第3章 连续线性算子与连续线性泛函 本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。 3.1 连续线性算子与有界线性算子 在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵 1112 121 22 212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 对n E 中的向量起作用来达到的。同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。 [定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射 T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){} ,y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。 若算子T 满足： （1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+?∈ （2）()()(),T x Tx F x D T ααα=?∈∈ 称T 为线性算子。对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。特别地，如
第二章关系代数 教学目的： 本章实际上研究的是关系的运算。 学习目的： 关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。 通过本章学习，应重点掌握： (1)关系数据库的基本概念； (2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题； (3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题； (4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题； (5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。 了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义； 掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义； 掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。 教学重点： 关系的实体完整性和参照完整性的定义； 关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。 教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。 教学方法：实例法 教学内容：如下： 关系模型 关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。 1．关系模型组成 关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。关系操作分为两大部分如图所示。
2．关系操作的特点 关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。 关系数据语言分为三类： (1)关系代数语言：如ISBL ； (2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha ，Quel)、域关系演算语言(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL 。 3．关系数据结构及其形式化定义 （1）域 定义 域是一组具有相同数据类型的值的集合。 （2）笛卡尔积 定义 设D 1，D 2，D 3，…，D n ，为任意集合，定义D l ，D 2，D 3，…，D n 的笛卡尔积为 D 1×D 2×D 3×…×D n ＝{(d1，d2，d3，…dn)[di ∈Di ，i ＝1，2，3…，n] 其中每一个元素(dl ，d2，d3，…，dn ，)叫做一个n 元组(n 一tuple)或简称为元组(Tuple)，每一个值di 叫做一个分量(Component)，若Di(i ＝l ，2，…n)为有限集，其基数(Cardinal number)为mi(i=l ，2，3，…，n)， 则D 1×D 2×D 3×…×D n 的基数M 为 M ＝ ∏=n i 1 mi
春季学期线性代数作业 一、选择题（每题2分，共20分） 1.（教材§1.1，课件第一讲）行列式（B ）。 A.13 B.-11 C.17 D.-1 2.（教材§1.3，课件第二讲）下列对行列式做的变换中，（B ）不会改变行列式的值。 A.将行列式的某一行乘以一个非零数 B.将行列式的某一行乘以一个非零数后加到另外一行 C.互换两行 D.互换两列 3.（教材§2.2，课件第四讲）若线性方程组无解，则a的值为（ D ）。 A.1 B.0 C.-1 D.-2 4.（教材§3.3，课件第六讲）下列向量组中，线性无关的是（C ）。 A. B. C. D. 5.（教材§3.5，课件第八讲）下列向量组中，（D ）不是的基底。 A. B. C. D.
6.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵和矩阵均为n阶矩阵，和均为实数，则下列结论不正确的是（ A ）。 A. B. C. D. 7.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，则 （ C ）。 A. B. C. D. 8.（教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，为矩阵，矩阵为矩阵，为实数，则下列关于矩阵转置的结论，不正确的是（ D ）。 A. B. C. D. 9.（教材§4.3，课件第十讲）下列矩阵中，（A ）不是初等矩阵。 A. B. C. D. 10.（教材§5.1，课件第十一讲）矩阵的特征值是（B ）。 A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分）
