s 。 6. 理想滤波器的频率响应为???? ?<≥=π ωπωω100, 0100, 2)(j H ， 如果输入信号为 )120cos(5)80cos(10)(t t t x ππ+=, 则输出响应y(t) =)120cos(10t π。 7. 因果LTI 系统的系统函数为3 42 )(2+++= s s s s H , 则描述系统的输入输出关系的微 分方程为 )(2) ()(3)(4)(2 2t x dt t dx t y dt t dy dt t y d +=++。 8. 一因果LTI 连续时间系统满足： )(2) (3)()(6)(5)(2 222t x dt t dx dt t x d t y dt t dy dt t y d ++=++，则系统的单位冲激响应)(t h 为 )(2)(3t u e t t --δ 。 9.对连续时间信号)600cos(5)400sin(2)(t t t x a ππ+=进行抽样，则其奈奎斯特率为 π1200。 10. 给定两个连续时间信号)(t x 和)(t h , 而)(t x 与)(t h 的卷积表示为)(t y ，则)1(-t x 与 )1(+t h 的卷积为)(t y 。 11. 卷积积分=+-)(*)(21t t t t x δ)(21t t t x +-。 12. 单位冲激响应)(t h 是指系统对输入为 )(t δ的零状态响应。 13. )(2t u e t -的拉普拉斯变换为 2}Re{,2 1 ->+s s 。 14. 已知31 21)(+++=s s s X 的收敛域为2}Re{3-<<-s , )(s X 的逆变换为 )()(23t u e t u e t t ----。 15. 连续LTI 系统的单位冲激响应)(t h 满足绝对可积∞信号与系统复习题含答案完整版
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