第四章时间序列分析
（一）教学目的
通过本章的学习，掌握时间序列的概念、类型，学会各种动态分析指标的计算方法。
（二）基本要求
要求学会各种水平和速度指标的计算方法，并能对时间序列的长期趋势进行分析和预测。
（三）教学要点
1、时间序列的概念与种类；
2、动态分析指标的计算；
3、长期趋势、季节变动的测定。
（四）教学时数
7——10课时
（五）教学内容
本章共分四节：
第四章时间数列分析
本章前一部分利用时间数列，计算一系列分析指标，用以描述现象的数量表现。后一部分根据影响事物发展变化因素，采用科学的方法，将时间数列受各类因素（长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动）的影响状况分别测定出来，研究现象发展变化的原因及其规律性，为预测未来和决策提供依据。
第一节时间数列分析概述
一、时间数列的概念
时间数列：亦称为动态数列或时间序列(Time Series)，就是把反映某一现象的同一指标在不同时间上的取值，按时间的先后顺序排列所形成的一个动态数列。
时间数列的构成要素：
1.现象所属的时间。时间可长可短，可以以日为时间单位，也可以以年为时间单位，甚至更长。
2.统计指标在一定时间条件下的数值。
二、时间数列的分类
时间数列的分类在时间数列分析中具有重要的意义。因为，在很多情况下，时间数列的种类不同，则时间数列的分析方法就不同。因此，为了能够保证对时间数列进行准确分析，则首先必须正确判断时间数列的类型。而要正确判断时间数列的类型，其关键又在于对有关统计指标的分类进行准确理解。
由于时间数列是由统计指标和时间两个要素所构成，因此时间数列的分类实际上和统计指标的分类是一致的。
时间数列分为:总量指标时间数列、相对指标时间数列和平均指标时间数列。
（一）总量指标时间数列
总量指标时间数列：又称为绝对数时间数列，是指由一系列同类的总量指标数值所构成的时间数列。它反映事物在不同时间上的规模、水平等总量特征。总量指标时间数列又分为时期数列和时点数列。
1.时期数列：是指由反映某种社会经济现象在一段时期内发展过程累计量的总量指标所构成的总量指标时间数列。
时期数列的特点：
(1）时期数列中各项指标值反映现象在一段时期内发展过程的总量；
(2）各项指标值随着现象的发展进程进行连续登记，因而各项指标值可以相加，相加后的指标值反映现象在更长时期内发展过程的总量；
(3）每项指标值的大小与其所包括的时间长短有直接关系，时期长，指标值大，时期短，指标值小，因此其时期间隔一般应该相等。
2.时点数列
时点数列：是指由反映某种现象在一定时点（瞬间）上的发展状况的总量指标所构成的总量指标时间数列。
时点数列的特点：
(1）时点数列中各项指标值反映现象在一定时点上的发展状况；
(2）各项指标值只能按时点所表示的瞬间进行不连续登记，相加无实际经济意义，因而不能直接相加；
(3）各项指标值的大小，与其时点间隔的长短没有直接关系。
（二）相对数时间数列
相对数时间数列：是指由一系列同类的相对指标数值所构成的时间数列。它可以反映社会经济现象数量对比关系的发展过程。
它包括：①由两个时期数列对比所形成的相对数时间数列；
②由两个时点数列对比所形成的相对数时间数列；
③由一个时期数列和一个时点数列对比所形成的相对数时间数列。
相对数时间数列反映事物数量关系的发展变化动态，由于各期相对数的对比基数不同，故其各项水平数值不能直接相加。
（三）平均数时间数列
平均数时间数列：是指由一系列同类的平均数指标数值所构成的时间数列。它可以反映社会经济现象一般水平的发展变化过程。
这类动态数列可以揭示研究对象一般水平的发展趋势和发展规律。平均数时间数列中各项水平数值也不能直接加总。
三、编制时间数列的原则
编制时间数列的目的，在于通过数列中各项指标值对比，说明社会经济现象的发展过程和规律性。因此，为了保证同一时间数列中指标值的可比性，即数列中前后各项指标值可以相互比较，应遵守以下几个基本编制原则：
（一）时间方面的可比性
由于时期数列数值的大小，与时期长短成正比。时期愈长指标值愈大；反之则愈小。因此，时期数列中各项指标值所属的时期长短应该前后一致，才能对比，如果时期长短不同，应进行必要的调整。关于时期间隔，为了便于对比分析，间隔最好相等，也可以编制间隔不等的数列。
对于时点数列来说，则不存在指标值所属时间长短问题，只要求注意时点间隔是否一致即可。由于时点数列指标值的大小与时点间隔的长短没有直接关系，其时点间隔虽然可以不一致，但是为了明显地反映社会经济现象发展变化的规律性，时点间隔也应力求一致。
（二）空间的可比性（既总体范围大小应该一致）
总体范围是指时间数列指标值所包括的地区范围、隶属关系范围等。在进行时间数列分析时，要查明所依据的指标值总体范围是否前后一致。只有范围一致才能对比，如有变动应进行必要调整。
（三）指标口径的可比性
指标口径是统计实践中的一种说法，它是指指标所包括的经济内容的多少。一般来说，只有同质的现象才能进行动态对比，才能表明现象发展变化的过程及趋势。在经济分析中，经常存在着这样一种情况，即有些指标从指标名称上看，在不同时间上它并没有什么变化，但随着时间的推移，其经济内容却发生了很大的变化。（例如工资的含义。）
（四）指标的计算方法和计量单位方面的可比性