11.（教材§1.1，课件第一讲）行列式的展开式中，的一次项的系数是 2 。 12.（教材§1.4，课件第三讲）如果齐次线性方程组有非零解，那么的值为0或1 。 13.（教材§2.3，课件第四讲）齐次线性方程组有（填“有”或“没有”）非零解。 14. （教材§3.1，课件第五讲）已知向量则 。 15. （教材§3.3，课件第六讲）向量组是线性无关（填“相关”或“无关”）的。 16. （教材§4.1，课件第九讲）已知矩阵，矩阵，那 么。 17. （教材§4.2，课件第九讲）已知矩阵，那么 。 18. （教材§5.1，课件第十一讲）以下关于相似矩阵的说法，正确的有1,2,4
西南大学线性代数作业答案
第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式25 11 22 14--x 中，x 的代数余子式是 — 5 。 6．计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 811411 02--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）× （—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。
3．(7分)已知0010413≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：
线性代数（试卷一) 一、 填空题(本题总计2０分,每小题2分） 1. 排列76２３451的逆序数是_______。 2． 若 122 21 12 11 =a a a a ,则=1 6 030322211211 a a a a 3。 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =,其中E 为n 阶单位矩阵，则CA B =-1。 4. 若A 为n m ?矩阵,则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是 ＿＿＿__＿_＿_ 5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为４，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_ ＿2__＿__＿____＿． ６. 设Ａ为三阶可逆阵,??? ? ? ??=-1230120011 A ，则=*A ７。若Ａ为n m ?矩阵,则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 ８．已知五阶行列式1 23453 2011 11111 2 1403 54321=D ,则=++++4544434241A A A A A 9。 向量α=(2,1,0,2)T -的模（范数)______________ 。 1０。若()T k 11=α与()T 121-=β正交,则=k
二、选择题（本题总计10分,每小题2分） 1。 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则（D) Ａ.s r = B.s r ≤ C.r s ≤ ? D ．r s < 2. 若A 为三阶方阵,且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A) Ａ.8? B.8- Ｃ． 34?? Ｄ.3 4- 3.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ｄ ) Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R < C.)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥ ４. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则 () * kA 等于_____。c )(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A 5。 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____. )(A AC AB = 则 C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+ 三、计算题(本题总计60分.１-3每小题８分，4-7每小题９分） １。 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 2 12 2 2-n n 2 222 ． 2．设A 为三阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵，且2 1= A ，求* A A 2)3(1--. ３．求矩阵的逆 111211120A ?? ?=- ? ???
线性代数作业提示与答案 作业（1） 一．k x x k x k x -====4321,0,, 二．??? ??? ???==--=++=24 13212 211,757975,767171k x k x k k x k k x 三．1．阶梯形（不唯一）：????? ? ???? ??---140 10612 0071210 02301 ，简化阶梯形?????? ? ????? ????- 10000 02 1 100 00 01002 7 01 秩为4； 2．简化阶梯形为单位矩阵. 四．1．其系数矩阵的行列式值为 2 )1)(2(-+λλ（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定） 当12≠-≠λλ,时，方程组只有零解， 当2-=λ时，通解为=x ???? ? ?????111k ； 当1=λ时，通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-； 2．?? ?? ???? ??? ???? ? -++-- - -2200123 23012 1211~2 λλλλA ， 当2-≠λ时，方程组有唯一解； 当2-=λ时，方程组有无穷解，通解为=x T T k ],,[],,[022111+.
