重点列表：
重点 名称
重要指数 重点1 空间向量坐标的基本运算 ★★★ 重点2 空间两直线的平行与垂直 ★★★★ 重点3 计算简单函数的定积分 ★★★★ 重点4 计算分段函数的定积分
★★★★
1.定积分的定义
(1)如果函数f (x )在区间a ，b ]上连续，用分点将区间a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )作和式
.当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间a ， b ]上的定积分，记作 ，即??a
b f (x )d x ＝
.其中f (x )称为________，x 称为__________，f (x )d x 称为__________，a ，b ]为__________，a 为积分下限，b 为积分上限，“∫”称为积分号.
(2)用化归为计算矩形面积和逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为 、近似代替、求和、 . 2.定积分的性质
(1)??a b kf (x )d x ＝ (k 为常数)；
(2)??a b f 1(x )±f 2(x )]d x ＝ ；
(3)??a
b f (x )d x ＝ (其中a ＜
c ＜b ). 3.微积分基本定理
一般地，如果f (x )是区间a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x ) ，那么??a
b f (x )d x
＝ ，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式.常常把F (b )－F (a )
记作 ，即
??a
b
f (x )d x ＝ ＝ . 4.定积分在几何中的简单应用
(1)当函数f (x )在区间a ，b ]上恒为正时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成
∑
=-n
i i f n
a
b 1
)(ξ∑
=∞→-n
i i n f n
a
b 1
)(lim
ξ
的曲边梯形(图甲中阴影部分)的面积S ＝ .
(2)当函数f (x )在区间a ，b ]上恒为负时，由直线
x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )围成的曲边梯形(图乙中阴影部分)的面积S ＝ .
(3)当x ∈a ，b ]有f (x )＞g (x )＞0时，由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )围成的曲边梯形(图丙中阴影部分)的面积S ＝ .
一般情况下，定积分??a
b f (x )d x 的几何意义是介于x 轴、曲线y ＝f (x )以及直线x ＝a ，x ＝b
之间的曲边梯形(图丁中阴影部分)面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.
(4)若f (x )是偶函数，则??－a a f (x )d x ＝ (其中a >0)；若f (x )是奇函数，则??－a
a f (x )d x ＝
(其中a >0).
5.定积分在物理中的简单应用
(1)作变速直线运动的物体(速度函数为V (t )，速度方向不变)在时间区间a ，b ]上所经过的路程S ＝____________.
(2)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿力F 的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ .
(3)在变力F ＝F (x )的作用下，物体沿与力F 的方向成θ角的方向作直线运动，并且由x ＝a 运动到x ＝b (a ＜b )，则力F 对物体所作的功W ＝ . 【答案】
1.(1)??a b f(x)dx 被积函数 积分变量被积式 积分区间
(2)分割 取极限
2.(1)k ??a b f(x)dx (2)??a b f1(x)dx±??a b f2(x)dx (3)??a c f(x)dx ＋??c
b f(x)dx
3.F(b)－F(a) F(x)|b a F(b)－F(a) F(x)|b a
4.(1)??a b f(x)dx (2)－??a
b f(x)dx
(3)??a b f(x)－g(x)]dx (4)2??0a f(x)dx 0 5.(1)??a b V(t)dt (2)??a b F(x)dx (3)??a b F(x)cosθdx 重点1：计算简单函数的定积分 【要点解读】
用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值． 【考向1】直接计算定积分 【例题】计算下列定积分：
(1)??12(x 2＋2x ＋1)d x ；
(2)??1
2????x －x 2＋1
x d x ； (3)??－π
0(cos x ＋e x )d x .
＝x22|21－x33|21＋lnx|21＝32－73＋ln2＝ln2－5
6. (3)??－π0(cosx ＋ex)dx ＝??－π0cosxdx ＋??－π0exdx ＝sinx|0－π＋e x | 0－π＝1－1eπ
.
【评析】求定积分的步骤：①把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等与
常数的和与差；②利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和与差；③分别用求导公式找到F(x)，使得F ′(x)＝f(x)；④利用牛顿一莱布尼茨公式求出各个定积分的值；⑤计算所求定积分的值． 【考向2】变形后计算定积分 【例题】计算下列定积分：
(1)??02x (x ＋1)d x ； (2)??12?