指标的计算方法和计量单位方面应该一致。各个指标的计算方法如果不一致，不便于动态对比。指标数值的计量单位也应该一致，否则也不可比。
四、时间数列分析的内容体系
编制时间数列的目的就是通过对时间数列的分析来描述事物发展变化的基本过程、基本趋势和基本规律，以对事物的未来走势进行预测，最终为管理决策提供信息依据。因此，对时间数列的分析基本上可以分为三个层次：（见课本288页结构图）
第一个层次就是通过计算一些基本分析指标对事物的发展过程进行一般的统计描述； 第二个层次就是通过对时间数列的结构分析揭示事物发展变化的基本趋势和基本规律； 第三个层次就是在对事物发展变化的趋势及其规律有所认识的基础上，通过建立时间数列模型来对事物的未来进行预测。
第二节 时间数列的分析指标
时间数列分析的第一个层次，即最基本的层次，就是从时间的角度对事物发展变化的基本状态进行描述。这种描述包括两个方面的基本内容：一个是回答“多少”的问题，一个是回答“快慢”的问题。在统计学的时间数列分析中，一般将描述前者的动态分析指标称为“水平指标”；将描述后者的动态分析指标称为“速度指标”。
一、时间数列的水平指标
时间数列的水平指标共有四个：发展水平、平均发展水平、增长量与平均增长量。
（一）发展水平和平均发展水平
1.发展水平
发展水平：是指时间数列中各时间上所对应的指标数值的统称为。它反映某种社会经济现象在一定时期或时点所达到的规模和水平。通常用
i α表示。0α ，1α，2αn α??? 是时间数列中各个时期或时点的发展水平。
在统计分析中规定：处于时间数列中第一期的指标值，称为最初发展水平（
0α）；处于最后一期的指标值，称为最末发展水平（n α）；处于第一期指标值和最后一期指标值之间的指标值，称为中间发展水平。
在做动态对比时，将作为对比基准期的时期称为基期，其指标值也相应地被称为基期发展水平；将用以分析研究的时期称为报告期，其指标值被称为报告期发展水平。发展水平的这些不同内容，随着研究目的的不同而改变。
2.平均发展水平
平均发展水平：是将不同时间的发展水平加以平均而得到的平均数，由于它是不同时间的、动态上的平均，故又称为序时平均数或动态平均数。
平均发展水平（序时平均数）与一般平均数的都反映现象的一般水平，但两者之间却有区别：一般平均数是根据同一时期总体标志总量与总体单位总量对比求得的，是根据变量数列计算的，从静态上说明总体某个数量标志的一般水平；序时平均数则是根据时间数列中不同时间的指标值的总和与时间的项数对比求得的，是根据时间数列计算的，从而说明某一现象在不同时间数值的一般水平。
在动态分析中，利用序时平均数分析社会经济现象的动态变化有很重要的作用：①用它可以反映社会经济现象在一段时间内所达到的一般水平，并对其作出概括的说明；②利用它可以消除现象在短期内波动的影响，便于观察现象的发展趋势和规律；③运用它还可以对不同单位、不同地区等在某一段时间内，某一事物的一般水平进行比较。
序时平均数，可以根据各种时间数列进行计算，由于时间数列中指标的性质不同，计算方法也不同。因此计算平均发展水平的基本思路是：首先要判断时间数列的类型，不同类型的时间数列，平均发展水平的计算方法也不同；其次，就是选择择具体的计算公式。下面分别讲述各种不同时间数列的平均发展水平的计算方法：
(1）总量指标时间数列的序时平均数
A 、时期数列的序时平均数。
同一时期数列中各项指标值所属时期的长短相等，可以直接将各项指标值相加除以项数，用简单算术平均法计算序时平均数。其计算公式为：
020111n i n i n n αααααα=∑+++==++???+ (4.1) 其中，α为序时平均数，i α为各时期的发展水平，n 为时期数。
B 、时点数列的序时平均数
时点数列的序时平均数，根据掌握资料的不同而有不同的计算方法：
①根据每日时点（连续时点）资料计算序时平均数。
在掌握整个研究时期中每日资料的情况下，序时平均数的计算方法与时期数列相同。即将每日数字相加再除以日数，用简单算术平均法计算序时平均数。该方法计算的平均发展水平是最为准确的。其计算公式为：
01n i i n αα=∑=
+ (4.2) 其中，i α——各时点发展水平，n+1——指标项数（天数）
如果我们掌握了一段时期中每次变动的资料，则可以将每一资料所存在的日数为权数，对各时点指标值加权，用加权算术平均法来计算序时平均数。其公式为：
i i i f f αα∑∑=
(4.3) 其中，i α——每次变动的时点水平；i f ——各时点水平所持续的间隔长度（天数）。 ②根据间隔相等的时点资料计算序时平均数
在掌握间隔相等时点资料的情况下，计算序时平均数，可以用简单算术平均法，先依次将相邻两个时点指标值相加除以“2”，得到两个时点指标值的序时平均数;然后再将这些序时平均数进行简单算术平均，就可以计算出整个时点数列的序时平均数。
时间间隔相等时点数列序时平均数的一般公式为：
112
2n n n ααααα-++++=???+ (4.4) 其中，0α ，1α，2αn α??? 代表各时点水平，n 代表项数，该公式又称为首尾折半法。 时点数列的序时平均数=（1/2首项数值+第二项数值+…+1/2末项数值）/（项数-1）
根据时间间隔相等的时点数列计算序时平均数的方法，是假定现象在各个时点之间的变动是均匀的，但是实际上并不完全如此，所以计算的序时平均数只能是近似值。由于间隔愈短，误差愈小，因此，为了使序时平均数能基本反映实际情况，时点数列的间隔不宜过长。