作业(2) 一．1． =x 1，2，3； 2. !)(n n 11-- 3.-120 4. ()() !) 1(2 21n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12 二．1．1； 2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到 333 33 32222221 11111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=23 2 3 3221 11c b a c b a c b a 3． 0； （注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆，而且计算过程中用的是等号） 4．12 2 2 +++γβα 作业(3) 一．1．c; 2. d ; 3.a 二．1.将第n ,,, 32列都加到第一列上，提出公因子∑=+ n i i a x 1 ，得到(∑=+ n i i a x 1 )1-n x . 2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得)!(22--n ． 3．由第1-n 行至第一行，相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上，得到 .)1(0 1 00001011 111 22 1 2) 1(n n n n n n --=-- 4．按第一列展开，得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+ 三．3)(=A R （注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表
1 离散和连续能量算子的定义 无衰减自由振荡的线性振子的运动方程为：0=+x k x m ，通解为一个余弦函数：)cos()(θω+=t A t x 。 用简单的数学来分析和跟踪窄带信号的能量，这就是所谓的非线性能量跟踪算子，简称能量算子，记作ψ。对于连续信号)(t x ，能量算子的定义式为： )()()]([)()())(()]([2 2 22t x t x t x dt t x d t x dt t dx t x C -=-=ψ 将)(t x 代入上式可得22)]([ωψA t x C =，能反映并跟踪能量的变化。 离散信号的能量算子为)1()1()()]([2+--=n x n x n x n x d ψ。用离散差分方程代替连续时间变量的导数，可得到c ψ和b ψ之间的映射关系： 后向差分： 前向差分： 平衡差分：
2 能量算子分离算法 无论是连续信号还是离散信号，都可以用能量分离算法获得它们的瞬时幅度信号和瞬时频率信号。 连续信号： 由连续能量算子的计算公式可得到： ???≈≈) ()()]([) ()()]([42 22t t a t x t t a t x i c i c ωψωψ 联合可求解得到 )]([)] ([)(t x t x t a c c ψψ= )]([)]([)(t x t x t c c i ψψω = 对这两式进行解调即可。 离散信号： 我们用连续时间信号类似的推导，并采用后向差分可推得： 2 ) )] ([2)]1()([1(1)] ([)(n x n x n x n x n a d d d ψψψ----= 平衡差分： )] 1()1([)] ([2)(--+= n x n x n x n a d d ψψ
3.简述如下概念，并说明它们之间的联系与区别:。 （1）域，笛卡尔积，关系，元组，属性 答：域：域是一组具有相同数据类型的值的集合。 笛卡尔积：给定一组域D1，D2，…，Dn，这些域中可以有相同的。这组域的笛卡尔积为：D1×D2×…×Dn＝｛（d1，d2，…，dn）｜di?Di，i＝1，2，…，n ｝其中每一个元素（d1，d2，…，dn）叫作一个n元组（n-tuple）或简称元组（Tuple）。元素中的每一个值di叫作一个分量（Component）。 关系：在域D1，D2，…，Dn上笛卡尔积D1×D2×…×Dn的子集称为关系，表示为 R（D1，D2，…，Dn） 元组：关系中的每个元素是关系中的元组。 属性：关系也是一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域。由于域可以相同，为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性（Attribute）。 （2）超码，主码，候选码，外码 答：超码：对于关系r的一个或多个属性的集合A，如果属性集A可以唯一地标识关系r中的一个元组，则称属性集A为关系r的一个超码 (superkey) 。 候选码：若关系中的某一属性组的值能唯一地标识一个元组，则称该属性组为候选码（Candidate key）。 主码：若一个关系有多个候选码，则选定其中一个为主码（Primary key）。 外码：设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码，如果F与基本关系S 的主码Ks相对应，则称F是基本关系R的外码（Foreign key），简称外码。 