几个分形得matlab实现 摘要:给出几个分形得实例,并用matlab编程实现方便更好得理解分形,欣赏其带来得数学美感 关键字:Koｃh曲线实验图像 一、问题描述: 从一条直线段开始,将线段中间得三分之一部分用一个等边三角形得两边代替,形成山丘形图形如下 ?图1 在新得图形中,又将图中每一直线段中间得三分之一部分都用一个等边三角形得两条边代替,再次形成新得图形如此迭代,形成Kocｈ分形曲线。 二、算法分析: 考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(５个点)得过程。图1中,设与分别为原始直线段得两个端点,现需要在直线段得中间依次插入三个点,,。显然位于线段三分之一处,位于线段三分 之二处,点得位置可瞧成就是由点以点为轴心,逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵 实现。 算法根据初始数据(与点得坐标),产生图1中5个结点得坐标、结点得坐标数组形成一个矩阵,矩阵得第一行为得坐标,第二行为得坐标……,第五行为得坐标。矩阵得第一列元素分别为5个结点得坐标,第二列元素分别为5个结点得坐标。 进一步考虑Kｏｃh曲线形成过程中结点数目得变化规律。设第次迭代产生得结点数为,第次迭代产生得结点数为,则与中间得递推关系为。 三、实验程序及注释: p=［0 0;10 0］; %P为初始两个点得坐标,第一列为ｘ坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/３) —ｓin(pi/3);siｎ(ｐi/３) cos(pi/３)]; ％旋转矩阵 ｆor k＝1:4 ｄ=diｆf(p)/3; ％ｄｉff计算相邻两个点得坐标之差,得到相邻两点确定得向量 %则d就计算出每个向量长度得三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4＊n-3; ％迭代公式 q=p(1:ｎ—1,:); %以原点为起点,前n—１个点得坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=ｐ(2:n,:); %迭代后处于４k+１位置上得点得坐标为迭代前得相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于４k+２位置上得点得坐标 p(3:4:m,:)=ｑ+d+ｄ＊A'; %用向量方法计算迭代后处于4ｋ＋3位置上得点得坐标 p(4:４:m,:)＝ｑ＋2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上得点得坐标 n=m; %迭代后新得结点数目 end pｌot(ｐ(:,1),p(:,２)) ％绘出每相邻两个点得连线 aｘis([0 10 ０ 10]) 四、实验数据记录: 由第三部分得程序,可得到如下得Ｋoch分形曲线:
基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数 （2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形
如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一
分形（一种别样的数学美丽） 从海螺和螺旋星云到人类的肺脏结构，我们身边充满各种各样的混沌图案。分形（一种几何形状，被以越来越小的比例反复折叠而产生不能被标准几何所定义的不标准的形状和表面）是由混沌方程组成，它包含通过放大会变的越来越复杂的自相似图案。要是把一个分形图案分成几小部分，结果会得到一个尺寸缩小，但形状跟整个图案一模一样的复制品。 分形的数学之美，是利用相对简单的等式形成无限复杂的图案。它通过多次重复分形生成等式，形成美丽的图案。我们已经在我们的地球上搜集到一些这方的天然实例，下面就让我看一看。 1.罗马花椰菜：拥有黄金螺旋 罗马花椰菜 这种花椰菜的变种是最重要的分形蔬菜。它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型(一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列)的天然代表。 2.世界最大盐沼——天空之镜
盐沼
坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案 过去一个世纪，上图里的旧金山海湾盐沼一直被用来进行工业盐生产。下图显示的是位于玻利维亚南部的世界最大盐沼——天空之镜(Salar de Uyuni)。坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案，这是典型的分形。 3.菊石缝线 菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型
大约6500万年前灭绝的菊石 在大约6500万年前灭绝的菊石，是制作分成许多间隔的螺旋形外壳的海洋头足纲动物。这些间隔之间的壳壁被称作缝线，它是分形复曲线。美国著名古生物学家史蒂芬·杰伊·古尔德依据不同时期的菊石缝线的复杂性得出结论说，进化并没驱使它们变得更加复杂，我们人类显然是“一个例外”，是宇宙里独一无二的。菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型，很显然，自然界经常会出现这种图案，例如罗马花椰菜。 4.山脉 山脉 山脉是构造作用力和侵蚀作用的共同产物，构造作用力促使地壳隆起，侵蚀作用导致一些地壳下陷。这些因素共同作用的产物，是一个分形。上图显示的是喜马拉雅山脉，它
