人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．（1）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明
△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；
（2）探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，
且∠EAF＝1
2
∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）结论应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．
（4）能力提高：
如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且
∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长．
【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN10．【解析】
试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得
EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作
∠CAD=∠BAM，截取AD=A M，连接CD，DN，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再证MN=ND，则求出ND的长度，即可得到答案．
解：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）EF＝BE＋FD仍然成立．
证明：如答图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，
∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，
在△ABE与△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG．
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．
又∵∠EAF＝1
2
∠BAD，
∴∠F AG＝∠F AD＋∠DAG＝∠F AD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－1
2
∠BAD＝
1
2
∠BAD，
∴∠EAF＝∠GAF．
在△AEF与△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF，
∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．
又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．
∴EF＝BE＋FD．
（3）如答图2，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，
∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝1
2
∠AOB，
又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE＋FB成立．
∴EF＝AE＋FB＝1.5×（60＋80）＝210（海里）.
答：此时两舰艇之间的距离为210海里；
（4）如答图3，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，
在△ACD与△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM，
则△ACD≌△ABM，∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°，
∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°，
∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD，
又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°=180°，
∴对于四边形AMCD符合探索延伸，
则ND=MN，
∵∠NCD=90°，CD=1，CN=3，
∴MN=ND=10．
2．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．
（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；
（2）如图2，若∠AOB=120o，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析
【解析】
【分析】
(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．
(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【详解】
解：（1）结论：CF=CG；
证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如图，
过点C 作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，
∵OP 平分∠AOB ，CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∠AOB=120o， ∴CM=CN （角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∴∠AOC=∠BOC=60o（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC ，
∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60o，
∴∠MCO=90o-60o =30o，∠NCO=90o-60o =30o， ∴∠MCN=30o+30o=60o， ∴∠MCN=∠DCE ，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ， ∴∠MCF=∠NCG ， 在△MCF 和△NCG 中，
CMF CNG CM CN
MCF NCG ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△MCF ≌△NCG （ASA ），
∴CF=CG （全等三角形对应边相等）； 【点睛】
本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．
3．（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF . （1）试说明：△AED ≌△AFD ；
（2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE 的长；
（3）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC 所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE 2的长.
【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130 【解析】
试题分析：()1由ABE AFC ≌， 得到AE AF =，BAE CAF ∠=∠，
45,EAD ∠=45,BAE CAD ∴∠+∠=45,CAF CAD ∴∠+∠=即
45.DAF ∠=EAD DAF ∠=∠，
从而得到.AED AFD ≌ ()2 由△AED AFD ≌
得到ED FD =，再证明90DCF ∠=?，
利用勾股定理即可得出结论.
()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，1 4.2
AH BH BC ===
1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+=求出AD 的长，即可求得2DE .
试题解析：()
1ABE AFC ≌，
AE AF =，BAE CAF ∠=∠，
45,EAD ∠=90,BAC ∠= 45,BAE CAD ∴∠+∠= 45,CAF CAD ∴∠+∠=
即45.DAF ∠=
在AED 和AFD 中，{AF AE
EAF DAE AD AD ，
=∠=∠=
.AED AFD ∴≌
()
2AED AFD ≌，
ED FD ∴=，
,90.AB AC BAC =∠=?
45B ACB ∴∠=∠=?， 45ACF ，
∠=? 90.BCF ∴∠=?
设.DE x =
,9.DF DE x CD x ===- 3.FC BE ==
222,FC DC DF +=
()2
2239.x x ∴+-=
解得： 5.x = 故 5.DE =
()3过点A 作AH BC ⊥于H ,根据等腰三角形三线合一得，
1
4.2
AH BH BC ==
= 1DH BH BD =-=或7,DH BH BD =+= 22217AD AH DH =+=或65. 22234DE AD ==或130.
点睛：D 是斜边BC 所在直线上一点,注意分类讨论.
4．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF ． （1）求证：BG ＝CF ；
（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）BE +CF ＞EF ，证明详见解析 【解析】 【分析】
（1）先利用ASA 判定△BGD ?CFD ，从而得出BG=CF ；
（2）利用全等的性质可得GD=FD ，再有DE ⊥GF ，从而得到EG=EF ，两边之和大于第三边从而得出BE+CF ＞EF ． 【详解】
解：（1）∵BG
∥AC，
∴∠DBG＝∠DCF．
∵D为BC的中点，
∴BD＝CD
又∵∠BDG＝∠CDF，
在△BGD与△CFD中，
∵
DBG DCF
BD CD
BDG CDF
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
∴△BGD≌△CFD（ASA）．
∴BG＝CF．
（2）BE+CF＞EF．
∵△BGD≌△CFD，
∴GD＝FD，BG＝CF．
又∵DE⊥FG，
∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．
∴在△EBG中，BE+BG＞EG，
即BE+CF＞EF．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．
5．如图1，在ABC
?中，ACB
∠是直角，60
B
∠=?，AD、CE分别是BAC
∠、BCA
∠
的平分线，AD、CE相交于点F．
（1）求出AFC
∠的度数；
（2）判断FE与FD之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC上截取CG CD
=，连接FG．）
（3）如图2，在△ABC
?中，如果ACB
∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．
【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;
（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；
（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出
∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，
∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°
（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．
理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠DCF＝∠GCF，
在△CFG和△CFD中，
CG CD
DCF GCF
CF CF
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
，
∴△CFG≌△CFD（SAS），
∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG
由（1）∠AFC＝120°得，
∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，
∴∠AFG＝60°，
又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，
∴∠AFE＝∠AFG，
在△AFG和△AFE中，
AFE AFG
AF AF
EAF GAF
∠=∠
?