基本关系R称为参照关系（Referencing relation），基本关系S称为被参照关系（Referenced relation）或目标关系（Target relation）。关系R和S可以是相同的关系。 (3)关系模式，关系，关系数据库 答：关系模式：关系的描述称为关系模式（Relation Schema）。它可以形式化地表示为：R（U，D，dom，F） 其中R为关系名，U为组成该关系的属性名集合，D为属性组U中属性所来自的域，dom 为属性向域的映象集合，F为属性间数据的依赖关系集合。 关系：在域D1，D2，…，Dn上笛卡尔积D1×D2×…×Dn的子集称为关系，表示为 R（D1，D2，…，Dn） 关系是关系模式在某一时刻的状态或内容。关系模式是静态的、稳定的，而关系是动态的、随时间不断变化的，因为关系操作在不断地更新着数据库中的数据。 关系数据库：关系数据库也有型和值之分。关系数据库的型也称为关系数据库模式，是对关系数据库的描述，它包括若干域的定义以及在这些域上定义的若干关系模式。关系数据库的值是这些关系模式在某一时刻对应的关系的集合，通常就称为关系数据库。 2.3.为什么需要空值null？ 答：引入空值，可以方便于数据库的维护和建立，数字或者字符有时并不能解决想要解决的问题，毕竟它们是真实的存在，有了空值，那么有些操作，比如查询，插入，删除都可以更加方便，比如公司的部门，新增的部门，信息是不存在的，是之后数据库人员进行添加之后才有的，所以让它为空，比给它0更加贴近实际。空值是所有可能的域的一个取值，表明值未知或不存在。 2.3.关系模型的完整性规则有哪些？ 答：关系模型的完整性规则是对关系的某种约束条件。关系模型中可以有三类完整性约束：实体完整性、参照完整性和用户定义的完整性。 其中实体完整性和参照完整性是关系模型必须满足的完整性约束条件，被称作是关系的
学习中心 姓 名_____________ 学 号 西安电子科技大学网络教育 2014学年上学期 《线性代数》期末考试试题 （综合大作业） 考试说明： 1．大作业于2014年06月17日下发，2014年06月29日交回。 2．试题必须独立完成，如发现抄袭、雷同均按零分计。 3. 试题须手写完成，不能提交打印稿和复印稿，否则计零分。 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1．向量组1α=(),0,0,1T 2α=(),0,2,1T 3α=()T 5,0,0是线性 ； ()A 相关； ()B 无关； ()C 表示； ()D 组合． 2．设有向量1α=()T k ,3,1,4-，2α=,41,43,41,1T ??? ??- 当k = 时，1α，2α为线性相关； ()A 1； ()B －1； ()C 3； ()D －4． 3．行列式8 76 54321 0000 00 00a a a a a a a a 中元素7a 的代数余子式为 ； ()A 542632a a a a a a - ()B 542631a a a a a a - ()C 632542a a a a a a - ()D 854863a a a a a a -． 4．设 10010020 000 1000 -=a a ，则a = ； ()A 21- ； ()B 21； ()C －1； ()D 1．
5．设??????????=1011α，??????????=0102α，??????????=1003α，向量???? ? ?????--=011β可表示为321,,ααα的线性 组合：321αααβc b a ++=，则 ； ()A 1,1,1-=-=-=c b a ； ()B 1,1,1-=-==c b a ； ()C 1,1,1-==-=c b a ； ()D 1,1,1=-=-=c b a ． 6．设有矩阵23?A ,32?B ,33?C ,下列矩阵运算可行的是 ； ()A AC ； ()B ABC ； ()C C B T ； ()D BC AB -． 二、填空题：（每小题3分，共21分） 1．设34?A ·5?B k = C n m ?， 则 k = ，m = ，n = ； 2．设A =??????-432101，B =?? ????065231，则T AB = ； 3．设A =???? ? ?????--c b c a b c 000，则A 2= ； 4．设A =??????????--210413161，B =???? ??????--121312510， 则 （1）A +B 2= ， （2）A 2－B = ； 5．排列534162的逆序数()=534162 t ； 6．非齐次线性方程组x A =b 有解的充要条件是 。 三、计算题：（共20 分） 1．4 1111411 1141 1114 ===