数学实验报告：分形迭代 练习1 1.实验目的：绘制分形图案并分析其特点。 2.实验内容：绘制Koch曲线、Sierpinski三角形和树木花草图形，观察这些图形的局部和原来分形图形的关系。 3.实验思路：利用函数反复调用自己来模拟分形构造时的迭代过程，当迭代指标n为0时运行作图操作，否则继续迭代。 4.实验步骤： （1）Koch曲线 function koch(p,q,n) % p、q分别为koch曲线的始末复坐标，n为迭代次数 if (n==0) plot([real(p);real(q)],[imag(p);imag(q)]); hold on; axis equal else a=(2*p+q)/3; % 求出从p 到q 的1/3 处端点a b=(p+2*q)/3; % 求出从p 到q 的2/3 处端点b c=a+(b-a)*exp(pi*i/3);% koch(p, a, n-1); % 对pa 线段做下一回合 koch(a, c, n-1); % 对ac 线段做下一回合 koch(c, b, n-1); % 对cb 线段做下一回合 koch(b, q, n-1); % 对bq 线段做下一回合 end （2）Sierpinski三角形 function sierpinski(a,b,c,n) % a、b、c为三角形顶点，n为迭代次数 if (n==0) fill([real(a) real(b) real(c)],[imag(a) imag(b) imag(c)],'b');% 填充三角形abc hold on; axis equal else a1=(b+c)/2; b1=(a+c)/2; c1=(a+b)/2; sierpinski(a,b1,c1,n-1); sierpinski(a1,b,c1,n-1); sierpinski(a1,b1,c,n-1); end （3）树木花草 function grasstree(p,q,n) % p、q分别为树木花草始末复坐标，n为迭代次数
经典的分形算法 小宇宙2012-08-11 17:46:33 小宇宙 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。 真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。近来，一个分形体爱好者丹尼尔?怀特（英国一钢琴教师）提出一个大胆的方法，创造出令人称奇的3D分形影像，并将它们命名为芒德球（mandelbulb）。
%这是一个生成树的主函数，它的输入分别为每叉树枝的缩短比、树枝的偏角、生长次数. %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %注意：把这些程序全部保存在名为tree的M文件中再运行！！！！！！！！ %%小提示：若用做函数，请将虚线框内语句删去。 function f=tree(w,dtheata,NN) %%%--------------------虚线框--------------------%%% clear;clc;clf;w=0.8;dtheata=pi/6;NN=8;%建议生长次数NN不要超过10 %%%--------------------虚线框--------------------%%% n=2^NN;%从主枝算起，共需生成2^NN个树枝 for NNK=1:n x1=0; y1=0; r1=1; theata1=pi/2; dataway=ten2twoN(NNK,NN); %把每一个树枝的编号转化为一个NN位的二进制数 for NNL=1:NN if dataway(NNL)==0 [x2,y2,r2,theata2]=antmoveleft(x1,y1,r1,theata1,w,dtheata);%若路径数组上对应的数字为0，则向左生长 x1=x2; y1=y2; r1=r2; theata1=theata2; hold on %pause(eps) else [x2,y2,r2,theata2]=antmoveright(x1,y1,r1,theata1,w,dtheata);%否则，数字为1，向右生长 x1=x2; y1=y2; r1=r2; theata1=theata2; hold on %pause(eps) end end end hold off %--------------------------------------------------------------------------
