§1 回归分析
1．1 回归分析
1．2 相关系数
一、基础过关
1．下列变量之间的关系是函数关系的是( )
A．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，其中a，c是已知常数，取b为自变量，因变量是这个函数的判别式Δ＝b2－4ac
B．光照时间和果树亩产量
C．降雪量和交通事故发生率
D．每亩施用肥料量和粮食产量
2．在以下四个散点图中，
其中适用于作线性回归的散点图为( )
A．①②B．①③C．②③D．③④
3．下列变量中，属于负相关的是( ) A．收入增加，储蓄额增加
B．产量增加，生产费用增加
C．收入增加，支出增加
D．价格下降，消费增加
4．已知对一组观察值(x i，y i)作出散点图后确定具有线性相关关系，若对于y＝bx＋a，求得b＝0.51，x＝
61.75，y＝38.14，则线性回归方程为( )
A．y＝0.51x＋6.65 B．y＝6.65x＋0.51
C ．y ＝0.51x ＋42.30
D ．y ＝42.30x ＋0.51
5． 对于回归分析，下列说法错误的是
( )
A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定
B ．线性相关系数可以是正的，也可以是负的
C ．回归分析中，如果r 2＝1，说明x 与y 之间完全相关
D ．样本相关系数r ∈(－1,1)
6． 下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归方程必过
( )
A.点(2,3) B C ．点(2.5,4)
D ．点(2.5,5)
7． 若线性回归方程中的回归系数b ＝0，则相关系数r ＝________. 二、能力提升
8． 某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量(mg/L)与消光系数计数的结果如下：
若y 与x 9． 若施化肥量x (kg)与小麦产量y (kg)之间的线性回归方程为y ＝250＋4x ，当施化肥量为50 kg 时，预计小
麦产量为________ kg.
10．某车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此做了4次试验，得到的数据如下：
若加工时间y (1)求加工时间与零件个数的线性回归方程； (2)试预报加工10个零件需要的时间．
11．在一段时间，分5次测得某种商品的价格x (万元)和需求量y (t)之间的一组数据为：
已知∑5
i ＝1
x i y i ＝62，∑5
i ＝1
x 2i ＝16.6.
(1)画出散点图；
(2)求出y 对x 的线性回归方程；
(3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少？(精确到0.01 t)．
12．某运动员训练次数与运动成绩之间的数据关系如下：
(1)作出散点图；
(2)求出回归方程；
(3)计算相关系数并进行相关性检验；
(4)试预测该运动员训练47次及55次的成绩．
三、探究与拓展
13．从某地成年男子中随机抽取n个人，测得平均身高为x＝172 cm，标准差为s x＝7.6 cm，平均体重y＝
72 kg，标准差s y＝15.2 kg，相关系数r＝l xy
l xx l yy
＝0.5，求由身高估计平均体重的回归方程y＝β0＋β1x，
以及由体重估计平均身高的回归方程x＝a＋by.
答案
1．A 2.B 3.D 4.A 5.D 6.C 7．0 8.y ＝－11.3＋36.95x 9．450
10．解 (1)由表中数据，利用科学计算器得
x ＝2＋3＋4＋54
＝3.5，
y ＝
2.5＋3＋4＋4.5
4
＝3.5，
∑4
i ＝1
x i y i ＝52.5，∑4
i ＝1
x 2i ＝54，
b ＝
∑4
i ＝1
x i y i －4x y
∑4
i ＝1
x 2
i －4x
2
＝
52.5－4×3.5×3.5
54－4×3.52
＝0.7，
a ＝y －
b x ＝1.05，
因此，所求的线性回归方程为y ＝0.7x ＋1.05.
(2)将x ＝10代入线性回归方程，得y ＝0.7×10＋1.05＝8.05(小时)，即加工10个零件的预报时间为8.05小时．
11．解 (1)散点图如下图所示：
(2)因为x ＝15×9＝1.8，y ＝1
5
×37＝7.4，∑5i ＝1x i y i ＝62，∑5i ＝1x 2i ＝16.6，
所以b ＝
∑5
i ＝1
x i y i －5x y
∑5
i ＝1
x 2i －5x
2
＝62－5×1.8×7.4
16.6－5×1.82
＝－11.5，
a ＝y －
b x ＝7.4＋11.5×1.8＝28.1，
故y 对x 的线性回归方程为y ＝28.1－11.5x . (3)y ＝28.1－11.5×1.9＝6.25(t)．
所以，如果价格定为1.9万元，则需求量大约是6.25 t.