?
=
?
?∠=∠
?
，
∴△AFG≌△AFE（ASA），
∴EF＝GF，
∴DF＝EF；
（3）结论：AC＝AE+CD．
理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，
同（2）可得，△EAF≌△GAF（SAS），
∴∠EFA＝∠GFA，AG＝AE
∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°
∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-1
2
(∠BAC+∠BCA)=180°-
1
2
×120°=120°，
∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，
∴∠CFG＝∠CFD＝60°，
同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），
∴CD＝CG，
∴AC＝AG+CG＝AE+CD．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．
6．（1）如图（a）所示点D是等边ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明．
（2）如图（b）所示当动点D运动至等边ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）
（3）①如图（c）所示，当动点D在等边ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边DCF和等边DCF'，连接AF、
BF'，探究AF、BF'与AB有何数量关系？并证明．
②如图（d）所示，当动点D在等边ABC边BA的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．
【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．
（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．
（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理
'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；
②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则
'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ． 【详解】
（1）AF BD = 证明如下：
ABC 是等边三角形，
BC AC ∴=，60BCA ?∠=．
同理可得：DC CF =，60DCF ?∠=．
BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠． 即BCD ACF ∠=∠． BCD ACF ∴△≌△．
AF BD ∴=．
（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，
AF BD =依然成立． （3）①AF BF AB '+=
证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．
BD AF ∴=．
同理BCF ACD '△≌△．
BF AD '∴=．
AF BF BD AD AB '∴+=+=．
②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+； BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，
BCF ACD '∴△≌△． BF AD '∴=．
又由（2）知，AF BD =．
AF BD AB AD AB BF '∴==+=+． 即AF AB BF '=+． 【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．
7．已知点P 是线段MN 上一动点，分别以PM ，PN 为一边，在MN 的同侧作△APM ，△BPN ，并连接BM ，AN ．
（Ⅰ）如图1，当PM ＝AP ，PN ＝BP 且∠APM ＝∠BPN ＝90°时，试猜想BM ，AN 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM ，△BPN 都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM ，AN 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB 得到图3，当PN ＝2PM 时，求∠PAB 度数． 【答案】（1）BM ＝AN ，BM ⊥AN ．（2）结论成立.（3）90°． 【解析】 【分析】
(1)根据已知条件可证△MBP ≌△ANP ，得出MB ＝AN ，∠PAN ＝∠PMB ，再延长MB 交AN 于点C ，得出MCN 90∠=?,因此有BM ⊥AN ； (2)根据所给条件可证△MPB ≌△APN ，得出结论BM ＝AN ；
(3) 取PB 的中点C ，连接AC ，AB ，通过已知条件推出△APC 为等边三角形，∠PAC ＝∠PCA ＝60°，再由CA ＝CB ，进一步得出∠PAB 的度数. 【详解】
解：（Ⅰ）结论：BM ＝AN ，BM ⊥AN ． 理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB≌△APN（SAS）
∴MB＝AN．
（Ⅲ）如图3中，取PB的中点C，连接AC，AB．
∵△APM，△PBN都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°，PB＝PN
∵点C是PB的中点，且PN＝2PM，
∴2PC＝2PA＝2PM＝PB＝PN，
∵∠APC＝60°，
∴△APC为等边三角形，
∴∠PAC＝∠PCA＝60°，
又∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC＝30°，
∴∠PAB＝∠PAC+∠CAB＝90°．
【点睛】
本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
8．在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．
（1）根据题意，可求得OE＝；
（2）求证：△ADO≌△ECO；
（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？
【答案】（
1）5；（2）见解析；（3）当两动点运动时间为72、17
4
、10秒时，△OPM 与△OQN 全等 【解析】 【分析】
（1）根据OA=OE 即可解决问题．
（2）根据ASA 证明三角形全等即可解决问题．
（2）设运动的时间为t 秒，分三种情况讨论：当点P 、Q 分别在y 轴、x 轴上时；当点P 、Q 都在y 轴上时；当点P 在x 轴上，Q 在y 轴时若二者都没有提前停止，当点Q 提前停止时；列方程即可得到结论． 【详解】
（1）∵A （0，5）， ∴OE ＝OA ＝5， 故答案为5． （2）如图1中，
∵OE ＝OA ，OB ⊥AE ， ∴BA ＝BE ， ∴∠BAO ＝∠BEO ， ∵∠CEF ＝∠AEB ， ∴∠CEF ＝∠BAO ， ∴∠CEO ＝∠DAO ， 在△ADO 与△ECO 中，
CE0DA0
OA 0E
COE AOD ∠=∠??
