第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课
一：选择题：
1. 若随机变量 21,X X 的分布函数为)(1x F 与)(2x F 则a ,b 取值为（ ）时，可使F(x)=a )(1x F -b )(2x F 为某随机变量的分布函数。 A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2
分析：由分布函数在±∞的极限性质，不难知a,b 应满足a-b=1,只有选项A 正确。 [答案 选：A]
2. 设 X ～?(x ),且? (-x )= (x ),其分布函数为F (x ),则对任意实数a , F (-a )=( )。
A.1-?a
x 0)(?d x B . 2
1
-?a
x 0)(? d x C .F(a) D .2F(a)-1 分析：①是偶函数，可结合标准正态分布来考虑；②?a
x 0)(? d x ＝F(a)－F(0)；③F(0)＝0.5；④F(a)＋F(-a)=1 [答案 选：B] 3.设X ～N (μ,2σ),则随着σ的增大，P (|X -μ|<σ)（ ）。 A.单调增大 B.单调减少 C.保持不变 D.增减不定 [答案 选：C]
4.设随机变量X 与Y 均服从正态分布，X ～N(μ,16)，Y ～N(μ,25),
记P{X ≤μ＋4}=1p ,P{Y ≤μ+5}=2p ,则（ ）正确。
A.对任意实数μ，均有1p =2p
B. 对任意实数μ，均有1p <2p
C.只对个别的μ值才有 1p =2p
D. 对任意实数μ，均有1p >2p [答案 选： A]
5. 设X 是随机变量且)0,()(,)(2>==σ
μσμX D X E ，则对任意常数c ，
（ ）成立。
222)(.c EX c X E A -=- 22)()(.μ-=-X E c X E B 22)()(.μ-<-X E c X E C
22)()(.μ-≥-X E c X E D
分析：
[答案 选：D ]
由2
)(,)(σμ==X D X E ，得2222
)()(μσ+=+=EX X D EX
)2()(222c cX X E c X E +-=-∴
2
2
2
2
2
2
2)
(22c c c c cEX EX -+=+-+=+-=μσμμσ
)2()(222μμμ+-=-X X E X E
2
22222222σ
μμμσμμ=+-+=+-=EX EX
显然2
2
)()(μ-≥-X E c X E
二：题空题
1. 设在每次伯努里试验中，事件A 发生的概率均为p,则在n 次伯努
里试验中，事件A 至少发生一次的概率为（ ），至多发生一次的概率为（ ）。
[答案 填：(1-(1-p)n ); ((1-p)n +np(1-p)1-n )] 由伯努里概型的概率计算公式，，据题意可知，
事件A 至少发生一次的概率为k n k n
k k n p p C -=-∑)1(1或n n p p C )1(100--，
事件
A 至多发生一次的概率为
k n k k K
N
p p C
-=-∑)1(1
=n n
p p C )1(00-+111)1(--n n p p C
2. 设随机变量Y 在区间[1，6]上服从均匀分布，则方程0
12=++Yx x 有实根的概率为（ ）。
分析：方程012=++Yx x 有实根当且仅当Δ≥0，即|Y|≥2, 则P(|Y|≥2)=?6
25
1
d x =0.8 [答案 填：0.8]
3. 设 X ～??