③根据间隔不等时点资料计算序时平均数
在掌握间隔不等时点资料的情况下，可用不同的时点间隔长度作为权数，用加权算术平均法计算序时平均数。其公式为：
110211121
1()22
22n i n i n i n i n i i i f f f f f f ααααααααα==--∑∑∑++++++==???+ (4.5)
其中，i f ——各时点间隔长度。
021121122
214.3515.215.216.116.117.517.518.77334222223342
16.23n n n
i f f f f ααααααα-∑+++++=++++?+?+?+?=+++=???+
(2）相对数时间数列和平均数时间数列的序时平均数
相对数和平均数时间数列的序时平均数，是由两个总量指标时间数列对比形成的。由于各相对数和平均数的分母不同，不能直接将不同时间的相对数或平均数相加来计算序时平均数，而应是根据时期数列和时点数列序时平均数的求法，分别求出构成相对数和平均数时间数列的子项和母项数列的序时平均数，然后将它们对比求出相对数和平均数时间数列的序时
平均数。其基本计算公式为：
a c
b = (4.6) 其中，a 为分子数列的序时平均数，b 为分母数列的序时平均数，
c 为相对数或平均数时间数列的序时平均数。
[例4.1]某企业产值和职工人数资料如下表，计算该企业的年平均劳动生产率。（课本294页）
分析：劳动生产率是一个相对指标，而如果用每年的总产值除以相应年份的年平均职工人数所编制的年劳动生产率时间数列就属于相对指标时间数列。根据公式，只从计算相对数时间数列序时平均数的角度讲，就不一定把该数列编制出来了，直接分别计算其子项数列——总产值和母项数列——职工人数的序时平均数，然后将它们对比就可以了。但是，需要特别注意的是，职工人数和总产值两个时间数列在各自计算序时平均数时要注意时间口径的一致性。根据资料，对于年平均职工人数我们只能计算出1992-1998这7年的平均数。所以总产值这一总量指标时间数列虽然能计算出1991一1998这8年的平均数，但为了保持时间口径的可比性，它同样只能计算1992-1998这7年的平均数。因此只能计算出1992-1998年这一时期的年平均劳动生产率。
年平均劳动生产率
810810830850880970850 1.03841.07a c b ++++++===（万元/人年）
（二）增长量与平均增长量
1.增长量
增长量：是时间数列中报告期发展水平与相比较的基期发展水平之差，反映社会经济现象报告期比基期增加或减少的数量，即：增长量=报告期发展水平一基期发展水平
一般而言，分析的目的不同，选择的基期就不同。因此，根据基期的不同，可将增长量分为：累计增长量和逐期增长量。
(1)逐期增长量
逐期增长量：是指时间数列中各期发展水平与其前期发展水平之差，说明现象逐期增加或减少的数量，用公式表示为：
逐期增长量＝报告期发展水平一报告期上期发展水平
1i i αα-=- (4.7)
在实际工作中，如果利用历年各月(季)的资料编制的时间数列，还可以计算一种特殊的逐期增长量——年距增长量，即用报告年的某月(季)的发展水平减去上一年同月(季)的发展水平。其意义在于消除由于季节不同对某些社会经济现象的影响。
(2)累计增长量
累计增长量：是指时间数列中报告期发展水平与某一固定基期发展水平之差，说明现象在一定时期内总的增加或减少的数量，用公式表示为：
累计增长量＝报告期发展水平-固定基期发展水平
＝0i αα- (4.8)
在同一时间数列中，各逐期增长量的代数和一定等于相应时期的累计增长量，即 101()n i i n i αααα-=∑-=- (4.9)
2.平均增长量
平均增长量：是指时间数列中各逐期增长量的序时平均数，说明某社会经济现象在一段时期内平均每期增加或减少的数量。一般用简单算术平均法计算。其公式为：
平均增长量
110
()
n i i i n n n αααα-=∑--== (4.10)
公式中第一步可以认为是平均增长量的定义公式，而第二步是根据累计增长量和逐期增长量的关系所得到的。还需要说明的一个问题是，增长量虽然有两类：累计增长量和逐期增长量，但由于累计增长量在不同时间上不具有可加性，即将累计增长量再累计没有什么经济意义，因此，所谓平均增长量就是指逐期增长量的序时平均数。
增长量和下面要讲的增长速度实际上是从两个不同的角度说明同一个问题，即分别从绝对数和相对数方面说明经济现象的增长程度。
二、时间数列的速度分析指标
（一）发展速度与增长速度
1.发展速度
发展速度：是反映社会经济现象发展变化快慢程度的动态相对指标，它是根据两个不同时期的发展水平对比求得的。其计算结果一般用倍数或百分数表示。用公式表示为：
发展速度＝报告期发展水平/基期发展水平
根据对比的基期不同,可分为环比发展速度和定基发展速度两种。
定基发展速度：是时间数列中报告期期发展水平与固定基期发展水平对比所得到的相对数，说明某种社会经济现象在较长时期内总的发展方向和速度，故亦称为总速度。即报告期的水平是该固定基期的多少倍或百分之多少。
环比发展速度：是时间数列中报告期发展水平与前期发展水平之比，说明某种社会经济现象的逐期发展方向和速度。即报告期是上一期的多少倍或百分之多少。用公式表示为：
定基发展速度：
1
