第二章 参数估计
课后习题参考答案
2.1 设总体X 服从二项分布()n X X X p p N B ,,,,11,,21 <<为其子样，求N 及p 的矩法估计。 解：
()()()p Np X D Np X E -==1,
令()
?????-==p Np S Np X 12
解上述关于N 、p 的方程得：
2.2 对容量为n 的子样，对密度函数22
(),0(;)0,0x x f x x x ααααα
?-?=??≤≥?
其中参数α的矩法估计。 解：12
2
()()a E x x
x dx α
αα==
-?
22
02
2
()x x dx α
α
α=-
?
232
1
22
133
3
αααααα
α
=
-
=-= 所以 133a x α∧
== 其中121,21
(),,
,n n x x x x x x x n
=
+++为n 个样本的观察值。
2.3 使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位：mm) 232.50，232.48，232.15，232.52，232.53，232.30 232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩法估计测量的真值和方差(设仪器无系统差)。
??
?
???
?
-=-==X S p S X X p X N 2221???
解：
()
()
()
∑∑====-=
===n
i i n
i i S X X n X D X X n X E 1
22
1
0255
.01
4025
.2321
2.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()10,1
,<<=ββ
βx f 的总
体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β。 解：
()
()()()4.22?2
,1
,407
.012
.110
1
2
2
1====
===
=-===?
?∑∑==X X
dx x
dx x xf X E x f X
X n S X n X n
i i n
i i β
β
β
ββ
ββ
β参数：总体方差：总体均值：
2.5 设n X X X ,,,21 为()1N ，
μ的一个字样，求参数μ的MLE ；又若总体为(
)2
1N σ，的
MLE 。 解：(1)
()()()()()
()()()
()
()X x n x x L x n x L e
x L x f e
x f n
i i n i i i n i i i x n
i
n
i i
x i n
i i i =∑=∑=-=??∑---=∑=
==
===--=--
=∏1
112
2
2
1
2
1?0,ln 212ln 2,ln 21
,,21,1
2
2
μ
μμ
μμπμπμμπ
μμμ
(2)
()
()()()()
()(
)
()()
()()2
1
2
1
2
4
222
1
2
22
212
2
1
2
21211?01212,ln 121ln 2ln 2,ln 21
,,21
,2
1
2
2
2∑-=∑=-+-=??∑----=∑=
==
===--=--
=∏n i i n i i i n i i i x n
n i
n
i i
x i x n x n x L x n n x L e
x L x f e x f n
i i i σ
σσσσσσπσσπσσσ
πσσσ
2.6 设总体X 的密度函数为12(;),,,,n f x X X X θ为其样本，求下列情况下θ∧
的MLE 。
（i ） ,0,1,2,
(;)!
0,x e x f x x θ
θθ-?=?=???
其它
0θ≥
(ii) 1,0
1
(;)0,x x f x αθθ-?=?
?其它
θ
(iii) 1(),0
(;)0,x x e x
f x α
αθθαθ--??=?
??其它
α已知
（iv ） 1()/(),0
(;)0,r x x e r x f x θθθθ--?Γ>=??其它
r 已知
（v ） 1,0
(;)0,x
e x
f x θ
θθ-?≥?=???
其它 0
θ
解：（i ） 1
12()!!!
n
i
i X n n e L x x x θ
θ
θ=-∑=
121
ln ()ln ln(!!!)n
i
n i L X
n x x x θθθ==
--∑
1
1
ln ()101
n
i i n
i i d L X n d X x n θθθθ===-==
=∑∑
(ii) 1
1
1
1()n
n
n
i
i i i L x
x θθ
θθθ
--===
=∏∏
1
ln ()ln (1)
ln n
i
i L n x θθθ==+-∑
1
1
1
1
1ln ()ln 01(ln )(ln )n
i i n
n i i i i d L n x d n x x n θθθθ=∧
--===+==-=-∑∑∑
（iii ） 1
1
1
()()
n
i i n
x n
i i L x e
α
θ
α
θθα=--=∑=∏
1
1
ln ()ln()(1)
ln n
n
i
i
i i L n x x αθθααθ===+--∑∑
11
11
ln 01
(
)n
n i i i i n
i i d L n n x x d x n α
αααθθαθθ==∧
-==-=-==∑∑∑
(iv) 1
1
1
()()/(())n
i
i n x n
r n i i L x e
r θ
θθ
θ=--=∑=Γ∏
1
1
ln ()ln (1)ln ()n
n
nr
i i i i L r x x n r θθ
θ===+---Γ∑∑
1
11
ln ()0
1,n
i i n
i
n i i
i d L nr
x d nr
r x X n x
x θθ
θ
θ=∧===-===
=∑∑∑ (v) 1
1
1
()n
i
i x
n
L e
θθθ
=-
∑=
1
1
ln ()ln()n
i i L n x θθθ
==--
∑
2
1
1
ln ()1
1
,n
i
i n
i i d L n X
d x x X n θθθθ
θ=∧
==-+===
∑∑
2.7 设总体X 的密度函数为()()10,1<<+=x x x f β
β，n X X X ,,,21 为其子样，求参数
β的MLE 及矩法估计。今得子样观察值为0.3，0.8，0.27，0.35，0.62，0.55，求参数β的
估计值。 解：
极大似然估计：
()()()
()()()234.0ln 1
1?0
ln 1,ln ln 1ln ,ln 1,,48
.011
1
1
1
1
1
1
=??
? ??∑--==∑++=??∑++=+===∑=-======∏∏
n
i i
n i i i n
i i
i n
i i
n
i n
i i n
i i x n x n
x L x n x L x x L x f x n X βββββββββββ
矩法估计:
()()()07.0211?2
1
11
10
-=--==++=
+==??X
X dx x x dx x xf x E β
ββββ
2.8 在处理快艇的6次实验数据中，得到下列的最大速度值(单位：m/s)27 ,38 ,30 ,37 ,35 .31,求最大艇速的数学期望与方差的无偏估计。 解：X 是总体期望()μ=X E 的无偏估计
()
s m X n X E n
i i /3311
===∴∑=μ
2*S 是总体方差()2σ=X D 的无偏估计