初二几何第2单元疑难问题集锦
一?选择题（共10小题）
1. 如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M ,
若CM=5,贝U CE+CF2等于（）
A. 75
B. 100
C. 120
D. 125
2. 等腰Rt A ABC中，/ BAC=90, D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F,若BF=12则厶FBC的面积为（）
A. 40
B. 46
C. 48
D. 50
3. 如图，将两个大小、形状完全相同的△ ABC和厶A B拼在一起，其中点A 与点A重合，点C落在边AB上，连接B'.若/ ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则B'的长为（）
4. 如图，在Rt A ABC 中，/ ACB=90, CD L AB,垂足为D, AF 平分/ CAB 交
CD于点E,交CB于点F.若AC=3, AB=5,贝U CE的长为（
5?如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形, 如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为 m ，
6.
要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ）
① 有两条直角边对应相等； ② 有两个锐角对应相等； ③ 有斜边和一条直角边对应相等； ④ 有一条直角边和一个锐角相等； ⑤ 有斜边和一个锐角对应相等； ⑥ 有两条边相等.
A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个 7.
如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的
正方形图案，已 知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角 边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其 中说法正确的是（ ）
A .①②
B .①②③ C.①②④ D .
①②③④
D . 那么（m+n ）2的值为（
25 D .无答案
8. 如图，锐角△ ABC中，D、E分别是AB AC边上的点，△ ADG^A ADC, △AEB^A AEB,且G D/ EB7/ BC, BE、CD交于点F.若/ BAC=35,则/ BFC的大
小是（）
A. 105°
B. 110°
C. 100°
D. 120°
9. 如图甲是我国古代著名的赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6 BC=5将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的数学风车”则这个风车的外围周长是（）
A. 52
B. 42
C. 76
D. 72
10. 如图，△ ABC面积为1,第一次操作：分别延长AB，BC, CA至点A i，B i, C i,使A1B=AB C1B=CB C1A=CA 顺次连接A1，B1，C，得到△
A1B1C1 .第二次操作：分别延长A1B1,B1C1,C1A1 至点A Z,B2,C2,使
A2B1=A1B1,B2C1=B I C1,QA1=C1A1,顺次连接A2, B2, C2,得到△ A2B2C2, ??按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过（）次操作.
A
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
二?填空题（共9小题）
11. 在正三角形△ ABC所在平面内有一点P,使得△ PAB △ PBC △ PAC都是等腰三角形，则这样的P点有________ 个.
12. 如图，在锐角厶ABC中，/ BAC=45, AB=2,Z BAC的平分线交BC于点D, M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是_______ .
13. 在Rt A ABC中，/ C=90°, BC=8cm AC=4cm 在射线BC上一动点D,从点
B出发，以一?厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶
点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为_________ 秒.（结果可含根号）. 14. 如图，已知/ AON=40，0A=6,点P是射线ON上一动点，当△ AOP为直角
三角形时，/ A= ______ ,
Q P N
15. _________ 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），/ AON=30，当/ A= 时，△ AOP为直角三角形.
16. 如图，在△ ABC中，AB=BC=8 AO=BQ点M是射线CO上的一个动点，/ AOC=60,则当△ ABM为直角三角形时，AM的长为________ .
17. 如图，在 Rt A ABC 中，/ C=90°, AC=10, BC=5 线段 PQ=AB P, Q 两点分 别在AC 和过点A 且垂直于AC 的射线AO 上运动，当AP= ________ 时，△ ABC 和 △ PQA 全等.
18. 如图1,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称 它为赵爽弦图”此图案的示意图如图2,其中四边形ABCD 和四边形EFGH 都是 正方形，△ ABF △ BCG △ CDH △ DAE 是四个全等的直角三角形.若 EF=2
C
B
三?解答题（共11小题）
20.如图，在△ ABC中，M为BC的中点，DM丄BC, DM与/BAC的角平分线交
于点D，DE丄AB, DF丄AC, E、F为垂足，求证：BE=CF
21.已知：如图，△ ABC中，/ ABC=45, CD丄AB 于D，BE平分/ ABC，且BE 丄AC于E,与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G. （1）求证：BF=AC
22 .如图，D为AB上一点，△ ACE^A BCD, AD2+DB2=D^，试判断厶ABC的形
23. 把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE, AD, AD的延长线交BE于点F.
说明：AF丄BE
3
24. 图1、图2是两张形状大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1,线段AB EF的端点均在小正方形的顶点上.
(1)如图1,作出以AB为对角线的正方形并直接写出正方形的周长；
(2)如图2,以线段EF为一边作出等腰厶EFG(点G在小正方形顶点处)且顶角为钝角，并使其面积等于4.
