（数学选修1-1）第三章 导数及其应用综合训练
姓名：___________ 学号：____________ 班次：____________ 成绩：__________
一、选择题
1．函数()323922y x x x x =---<<有（ ）
A ．极大值5，极小值27-
B ．极大值5，极小值11-
C ．极大值5，无极小值
D ．极小值27-，无极大值
2．若'0()3f x =-，则000()(3)
lim h f x h f x h h →+--=（ ）
A ．3-
B ．6-
C ．9-
D ．12-
3．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（
） A ．(1,0) B ．(2,8)
C ．(1,0)和(1,4)--
D ．(2,8)和(1,4)--
4．()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =,则
()f x 与()g x 满足（ ）
A ．()f x =()g x
B ．()f x -()g x 为常数函数
C ．()f x =()0g x =
D ．()f x +()g x 为常数函数
5．函数x x y 1
42+=单调递增区间是（ ）
A ．),0(+∞
B ．)1,(-∞
C ．),21
(+∞ D ．),1(+∞
6．函数x x
y ln =的最大值为（ ）
A ．1-e
B ．e
C ．2e
D ．310
二、填空题
1．函数2cos y x x =+在区间[0,]2π
上的最大值是 。
2．函数3()45f x x x =++的图像在1x =处的切线在x 轴上的截距为________________。
3．函数32x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________。
4．若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数，则,,a b c 的关系式为是 。
5．函数322(),f x x ax bx a =+++在1=x 时有极值10，那么b a ,的值分别为________。
三、解答题
1． 已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直，求0x 的值。
2．如图，一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去
四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长
为多少时，盒子容积最大？
3． 已知c bx ax x f ++=2
4)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-
（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。
4．平面向量13(3,1),(,22
a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试确定函数()k f t =的单调区间。
（数学选修1-1）第三章 导数及其应用综合训练参考答案
一、选择题
1．C '23690,1,3y x x x x =--==-=得，当1x <-时，'0y >；当1x >-时，'0y < 当1x =-时，5y =极大值；x 取不到3，无极小值
2．D '0000000()(3)()(3)lim 4lim 4()124h h f x h f x h f x h f x h f x h h
→→+--+--===- 3．C 设切点为0
(,)P a b ，'2'2()31,()314,1f x x k f a a a =+==+==±， 把1a =-，代入到3()2f x x x =+-得4b =-；把1a =，代入到3()2f x x x =+-得0b =，所以0(1,0)P 和(1,4)--
4．B ()f x ,()g x 的常数项可以任意
5．C 令3'
222181180,(21)(421)0,2x y x x x x x x x -=-=>-++>> 6．A 令'''
22(ln )ln 1ln 0,x x x x x y x e x x -?-====，当x e >时，'0y <；当x e <时，'0y >，1()y f e e ==极大值，在定义域内只有一个极值，所以max 1y e
= 二、填空题
1．
36+π '12s i n 0,6y x x π=-==，比较0,,62ππ处的函数值，得max 6
y π=+2．37- '2'3()34,(1)7,(1)10,107(1),0,7
f x x f f y x y x =+==-=-==-时 3．2(0,)3 2(,0),(,)3-∞+∞ '22320,0,3y x x x x =-+===或 4．20,3a b ac >≤且 '2()320f x ax bx c =++>恒成立，
则220,0,34120a a b ac b ac >?>
?=-
f x x a x b f a b f a a b =++=++==+++= 22334,,3
119a b a a b b a a b +=-=-=??????==-++=???或，当3a =-时，1x =不是极值点 三、解答题
1．解：00'''2'2
10202,|2;3,|3x x x x y x k y x y x k y x ========
312001,61,6
k k x x =-=-=-。 2．解：设小正方形的边长为x 厘米，则盒子底面长为82x -，宽为52x - 32(82)(52)42640V x x x x x x =--=-+
'2'10125240,0,1,3V x x V x x =-+===令得或，103
x =（舍去） (1)18V V ==极大值，在定义域内仅有一个极大值，
18V ∴=最大值
3．解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，
'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=
切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)- 得591,,22
a b c a b ++=-==-得 4259()122
f x x x =-+
（2）'3()1090,0,f x x x x x =-><<>或
单调递增区间为(,0),()1010
-+∞ 4．解：由13(3,1),(,2a b =-=得0,2,1a b a b === 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-= 33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=- '233()0,1,144f t t t t =-><->得或；2330,1144
t t -<-<<得 所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,1)-。
导数 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 例6. 设函数3 2 ()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 （1）求a 、b 的值； （2）若对于任意的[03]x ∈， ，都有2 ()f x c <成立，求c 的取值范围。 点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数()x f 的极值步骤：①求导数()x f '； ②求()0'=x f 的根；③将()0'=x f 的根在数轴上标出，得出单调区间，由()x f '在各区间上取值的正负可确定并求出函数()x f 的极值。