=??∠=∠?
， ∴△ADO ≌△ECO （ASA ）．
（2）设运动的时间为t 秒，当PO ＝QO 时，易证△OPM ≌△OQN ．
分三种情况讨论：
①当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：5﹣t＝12﹣3t，
解得t＝7
2
（秒），
②当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：5﹣t＝3t﹣12，
解得t＝17
4
（秒），
③当点P在x轴上，Q在y轴上时，
若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣5＝3t﹣12，
解得t＝7
2
（秒）不合题意；
当点Q运动到点E提前停止时，有t﹣5＝5，解得t＝10（秒），
综上所述：当两动点运动时间为7
2
、
17
4
、10秒时，△OPM与△OQN全等．
【点睛】
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．
（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；
（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．
（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）
【解析】
【分析】
（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；
（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；
（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.
【详解】
（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，
∴△AOP为等腰直角三角形，
∴OA＝OP＝4．
∴t＝4÷1＝4（秒），
故t的值为4．
（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，
∵点A 关于x 轴的对称点为A ′， ∴PA ＝PA '， 又AP ＝PB ， ∴PA ＝PA '＝PB ，
∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ， 又∵∠PAB +∠PBA ＝90°， ∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA ' ＝180()PAB PBA ∠∠?-+
180=?-90° =90°，
∴∠AA 'B ＝45°， 即∠OA 'B ＝45°；
（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等， ①如图3，若△ABP ≌△MBP ，
则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ， ∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ， ∴△AOP ≌△MDP （AAS ）， ∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3， ∴M 的坐标为：（6，-4）．
②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，
过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点
F ，
∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，
∴∠BAP ＝∠MPB=45?，PA PB = ∵139023∠+∠=?=∠+∠， ∴12∠=∠ ∴Rt
AOP Rt PGB ?
∴34BG OP PG AO ====， ∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴 ∴四边形BGOF 为矩形，
∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-= 347BF OG OP PG ==+=+=
在Rt
ABF 和Rt PME 中
∠BAF ＝45?+1∠，∠MPE ＝45?+2∠， ∴∠BAF ＝∠MPE ∵AB PM =
∴Rt ABF Rt PME ?
∴71ME BF PE AF ====， ∴M 的坐标为：（4，7），
③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，
过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点
F ，
∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形， ∴∠BAP ＝∠MPB=45?，PA PB = ∵139023∠+∠=?=∠+∠， ∴12∠=∠ ∴Rt
AOP Rt PEB ?
∴34BE OP PE AO ====， ∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴 ∴四边形BEOF 为矩形，
∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-= 347BF OE OP PE ==+=+=
在Rt
ABF 和Rt PMD 中
∵BF ⊥y 轴 ∴42∠=∠
∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+ ∴ABF PMD ∠∠= ∵AB PM = ∴Rt
ABF Rt PMD ? ∴17MD AF PD BF ====， ∴M 的坐标为：（10，﹣1）．
综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）． 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．
10．在等边ABC 中，点D 是边BC 上一点.作射线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为点E .连接CE 并延长，交射线AD 于点F . （1）如图，连接AE ，
①AE 与AC 的数量关系是__________； ②设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的大小；
（2）如图，用等式表示线段AF ，CF ，EF 之间的数量关系，并证明.
【答案】(1)①AB=AE；②∠BCF=α；(2) AF-EF=CF，理由见详解.
【解析】
【分析】
（1）①根据轴对称性，即可得到答案；
②由轴对称性，得：AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，由ABC是等边三角形，得AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180°，即可求解；（2）作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，易证?FCG是等边三角形，得GF=FC，再证?ACG??BCF(SAS)，从而得AG=BF，进而可得到结论.
【详解】
（1）①∵点B关于射线AD的对称点为点E，
∴AB和AE关于射线AD的对称，
∴AB=AE.
故答案是：AB=AE；
②∵点B关于射线AD的对称点为点E，
∴AE=AB，∠BAF=∠EAF=α，
∵ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠EAC=60°-2α，AE=AC，
∴∠ACE=1
180(602)60
2
αα??
--=+
??，
∴∠BCF=∠ACE-∠ACB=60α
+-60°=α.（2）AF-EF=CF，理由如下：
作∠FCG=60°交AD于点G，连接BF，
∵∠BAF=∠BCF=α，∠ADB=∠CDF，
∴∠ABC=∠AFC=60°，
∴?FCG是等边三角形，
∴GF=FC，
∵ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∴∠ACG=∠BCF=α.
在?ACG和?BCF中，