2018年长沙市初中学业水平考试卷
数学
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）
1.（2018湖南长沙，1题，3分）-2的相反数是（ ） A.-2 B.
12-
C.2
D.12
【答案】C
2.（2018湖南长沙，2题，3分）据统计，2017年长沙市地区生产总值约为10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学记数法表示为（ ）
A.0.102×105
B.10.2×103
C.1.02×104
D.1.02×103 【答案】C
3.（2018湖南长沙，3题，3分）下列计算正确的是（ ） Aa 2+a 3=a 5 B.32221-= C.(x 2)3=x 5 D.m 5÷m 3=m 2
【答案】D
4.（2018湖南长沙，4题，3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A.4cm,5cm,9cm B.8cm,8cm,15cm C.5cm,5cm,10cm D.6cm,7cm,14cm 【答案】B
5.（2018湖南长沙，5题，3分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
【答案】A
6.（2018湖南长沙，6题，3分）不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
【答案】C
7.（2018湖南长沙，7题，3分）将下列左侧的平面图形绕轴l 旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）
【答案】D
8.（2018湖南长沙，8题，3分）下列说法正确的是（ ） A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B.天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D.“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件 【答案】C
9.（2018湖南长沙，9题，3分）估计10+1的值（ ）
X+2>0
2x -4≤0
A.在2和3之间
B.在3和4之间
C.在4和5之间
D.在5和6之间 【答案】C
【解析】因为9<10<16，所以
，
<5，因此C 选项正确
10.（2018湖南长沙，10题，3分）小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，下图反映了这个过程中，小明离家的距离y 与时间x 的对应关系，根据图像，下列说法正确的是（ ）
A.小明吃早餐用了25min
B.小明读报用了30min
C.食堂到图书馆的距离为0.8km
D.小明从图书馆回家的速度为0.8km/min
【答案】B
【解析】图中横轴表示小明离家的时间，纵轴表示离家的距离，由图可知：A.吃早餐用的时间为（25-8）min ，即17min ，故A 错误；B.读报用了(58-28)min,即30min ，故B 正确;C.食堂到图书馆的距离应为(0.8-0.6)km,即0.2km ，故C 错误;D.从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08km/min ，故D 错误。
11.（2018湖南长沙，11题，3分）我国南宋著名数学家秦久韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）
A.7.5平方千米
B.15平方千米
C.75平方千米
D.750平方千米 【答案】A
【解析】将里换算为米为单位,则三角形沙田的三边长为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52+62=6.52，所以这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米，所以S=
1
2
×6×2.5=7.5(平方千米)，故选A 12.（2018湖南长沙，12题，3分）若对于任意非零实数a ，抛物线y=ax 2+ax -2a 总不经过点P （x 0-3,x 02-16），则符合条件的点P （ ）
A.有且只有1个
B.有且只有2个
C.有且只有3个
D.有无穷多个 【答案】B
【解析】由题意得y=a(x+2)(x -1)，总不经过点P （x 0-3,x 02-16），将点P 坐标带入抛物线的解析式，得a(x 0-1)(x 0-4)≠(x 0-+4)(x 0-4)恒成立。①当x 0=1时，得0≠-15，恒成立，带入解析式可得P 1（-2,-15）；①x 0=4时，左边＝右边=0，不符合题意；①当x 0=-4时，得40a≠0，因为a≠0，所以不等式恒成立，带入解析式可得P 2（-7,0）；①当x 0≠1且x0≠4且x 0≠-4时，a≠
00045
111
x x x +=+--不恒成立。综上所述，存在两个点P 1（-2,-15），P 2（-7,0）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 13.（2018湖南长沙，13题，3分）化简
1
_______.11
m m m -=--
【答案】1
14.（2018湖南长沙，14题，3分）某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为_____度。
第14题图 【答案】90
15.（2018湖南长沙，15题，3分）在平面直角坐标系中，将点A’(-2,3)向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A’的坐标是________。 【答案】（1，1）
16.（2018湖南长沙，16题，3分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概率是_______。 【答案】
12
17.（2018湖南长沙，17题，3分）已知关于x 的方程x 2-3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为______。 【答案】2
18.（2018湖南长沙，18题，3分）如图，点A ，B ，D 在圆O 上，∠A=20°，BC 是圆O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交BC 于点C ，则∠OCB=______度。
第18题图 【答案】50°
【解析】∠A=20°，由圆周角定理，①O=2①A=40°，因为BC 与圆O 相切，所以OB ⊥BC ，①OBC=90°，所以Rt △OBC 中，①OCB=90°-∠O=50°
三、解答题（本大题共8个小题，共66分。解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（2018湖南长沙，19题，6分）计算：()()2018
134cos 45π--+o
解：原式=1-=2.