第一节 有界线性算子的谱 一、算子代数 定义：()L X 是一复Banach 空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称其为算子代数。 性质：设,,(),R S T L X α∈∈C ，则有 1、结合律：()()RS T R ST =，(,)m n m n T T T m n +=∈N ； 2、()()()ST S T S T ααα==； 3、(),()R S T RS RT R S T RT ST +=++=+； 4、单位算子I 满足：IT TI T ==； 5、:T X X →为同构?存在,()A B L X ∈，使得AT I TB ==；必定A B =，称它为T 的逆，记作1 T -，并称T 为可逆算子。以()GL X 记()L X 中的可逆算子的全体。 6、若,()S T GL X ∈，则()ST GL X ∈，且 11111(),()()n n ST T S T T -----==。 当()T GL X ∈时约定10()(0),n n T T n T I --=>=，因而对任何,k k Z T ∈有意义。 注：1、算子乘法不满足交换律； 2、,(1)n n ST S T T T n ≤≤≥； 3、若在()L X 中,n n S S T T →→，则必有n n S T ST →。 定义：设T 属于某算子代数，称 010 ()(3.1.1)n n n n n f T T I T T αααα∞ ===++ ++ ∑、 （其中系数(0)n n α∈≥C 为算子幂级数。 性质：设通常幂级数0 ()n n n f λαλ ∞ ==∑有收敛半径R ，则当(),T L X T R ∈<时级数 （3.1.1）绝对收敛：
数值线性代数实验 大报告 指导老师：赵国忠 姓名：1108300001 刘帅 1108300004 王敏 1108300032 郭蒙
一、实验名称：16题P75上机习题 二、实验目的：编制通用的子程序，完成习题的计算任务 三、实验内容与要求： P75上机习题 先用熟悉的计算机语言将算法2.5.1编制成通用的子程序，然后再用所编制的子程 序完成下面两个计算任务： （1） 估计5到20阶Hilbert 矩阵的无穷范数条件数。 （2） 设A n = 1 1...111... .......... ... 1-1 (01) -- 先随机地选取x ∈R n ，并计算出b=A n x;然后再用列主元Gauss 消去法求解该方程组，假定计算解为∧x .试对n 从5到30估计计算解∧ x 的精度，并且与真实的相对误差作比较。 四、 实验原理： （1）矩阵范数（martix norm ）是数学上向量范数对矩阵的一个自然推广。利用for 循环和cond （a ）Hilbert 求解Hilbert 矩阵的无穷范数，再利用norm(a,inf)求矩阵的无穷范数条件数。 （2）本题分为4步来求解。先运用rand 随机选取x ∈R n ，输入A n 矩阵，编制一个M 文件计算出b 。第二步用列主元高斯消去法求解出方程的解X2。第三步建立M 文件: soluerr.m 估计计算解∧x 的精度。第四步, 建立M 文件: bijiao.m ,与真实相对误差作比较。 五、 实验过程： (1)程序： clear for n=5:20
for i=1:n for j=1:n a(i,j)=1/(i+j-1); end end c=cond(a); f=norm(c,inf); fprintf('n=%3.0f\nnorm(c,inf)%e\n',n,f) end 运行结果： n= 5 norm(c,inf)4.766073e+005 n= 6 norm(c,inf)1.495106e+007 n= 7 norm(c,inf)4.753674e+008 n= 8 norm(c,inf)1.525758e+010 n= 9 norm(c,inf)4.931542e+011 n= 10 norm(c,inf)1.602467e+013 n= 11 norm(c,inf)5.224376e+014 n= 12 norm(c,inf)1.698855e+016 n= 13 norm(c,inf)3.459404e+017 n= 14 norm(c,inf)4.696757e+017 n= 15 norm(c,inf)2.569881e+017 n= 16 norm(c,inf)7.356249e+017 n= 17 norm(c,inf)4.362844e+017 n= 18 norm(c,inf)1.229633e+018 n= 19 norm(c,inf)9.759023e+017 n= 20 norm(c,inf)1.644051e+018 （2）程序：
第一章 1．用消元法解下列线性方程组： （1）??? ??=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解 由原方程组得同解方程组 12323234,23,x x x x x ++=?? +=? 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-?? =-+?令3x c =，得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵： （2）???? ? ??--324423211123． 解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ? ?- ?-???? ? ? ? ? -??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ? ?? ? ，得 行阶梯形：????? ? ?---0000510402321（不唯一）；行最简形：???? ??? ? ? ? - -00004525 10212 01 3．用初等行变换解下列线性方程组： （1）?? ? ??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x