αα，20αα，30αα0n αα??? (4.11) 环比发展速度： 1
0αα，21αα，32αα1n n αα-??? (4.12)
不难看出，定基发展速度与环比发展速度存在一定的数量关系：
101n n i i i αααα=-∏=
(1）相邻若干个环比发展速度的连乘积等于相应的定基发展速度 ；
1001i i i i αααααα--÷= (4.13)
(2）相邻两个定基发展速度之商等于相应的环比发展速度 。
2.增长速度
增长速度：是表明社会经济现象增长程度的动态相对指标，它是根据增长量与基期发展水平对比求得的，用以说明报告期水平比基期水平增加了若干倍(或百分之几)，其计算结果一般用倍数或百分数表示。用公式表示为：
增长速度=报告期增长量/基期发展水平
=（报告期发展水平-基期发展水平）/基期发展水平 =发展速度-1
增长速度由于采用的基期不同，可分定基增长速度和环比增长速度两种。用公式表示为：
定基增长速度：
10
0ααα-，200ααα-，300ααα-???00n ααα- (4.14)
（或 101αα-，201αα-，30
1αα-???01n αα-） (4.15) 环比增长速度：
10
0ααα-，211ααα-，
322ααα-11n n n ααα---??? (4.16) （或 101αα-，211αα-，32
1αα-11n n αα--???） (4.17) 可见增长速度等于发展速度减1。当报告期水平高于基期水平时，发展速度大于1或100%，增长速度为正值，表示现象增长的程度，亦称增长率；当计算期水平低于基期水平时，发展速度小于1或100%，增长速度为负值，表示现象降低的程度，亦称降低率。
（二）计算和运用速度指标应注意的问题
(1）时间数列中的指标值为0或负数时，不宜计算速度。
(2）速度指标与发展水平指标要结合使用。
速度是一个相对值，它与对比的基期值的大小有很大关系，大的速度背后，其隐含的增长绝对值可能很小；小的速度背后，其隐含的增长绝对值可能很大。这就是说，由于对比的基点不同，可能会造成速度数值上的较大差异，进而造成高的速度掩盖了低的增长。为了求得一个具有可比性的指标，就需要把速度指标与水平指标结合起来，计算增长1%的绝对值指标。
统计上把增长速度和增长量结合起来的指标，就是增长百分之一的绝对值。其计算公式为：
增长1%的绝对值 = 逐期增长量/环比增长速度 = 前期水平/100 证明：111
111100(1)100100i i i i i i i i i i αααααααααα--------==--?? (4.18)
增长百分之一绝对值这一指标不仅可用于比较同一事物不同时期增长速度的经济意义，还可以用于比较不同国家、不同地区、不同单位之间同一事物增长速度所隐含的不同经济意义。对我们正确评价和处理速度与效益的关系是颇有好处的。
（三）平均发展速度与平均增长速度
1.平均速度指标
平均速度：就是速度指标的动态平均数。因为速度指标有发展速度和增长速度两种，所以，平均速度指标也有两种：平均发展速度与平均增长速度。
从理论上讲，所谓平均发展速度是指时间数列中各期环比发展速度的序时平均数，它表明社会经济现象在一个较长时期内逐期发展变化的平均程度；而所谓平均增长速度也是指时间数列中各期环比增长速度的序时平均数，它表明社会经济现象在一个较长时期内逐期增长
的平均程度。
但是,从计算平均速度的方法看，平均增长速度并不能根据各期环比增长速度直接计算，而是先计算平均发展速度，然后,根据平均发展速度与平均增长速度的关系来计算平均增长速度，即：
平均增长速度=平均发展速度一1
因此,所谓平均速度指标的计算方法问题实际上就是指平均发展速度的计算。
2.平均发展速度的计算方法
平均发展速度通常采用两种方法计算：儿何平均法与方程法。
(1）几何平均法：又称水平法，它的基本出发点是从时间数列的最初发展水平0α开始,以数列的平均速度去代替各期的环比发展速度，由此推算出期末理论发展水平与期末实际发展水平相一致，即在基期发展水平0α的基础上，平均每年以多快的发展速度发展（x ），
经过若干（季、月）后，才能达到报告期的发展水平（
n α）。公式为：0n n x αα= 其中，x 表示平均发展速度。
x =由这一公式变形，可得平均发展速度的“几何法”计算公式：
根据定基发展速度和环比发展速度的关系，即将公式
101
n n i i i αααα=-∏= (4.20) 代入上式得平均发展速度的另一个计算公式：
x = (4.21)
(2）方程法：又称累计法，它的基本出发点是：从时间数列的最初发展水平αo 开始，以数列的平均速度去代替各期的环比发展速度，由此推算出各期理论发展水平之和与各期实际发展水平之和相一致，即：
1231
2300001
011110
n n i i n n i i i n n
i i i n i
i n i i x x x x x
x αααααααααααααα======∑∑∑∑∑∑+++=+++===???+???+
解这个高次方程，其正根即为平均发展速度。但是,要求解这个高次方程是非常麻烦的，因此，在实际工作中，往往利用己经编好的《平均增长速度查对表》来计算。
由此可见，用方程法计算平均发展速度，侧重于考察中长期计划各期水平的总和，亦即
计划期间的累计总量。这种方法适用于计算基本建设投资额、新增固定资产额、住宅建筑面积、造林面积等;指标的平均发展速度。