《高频电子线路》课程设计指导书 一、课程设计基本信息 核心课程名称（中文）高频电子线路核心课程名称（英文）High-frequency Electronic Circuits 课程设计名称高频电子线路课程设计 课程设计编号课程设计类型实物制作 相关辅助课程电路分析、电子线路（线性部分） 教材及实验指导书教材《电子线路（非线性部分）》,谢嘉奎，高等教育出版 课程设计时间：第五学期18 周 面向专业电子信息科学与技术 二、课程设计的目的 《高频电子线路》课程是电子信息专业继《电路理论》、《电子线路（线性部分）》之后必修的主要技术基础课，同时也是一门工程性和实践性都很强的课程。课程设计是在课程内容学习结束，学生基本掌握了该课程的基本理论和方法后，通过完成特定电子电路的设计、安装和调试，培养学生灵活运用所学理论知识分析、解决实际问题的能力，具有一定的独立进行资料查阅、电路方案设计及组织实验的能力。通过设计，加深对调幅的理解，学会电路的调整；进一步培养学生的动手能力 三、主要仪器设备 序号实验项目名称仪器设备名称仪器设备编号 1调幅收音机设计高频信号发生器、数字示波器、稳压电源 四、课程设计的内容与要求 1、内容：根据所学知识，设计一超外差调幅收音机电路，选择合适的元器件，进行安装和调试电路；应能接收正常广播，且接收的广播节目不少于3套° 序 号 名称目的方式场所要求
1调幅收音机设计加深对调幅的理解，学会 电路的调整；进一步培养 学生的动手能力 实物制作 通信学 院 2、要求 1设计电路图； 2供电电压：直流3V 3 接收频段：535kHz ~ 1605kHz; 4输出功率：P o> 1W。 5为满足偷出功率要求，采用两级放大电路； 6采用互补推挽功率放大器作为输出级。 五、考核与报告 考核内容：1实际操作：包括电路设计、安装、焊接及调试 2设计报告：包括原理、电路图、元器件的选择 成绩评定：实际操作和设计报告各占50%o 六、主要参考文献 1、《电子线路（非线性部分）》，谢嘉奎，高等教育出版社 2、《实用电子电路手册》，孙肖子，高等教育出版社 3、《电子技术技能训练》，张大彪，电子工业出版社七、课程设计报告 1、报告内容 目的、原理、电路图、安装注意事项、调试过程及结果。 2、版面格式 （1）A4纸打印，上、下、左、右边距为2. 5cm,段落间距0,行间距1. 5倍; （2）标题使用四号黑体、居中，正文使用小四号宋体; 一级标题：小四号黑体（如：1、2、3……）；
一，分形插值算法 ——分形图的递归算法1，分形的定义 分形（Fractal）一词，是法国人B.B.Mandelbrot 创造出来的，其原意包含了不规则、支离破碎等意思。Mandelbrot 基于对不规则的几何对象长期地、系统地研究，于1973 年提出了分维数和分形几何的设想。分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的几何学，用以描述自然界中普遍存在着的不规则对象。分形几何有其显明的特征，一是自相似性；分形作为一个数学集合, 其内部具有精细结构, 即在所有比例尺度上其组成部分应包含整体, 而且彼此是相似的。其定义有如下两种描述： 定义 1如果一个集合在欧式空间中的 Hausdorff 维数H D 恒大于其拓扑维数 r D ，则称该集合为分形集，简称分形。 定义 2组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。 对于定义 1 的理解需要一定的数学基础，不仅要知道什么是Hausdorff 维数，而且要知道什么是拓扑维数，看起来很抽象，也不容易推广。定义 2 比较笼统的说明了自然界中的物质只要局部和局部或者局部和整体之间存在自相似性，那么这个物质就是分形。正是这一比较“模糊”的概念被人们普遍接受，同时也促进了分形的发展。 根据自相似性的程度，分形可分为有规分形和无规分形。有规分形是指具有严格的自相似的分形，比如，三分康托集，Koch 曲线。无规分形是指具有统计意义上的自相似性的分形，比如，曲折的海岸线，漂浮的云等。本文主要研究有规分形。
2. 分形图的递归算法 2.1 三分康托集 1883 年，德国数学家康托(G.Cantor)提出了如今广为人知的三分康托集。三分康托集是很容易构造的，然而，它却显示出许多最典型的分形特征。它是从单位区间出发，再由这个区间不断地去掉部分子区间的过程构造出来的(如图2.1)。 其详细构造过程是：第一步，把闭区间[0，1]平均分为三段，去掉中间的 1/3 部分段，则只剩下两个闭区间[0，1/3]和[2/3，1]。第二步，再将剩下的两个闭区间各自平均分为三段，同样去掉中间的区间段，这时剩下四段闭区间：[0，1/9]，[2/9，1/3]，[2/3，7/9]和[8/9，1]。第三步，重复删除每个小区间中间的 1/3 段。如此不断的分割下去，最后剩下的各个小区间段就构成了三分康托集。三分康托集的 Hausdorff 维数是0.6309。 图2.2 三分康托集的构造过程
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/04241487.html, Ｎｅｗｔｏｎ分形的原理及Ｍａｔｌａｂ实现 作者：张健徐聪全付勇智 来源：《电脑知识与技术》2009年第24期 摘要:详细推导了复平面上Newton迭代法的原理和计算公式,用MATLAB编制程序实现了Newton迭代算法,得到了一些奇异、绚丽的分形图形。对《数学实验》课程有一定的参考价值。 