12．解 (1)作出该运动员训练次数x 与成绩y 之间的散点图，如下图所示，由散点图可知，它们之间具有线
性相关关系．
(2)列表计算：
次数x i 成绩y i x 2i
y 2i
x i y i
30 30 900 900 900 33 34 1 089 1 156 1 122 35 37 1 225 1 369 1 295 37 39 1 369 1 521 1 443 39 42 1 521 1 764 1 638 44 46 1 936 2 116 2 024 46 48 2 116 2 304 2 208 50
51
2 500
2 601
2 550
由上表可求得x ＝39.25，y ＝40.875， ∑8
i ＝1
x 2i ＝12 656，∑8
i ＝1
y 2i ＝13 731，
∑8
i ＝1
x i y i ＝13 180，
∴b ＝
∑8
i ＝1
x i y i －8x y
∑8
i ＝1
x 2i －8x
2
≈1.041 5，
a ＝y －
b x ＝－0.003 88，
∴线性回归方程为y ＝1.041 5x －0.003 88.
(3)计算相关系数r ＝0.992 7，因此运动员的成绩和训练次数两个变量有较强的相关关系． (4)由上述分析可知，我们可用线性回归方程y ＝1.041 5x －0.003 88作为该运动员成绩的预报值． 将x ＝47和x ＝55分别代入该方程可得y ＝49和y ＝57.故预测该运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57. 13．解 ∵s x ＝
l xy
n ，s y ＝l xy n
，
∴l xy n ＝r
l xy n
·l yy
n ＝0.5×7.6×15.2＝57.76.∴β1＝l xy
n l xy n
＝57.767.62
＝1， β0＝y －β1x ＝72－1×172＝－100.
故由身高估计平均体重的回归方程为y ＝x －100.
由x ，y 位置的对称性，得b ＝l xy
n l xy n
＝57.76
15.22＝0.25，
∴a ＝x －b y ＝172－0.25×72＝154.
故由体重估计平均身高的回归方程为x ＝0.25y ＋154.
1.3 可线性化的回归分析
一、基础过关
1． 某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其线性回归方程可能是
( )
A ．y ＝－10x ＋200
B ．y ＝10x ＋200
C ．y ＝－10x －200
D ．y ＝10x －200 2． 在线性回归方程y ＝a ＋bx 中，回归系数b 表示
( )
A ．当x ＝0时，y 的平均值
B ．x 变动一个单位时，y 的实际变动量
C ．y 变动一个单位时，x 的平均变动量
D ．x 变动一个单位时，y 的平均变动量
3． 对于指数曲线y ＝a e bx ，令u ＝ln y ，c ＝ln a ，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为 ( )
A ．u ＝c ＋bx
B ．u ＝b ＋cx
C ．y ＝b ＋cx
D ．y ＝c ＋bx
4． 下列说法错误的是( )
A ．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能直接用线性回归方程描述它们之间的相关关系
B ．把非线性回归化为线性回归为我们解决问题提供一种方法
C ．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，也能描述变量之间的相关关系
D ．当变量之间的相关关系不是线性相关关系时，可以通过适当的变换使其转换为线性关系，将问题化为线性回归分析问题来解决
5． 每一吨铸铁成本y c (元)与铸件废品率x %建立的回归方程y c ＝56＋8x ，下列说确的是 ( )
A ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元
B ．废品率每增加1%，成本每吨增加8%
C ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元
D ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元 6． 为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两个同学各自独立地做10次和15次试验，并且利
用线性回归方法，求得回归直线分别为l 1和l 2.已知在两个人的试验中发现对变量x 的观测数据的平均值
恰好相等，都为s，对变量y的观测数据的平均值也恰好相等，都为t.那么下列说确的是( )
A．直线l1和l2有交点(s，t) B．直线l1和l2相交，但是交点未必是点(s，t)
C．直线l1和l2由于斜率相等，所以必定平行D．直线l1和l2必定重合
二、能力提升
7．研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X)及其母亲的不耐心程度(Y)进行了评价结果如下，家庭1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70.
下列哪个方程可以较恰当的拟合( )
A．y＝0.771 1x＋26.528 B．y＝36.958ln x－74.604
C．y＝1.177 8x1.014 5 D．y＝20.924e0.019 3x
8．已知x，y之间的一组数据如下表：
则y与x
9．已知线性回归方程为y＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________．
10．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
（1）建立y与x
x 时，y大约是多少
（2）当8
11．某地区六年来轻工业产品利润总额y与年次x的试验数据如下表所示：
y关于x的
回归方程．(保留三位有效数字)
三、探究与拓展
12．某商店各个时期的商品流通率y (%)和商品零售额x (万元)资料如下：
散点图显示出x 与y y 决定于商品的零售额x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋b x
.试根据上表数据，求出a 与b 的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．