3.计算和应用平均速度指标应注意的问题
(1)几何平均法和高次方程法是计算平均发展速度的基本方法，但两种方法的侧重点不同：前者是从最末水平出发来研究问题，而后者则是从各期水平的累计总和出发进行考察。因此，它们的应用条件是不同的，同一资料，两种方法计算的结果也不相同。所以,在计算平均发展速度时要根据研究现象的性质、研究目的来选择合适的方法。例如,如果我们研究的是类似于年末人口数这样的存量现象，则利用方程法来计算其平均发展速度就没有多少意义。
(2)要根据事物的发展状态,应用分段平均发展速度来补充说明整个时期的总平均发展速度。因为总平均速度仅能笼统的反映现象在较长时期内逐期平均发展的程度,而掩盖了这种现象在不同时期的波动状况。尤其是当研究的时期较长时,更要注意这方面的问题。
(3)在应用几何平均法计算平均发展速度时,还要注意与环比发展速度结合进行分析。因为几何平均法计算的平均发展速度只考虑了最末水平与最初水平,中间各期水平无论怎样变化,对平均速度的高低都无影响。如果中间各期水平出现了特殊高低变化,或者最初、最末水平受到特殊因素的影响,就会降低或失去平均速度的意义。
(4）注意平均速度指标与原时间数列的发展水平、增长量、平均水平等指标的结合应用,以便对研究现象做出比较确切和全面的认识。
第三节时间数列的趋势分析
一、时间数列结构分析的意义
1.什么是时间数列的结构分析
社会经济现象的发展变化是由许多错综复杂的因素共同作用的结果。①有些属于基本因素，它对事物的发展起决定性作用，影响事物在一段较长时间内呈现出一定的趋向，沿着一个方向（上升或下降）发展；②有些属于偶然的或非基本的因素，它对事物的发展只起局部的非决定性作用，影响时间数列各期发展水平出现短期不规则的波动；③还有些属于季节性因素，影响时间数列以一年为周期的季节性波动。为了研究社会经济现象发展变化的趋势或规律，并以此为依据来预测未来，就需要将这些不同因素的不同作用结果从时间数列的实际数据中分离出来，这就是时间数列的结构分析问题。
2.时间数列结构分析的意义
即通过对时间数列进行深入的分析，研究社就经济现象发展变化的趋势或规律，并以此为依据来预测事物发展的前景，为决策层制定政策与计划，实行科学管理提供有效的咨询服务。
二、时间数列的构成因素
社会经济现象的性质多种多样，发展的时空条件千差万别，影响事物发展的具体原因不可胜数。但就共同规律而言，一般可归纳为长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动四个因素。
1.长期趋势（T）
长期趋势：是指客观社会经济现象在一个相当长的时期内，由于受某种基本因素的影响所呈现出来一种基本走势。尽管在这个时期内，事物的发展仍有波动，但基本趋势不变。如股票市场的“牛市”和“熊市”。
2.季节变动 (S)
季节变动：是指由于自然条件、社会条件的影响，社会经济现象在一年内或更短的时间内，随着季节的转变而引起的周期性变动。如农产品收购、农业生产资料和其他季节性商品的销售、几大节日的客运量等，就有明显的季节性，而且年复一年地呈规律性变动。
季节变动一般以一年为周期。此外有的社会季节现象是以一日、一周、一月为周期而产生变动，亦称为准季节变动。如市内公共汽车的乘客，早晨逐渐增多，上、下班时间达到高峰，入夜以后逐渐减少，是以一日为周期的变动；市内商店的顾客、影剧院的售票，星期六和星期日最多，是以一周为周期的变动；由于机关、团体、企业习惯上在月初发工资，因此，银行活期储蓄存款月初增加，月末减少，这是以一月为周期的变动。
3.循环变动(C)
循环变动：是指社会经济现象以若干年为周期的涨落起伏相同或基本相同的一种波浪式的变动。如股票市场由牛市到熊市的周期再到下一个牛市与熊市的周期；资本主义经济由危机、萧条、复苏、繁荣的一个周期再到下一个危机、萧条、复苏、繁荣的周期。虽然每一个周期可能长短不同，但盛衰起伏周而复始。事物的循环变动，也是由事物发展的内在原因决定的。
4.不规则变动(I)
不规则变动：指客观社会经济现象由于天灾、人祸、战乱等突发事件或偶然因素引起是无周期性波动。
社会经济现象的发展变化，都是上述四种因素的全部或部分变动影响的结果。在现实生活中有些社会经济现象无循环变动，以年为单位的时间数列无季节变动。因此，时间数列预测分析应从实际出发，实际包含几个因素就分解和测定几个因素。
三、时间数列构成因素的结合方式
由于客观存在在内容上的复杂性和方式上的多样性，影响客观事物的各种因素在其发生作用的过程中，所表现出来的关系也是多种多样的。在统计分析中，将这种关系一般概括为以下两种假设：
第一种假设是：各个组成部分所具有的变动数值是各自独立，彼此相加的，从而整个时间数列数值与各种构成之间的数量关系应该表现为下列公式：
Yi=Ti+Si+Ci+Ii (4.22)
第二种假设是：各个组成部分所具有的变动数值是相互依存，彼此相乘的，从而整个时间数列数值与各种构成之间的数量关系应该表现为下列公式：
Yi=Ti×Si×Ci×Ii (4.23)
四、长期趋势的测定方法
（一）长期趋势：是指现象在相当长的时期内，受某种基本因素的影响，持续增长或不断下降的趋势。例如，各国经济的发展，多半具有向上增长的趋势，主要是由于人口的增加飞技术的进步以及财富的积累等因素的结果。
（二）作用或意义