例7. 已知a 为实数，()() ()a x x x f --=42 。求导数()x f '；（2）若()01'=-f ，求() x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。 解析：（1）()a x ax x x f 442 3 +--=，∴ ()423'2 --=ax x x f 。 （2）()04231'=-+=-a f ，2 1= ∴a 。()()()14343'2 +-=--=∴x x x x x f 令()0'=x f ，即()()0143=+-x x ，解得1-=x 或3 4 =x ， 则()x f 和()x f '在区间[] 2,2- ()2 91= -f ，275034-=??? ??f 。所以，()x f 在区间[]2,2-上的最大值为 275034-=?? ? ??f ，最 小值为()2 9 1= -f 。 答案：（1）()423'2 --=ax x x f ；（2）最大值为275034- =?? ? ??f ，最小值为()2 91=-f 。 点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数()x f 在区间[]b a ,上的最值，要先求出函数()x f 在区间()b a ,上的极值，然后与()a f 和()b f 进行比较，从而得出函数的最大最小值。 考点七：导数的综合性问题。 例8. 设函数3 ()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线 670x y --=垂直，导函数'()f x 的最小值为12-。（1）求a ，b ，c 的值； （2）求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
高二数学《导数》知识要点总结 导数：导数的意义-导数公式-导数应用 1、导数的定义：在点处的导数记作. 2.导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率 ①k=f/表示过曲线y=f上P)切线斜率。V=s/表示即时速度。a=v/表示加速度。 3.常见函数的导数公式:①;②;③; ⑤;⑥;⑦;⑧。 4.导数的四则运算法则： 5.导数的应用： 利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数; 注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。 求极值的步骤： ①求导数;
②求方程的根; ③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值; 求可导函数最大值与最小值的步骤： ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。 导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧! 导数是微积分中的重要基础概念。当函数y=f 的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'或df/dx。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线
斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续;不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f，x↦f'也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。 设函数y=f在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处有增量Δx，也在该邻域内时，相应地函数取得增量Δy=f-f;如果Δy与Δx之比当Δx →0时极限存在，则称函数y=f在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f在点x0处的导数记为f'，也记作y'│x=x0或dy/dx│x=x0
1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所 示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程 9 )32()(2 +- =a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．
5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值． 8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2 2 ()()6g x f x x '=+- ，试证明：对任意两个不相 等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27 g x g x x x ->-恒成立．
导数及应用 《导数及其应用》单元测试卷 一、 选择题 1．已知物体的运动方程是 s 1 t 4 4t 3 16t 2 （ t 表示时间， s 表示位移），则瞬时速度为 4 0 的时刻是：（ ） A ． 0 秒、 2 秒或 4 秒 B ． 0 秒、 2 秒或 16 秒 C ． 2 秒、 8 秒或 16 秒 D ． 0 秒、 4 秒或 8 秒 2．下列求导运算正确的是（ ） A ． ( x 1 ) 1 1 B ． (log 2 x) 1 x x 2 x ln 2 C ． (3x ) 3x log 3 e D ． x 2 cos x 2sin x 3．曲线 y x 3 2x 4 在点 (13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 120° 4．函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（ ） s s s s O tO tO t O t A ． 1 B ． C ． D ． 6．设函数 f (x) 2x 1(x 0), 则 f ( x) （ ） x A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 7．如果函数 y=f ( x ) 的图像如右图，那么导函数 y=f ( x ) 的图像可能是 （ ） 8．设 f ( x) x ln x ，若 f '(x 0 ) 2 ，则 x 0 （ ） A ． e 2 B ． e C ． ln 2 D ． ln 2 2
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
高二数学导数单元测试题（有答案） （一）．选择题 （1）曲线32 31y x x =-+在点（1，-1）处的切线方程为（ ） A ．34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y ＝a x 2 ＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝ ( ) A ． 18 B ．41 C ．2 1 D ．1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A ．),2(+∞ B ．)2,(-∞ C ．)0,(-∞ D ．（0，2） (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上，其切线的倾斜角小于 4 π 的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 （6）函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 （ ） A ．0a > B ．0a ≥ C ．0a < D ．0a ≤ （7）函数3 ()34f x x x =- （[]0,1x ∈的最大值是（ ） A ． 1 2 B ． -1 C ．0 D ．1 （8）函数)(x f =x （x －1）（x －2）…（x －100）在x ＝0处的导数值为（ ） A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100！ （9）曲线313y x x = +在点413?? ???，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19 Ｂ．29 Ｃ．13 Ｄ．23 （二）．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y ＋1=0且与曲线y = x 3 ＋3x －5相切的直线方程是 。 （2）．设 f ( x ) = x 3 － 2 1x 2 －2x ＋5，当]2,1[-∈x 时，f ( x ) < m 恒成立，则实数m 的取值范围为 . （3）．函数y = f ( x ) = x 3＋ax 2＋bx ＋a 2 ，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。 （4）．已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值，那么a = ；b = （5）．已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 （6）．已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值
