(基本不等式)公开课
教案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
基本不等式:
2
a b
+≤
授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课
一、知识与技能：
使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法：
通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观：
在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
二、重点及难点
重点：2
a b +≤的证明过程。
难点：2
a b
+≤
等号成立条件。 三、教学过程
1.课题导入
2a b
+≤
的几何背景：
如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民
热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？
教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课
1．探究图形中的不等关系
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22
a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22
a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：22
2a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时
有22
2a b ab +=。
2．得到结论：一般的，如果
)
""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a
3．思考证明：你能给出它的证明吗？
证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当
22
,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即
.2)(2
2ab b a ≥+ 4．12a b
ab +≤
特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，
(a>0,b>0)2a b
ab +≤
22a b
ab +≤
用分析法证明：
32a b
ab +≤
的几何意义
探究：课本第98页的“探究”
在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本
2a b
ab +≤
的几何解释吗？
易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD2＝ＣA ·ＣB 即ＣD ＝ab .
这个圆的半径为2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab
b
a ≥+2，其中当
且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立.
因此：基本不等式
2a b
ab +≤
几何意义是“半径不小于半弦”
.在数学中，我们称2b
a +为a 、
b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平
均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
四、范例讲解
课本p99页，例1
五、课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数
（2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系（2b
a +≥a
b ）.它们成立的条
件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应
用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab ≤22
2b a +，ab ≤
（2b
a
）2.
六、作业
课本第100页习题[A]组的第1题