解 2100313357214110109011320019r B ? ? ??? ? ? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ?? ?M M M M M M ， 得方程组的解为 9 20 ,97,32321=-==x x x ． （2）??? ??=+++=+++=++-. 2222,2562, 1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ? =?? →-- ? ? ? ????? M M M M M M ， 得方程组无解． 第二章 1.（2） 2 2 x y x y ． 解 原式()xy y x =-． （2）01000 020 00010 n n -L L L L L L L L L ． 2.解 原式1 100 020 (1) 001 n n n +=-=-L L M M M L !)1(1n n +-
第3章 有界线性算子 音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目, 诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可 改善物质生活,但数学能给予以上的一切. Klein F .(克萊恩) (1849-1925,德国数学家) Banach S .在1922年建立了完备赋范线性空间的公理,证明了一些基本定理后,就讨论 了定义在一个完备赋范线性空间上而取值为另一个完备赋范线性空间的算子,在这类算子中最重要的是连续加法算子,所谓加法算子是指对所有x ,y ,都有Ty Tx y x T +=+)(.容易证明,T 是连续加法算子时,必有Tx x T αα=)(成立.Banach S .证明了若T 是连续的加法算子,则存在常数0>M ,使得||||||||x M Tx ≤.另外他还证明了若}{n T 是连续加法算子序列,T 也是加法算子,且对任意X x ∈,都有Tx x T n n =∞ →lim ,则T 也是连续的. Hahn H .在1922年证明了,若X 是一个完备赋范空间,}{n f 为X 上的一列线性连续泛 函,且对任意X x ∈,)}({x f n 都有上界,则||}{||n f 一定是有界的. Banach S .和Steinhaus H .在1927年证明了,若n T 为完备赋范空间X 到赋范空间Y 的线性连续算子,且对任意X x ∈,||}{||x T n 都有界,则||}{||n T 一定有界,这就是Banach 空间理论中最重要的定理之一,即一致有界原理. Neumann Von J ..在1929年至1930年还引进并讨论了算子的几种收敛性. 在1932年,Banach S .出版了线性算子理论（aires e lin rations e op des orie e Th '''）一
第三章 有界线性算子 一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例 设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α ,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)( 称T 是X 中到1X 中的线性算子。称)(T D 是T 的定义域。 特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。 如果一个线性泛函 f 是有界的，即 )( |||||)(|M x x M x f ∈≤ 称为 f 有界线性泛函。此外取算子范数作为空间中的范数。 定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0 连续，则T 是连续的。 定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。 2 有界线性算子空间 设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对
于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α ，定义 Bx Ax x B A +=+))(( Ax x A αα=))(( 不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见 )(77P 。 由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =， 把),(1X X β简记为)(X β。 在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。事实上，设∈n A A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及 }1||:||{=∈=X X x S 。如果)(∞→→n A A n ，则对任意 0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈ ≤-||||Ax x A n 1 ||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n -ε<。 即}{n A 在S 上一致收敛于A 。 反之，如果}{n A 在S 上一致收敛于A ，则对任意0>ε ，存在 N ，当N n >时，对于每一个S x ∈： ||||Ax x A n -ε< 于是：|||| A A n -=1 ||||sup =x ||||Ax x A n -ε≤。 即}{n A 在上一致收敛于A 。 定理1.3 设X 是赋范空间，1X 是anach B 空间，则),(1X X β是anach B 空间。 在空间 ) ,(1 X X β中还有另一种收敛方式。设