关键词:Newton迭代法;分形;Matlab;数学实验 中图分类号:TP312文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)24-6997-03 The Principles of Newton Fractal and it's Realization Using MATLAB ZHANG Jian, XU Cong-quan, FU Yong-zhi (Department of Basic Courses, Southwest Forestry College, Kunming 650224, China) Abstract: The Principles and formulas of Newton fractal was explained,fractal graphics of Newton iteration was created using Matlab. Key words: newton iteration; fractal; Matlab; mathematical experimental 分形是非线性科学的一个重要分支,应用于自然科学和社会科学的众多领域。其中,分形图形以其奇异、绚丽多彩的特点,广泛应用于纺织印染、广告设计、装潢设计、计算机美术教学 等领域[1]。 很多分形图形都是用迭代的方式实现的,Newton迭代法就是其中的一种。由Newton迭代 法产生的分形图形称为Newton分形[2]。很多文献都对Newton分形进行了介绍,但都没有详细的计算公式和算法说明,读者很难编制相应程序。本文详细介绍了复平面上Newton迭代法的原理和计算公式,设计了相应的实现算法,并用Matlab编制程序实现了Newton分形的绘制,生成了一些奇异、瑰丽的分形图形。
成绩：课程名称：智能信息处理概论 分形之Julia集及其算法实现 摘要：本文从自然界的几何现象引出分形的概念，再从其定义、几何特征和分形维的计算这三个方面来加以介绍。以Julia集和Mandelbort集为例来具体描述分形。本文主要从Julia集的特点和算法实现来描述分形以及其实现的方法。 关键词：分形、分数维、Julia集、Mandelbort集、算法实现 引言 大自然是个很伟大的造物者，它留给我们一大笔美丽景观：蜿蜒曲折的海岸线、起伏不定的山脉，变幻无常的浮云，粗糙不堪的断面，袅袅上升的烟柱，九曲回肠的河流，纵横交错的血管，令人眼花缭乱的满天繁星……那么，我们又能从这些美妙的自然现象中得到什么有趣的结论呢？ 正文 分形概述 分形的英文单词为fractal，是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）创造出来的。其取自拉丁文词frangere（破碎、产生无规则碎片）之头，撷英文之尾所合成，本意是不规则的、破碎的、分数的。他曾说：分形就是通过将光滑的形状弄成多个小块，反复的碎弄。1975年，曼德勃罗出版了他的法文专著《分形对象：形、机遇与维数》，标志着分形理论正式诞生。【1】 两种定义 其一：具有自相似性结构的叫做分形； 其二：数学定义：豪斯道夫维Df>=拓扑维Dt。 若一有界集合，包含N个不相重叠的子集，当其放大或缩小r倍后，仍与原集合叠合，则称为自相似集合。自相似集合是分形集。具有相似性的系统叫做分形。 当放大或缩小的倍数r不是一个常数，而必须是r（r1，r2，….）的各种不同放大倍数去放大或缩小各子集，才能与原集合重合时，称为自仿射集合。具有自仿射性的系统叫做分形。【2】 特征 1.自相似性：局部与整体的相似，是局部到整体在各个方向上的等比例变换的结果； 2.自仿射性：是自相似性的一种拓展，是局部到整体在不同方向上的不等比例变换的结果； 3.精细结构：即使对该分形图放大无穷多倍，还是能看到与整体相似的结构，表现出无休止的重复； 4.分形集无法用传统几何语言来描述，它不是某些简单方程的解集，也不是满足某些条件的点的轨 迹； 5.分形集一般可以用简单的方法定义和产生，如递归、迭代；分形其实是由一些简单的图形，经过 递归或者迭代产生的复杂、精细的结构； 6.无确定的标度且具有分数维数。【3】
分形（二）——分形树 上次我们画出了谢尔宾斯基三角形，这次我们所画分形图形同样也是比较简单的——分形树，记得在上次的递归里~我们传入的参数是所绘的点的坐标，但这种方法并不一定的最好的，在绘制分形图案的时候，使用递归，所传参数应根据实际情况来定：（可以是角度，变长等） 同学们可以自己也试着画一下分形：这是今天的题目： 分形树一次递归调用： 分形树两次递归调用：
分形树六次递归调用： 分形树十次递归调用： 分形树二十五次递归调用
后面的我不敢往下试了——机子会爆掉的…… 下面是绘制次分形树的方法： package Elps; import java.awt.Graphics; import javax.swing.JFrame; public class Main extends JFrame { /** * @param args */ p ublic static void main(String[] args) { // TODO Auto-generated method stub Main a = new Main(); a.draw(); } public void draw(){//绘制窗体，添画布 this.setSize(1000,700);// this.setLocationRelativeTo(null);