20.（2018湖南长沙，20题，6分）先化简，再求值：(a+b)2+b(a -b)-4ab ，其中a=2，b=12
- 解：原式=a 2+2ab+b 2+ab -b 2-4ab=a 2-ab ，当a=2，b=1
2
-
时，原式=4+1=5
21.（2018湖南长沙，21题，8分）为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低分为6分）.
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了____名居民；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”.请你根据调查结果，帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？
第21题图 解：（1）50；（2）平均数=（4×6+10×7+15×8+11×9+10×10）÷50=8.26，众数：由图可知得到8分的人数最多，为
15人，故众数为8，中位数：共50人，排序后第25、26名的平均数为中位数，（8+8）÷2=8；（3）500×
10
50
=100（份），故有500人时准备100份“一等奖”奖品
22.（2018湖南长沙，22题，8分）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A 、B 两地间的公路进行改建，如图，A 、B 两地之间有一座山，汽车原来从A 地到B 地需途经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶，已知BC=80千米，∠A=45°，∠B=30°. （1）开通隧道前，汽车从A 地到B 地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从A 地到B 地大约可以少走多少千米？
（结果精确到0.1千米） 1.73≈≈）
第22题图
解：（1）过点C 作CD①AB 于点D.Rt①BCD 中，CD=BCsinB=40(km)，Rt①ACD 中，AC=
sin CD
A
=40，AC+BC=40
+80≈136.4(km)。答：开通前，汽车从A 到B 大约要走136.4km 。
（2）Rt①BCD 中，BD=BCcosB=40
，Rt①ACD 中，AD=
tan CD
A
=40(km)，AB=AD+BD=40+40≈109.2(km)，
AC+BC -AB=136.4-109.2=27.2(km)。答：开通隧道后，汽车从A 到B 大约可少走27.2km 。
第22题解图
23.（2018湖南长沙，23题，9分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元。 （1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？ 解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，得 ，解得
答：打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元 （2）80×70×（1-80%）+100×80×（1-75%）=3120元 答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元。
24.（2018湖南长沙，24题，9分）如图，在∠ABC 中，AD 是边BC 上的中线，∠BAD=∠CAD ，CE∠AD ，CE 交BA 的延长线于点E ，BC=8，AD=3. （1）求CE 的长；
（2）求证：∠ABC 为等腰三角形；
（3）求∠ABC 的外接圆圆心P 与内切圆圆心Q 之间的距离。
第24题图 解：（1）因为AD 为①ABC 中边BC 上的中线，所以BD=DC ，因为AD①EC ，所以BA=AE ，所以AD 为①BCE 的
中位线，CE=6，所以
AD=
1
2
CE=3 （2）因为AD①EC ，所以①BAD=①E ，①ACE=①CAD ，因为①BAD=①CAD ，所以AC=AE ，又因为BA=AE ，所
以AB=AC ，①ABC 为等腰三角形
（3）如图，①ABC 中，AB=AC ，BD=DC ，所以AD①BC ，因为BC=8，AD=3，由勾股定理可得，AB=AC=5圆P
圆Q 为①ABC 的外接圆和内切圆，连BP 、AP ，因为PA①BC ，所以在Rt①BDP 中，R 2-(R -3)2=42，所以R=25
6
，PD=
7
6，①ABC 中，连接BQ 、CQ ，
C
D
A
B
6x+3y=660
50×0.8x+40×0.75y=5200
x=70
y=80
1111
,
2222
ABC ABC
S BC AD S AB r AC r BC r
=?=?+?+?