第1章复习题 1.数据库系统是采用了数据库技术的计算机系统，数据库系统由数据库、数据库管理系统、应用系统和（）。 A.系统分析员 B.程序员 C.数据库管理员 D.操作员 2.数据库（DB），数据库系统（DBS）和数据库管理系统（DBMS）之间的关系是（）。 A.DBS包括DB和DBMS B.DBMS包括DB和DBS C.DB包括DBS和DBMS D.DBS就是DB，也就是DBMS 3.下面列出的数据库管理技术发展的三个阶段中，没有专门的软件对数据进行管理的是（）。I．人工管理阶段II．文件系统阶段III．数据库阶段 A.I 和II B.只有II C.II 和III D.只有I 4.下列四项中，不属于数据库系统特点的是（）。 A.数据共享 B.数据完整性 C.数据冗余度高 D.数据独立性高 5.数据库系统的数据独立性体现在（）。 A.不会因为数据的变化而影响到应用程序 B.不会因为数据存储结构与数据逻辑结构的变化而影响应用程序 C.不会因为存储策略的变化而影响存储结构 D.不会因为某些存储结构的变化而影响其他的存储结构 6.描述数据库全体数据的全局逻辑结构和特性的是（）。 A.模式 B.内模式 C.外模式 D. 7.要保证数据库的数据独立性，需要修改的是（）。 A.模式与外模式 B.模式与内模式 C.三级模式之间的两层映射 D.三层模式 8.要保证数据库的逻辑数据独立性，需要修改的是（）。 A.模式与外模式之间的映射 B.模式与内模式之间的映射 C.模式 D.三级模式
9.用户或应用程序看到的那部分局部逻辑结构和特征的描述是（）模式。 A.模式 B.物理模式 C.子模式 D.内模式 10.下述（）不是DBA数据库管理员的职责。 A.完整性约束说明 B.定义数据库模式 C.数据库安全 D.数据库管理系统设计 11.概念模型是现实世界的第一层抽象，这一类模型中最著名的模型是（）。 A.层次模型 B.关系模型 C.网状模型 D.实体-关系模型 12.区分不同实体的依据是（）。 A.名称 B.属性 C.对象 D.概念 13.关系数据模型是目前最重要的一种数据模型，它的三个要素分别是（）。 A.实体完整性、参照完整性、用户自定义完整性 B.数据结构、关系操作、完整性约束 C.数据增加、数据修改、数据查询 D.外模式、模式、内模式 14.在（）中一个结点可以有多个双亲，结点之间可以有多种联系。 A.网状模型 B.关系模型 C.层次模型 D.以上都有 15.（）的存取路径对用户透明，从而具有更高的数据独立性、更好的安全保密性，也简化了程序员的工作和数据库开发建立的工作。 A.网状模型 B.关系模型 C.层次模型 D.以上都有 1 .数据库数据具有__________、__________和__________三个基本特点。(问答题) 答案 永久存储有组织可共享 4 .数据库管理系统是数据库系统的一个重要组成部分，它的功能包括__________、__________、__________、__________。(问答题) 答案 数据定义功能数据操纵功能数据库的运行管理数据库的建立和维护功能
一、必答题 什么是线性方程组的系数矩阵和增广矩阵？ 答：系数矩阵：方程组左边各方程的系数作为矩阵就是此方程的系数矩阵。 増广矩阵：将非齐次方程右边作为列向量加在系数矩阵后就是增广矩阵其次方程有非零解的条件是系数矩阵的秩小于N 就是说未知数的个数大于方程的个数。 1、写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵。 1231231232322 21x x x x x x x x x ++=??++=??+-=? 2、求解上述线性方程组 二、从下列两题中任选一题作答 1、(a)什么是逆矩阵？ (b)设4阶方阵A 、B 、C 满足方程11(2)T E C B A C ---=，试求矩阵A ，其 中1232012300120001B --?? ?- ?= ? ???，1201012000120001C ?? ? ?= ? ???。 （a ）设A 是一个n 阶矩阵，若存在另一个n 阶矩阵B ，使 得： AB=BA=E ，则称方阵A 可逆，并称方阵B 是A 的逆矩阵
（b ） 2、(a)什么是向量组的极大线性无关组？ (b)判断 向量组()()()123=1320=70143=2101T T T ααα-、、、 ()()45=5162=2-141T T αα、是否线性无关。 (c) 求出一个向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。 三、从下列两题中任选一题作答 1、（a ）阐述方阵的特征值和特征向量的定义。 对于方阵a,存在一个非零向量x 和实数λ，使得ax=λx 成立，则称λ为矩阵的特征值，x 称为a 相对于λ的特征向量。 延伸： 由ax-λx=0得(a-λe)x=0.