???e x ＋1
x d x ；(3)??0
π(1－cos x )d x .
＝e x|21＋lnx|21＝e2－e ＋ln2.
(3)??0π(1－cosx)dx ＝??0π1dx －??0πcosxdx
＝x|π0－sinx|π0＝π.
重点2：计算分段函数的定积分 【要点解读】
对分段函数的每段分别计算定积分
含有绝对值的解析式，将其变成分段函数，再求定积分 【考向1】含绝对值形式 【例题】求??－2
2|x ＋1|d x .
解：∵|x ＋1|＝?????－x －1，－2≤x ＜－1，x ＋1，－1≤x≤2.
∴??－22|x ＋1|dx ＝??－2－1(－x －1)dx ＋??－12(x ＋1)dx
＝????－12x2－x |-1-2＋????12x2＋x |2-1＝5.
【评析】对分段函数f(x)求积分，关键是找到分段点c 后利用定积分性质??a b f(x)dx ＝??a c f(x)dx
＋??c b f(x)dx 求解．
【考向2】分段函数形式
【例题】求函数f (x )＝?
????2x ＋1，|x |≤2，
1＋x 2，2＜x ≤4. 在区间－2，4]上的定积分.
解：??－24f(x)dx ＝??－22(2x ＋1)dx ＋??24(1＋x2)dx
＝(x2＋x)|2-2＋????x ＋1
3x3|42 ＝(6－2)＋????4＋643－2－83 ＝74
3
. 难点列表：
难点详解：求曲边梯形的面积的几种类型
在直角坐标系中，由曲线f (x )，直线x ＝a ，x ＝b (a
(1)当y ＝f (x )(f (x )≥0，x ∈a ，b ])时，如图①，面积为S ＝??a
b f (x )d x ；
(2)当y ＝f (x )(f (x )≤0，x ∈a ，b ])时，如图②，面积为S ＝??????a b f （x ）d x ＝－?
?a
b f (x )d x ； (3)如果在a ，b ]上，f (x )有正有负，即曲线在x 轴上方和下方都有图象，如函数f (x )的图象在(a ，
c )上位于x 轴上方，在(c ，b )上位于x 轴下方，如图③，则面积为 S ＝??a c f (x )
d x ＋??c b |f (x )|d x ＝??a c f (x )d x －??c
b f (x )d x ；
(4)由曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )(f (x )≥g (x ))与直线x ＝a ，x ＝b (a
b f (x )－g (x )]d x .
难点1：利用定积分求平面图形的面积 【要点解读】
利用定积分求平面图形面积的步骤 (1)根据题意画出图形；
(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； (3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差； (4)计算定积分得出答案．
【考向1】定积分的正负与面积的关系
【例题】求抛物线y 2＝2x 与直线y ＝4－x 围成的平面图形的面积.
解：如图所示，所求面积S ＝SA ＋SB ，
＝22·23x 32|20＝16
3
.
B 部分：SB ＝??284－x －(－2x)]dx
＝? ????4x －12x2＋223x 32|82＝383. 于是S ＝163＋38
3
＝18.
【评析】用定积分求面积的基本方法：求出交点，结合图形求面积．应注意：对于有交叉的图形，需要分段处理；对于具有对称性的图形，要利用对称性，使问题简化． 【考向2】不规则图形的面积
【例题】直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )
A.4
3
B ．2
C.83
D.1623
解：由已知得l ：y ＝1，解方程组?
????x2＝4y ，
y ＝1， 得交点坐标为(－2，1)，(2，1)．如图阴影
部分，由于l 与C 围成的图形关于y 轴对称，所以所求面积S ＝ 2??02?
???1－x24dx ＝2????x －112x3|20＝2????2－812＝83.故选C.
难点2：定积分在物理中的简单应用
【要点解读】
变速运动中速度的积分是位移
力的积分是功
【考向1】变速运动
【例题】一质点在直线上从时刻t＝0开始以速度v(t)＝t2－4t＋3(m/s)做减速运动，求质点初次减速到0时经过的路程.