團1 圏2
25. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1 ,每个小格的顶点叫做格点, 以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；
(3)在图3中，画一个正方形，使它的面积是10.
26. 如图，△ ABC 中，/ B=90°, AB=3, BC=4 若CD=12, AD=13.求阴影部分
的面积.
27. 如图，在△ ACB 中，/ ACB=90 , CD 丄AB 于 D . (1) 求证：/ ACD=Z B ;
(2) 若AF 平分/ CAB 分别交CD BC 于E 、F ,求证：/ CEF 2 CFE
28. 如图所示，在△ ACB 中，/ ACB=90, /仁/ B . (1) 求证：CD 丄AB ;
(2) 如果 AC=8 BC=6 AB=10,求 CD 的长.
29. 如图，在厶ABC 中，/ B=90°, M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD 丄 BC,且交/ BAC 的平分线于点 D ,求证：MD=MA .
A
n
5
\
C
4 9
30. 已知，在△ ABC 中，AC=BC / ACB=90，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边 上一点.
（1） 直线BF 丄CE 于点F ,交CD 于点G （如图①），求证：AE=CG （2） 直线AH 丄CE 于点H ,交CD 的延长线于点M （如图②），找出图中与BE
z?
相等的线段，并证明.
初二几何第2单元疑难问题集锦
参考答案与试题解析
一?选择题（共10小题）
1.如图：在△ ABC中，CE平分/ ACB CF平分/ ACD,且EF// BC交AC于M ,若CM=5,贝U CE+CF2等于（）
A. 75
B. 100
C. 120
D. 125
【解答】解：：CE平分/ ACB, CF平分/ ACD,
???/ ACE寺/ ACB / ACF寺/ ACD,即/ ECF= (/ ACB^Z ACD) =90°,???△ EFC为直角三角形，
又T EF// BC, CE平分/ ACB CF平分/ ACD,
???/ ECB2 MEC=Z ECM , / DCF=/ CFM=Z MCF,
??? CM=EM=MF=5 EF=10
由勾股定理可知CE+CF^EFMOO.
故选B.
2.等腰Rt A ABC中，/ BAC=90 , D是AC的中点，ECL BD于E,交BA的延长线于F ,若BF=12则厶FBC的面积为（）
A. 40
B. 46
C. 48
D. 50
【解答】解：：CEL BD ,
:丄 BEF=90,
vZ BAC=90,
:丄 CAF=90,
???Z FAC Z BAD=90 , Z ABD+Z F=90°, Z ACF+Z F=90°, ???Z ABD=Z ACF ,
???在厶ABD 和A ACF 中
ZBAD=ZCAF
AB=AC
, ZABD=ZACF
? △ ABD ^A ACF ,
? AD=AF
v AB=AC D 为 AC 中点,
? AB=AC=2AD=2AF
v BF=ABAF=12
? 3AF=12 ? AF=4
? AB=AC=2AF=8
? △ FBC 的面积是丄 X BF X AC 二 X 12X 8=48 ,
2 2 故选C .
3?如图,将两个大小、形状完全相同的△ ABC 和厶A B 拼在一起,其中点 A 与点A 重合，点C'落在边AB 上,连接B C 若Z ACB=/ AC B' =90AC=BC=3则 B'的长为（
）
A . 3 - B. 6 C. 3 * D. 1汀
[
【解答】解：I/ ACBKAC B' =90AC=BC=3 ?i AB= ［「j | =3 '_,/ CAB=45,
???△ ABC 和△ A B'大I 、、形状完全相同， ???/ C' AB /=AB=45, AB =AB=3, ???/ CAB =9Q°
:B C =：J-甘 J =3 ：:，
故选：A .
4.如图，在 Rt A ABC 中，/ ACB=90，CD 丄AB,垂足为 D , AF 平分/ CAB 交
v/ ACB=90，CD 丄 AB,
???/ CDA=90,
???/ CAF+/ CFA=90, / FA&/ AED=90 ,
v AF 平分/ CAB
???/ CAF=/ FAD,
???/ CFA=/ AED=/ CEF ??? CE=CF
v AF 平分/ CAB / ACF=/ AGF=90 ,
??? FC=FG
v/ B=/ B , / FGB=/ ACB=90 ,
???△ BF3A BAC, :-
FG
AB = AC '
【解答】解：过点F 作FG 丄AB 于点G ， 则CE 的长为（
??? AC=3 AB=5, / ACB=90, ??? BC=4
5?如图，是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形， 如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是2,直角三角形较长的直角边为 较短的直角边为n ，那么（m+n ）2的值为（
）
A . 23 B. 24 C. 25 D .无答案
【解答】解：（m+n ）2=m 2+n 2+2m 门=大正方形的面积+四个直角三角形的面积和
(13- 1) =25. 故选C .