this.setDefaultCloseOperation(3); this.setVisible(true); Graphics g = this.getGraphics(); } public void paint(Graphics g){ super.paint(g); this.Show(500,550,100, Math.PI/2,0,Math.PI/6,25,g); //(Math.PI为180°) } public void Show(double x0,double y0,double l,double a,double b,double c,double count,Graphics g){ double x2; double y2; double x3; double y3; double x4; double y4; double x5; double y5; if(count<1) { return; }//判断是否继续进行递归调用，注意：判断一定要放在递归调用之前，否则这段代码将永远不会被执行 x2 = x0 - l*Math.cos(a); y2 = y0 - l*Math.sin(a); x3 = x2 - l*Math.cos(b); y3 = y2 - l*Math.sin(b); x4 = x0 - l*Math.cos(b); y4 = y0 - l*Math.sin(b); x5 = x2 - l*Math.cos(Math.PI/6)*Math.cos(c); y5 = y2 - l*Math.cos(Math.PI/6)*Math.sin(c); //计算五个点的位置，以右下点为（X0，Y0） g.drawLine((int)x0, (int)y0, (int)x2, (int)y2); g.drawLine((int)x2, (int)y2, (int)x3, (int)y3); g.drawLine((int)x3, (int)y3, (int)x4, (int)y4); g.drawLine((int)x4, (int)y4, (int)x0, (int)y0); g.drawLine((int)x2, (int)y2, (int)x5, (int)y5); g.drawLine((int)x5, (int)y5, (int)x3, (int)y3); //划线——注意方法所需要的数据类型 Show(x2,y2,l*Math.cos(Math.PI/6),a+Math.PI/6,b+Math.PI/6,c+Math.PI/6,count-1,g);
几个分形的matlab实现 摘要：给出几个分形的实例，并用matlab编程实现方便更好的理解分形，欣赏其带来的数学美感 关键字：Koch曲线实验图像 一、问题描述： 从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下 图1 在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Koch分形曲线。 二、算法分析： 考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。图1中，设 1 P和 5 P分别为 原始直线段的两个端点，现需要在直线段的中间依次插入三个点 2 P， 3 P， 4 P。显然 2 P位 于线段三分之一处， 4 P位于线段三分之二处， 3 P点的位置可看成是由 4 P点以 2 P点为轴心，逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵 ?? ? ? ? ? ? ? - = ) 3 cos( ) 3 sin( ) 3 sin( ) 3 cos( π π π π A 实现。 算法根据初始数据（ 1 P和 5 P点的坐标），产生图1中5个结点的坐标。结点的坐标数组形成一个2 5?矩阵，矩阵的第一行为 1 P的坐标，第二行为 2 P的坐标……，第五行为 5 P的坐标。矩阵的第一列元素分别为5个结点的x坐标，第二列元素分别为5个结点的y坐标。 进一步考虑Koch曲线形成过程中结点数目的变化规律。设第k次迭代产生的结点数为k n，第1 + k次迭代产生的结点数为 1+ k n，则 k n和 1+ k n中间的递推关系为3 4 1 - = +k k n n。
三、实验程序及注释： p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵 for k=1:4 d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量 %则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4*n-3; %迭代公式 q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标 p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标 p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上的点的坐标 n=m; %迭代后新的结点数目 end plot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线 axis([0 10 0 10]) 四、实验数据记录： 由第三部分的程序，可得到如下的Koch分形曲线： 图2 五、注记： １．参照实验方法，可绘制如下生成元的Koch 分形曲线：