△△
44475
,,
33362
r QD PQ
===+=
即所以
第24题解图
25.（2018湖南长沙，25题，10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数
m
y
x
=(m为常数，m>1，x>0)的图像经过点P(m,1)和Q(1,m)，直线PQ与x轴，y轴分别交于C、D两点，点M(x,y)是该函数图像上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A、B
（1）求∠OCD的度数；
（2）当m=3，1 （3）当m=5时，矩形OAMB与∠OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由。 第25题图 【思路分析】（1）利用待定系数法求得C、D坐标，可知△DOC为等腰直角三角形，即可求出∠OCD的度数；（2）m已知，点P、C的坐标确定，由相似关系可以得到 OM OP OP OC =，则可得到OM的值，因为M在双曲线上，因此设出M的坐标，结合OM的长度解得M的坐标；（3）根据M与P、Q的位置情况分类讨论，用含有x的代数式表示出重叠的面积，使其等于4.1，解方程可知点M的存在性，进而得出结论。 解：（1）设直线DC解析式为y=kx+b（k≠0），将P(m,1)和Q(1,m)带入，可得 ，所以，所以y=-x+m+1，令x=0，得y=m+1，所以D(0，m+1)，令令y=0，得x=m+1，所以C(m+1，0)，所以OC=OD，又因为①COD=90°，所以①OCD=45° （2）假设存在①OMP①OCP，即 OM OP OP OC =，而m=3时，P(3,1)，C(4,0)，所以22 3110 OP=+，OC=4，所以 25 2 OP OM OC =，设M(t, 3 t )，则 2 2 35 2 t t ?? += ? ?? ，所以 12 3 2, 2 t t ==，所以 12 33 (2,),(,2) 22 M M （3）当m=5时，P(5,1)，Q(1,5)，设M(x, 5 x )，l OP：y= 1 5 x，l OQ：y=5x 当1 1=km+b m=k+b k=-1 b=m+1 第25题解图1 15(,),(,)5x E F x x x ,S=S OAMB -S ①OAF -S ①OBE =115 5252x x x x -?-??=4.1，化简得，x 4-9x 2+25=0，因为①<0，所以该方程无解 ①当x≤1时，如图2 第25题解图2 S=S ①OGH 1 2 S OAMB =2.5，所以不存在 ①当x≥5时，如图3 第25题解图3 S=S ①DST 1 2 S 矩形DAMB =2.5，所以不存在 综上所述，矩形OAMB 与①OPQ 的重叠部分的面积不可能等于4.1 26.（2018湖南长沙，26题，10分）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”。 （1）∠在“平行四边形、矩形、菱形、正方形”中，一定是“十字形”的有___________； ∠在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB≠CD ，则该四边形________“十字形”（填“是”或“不是”）； （2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的圆O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB -∠CDB=∠ABD -∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围； （3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a>0，c<0）与x 轴交于A 、C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为(0,-ac)。记“十字形”ABCD 的面积为S ，记∠AOB 、∠COD 、∠AOD 、∠BOC 的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4，求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式： ∠ 12 S S S =+；∠ 34 S S S =+；∠“十字形”ABCD的周长为1210 第26题图1 第26题图2 【思路分析】（1）根据特殊四边形对角线的性质可知；（2）构造矩形，将OE转化为对角线，利用圆周角定理得到AC⊥BD，即四边形ABCD是“十字形”，利用勾股定理，得到AC、BD和OE之间的直接关系，根据已知条件通过运算可得OE的取值范围； （3）由二次函数表达式可表示出A、B、C点的坐标，结合点D坐标，表示出S,S1,S2,S3,S4， 利用 12 S S S =+ ，34 S S S =+，两个等量关系，可以得到关于c的一元二次方程，解方程可得。 解：（1）①菱形，正方形；①不是 （2）由题可得①ADB+①CBD=①ABD+①CDB，①CBD=①CAD，①CDB=①CAB，①ADB+①CAD=①ABD+①CAB，180°-AED=180°-AEB，所以①AED=①AEB=90°，即AC①BD，过点O作OM①AC于点M，ON①BD于点N，连接OA，OD，则OA=OD=1，OM2=OA2-AM2，ON2=OD2-DN2，AM= 1 2 AC，DN=BD，四边形OMEN为矩形，所以ON=ME，OE2=OM2+ME2，所以OE2=OM2+ON2=2- 1 4 (AC2+BD2)，又因为6≤AC2+BD2≤7，所以2- 7 4≤OE2≤2- 3 2 ，即 1 4 ≤OE2≤ 1 2 ，所以 1 2 ≤OE≤ 2 2 （OE>0） 第26题解图 （3）由题()() ,0,0,,,0,0, 22 b b A B c C D ac a a ???? --?-+? - ? ? ? ? ???? ，因为a>0,c>0所以 2 b AO a +? =，BO=-c，2 b CO a -+? =，DO=-ac，AC= a ? ，BD=-ac-c，() 11 22 S AC BD ac c a ? =??=-+?，() a b c OB AO S 4 2 1 1 + ? - = ? ? =， () 4 2 1 2 b c OD CO S - ? - = ? ? =， () 4 2 1 3 b c OD AO S + ? - = ? ? =，() a b c OB CO S 4 2 1 4 - ? - = ? ? =，又因为 12 S S S =+ ，34 S S S =+ ，可得a=1， 所以S=-c?，N M = 所以S=S 1+S 2+212S S ， 可得b=0，所以A(c,0),B(0,c),C(-c,0),D(0,-c)，所以四边形ABCD 为菱形，，所以AD=AD 2=c 2-c ，得到(c -10)(c+9)=0，所以c 1=-9，c 2=10(舍去)，所以抛物线的解 析式为：y=x 2-9
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