6.
要判定两个直角三角形全等，下列说法正确的有（ ）
① 有两条直角边对应相等； ② 有两个锐角对应相等；
=13+ 即CE 的长为3
2
③有斜边和一条直角边对应相等；
④ 有一条直角边和一个锐角相等； ⑤ 有斜边和一个锐角对应相等； ⑥ 有两条边相等.
A . 6个B. 5个C. 4个D. 3个
【解答】解：①有两条直角边对应相等，可以利用 SAS 证明全等，正确; ② 有两个锐角对应相等，不能利用 AAA 证明全等，错误； ③ 有斜边和一条直角边对应相等，可以利用 HL 证明全等，正确； ④ 有一条直角边和一个锐角相等，不一定可以利用 AAS 证明全等，错误; ⑤ 有斜边和一个锐角对应相等，可以利用 AAS 证明全等，正确； ⑥ 有两条边相等，不一定可以利用 HL 或SAS 证明全等，错误； 故选D .
7. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已 知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x 、y 表示直角三角形的两直角 边（x >y ），下列四个说法：① x 2+y 2=49，②x -y=2，③ 2xy+4=49，④x+y=9.其 中说法正确的是（ ）
A .①②
B .①②③ C.①②④ D .①②③④
①
-②得2xy=45 ③,
2xy+4=49,
① + ③得 x 2+2xy+y 2=94，
.?.（ x+y ） 2=94，
.①②③正确，④错误. 故选B
8. 如图，锐角△ ABC 中，D 、E 分别是 AB AC 边上的点，△ ADG^A ADC , △
【解答】 解: 由题意
AEB^A AEB,且G D/ EB7/ BC, BE、CD交于点F.若/ BAC=35,则/ BFC的大
小是（）
A. 105°
B. 110°
C. 100°
D. 120°
【解答】解：设/ C =,Z B'=,
???△ADC^A ADC, △AEB^A AEB,
???/ ACD=/ C' =, Z ABE=Z B' =，/ BAE=Z B' AE=35
???/ C' DB Z BACACD=35+a, Z CEB =35°.
???C' / EB'// BC,
???Z ABC=/ C DB Z BACACD=35+a, Z ACB=/ CEB =3倂B,
???Z BAG Z ABO Z ACB=180, 即卩105° + a+B =180：
则a+B =75：
?Z BFC Z BDG Z DBE,
?Z BFC=35+a+B =35+75°=110°.
9. 如图甲是我国古代著名的赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6 BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的数学风车”则这个风车的外围周长是（）
【解答】解：依题意得，设 数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为X ,则 貳=122+52=169, 解得x=13.
故数学风车”的周长是：（13+6）X 4=76. 故选：C.
10. 如图，△ ABC 面积为1,第一次操作：分别延长 AB , BC, CA 至点A i , B i , C 1 ,使 A 1B=AB GB=CB GA=CA 顺次连接 A , B 1 , C ，得到△ A 1B 1C 1 .第二次 操作：分别延长 A 1B 1 , B 1C 1 , C 1A 1 至点 A 2 , B 2 , C 2 ,使 A 2B 1=AB 1, B 2C 1=B I C 1 , C 2A 1=C 1A 1 , 顺次连接A 2 , B 2 , C 2 ,
积比为1： 2
,
得到△ A 2B2C 2, ??按此规律，要使得到的三角形的面积超 过2014,最少经过（
）次操作.
C. 5
D . 4
【解答】解: △ ABC 与厶A i BBi 底相等 (AB=AB ),高为 1： 2 (BB i =2BC ),故面 A . 7 B. 6
4
S A1B1B F2.
同理可得，S\CIBI（=2,S\AAIC=2,
S\ A1B1C=S\ C1B1（+S\ AA1C+S^ A1B1B+S\ ABC=2+2+2+1=7；
同理可证厶A2B2C2的面积=7XA A1B1C1的面积=49,
第三次操作后的面积为7X 49=343,
第四次操作后的面积为7X 343=2401.
故按此规律，要使得到的三角形的面积超过2014,最少经过4次操作.
故选D.
二?填空题（共9小题）
11 ?在正三角形△ ABC所在平面内有一点P,使得△ PAB △ PBC △ PAC都是等腰三角形，则这样的P点有10 个.
【解答】解：（1）点P在三角形内部时，点P是边AB、BC CA的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的.
每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个，故答案为：10.
12.如图，在锐角厶ABC中，/ BAC=45, AB=2,Z BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，贝U BM+MN的最小值是—丄_ .