《分形算法与应用》教学大纲 1 课程的基本描述 课程名称：分形算法与应用Algorithm and Application of Fractal 课程编号：5301A36 课程性质：专业课适用专业：计算机专业 教材选用：孙博文编著，《分形算法与程序设计》，科学出版社，2004.11 总学时：32学时理论学时：32学时 实验学时：0学时课程设计：无 学分：2学分开课学期：第七学期 前导课程：算法分析 后续课程：毕业设计 2 教学定位 2.1 能力培养目标 通过本课程的学习，培养学生的认知和理解能力、逻辑思维能力，以及算法设计与分析能力，程序设计和实现能力。一方面使学生掌握非规则图形的计算机绘制的基本方法，以便实现对不规则对象的算法设计。另一方面，学习本课程的过程也是进行复杂程序设计的训练过程。 2.2 课程的主要特点 本课程是一门重要的专业课，有理论性、设计性与实践性的特点。介绍分形的基本概念及算法设计的基本方法。它是介于计算机软件、程序设计和数学三门课程之间的核心课程。不仅为后续专业课提供了必要的知识基础，也为计算机、软件工程的专业人员提供了必要的技能训练。
2.3 教学定位 通过本课程的学习，使学生达到知识和技能两方面的目标： 1．知识方面：从算法设计及其实现这两个层次的相互关系的角度，系统地学习和掌握非规则图形的算法设计方法，了解并掌握分析、比较和选择不同非规则结构的设计方案，不同运算实现的原则和方法。 2．技能方面：系统地学习和掌握在不同非规则对象实现的不同算法及其设计思想，从中体会并掌握结构选择和算法设计的思维方式及技巧，使分析问题和解决问题的能力得到提高。 3 知识点与学时分配 3.1掌握分形的基本概念 分形简介 分形 分维 分形的测量 共2学时 3.2分形图生成算法之一 分形图的递归算法 Cantor三分集、Koch曲线、Sierpinski垫片、 Peano曲线、分形树等的递归算法。 共2学时 3.3分形图生成算法之二 文法构图算法 LS文法、单一规则的LS文法生成、多规则的LS文法生成、 随机LS文法生成。 共2学时 3.4分形图生成算法之三 迭代函数系统
Matlab实现递归算法生成3维分形树 注：此算法树根在侧面，需对坐标轴进行旋转便可得到上图效果 以下代码全部粘贴到一个M文件中命名为TreeByL即可运行 为方便网友研读代码加入了大量注释 同时愿与matlab程序爱好者进行交流：Linking508@https://www.doczj.com/doc/04241487.html, %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Matlab实现递归算法生成3维分形树 %ByLinking %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function TreeByL L=15;%主干长 a=0; b=pi/3; r=0;%r=pi/5; %分支生成函数 makeBranch(0,0,0,L,a,b,r); % a在XOZ平面投影与X轴夹角b与Y轴的夹角r与主干的夹角 function makeBranch (x,y,z,L,a,b,r) B=pi/5;s1=1.5;s2=3;s3=1.2;%B枝干的倾斜度C主干的倾斜度s1细腻程度s2分支收缩速度s3主干收缩速度 % B=pi/5;s1=1.5;s2=2.4;s3=1.35; if L>s1 x1=x+L/s2*cos(a)*cos(r);
y1=y+L/s2*sin(a); z1=z+L/s2*cos(a)*sin(r); x1R=x1+L/s2*cos(a-b)*cos(r); y1R=y1+L/s2*sin(a-b); z1R=z1+L/s2*cos(a-b)*sin(r); x1L=x1+L/s2*cos(a+b)*cos(r); y1L=y1+L/s2*sin(a+b); z1L=z1+L/s2*cos(a+b)*sin(r); x1F=x1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r+atan(1/cos(a))); y1F=y1+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z1F=z1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r+atan(1/cos(a))); x1B=x1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r-atan(1/cos(a))); y1B=y1+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z1B=z1+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r-atan(1/cos(a))); %------------------------------------------------------ x2=x+L/s2*cos(a)*cos(r); y2=y+L/s2*sin(a); z2=z+L/s2*cos(a)*sin(r); x2R=x2+L/s2*cos(a-b)*cos(r); y2R=y2+L/s2*sin(a-b); z2R=z2+L/s2*cos(a-b)*sin(r); x2L=x2+L/s2*cos(a+b)*cos(r); y2L=y2+L/s2*sin(a+b); z2L=z2+L/s2*cos(a+b)*sin(r); x2F=x2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r+atan(1/cos(a))); y2F=y2+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z2F=z2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r+atan(1/cos(a))); x2B=x2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*cos(r-atan(1/cos(a))); y2B=y2+L/s2*sin((a-b)*sin(a)); z2B=z2+L/s2*cos((a-b)*sin(a))*sin(r-atan(1/cos(a))); plot3([x,x2],[y,y2],[z,z2],'k');hold on;set(gcf,'color','w');grid on;view(pi/2,0);%axis off;xlabel('X Label');ylabel('Y Label');zlabel('Z Label'); set(gca,'xlim',[0,25],'ylim',[-15,15],'zlim',[-15,15]); plot3([x2,x2R],[y2,y2R],[z2,z2R],'g');hold on; plot3([x2,x2L],[y2,y2L],[z2,z2L],'g');hold on; plot3([x2,x2B],[y2,y2B],[z2,z2B],'g');hold on;
各种有趣得分形 我们瞧到正方形,圆,球等物体时,不仅头脑里会迅速反映出它就是什么,同时,只要我们有足够得数学知识,我们头脑中也反映出它得数学概念,如正方形就是每边长度相等得四边形,圆就是平面上与某一点距离相等得点得集合,等等。 但就是,当我们瞧到一个山得形状时,我们会想到什么？”这就是山”,没错,山就是如此得不同于其她景象,以至于您如果绘画水平不高,根本画不出象山得东西。可就是,山到底就是什么？它既不就是三角形,也不就是球,我们甚至不能说明山具有怎样得几何轮廓,但为什么我们却有如此直观而又强烈得山得印象?分形得创始人就是曼德布洛特思考了这个问 图中得风景图片又就是说明分形得另 一很好得例子。这张美丽得图片就是利 用分形技术生成得。在生成自然真实得 景物中,分形具有独特得优势,因为分形 可以很好地构建自然景物得模型、 这就是一棵厥类植物,仔细观察,您会发 现,它得每个枝杈都在外形上与整体相 同,仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈得 枝杈也与整体相同,只就是变得更加小 了。 Siｅrpinski三角形具有严格得自相似 特性
Koｈn雪花具有严格得自相似特性 分维及分形得定义 分维概念得提出 对于欧几里得几何所描述得整形来说,可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形得层层细节做出测定就是不可能得、曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念、分形得主要几何特征就是关于它得结构得不规则性与复杂性,主要特征量应该就是关于它得不规则性与复杂性程度得度量,这可用“维数”来表征。维数就是几何形体得一种重要性质,有其丰富得内涵、整形几何学描述得都就是有整数维得对象:点就是零维得,线就是一维得,面就是二维得,体就是三维得。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换,它们得维数也就是不变得;这种维数称为“拓扑维”,记为d。例如当把一张地图卷成筒,它仍然就是一个二维信息载体;一根绳子团成团,仍然就是一维结构。但曼德尔布罗特认为,在分形世界里,维数却不一定就是整数得。特别就是由于分形几何对象更为不规则,更为粗糙,更为破碎,所以它得分数维(简称“分维”,记为D)不小于它得拓扑维,即Ｄ≥d。 维数与测量有密切关系、如为了测一平面图形得面积,就要用一个边长为l、面积为l2得标准面元去覆盖它,所得得数目就就是所测得面积。如果用长度l去测面积,就会得到无穷大;而如果用l３去测这块面
几个分形的matlab 实现 摘要：给出几个分形的实例，并用matlab 编程实现方便更好的理解分形，欣赏其带来的 数学美感 关键字：Koch 曲线 实验 图像 一、问题描述： 从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下 图1 在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Koch 分形曲线。 二、算法分析： 考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。图1中，设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点，现需要在直线段的中间依次插入三个点2P ，3P ，4P 。显然2P 位于线段三分之一处，4P 位于线段三分之二处，3P 点的位置可看成是由4P 点以2P 点为轴心，逆时针旋转600 而得。