线性代数 大作业（二） 学号：02121443 姓名：惠政 成绩：____________ 1.在钢板热传导的研究中，常常用节点温度来描述钢板温度的分布。假设下图中钢板已经达到稳态温度分布，上下、左右四个边界的温度值如图所示,而T1,T 2,T 3,T 4表示钢板内部四个节点的温度。若忽略垂直于该截面方向的热交换，那么内部某节点的温度值可以近似地等于与它相邻四个节点温度的算术平均值，如T 1=(30+40+T 2+T 3)/4，请计算该钢板的温度分布。 (1)根据已知条件可以得到以下线性方程组得矩阵形式:????????? ???-------0114140110414110 ????????????4321T T T T =???? ? ???????70505030 (2)给出方程组的解。 T 1=30。 C,T 2=25。 C,T 3=25。 C,T 4=20。 C A=[0 -1 -1 4;-1 4 0 -1;-1 0 4 -1;4 -1 -1 0]; b=[30;50;50;70]; U=rref([A,b]) U = 1 0 0 0 30 0 1 0 0 25 0 0 1 0 25 0 0 0 1 20 请过这六个点作一个五次多项式函数p 5(x)=5 54 43 32 2 10x x x x x αααααα+++++,并求当x=6时的函数值p 5(6) 。 p 5(6)=3956 x=[0;1;2;3;4;5]; 2030404020C C C C C C
y=[2;6;0;26;294;1302]; A=[x.^0 x.^1 x.^2 x.^3 x.^4 x.^5]; a=A\y; disp('五次多项式系数为：') disp(a); x0=6; y0=a(1)+a(2)*x0+a(3)*x0^2+a(4)*x0^3+a(5)*x0^4+a(6)*x0^5; disp(y0); 五次多项式系数为： 2.0000 5.0000 1.0000 -0.0000 -3.0000 1.0000 3.9560e+003 假设一个城市的总人口数固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有12%的市区居民搬到郊区；而有10%的郊区居民搬到市区。若开始有800000人口居住在市区，200000人口居住在郊区。那么，20年后市区和郊区的人口数各是多少？ 解：设第n 年市区人数和郊区人数分别为x n 和y n ,则第n+1年的市区和郊区为 ???+=+=++n n n n n n y y y x x 9.0x 12.01.088.011，则矩阵表示为??????++11n n y x =? ?????9.012.01.088.0??????n n y x A=[0.88 0.10;0.12 0.90]; x0=[800000;200000]; x20=A^20*x0; disp(x20); 1.0e+005 * 4.5695 5.4305 故20年后市区和郊区的人口数分别为456950,543050。 3.一个混凝土生产企业可以生产出三种不同型号的混凝土，它们的具体配方比例如表1所示。 表1 混凝土的配方
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). 4. 计算下列各行列式: (1)7110 025******* 214; 解 71 1 02510202142140 1001423 1020211021 473 234 -----====== c c c c 34)1(1431022110 14+-?---= 143102211014--=014171720010 99323 211=-++======c c c c . (2)2 605 232112131412-;
解 2 605232112131412-26050321221304122 4--=====c c 0 4120321221304122 4--=====r r 00 000321221 30 41214=--=====r r . (3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---; 解 ef cf bf de cd bd ae ac ab ---e c b e c b e c b a d f ---= a b c d e f a d f b c e 41 111111 11=---=. (4)d c b a 100110011001---. 解 d c b a 1 00110011001---d c b a ab ar r 10011001101021---++===== d c a ab 101101)1)(1(1 2--+--=+0 1011123-+-++=====cd c a d a ab dc c cd ad ab +-+--=+111)1)(1(23=abcd +ab +cd +ad +1. 6. 证明: (1)1 11222 2b b a a b ab a +=(a -b )3; 证明 111 2222b b a a b ab a +001 22222221213a b a b a a b a ab a c c c c ------=====