数学选修2-2导数及其应用知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？
1 / 4 一、选择题（每小题5分，共70分．每小题只有一项是符合要求的） 1．设函数()y f x =可导，则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于（ ）． A ．'(1)f B ．3'(1)f C ．1 '(1)3 f D ．以上都不对 ２．已知物体的运动方程是4321 4164 S t t t =-+（t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度 为0的时刻是（ ）． A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 ３．若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）． A B ． C ．23 D ．23 或0 ４．若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）． A ．[0,]π B ．2[0,)[,)23 ππ π C ．2[,)3ππ D ．2[0,)(,)223 πππ ５．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图 所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ 3 x )． C ．(3,)-+∞ D ．(,3)-∞- ７．已知函数32 ()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值、极小 值分别为（ ）． A ．427 ，0 B ．0，427 C ．427- ，0 D ．0，4 27 - 8．由直线21=x ，2=x ，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面积是（ ）． A. 415 B.417 C.2ln 21 D.2ln 2 9．函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ）．
专题8：导数（文） 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ，处的切线方程是1 22 y x = +，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1(1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线3 2 242y x x x =--+在点(13)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(13)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例 4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。 解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在 () 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴
导数及其应用综合检测 时间120分钟，满分150分。 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2010·全国Ⅱ文，7)若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则() A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1 2．一物体的运动方程为s＝2t sin t＋t，则它的速度方程为() A．v＝2sin t＋2t cos t＋1 B．v＝2sin t＋2t cos t C．v＝2sin t D．v＝2sin t＋2cos t＋1 3．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是() A．4 B．5 C．6 D．7 4．函数y＝x|x(x－3)|＋1() A．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝1 B．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1 C．极大值为f(2)＝5，极小值为f(0)＝f(3)＝1 D．极大值为f(2)＝5，极小值为f(3)＝1，f(－1)＝－3 5．(2009·安徽理，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是() A．y＝2x－1 B．y＝x C．y＝3x－2 D．y＝－2x＋3 6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a等于() A．2 B．3 C．4 D．5 7．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)
＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集是( ) A ．(－3,0)∪(3，＋∞) B ．(－3,0)∪(0,3) C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(0,3) 8．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①④ 9．(2010·湖南理，5)??2 4 1x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 10．已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在x ∈(－∞， ＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4
高二数学《导数》知识点总结 一、早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f-f,发现的因子E就是我们所说的导数f'。 二、17世纪----广泛使用的“流数术”17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展在前人创造性研究的基础上大数学家牛顿、莱布尼茨等从不同的角度开始系统地研究微积分。牛顿的微积分理论被称为“流数术”他称变量为流量称变量的变化率为流数相当于我们所说的导数。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷级数》流数理论的实质概括为他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程在于自变量的变化与函数的变化的比的构成最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。 三、19世纪导数----逐渐成熟的理论1750年达朗贝尔在为法国科学家院出版的《百科全书》第五版写的“微分”条目中提出了关于导数的一种观点可以用现代符号简单表示{dy/dx)=lim。1823年
柯西在他的《无穷小分析概论》中定义导数如果函数y=f在变量x的两个给定的界限之间保持连续并且我们为这样的变量指定一个包含在这两个不同界限之间的值那么是使变量得到一个无穷小增量。19世纪60年代以后魏尔斯特拉斯创造了ε-δ语言对微积分中出现的各种类型的极限重加表达导数的定义也就获得了今天常见的形式。 四、实无限将异军突起微积分第二轮初等化或成为可能微积分学理论基础大体可以分为两个部分。一个是实无限理论即无限是一个具体的东西一种真实的存在另一种是潜无限指一种意识形态上的过程比如无限接近。就历史来看两种理论都有一定的道理。其中实无限用了150年后来极限论就是现在所使用的。光是电磁波还是粒子是一个物理学长期争论的问题后来由波粒二象性来统一。微积分无论是用现代极限论还是150年前的理论都不是最好的手段。 一、早期导数概念----特殊的形式大约在1629年法国数学家费马研究了作曲线的切线和求函数极值的方法1637年左右他写一篇手稿《求最大值与最小值的方法》。在作切线时他构造了差分f-f,发现