分析时间数列的长期趋势，①描述社会经济现象在较长时期内发展变化的基本状态，以便进一步研究其发展变化的规律；②为预测事物未来的发展情况提供依据；③测定长期趋势，为研究季节变动时消除长期趋势的影响提供依据。
（三）测定长期趋势的基本方法
测定长期趋势的基本方法是对时间数列进行修匀，修匀的基本目的就是消除影响事物变化的非基本因素。修匀的方法很多，但比较常用的是移动平均法和数学模型法。
1.移动平均法
(1）移动平均法的基本思想：通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一定间隔长度逐期移动，分别计算出一系列移动平均数，这些平均数形成的新的时间序列对原时间序列的波动起到一定的修匀作用，削弱了原时间序列中季节周期、循环周期及短期偶然因素的影响，从而呈现出现象发展的变动趋势。
(2）具体操作方法
首先，确定移动平均数的移动周期长度。
①移动周期一般以季节周期、循环变动周期长度为准而确立；
②如若不存在明显的季节周期和循环周期，一般而言，我们在确定移动周期的时间长度时，最好取奇数项目。
③如根据数据资料的特点，还非取偶数项不可，例如当时间数列中包含明显的季节变动时，如果是季度资料，则需要用四期移动平均来消除季节变动；而如果是月度资料，则需要用12期移动平均。此时，统计中的一般做法就是再对移动平均数时间数列进行第二次偶数项移动平均，目的是为了“正位”，第二次移动的周期一般取两期。
其次，就是计算移动平均数。
2.数学模型法
数学模型法就是根据时间数列发展形态的特点，选择一种合适的数学方程式，进而以自变量x 代表时间，y 代表实际观测值，然后依据此方程式来分析长期趋势的方法。用数学模型法测定长期趋势，关键在于两个方面：
首先，是要科学的选择模型。
数学模型有直线型和曲线型两种类型，而每一种类型又有很多种具体形式。因此，在建立模型之前首先要判断趋势的形态。方法有两种：
一种是散点图法，即用直角坐标系做两个变量的散点图，然后根据散点图的形状来确定数学模型；
另一种是指标法，即通过计算时间数列的动态分析指标来确定时间数列的类型，基本结论是：①若时间数列的环比增长量大体相等，则其趋势线近似于一条直线，即y a bx =+；②若时间数列的二次增长量大体相等（即逐期增长量大体上呈等量递增或递减态势），则其
趋势线近似于一条抛物线2y a bx cx =++；③若时间数列的各期环比发展速度大体相等，
则其趋势线近似于一条指数曲线x y ab =。抛物线、指数曲线等都属于曲线型模型。在社会
经济现象的客观现实中，有很多是按照曲线的轨迹演进，因此曲线模型在经济社会中是大量存在的。但是，曲线又是由很多直线联结而成，因此研究直线模型是研究各种曲线模型的基础。所以，本章主要介绍直线模型。
其次，是确定模型中的参数。
求解模型，实际上就是确定模型中的待定系数，即参数。从数学方法的角度看，最理想的方法就是"最小二乘法"。
选择直线模型来分析其长期趋势，并假设其方程为：y a bx ∧=+， 其中y ∧表示时间数列的实际水平值y 的估计值或叫长期趋势值；X 表示时间变量， a 、b 是两个待定系数，分别表示趋势线在y 轴上的截距和斜率。
依据这一时间数列的实际资料和“最小二乘法”的标准方程组求出这一直线方程中的两个参数。标准方程组如下：
1
12111n n
i i i i n n n i i i i i i i y na b x x y a x b x =====∑∑∑∑∑=+=+(4.24)
得出a 、b 两个参数的具体数值，则可得到方程y a bx ∧=+。
最后，把各个时期的时间变量在代入这个趋势方程中，便得到各期的长期趋势值。 直线模型的简化计算法：
为了简化计算，可以将时间数列中的自变量，即时间变量的原点移动若干期。其中，最简便的方法是把原数列最中间的时间作为原点。具体做法是：
当时间数列的项数为奇数项时，可以取最中间一项的时间顺序号为0，中间以前的时间序号从中间往前依次为一1，-2，-3，…，中间以后的时间序号从中间往后依次为1，2，3，…；
当时间数列为偶数项时，将最中间的两项，前面的一项取为-1，后面的一项取为1，然后，从中间到两边，以前各期依次取-3，-5，-7，…；以后各期依次取3，5，7，…。若按上述规则取值，从而使9.20式中的∑xi=0，做到了这一点，就可以使标准方程简化为：
1n
i i y a n =∑= (4.25)， 1
21n i i
i n i i x y b x ==∑∑= (4.26)
用简化公式计算的直线趋势方程和标准方程组所求出的方程实际上是同一条趋势线，所不同的只是原点的改变。原点改变后的趋势值和改变前的趋势值肯定是相等的。
第三节 季节变动分析
二、季节变动的概念和特征
（一）季节变动概念
季节变动：是指某些社会经济现象，由于受自然因素和社会条件、人们的消费习惯等因素的影响，在一年之内或更短的时间，随着季节更换而引起的一种有规律的变动。
在现实生活中，季节变动是一种极为普遍的现象。例如：商业经营中时令商品的销售量；农业生产中的蔬菜、水果、禽蛋的生产量；工业生产中的服装、水力发电等，都受生产条件和气候变化等因素的影响而形成有规则的周期性重复变动。
（二）季节变动有三个特征
1.季节变动按照一定的周期进行，是一种有规律的变动；
2.季节变动每年重复进行；
3.每个周期变化的强度大体相同。