旋转由正交矩阵 ?????? ? ?-=)3cos()3sin()3sin()3cos(ππππA 实现。 算法根据初始数据（1P 和5P 点的坐标），产生图1中5个结点的坐标。结点的坐标数组形成一个25?矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标……，第五行为5P 的坐标。矩阵的第一列元素分别为5个结点的x 坐标，第二列元素分别为5个结点的y 坐标。 进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。设第k 次迭代产生的结点数为k n ，第1+k 次迭代产生的结点数为1+k n ，则k n 和1+k n 中间的递推关系为341-=+k k n n 。 三、实验程序及注释：
p=[0 0;10 0]; %P为初始两个点的坐标,第一列为x坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵 for k=1:4 d=diff(p)/3; %diff计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量 %则d就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4*n-3; %迭代公式 q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标 p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标 p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上的点的坐标 n=m; %迭代后新的结点数目 end plot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线 axis([0 10 0 10]) 四、实验数据记录： 由第三部分的程序，可得到如下的Koch分形曲线： 图2 五、注记： １．参照实验方法，可绘制如下生成元的Koch 分形曲线： 图3
（1）Koch曲线程序koch.m function koch(a1,b1,a2,b2,n) %koch(0,0,9,0,3) %a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标,n为迭代次数 a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3; %第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中 [A,B]=sub_koch1(a1,b1,a2,b2); for i=1:n for j=1:length(A)/5; w=sub_koch2(A(1+5*(j-1):5*j),B(1+5*(j-1):5*j)); for k=1:4 [AA(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),BB(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)]=sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4)); end end A=AA; B=BB; end plot(A,B) hold on axis equal %由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组A,B中 function [A,B]=sub_koch1(ax,ay,bx,by) cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3; ex=bx-(bx-ax)/3;
ey=by-(by-ay)/3; L=sqrt((ex-cx).^2+(ey-cy).^2); alpha=atan((ey-cy)./(ex-cx)); if (ex-cx)<0 alpha=alpha+pi; end dx=cx+cos(alpha+pi/3)*L; dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L; A=[ax,cx,dx,ex,bx]; B=[ay,cy,dy,ey,by]; %把由函数sub_koch1生成的五点横、纵坐标A,B顺次划分为四组,分别对应四条折线段中 %每条线段两端点的坐标,并依次分别存储在4*4阶矩阵k中,k中第i(i=1,2,3,4)行数字代表第%i条线段两端点的坐标 function w=sub_koch2(A,B) a11=A(1);b11=B(1); a12=A(2);b12=B(2); a21=A(2);b21=B(2); a22=A(3);b22=B(3); a31=A(3);b31=B(3); a32=A(4);b32=B(4); a41=A(4);b41=B(4); a42=A(5);b42=B(5); w=[a11,b11,a12,b12;a21,b21,a22,b22;a31,b31,a32,b32;a41,b41,a42,b42];