《导数及其应用》单元测试 一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共计70 分） 1、函数()cos sin f x x x x =+的导数()f x '= ； 2、曲线2 4x y =在点(2,1)P 处的切线斜率k =_________ ___； 3、函数13)(2 3+-=x x x f 的单调减区间为_________ __ _____； 4、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =__________ ______； 5、函数3 2 ()32f x x x =-+的极大值是___________； 6、曲线3 2 ()242f x x x x =--+在点(1,3)-处的切线方程是________________； 7、函数93)(2 3 -++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =_______ __； 8、设曲线2 ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ____________； 9、已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为2 1 ，则切点的横坐标为_____________； 10、曲线3 x y =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 ； 11、已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ， 则M m -=___________； 12、设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ； 13、已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中)(x f '是函数))(的导函数x f ， 下面四个图象中)(x f y =的图象大致是______ ______； ① ② 14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形， 记2 (S =梯形的周长） 梯形的面积 ，则S 的最小值是___ ____。
一、选择题（每小题5分，共70分．每小题只有一项是符合要求的） 1．设函数()y f x =可导，则0(1)(1) lim 3x f x f x ?→+?-?等于（ ）． A ．'(1)f B ．3'(1)f C ．1 '(1)3 f D ．以上都不对 ２．已知物体的运动方程是4321 4164 S t t t =-+（t 表示时间，S 表示位移），则瞬时速度 为0的时刻是（ ）． A ．0秒、2秒或4秒 B ．0秒、2秒或16秒 C ．2秒、8秒或16秒 D ．0秒、4秒或8秒 ３．若曲线21y x =-与31y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x 等于（ ）． A B ． C ．23 D ．23或0 ４．若点P 在曲线323 3(34 y x x x =-++上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）． A ．[0,]π B ．2[0,)[,)23 ππ π C ．2[,)3ππ D ．2[0,)(,)223πππ ５．设'()f x 是函数()f x 的导数，'()y f x =的图像如图 所示，则()y f x =的图像最有可能的是（ ）． ６．函数3 ( )2f x x ax =+-在区间[1,) +∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．[3,)+∞ B ．[3,)-+∞ C ．(3,)-+∞ D ．(,3)-∞- ７．已知函数3 2 ()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0)，则()f x 的极大值、极小值分别为（ ）． '()f x
A ． 427 ，0 B ．0，427 C ．427- ，0 D ．0，4 27 - 8．由直线21=x ，2=x ，曲线x y 1 =及x 轴所围图形的面积是（ ）． A. 415 B. 4 17 C. 2ln 21 D. 2ln 2 9．函数3 ()33f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则（ ）． A ．01b << B ．1b < C ．0b > D ．12 b < 10．21y ax =+的图像与直线y x =相切，则a 的值为（ ）． A ．18 B ．14 C ．1 2 D ．1 11. 已知函数()x x x f cos sin +=，则=)4 ('π f （ ） A. 2 B.0 C. 22 D. 2- 12．函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值是（ ） A. 32 B. 16 C. 24 D. 17 13．已知 （m 为常数）在 上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ． 14.dx e e x x ? -+1 0)(= （ ） A ．e e 1 + B ．2e C ． e 2 D ．e e 1- 二、填空题（每小题5分,共30分） 15．由定积分的几何意义可知? --2 22 4x =_________． 16．函数 )0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是 ． 17．已知函数()ln f x ax x =-，若()1f x >在区间(1,)+∞内恒成立，则实数a 的范围为______________． 18．设 是偶函数，若曲线 在点 处的切线的斜率为1，则该曲线在 处的切线的斜率为_________．
导数练习题 1．（本题满分12分） 已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示． （I ）求d c ,的值； （II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式； （III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3 1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分） 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间； （II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为 ,2 3 若函数]2 )('[31)(23m x f x x x g ++= 在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围． 3．（本小题满分14分） 已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围； （II ）若方程9 )32()(2 +-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分） 已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． （I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值； （II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分） 已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）． （I ）求实数a 的值； （II ）求函数()f x 在]3,2 3[∈x 的最大值和最小值． 7．（本小题满分14分） 已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f