季节变动是各种周期性变动中的很重要的一种，因此，分析季节变动的原理和方法，是分析其他周期性变动的基础。
一、 季节变动
的分析原理与方法
(一)季节变动的分析原理
季节变动是一种各年变化强度大体相同且每年重现的有规律的变动。根据这一基本特征，我们可以将其归纳为一种典型的季节模型。所谓季节模型，就是指一时间序列在各年中所呈现出的典型状态，这种状态年复一年以基本相同的形态出现。季节模型是由一套指数组成的，各指数刻画了现象在一个年度内各月或各季的典型特征。如果所分析的是月份数据，季节模型就由12个指数组成；若为季度数据，季节模型就由4个指数组成。其中各个指数是以全年月或季度资料的平均数为基础计算的，因而12个月（或4个季度）指数的平均数应等于100%，而各月（或季）的指数之和应等于1200%（或400%）。季节模型正是以各个指数的平均数等于100%为条件而构成的，它反映了某一月份或季度的数值占全年平均数的大小。如果现象的发展没有季节变动，则各期的季节指数应等于100%；如果某一月份或季度有明显的季节变化，则各期的季节指数应大于或小于100%。因此，分析季节变动，也就是
对一个时间序列计算出该月（或季）指数，即所谓季节指数，然后根据各季节指数与其平均数（100%）的偏差程度来测定季节变动的程度。这就是季节变动分析的基本原理。
（二）季节变动的分析方法
1.季节变动的分析方法和长期趋势的分析方法的联系和区别
区别：长期趋势通过平均的方法将其他三个因素消除（抵消）；而季节变动则采用新的方法消除季节变动以外的三个因素。
在长期趋势的分析中，构成时间数列的四个因素中，除了长期趋势外，其他三个因素，即季节变动、循环变动和不规则变动，要么是周期性的，要么是随机性的，而不管是周期性的，还是随机性的，我们都可以通过平均的方法使它们相互抵消，抵消的结果就是长期趋势。但在测定季节变动的时候，我们要消除的是构成时间数列的四因素中除了季节变动的其他三个因素，即长期趋势、循环变动和不规则变动。如果说，平均的方法在消除循环变动和不规则变动是比较理想的话，则对长期趋势的消除就不那么理想了，这时候就需要采用新的方法，这是二者的区别。
联系：当现象变动的长期趋势不明显，甚至没有，那么从时间数列中测定季节变动，实际上就只需要消除循环变动和不规则变动，这时测定季节变动的方法和测定长期趋势的方法从本质上看就完全一样了，都是平均法的思想，这就是二者的联系。
2.测定季节变动的方法
同期平均法，可以分两种情况来选择，①在现象不存在长期趋势或长期趋势不明显的情况下，一般是直接用平均的方法通过消除循环变动和不规则变动来测定季节变动，在统计学中将这种方法称为“同期平均法”；②现象具有明显的长期趋势时，一般是先消除长期趋势，然后再用平均的方法再消除循环变动和不规则变动，统计学中，把这种方法称为“移动平均趋势剔除法”。
(1）同期平均法
同期平均法是在现象不存在长期趋势或长期趋势不明显的情况下，测定季节变动的一种最基本的方法。它的基本思想和长期趋势测定中的移动平均法的思想是相同的。实际上，“同期平均法”就是一种特殊的“移动平均法”，即：一方面它是平均；另一方面，这种平均的范围是仅仅局限在不同年份的相同季节中，季节不同，平均数的范围也就随之而“移动”。因此所谓“同期平均”就是在同季(月)内“平均”，而在不同季(月)之间“移动”的一种“移动平均”法。“平均”是为了消除非季节因素的影响，而“移动”则是为了测定季节因素的影响程度。同期平均法来测定其季节变动。步骤如下：
第一，计算各年同季(月)的平均数，目的是要消除非季节因素的影响。道理很简单，因为同样是旺季或者淡季，有些年份的旺季更旺或更淡，这就是非季节因素的影响。因为我们假设没有长期趋势，因此，这些因素通过平均的方法就可以相互抵消。
第二，计算各年同季(或同月)平均数的平均数，也即时间数列的序时平均数，目的是计算季节比率。因为就从测定季节变动的目的讲，只计算“异年同季的平均数”已经可以反映现象的季节变动趋势了：平均数大，表明是旺季，越大越旺；平均数小，表明是淡季，越小越淡。但是，这种大与小、淡与旺的程度只能和其它季节相比才能有个准确的认识，因此，就需要将“各年同季的平均数”进行相对化变换，即计算季节比率，对比的标准就应该是时间数列的序时平均数。
第三，计算季节比率。方法是将各年同季的平均数分别和时间数列的序时平均数进行对比。一般用百分数表示，用公式表示为：
平均数
或季总月平均数或季同月季节指数)()()( S ×100% (4.27) [例4.2]某服装公司1998—2000年各月销售量资料如表9.5.1。试用按月（或季）平均
法计算各月的季节指数。
表4.2中的季节指数一栏，是以指数形式表现的典型销售量。每个指数代表1998—2000年间每个月份的平均销售量。比如，一月份的季节指数为13.8%，表示该月份销售量为全年平均销售量的13.8%，而全年平均销售量则作为100%。这样从各月的季节指数序列，可以清楚地表明该服装公司销售量的季节变动趋势。即1、2、3、4月份是销售淡季，5、6、7为销售旺季，7月份比全年平均销售量高323.1%（432.1-100%），8月份开始下降，到12月份降到最低点，比全年平均销售量低93.9%（6.1%-100%）。