【评析】物体沿直线朝一个方向运动的路程问题，只需对速度求定积分，积分的上、下限分别是计时结束和开始的时间．
【考向2】变力做功
【例题】设有一长为25 cm的弹簧，若加以100 N的力，则弹簧伸长到30 cm，那么将弹簧由25 cm拉长到40 cm克服弹力所作的功为J.
解：设弹簧伸长x cm，F(x)表示加在弹簧上的力，则F(x)＝kx(k是比例系数)．依题意，100＝5k，k＝20.
故弹簧由x＝0 cm到x＝15 cm所作的功为：
20xdx＝10x2|150＝2250(N·cm)＝22.5(J)．
W＝
??015
故填22.5.
【名师点睛】
1.用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足
F′(x)＝f(x)的函数F(x)，可利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，由基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则从反方向上求出F(x).
2.利用定积分求曲线围成图形的面积，关键是画出图形，结合图形确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值.
3.利用定积分解决简单的物理问题，关键是要掌握定积分的物理意义，结合物理学中的相关内容，将物理问题转化为定积分来解决.
【趁热打铁】
1.
1(e x＋2x)d x等于()
??
A．1 B．e－1 C．e D．e＋1
2.??－2
1|x |d x 等于( )
A ．－1
B ．1
C.32
D.52
3.由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1
x 及x 轴所围成图形的面积为( )
A.15
4
B.17
4
C.1
2
ln2 D ．2ln2 4.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )
A.2π
5
B.43
C.32
D.π2
5.曲线y ＝cos x ，x ∈????0，3
2π与坐标轴围成的面积是( ) A ．4
B ．2
C.5
2
D ．3
6.从平衡位置开始，如果1 N 能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，需作功( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J
D ．0.28 J
7.若??0
T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________.
8.计算定积分??－1
1(x 2＋sin x )d x ＝__________.
9.求抛物线y 2＝x 与直线x －2y －3＝0所围成的平面图形的面积S .
10.有一动点P ，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(m/s).求从t ＝0到t ＝4时，点P 经过的路程.
11.在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为1
12.试
求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程.
12 计算下列定积分的值： (1)??－11
1－x 2dx ；
(2)??－1
2|x 2－x |dx .
第五章
1解：原式＝(ex ＋x2)|10＝e ，故选C.
2解：??－21|x|dx ＝??－20(－x)dx ＋??01xdx
＝－12x2|0－2＋1
2x2|10
＝2＋12＝5
2
.故选D.
3解：因为所围图形在x 轴的上方，所以S ＝
＝lnx|212
＝ln2－ln 1
2
＝2ln2.故选D.
4解：根据图象可得f(x)＝－x2＋1，再由定积分的几何意义，可求得面积为 S ＝??－11(－x2＋1)dx ＝????－13x3＋x |1－1＝43.故选B. 5解：由对称性知，
S ＝3∫π20cosxdx ＝3sinx|π
20＝3，故选D.
9解：由?????y2＝x ，
x －2y －3＝0
得抛物线与直线的交点为P(1，－1)，Q(9，3)(如图)．
?
2
2
1d 1x
x
∴S ＝??－13(2y ＋3)－y2]dy ＝????y2＋3y －y3
3|3－1 ＝(9＋9－9)－????1－3＋13＝32
3. 10解：由v(t)＝8t －2t2＝2t(4－t)， 可知当0≤t≤4时，v(t)≥0.
因此，路程S ＝??0
4(8t －2t2)dt ＝????4t2－23t3|40＝64
3(m)． 11解：如图所示，设切点A(x0， y0)，由y ′＝2x ，得过点A 的切线方程为y －y0＝2x0(x －x0)，即
y ＝2x0x －x20.
令y ＝0，得x ＝x0
2
，即C ????x02，0.
y ＝2x －1.
12解：(1)被积函数y ＝1－x2，即x2＋y2＝1，y≥0.根据定积分的几何意义，所围成的图形如图所示，
??－1
11－x2dx ＝π
2. (2)??－1
2|x2－x|dx ＝??－10(x2－x)dx ＋??01(x －x2)dx ＋??12(x2－x)dx
＝????x33－x22|0－1＋????x22－x33|10＋????x33－x22|21 ＝56＋16＋56＝11
6