第三章导数及其应用单元测试 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后 的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。 1．函数y=x+2cosx在[0，]上取得最大值时，x的值为（）A．0 B．C．D． 2．函数的单调递减区间是（） A．B．C．D． 3．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是 （） 4．点P在曲线 上移动，设 点P处切线倾斜角为α， 则α的取值范围是 （）A．[0,] B．0,∪[,π C．[,πD．(, 5．已知（m为常数）在上有最大值3，那么此函数在 上的最小值为（） A．B．C．D． 6．函数的单调递增区间是（）A． B．(0,3) C．(1,4) D． 7．已知函数时，则（）
A．B． C．D． 8．设函数的导函数，则数列的前n项和是 （）A．B．C．D． 9．设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上为单调函数，则实数a的取值范围为（）A．[-,+∞] B．(-∞,-3) C．(-∞,-3)∪[－,+∞] D．[－,] 10．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)=f(2-x),且当x∈(-∞,1)时，(x-1)＜0,设a=f(0),b= f(),c= f(3),则（） A ．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 11．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（） A．B．C．D． 12．如图所示的是函数的大致图象，则等于（）A．B． C．D．
第Ⅱ卷 二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。 13．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________． 14．已知曲线交于点P，过P点的两条切线与x轴分别交于A，B两点，则△ABP的面积为； 15．函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为， 则不等式的解集为_____________ 16．若函数f(x)=(a>0)在[1，+∞）上的最大值为,则a的值为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6个大题，共74分)。 17．（12分）已知函数f(x)=x3-2ax2+3x(x∈R)． （1）若a=1,点P为曲线y=f(x)上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a．
导数的计算 教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点： 能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 一、 用定义计算导数 问题1：如何求函数()y f x c ==的导数？ 2．求函数()y f x x ==的导数 3．函数2()y f x x ==的导数 4．函数1()y f x x == 的导数 5 ．函数y = 二 1.基本初等函数的导数公式表 分几类 1、幂函数 2.三角函数 3指数函数 4.对数函数 补充 1 ()f x x = '21 ()f x x =- ( )f x = '()f x =
2公式的应用 典型题一、求导数 A x y x y x y x y y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5 )2()1(125==== ==、求下列函数的导数 例 思考 求()f x '的方法有哪些？ 3.导数的四则运算法则： 问题 ln x x ?如何求？ 推论：[]''()()cf x cf x = 提示：积法则,商法则, 都是 前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加 号, 商法则中间是减号.。 常见错误：[]'''()()()()f x g x f x g x ?= ' ''()()(()0)()()f x f x g x g x g x ??=≠???? 典型题二、导数的四则运算法则 例题3根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+
（2）sin y x x =?； （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）cos x y x lnx =- A 变式练习1 1y x x =+ sin (cos )x y x x e =- cos x y x = +lnx 2sin y x x = sin cos x y x = A 变式2.求下列函数的导数 （1）y=23x +3cosx, (2)y=(1+2x)(2x-3) (3)y=sin x x (4)y=2 ln 1x x + A 变式3．已知f （x ）=xcosx ﹣sinx ，则f′（x ）=（ ） 解：∵f （x ）=xcosx ﹣sinx ， ∴f ′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣cosx=﹣xsinx ， 已知函数f （x ）=2 x lnx ，则f′（x ）等于（ ） 函数y=e x sinx 的导数等于（ ） A ． e x cosx B ． e x sinx C ． ﹣e x cosx D ． e x （sinx+cosx ） 分析： 利用导数乘法法则进行计算，其中（e x ）′=e x ，sin ′x=cosx ． 解答： 解：∵y=e x sinx ， ∴y ′=（e x ）′sinx+（e x ）?（sinx ）′ =e x sinx+e x cosx
高二数学导数专题训练 一、选择题 1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3 y x x =+的递增区间是（ ） A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ） A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数3 13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足' (1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．' 02()f x - D ．0
导数单元测试题 11.29 一、填空题 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是_______ 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是________ 3．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则实数b 的范围是_______ 4．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为______ 5．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________ 6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是_______ 7．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为________ 8．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的______________条件 9． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 10．函数()ln f x x x =的单调递增区间是＿＿＿＿．