?<<=其他
,
01
0,2)(x x x f ，对X 的三次独立重复观察中，
事件 { X ≤ 0.5}出现的次数为随机变量Y,则P{Y=2}=( )。
分析：P{X ≤0.5}=0.25,Y 服从
B (3,0.25)分布,则
P{Y =2}=75.025.0223C =64
9
[答案 填: 649
]
4. 设X B(2,p),Y B(3,p),且P {X ≥1}=9
5,则P {Y ≥1}=( )。
分析：由P{X ≥1}=1-P{X=0}=22p p -=
95
，可得p=
3
1
,则P {Y ≥1}=1-P{Y=0}=27
19
[答案 填：2719
]
5.设随机变量X 服从均值为10，标准差为0.02的正态分布，设Ф
（x ）为标准正态分布函数，已知Ф（2.5）=0.993 8,则X 落在区间
（9.95,10.05）的概率为（ ）。
分析：P{9.95 [答案 填：0.9876] 6. 设随机变量X 的概率密度为 ???? ???? ?∈∈=其他 ,0]6,3[,92 ]1,0[,31)(x x x f 若k 使得P{ X ≥ k }=2/3,则k 的取值围是（ ）。 分析： 192 31)(,6319232923192031)(,6331031)(,313131)(,100 )(,06 3 1 3 3 11 03 2 1 00=+=≥-=-+=++=≤≤=+=≤≤==≤≤= ??? ?? ? dt dt x F x x x dt dt dt x F x dt dt x F x x dt x F x x F x x x [答案 填：[1，3]] 7. 设随机变量X f(x)=||2 1x e -,-∞＜x ＜+∞,则X F(x)=( )。 [答案 填：?????≥-<=-0,2 110 ,21)(x e x e x F x x ] 分析：当x ＜0时，F(x )=?∞-x t f )(d ?∞-=x t t e 21d x t e 2 1 = 当x ≥0时，F(x)=?∞-x t f )(d ?∞-=021t e t d ?-+x t e t 021d t x e --=2 1 1 8. 设X U (0,2),则Y =2X 在(0,4)的概率密度=)(y f Y （ ）。 [答案 填： y 41] 分析：当0＜y ＜4时，)(}{}{}{)(2y F y X P y X P y Y P y F X Y =≤=≤=≤= 此时，=)(y f Y y y f y y F y F X x Y 21) (21)()(='='=y 41 注：由于Y =2X 在(0,4)是单调函数，可直接用公式做！ 9. 设X 的分布函数 ? ?? ???? >≤≤<=210sin 00 )(2ππ x x x A x x F ,则A =( ),P |x|＜6 π =( )。 [答案 填：1； 2 1] 10. 设X 的分布函数F(x)为： ???? ???≥<≤<≤--<=31 318.0114.010 )(x x x x x F , 则X 的概率分布为（ ）。 分析：其分布函数的图形是阶梯形，故x 是离散型的随机变量 [答案： P(X=-1)=0.4,P(X=1)=0.4,P(X=3)=0.2.] 11. 设随机变量X 的概率密度函数 ,1 )(1 22 -+-= x x e x f π 则 E(X)=( ),)(X D =( ). 分析：由X 的概率密度函数可见X ～N (1, 2 1 ),则E(X)=1，)(X D =2 1. [答案 填：1； 2 1.] 12. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则 E(X)=( ). [答案 填：4] 13. 设X ～N (2，2σ)且P {2 3.02 12)0(2220}42{=-??? ??Φ=Φ-??? ??Φ=??????<-<=<<σσσσX P X P 即8.02=??? ??Φσ, 则2.021222 }0{=?? ? ??Φ-=??? ??-Φ=????? ?-< -=<σσσσ X P X P [答案 填：0.2] 14. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则=+-)(2X e X E （ ）. 分析：首先知道EX ＝1，关键求E （e - 2X ） [答案 填：34 ] 15. 设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为 0.4,则2EX =（ ）。 分析：X ～B (10,0.4),则4.18164.2)())((22=+=+=X D X E EX [答案 填：18.4] 16. 设随机变量X 在区间]2,1[-上服从均匀分布；随机变量 ?? ? ??<-=>==0 ,10, 00,1)sgn(X X X X Y 则=DY （ ）。 [答案 填：9 8 ] 17. 设一次试验的成功率为p ，进行100此独立重复试验，当=p （） 时 ，成功次数的标准差的值最大，最大值为（ ）。 解：据题意可知，)1(100)(p p X D -=，即 2100100)1(100)(p p p p X D -=-=令0200100))'((=-=p X D ，得2 1 = p 且5)2 1 1(21100)(=-??=X D （答案： 5)(;21 == X D p ） 18. 设?? ???≤<-≤≤-+=其它 01010 11)(~x x x x x f X ，则=)(X D （ ）。 解：???-++== -+∞ ∞ -1 1 )1()1()()(x x dx x x dx x xf X E 013232-???? ??+=x x 0321 032=??? ? ??-+x x ???-++== -+∞ ∞ -1 2 1 2 2 2 )1()1()()(x x dx x x dx x f x X E 013243-???? ??+=x x 61 431032=??? ? ??-+x x 6 1 061)()()(22=-=-=∴EX X E X D 。 [答案 填：61 ]
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