同期平均法计算简单，易于理解。应用该方法的基本假定是：原时间序列没有明显的长期趋势和循环波动，因而，通过若干年同期数值的平均，不仅可以消除不规则波动，而且当平均的周期与循环周期一致时，循环波动也可以在平均过程中得以消除，但实际上，许多时间序列所包含的长期趋势和循环波动，很少能够通过平均予以消除。因此，当时间序列存在明显的长期趋势时，该方法的季节指数不够准确。当存在剧烈的上升趋势时，年末季节指数明显高于年初的季节指数；当存在下降趋势时，年末的季节指数明显低于年初的季节指数。只有当序列的长期趋势和循环波动不明显或影响不重要，可忽略不计时，应用该方法比较合适。
(2)移动平均长期趋势剔除法
1）移动平均长期趋势剔除法，就是在现象具有明显长期趋势的情况下，测定季节变动的一种基本方法。
2）基本思路：先从时间数列中将长期趋势剔除掉，然后再应用“同期平均法”剔除循环变动和不规则变动，最后通过计算季节比率来测定季节变动的程度。
剔除长期趋势的方法一般用移动平均法。因此，它是长期趋势的测定方法——“移动平均法”和季节变动的测定方法——“同期平均法”的结合运用，在方法上没有新的思想。
“移动平均趋势剔除法”来测定季节变动趋势。其基本步骤如下：
第一，先根据各年的季度〈或月度〉资料(Y)计算四季(或12个月〉的移动平均数，
然后为了“正位”，再计算二季〈月〉移动平均数，作为各期的长期趋势值(T)。
第二，将实际数值(Y)除以相应的移动平均数(T)，得到各期的Y/T 。这就是消除了长期趋势影响的时间数列，它是一个相对数，称为季节指数。其结果为表中第四列数值。
第三，将Y/T 重新按“同期平均法”计算季节比率的方式排列。然后，按照该方法要求，先计算“异年同季平均数”，然后再计算“异年同季平均数的平均数”，即消除长期趋势变动后，新数列的序时平均数；最后，计算季节比率并画图显示。
[例4.3]根据表4.2的资料，按移动平均趋势剔除法计算销售量的季节指数。
解：首先求出12个月移动平均趋势值T ，并求得Y T ，计算结果如表4.3
表4.3 销售量季节指数计算表（Ⅰ） 单位：万件
然后将表4.3中的Y T 重新排列，如表4.4，求出各年同月平均数，使不规则变动消除，已是季节指数，但由于12个月的总和不等于1200%，需进行调整。其调整系数为：调整系数=045
.1213%1200=0.9892，用调整系数乘以同月平均数，即得季节指数，见表4.4的最后一栏。
表4.4 销售量季节指数计算表（Ⅱ）
三、季节变动的调整
含有季节变动因素的时间序列，由于受季节影响而产生波动，使序列中的其他特征不能清晰地表现出来，因此，需要将季节变动的影响从时间序列中剔除，以便观察其他特征的影响，这称为季节变动的调整。其方法是将原时间序列除以相应的季节指数，即
I C T S I S C T S Y ??=???= (4.28) 结果即为调整后的时间序列，反映了在没有季节因素影响的情况下，时间序列的变化形态。
[例4.4]根据表4.2的资料，对1998—2000年各月的销售量作季节调整。
解：根据表4.4中的季节指数可得计算结果如表4.5
表4.5 销售量的季节变动调整
根据调整后的序列配合的趋势线为t Y t 5767.287?+=，各月调整后的趋势值见表4.5
第四节循环变动分析
一、循环变动的测定方法
（一）循环变动：是在整个时间数列中，某些在以年度为计量单位的条件下，环绕着长期趋势周而复始的一种上下波动。在社会经济生活中，循环波动是大量存在的，但最为典型的还应该是国民经济的循环波动。
（二）循环波动不同于长期趋势，它所表现的并不是超着某一单一方向持续上升或下降，而是涨落相间的波浪式发展。
（三）循环波动也不同于季节变动。
季节变动一般是以一年、一季或月等为周期，它们都在一年以内，可以预见，而循环变动没有固定的循环周期，一般在数年以上，并且也没有固定的变动期限或规律，很难事先预知；季节变动在各年的被动强度大致相同，无明显差异，循环波动在不同时期的振幅有明显的差异，其产生的机制在经济过程内部。
（四）循环波动有残余法、直接法、循环平均法等多种测定方法。但常用的方法是剩余法。剩余法的基本原理是：先从影响时间数列的基本因素中，通过分解法逐步消除长期趋势及季节波动，然后再用平均法消除不规则变动，剩余部分大致能反映循环变动。
第一，测定时间数列的长期趋势值T 与季节变动S 。
第二，从时间数列中剔除长期趋势值T 和季节变动S ，求得 C.I ，即：
T S C I Y C I S T S T ==?????? (4.29)
需要说明的是，本例中因为在上例中已经将季节变动从时间数列中分离了出来，因此，直接从时间数列中将长期趋势和季节变动一次剔除掉。如果季节变动不知到，则应该按照季节变动测定的第二中方法，即先从数列中剔除长期趋势，得到S C I ??，然后再用“同期移动平均法”计算季节比率，得到S ，最后再从S C I ??中剔除s ，得到C I ?。
第三，对C I ?进行移动平均，消除I ，最后得到循环变动C 。
本章难点
1、时期数列与时点数列的区分；
2、动态平均数与静态平均数的区分；
3、各种动态平均数的计算及分析；
4、长期趋势、季节变动、循环变动的测定和分析。
复习思考题
1、何谓时间序列，它包括哪些构成要素？
2、比较时期数列与时点数列的不同。
3、为什么计算平均发展速度不用算术平均法而用几何平均法？
4、给你一个时间序列，你如何将其主要因素测定出来，你准备如何完成这一工作？