中国科学技术大学
硕士学位论文
一般状态方程多流体界面数值方法研究
姓名：郑建国
申请学位级别：硕士
专业：流体力学
指导教师：孙德军;尹协远
20050501
中文摘要
摘要①
本文发展了一类一般状态方程可压缩多流体界面的数值模拟方法，并具体应用到三种不同的非理想气体状态方程，包括ｓｔｉ＆ｎｆ刚性）气体状态方程，ｖａｒｌｄｅｒＷａａｌｓ状态方程以及工程上广泛适用的更一般的Ｍｉｅ—Ｇｒｉｉｎｅｉｓｅｎ状态方程。此方法主要的特点是：ｆ１）．采用体积分数多流体数学模型，这是在假设多流体交界面两侧压力和速度平衡的基础上根据二相流理论建立的，并引入计算混合流体压力的“状态方程”使系统封闭。（２）．将高精度、高分辨率的ＰｉｅｃｅｗｉｓｅＰａｒａｂｏｌｉｃＭｅｔｈｏｄ（ＰＰＭ）数值方法推广到多流体问题中，用膨胀激波代替稀琉波，采用双波近似的方法求解多流体Ｒｉｅｍａｎｎ问题。（３）．使用Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ－Ｒｅｍａｐｐｉｎｇ两步法求解模型方程组。
与以往的多流体方法相比，本文的方法具有一些优点。首先，体积分数多流体数学模型所采用的交界面两侧压力和速度平衡的假设与真实的物理情况比较接近，它消除了交界面上压力的振荡；特别是其模型简单，并且不因为具体的状态方程而改变，便于应用到复杂状态方程的多流体流动问题。其次，文中推广的多流体ＰＰＭ方法处理交界面问题的效果非常好，它继承了原始ＰＰＭ的高分辨率和能有效抑制间断上压力振荡的优点。最后，Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ—Ｒｅｍａｐｐｉｎｇ形式的ＰＰＭ方法具有Ｌａｇｒａｎｇｅ类方法的特点，它可以有效地处理多流体界面，
为了验证方法是否合理有效，进行了大量的数值实验。一维和二维算例表明本文的方法可以有效地处理一般状态方程的接触间断、激波、激波和接触间断的相互作用以及多维滑移线等物理问题。从数值结果中可以很明显地看出交界面附近压力无振荡，并能够比其它一般多流体数值方法更糟细地模拟多流体交界面。本文还研究了柱坐标下内聚激波诱导的Ｐｄｃｈｔｍｙｅｒ—ＭｅｓｈｋｏｖＩｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ（ＲＭｔ）ｅ从模拟的结果来看，演化过程中出现的钉状（ｓｐｉｋｅ）和泡状（ｂｕｂｂｌｅ）结构以及后期的蘑菇状交界面都很清晰。可以看到二次加速对于ＲＭＩ有很大的影响，无论激波是从重流体进入轻流体还是从轻流体进入重流体界面都会发生反向，这和平面激波情况很不相同。文中同时分析了扰动波长、初始振幅和激波强度对于ＲＭＩ的影响。
综上所述，本文的方法能有效地模拟可压缩多流体界面问题，特别是可以方便地处理较一般的状态方程，对于解决许多工程问题有重要价值。
—万西西五ｉ百疆霸蠢甄西甭季囊丕虿霸再｝中国工程物理研究院联合基金资助硬日（ｉ∞７跚印
英文摘要
Ａｂｓｔｒａｃｔ
Ｉｎｔｈｅｔｈｅｓｉｓ，ａｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄａｉｍｅｄａｔｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｆｃｏｍｐｒｅｓｓｉｂｌｅｎｍｌｔｉ－
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Ｕ
第一章绪论
§１．１可压缩多流体界面的研究背景和意义可压缩多流体界面（或流动）问题几十年来一直是计算流体力学领域的热点问题，它具有重要的理论意义和广泛的应用背景。简单的来说当两种可压、理想且互不混合的流体共处在空间某～区域中时，它们之间会形成一个两流体的交界面，两侧的流体具有不同的物理和热力学性质，人们感兴趣的是这个界面在外力如激波、重力等驱动下的演化情形，这就是一个可压缩多流体流动的简单模型。一个典型的多流体问题是激波与界面相互作用的Ｒｉｃｈｔｍｙｅｒ—Ｍｅｓｈｌ。Ｄｖ１１１ｓｔａｂｉｌｉｔｙ（ＲＭＩ）【１３１。ＲＭＩ在天体物理中的超新星的爆炸和惯性约束核聚变中都起着重要的作用，研究它不仅可以帮助人们解释一些自然现象而且有助于人们对于核爆炸机理更深入的理解进而实现对它的控制。在晶体生长，水下爆炸等诸多领域内都会遇到多流体界面问题。科学研究的动力来源于实际的需求，研究的成果反过来又推动着实践向着更高的水平发展，可压缩多流体界面问题的研究工作同样遵循这样一个普适的规律，人们研究它的最终目的是揭示这种现象的规律以利于更好地处理实际问题。
§１．２多流体界面模拟方法概述
界面数值模拟方法主要有四类：界面追踪方法（ＩｎｔｅｒｆａｃｅＴｒａｃｋｉｎｇＭｅｔｈｏｄ），流体体积方法（ＶｏｌｕｍｅｏｆＦｌｕｉｄＭｅｔｈｏｄ）？ＬｅｖｅｌＳｅｔ方法，两相流和混合流体方法。这四种方法是运动界面问题中主要采用的数值方法，到目前为止对于每一种方法都有很深入的研究，它们各有优缺点，不能一概而论，下面简单地介绍一下这几种典型的界面模拟方法。
§１。２．１界面追踪方法（ＩｎｔｅｒｆａｃｅＴｒａｃｋｉｎｇＭｅｔｈｏｄ）
界面追踪方法是一种Ｌａｇｒａｎｇｅ方法，流体的界面是用标记点（Ｍａｒｋｅｒ）来离散的，这些标记点每个时刻随着界面而运动，通过跟踪它们就可以获得界面的准确位置。
ＰＩＣ（ＰａｒｔｉｃｌｅＩｎＣｅｌｌ）是格子类（Ｃｅｌｌ－Ｔｙｐｅ）方法中最重要的方法之一。它最早是由ＬｏｓＡｌｏｍａｓ实验室的Ｅｖａｎ＆Ｈａｒｌｏｗ（１９５７）ｆ１６］提出的，后来许多的学者对其进行了推广和完善。关于ＰＩＣ方法的详细介绍可以参考书籍Ｉｌ】以及它所引用的参考文献。ＰＩＣ方法是把一个连续的流场看成有限个质量集中的流体质点系。通过对它们的计算、追踪和调整，实现流场的数值模拟和显示以及界面的追踪。由于格子内的质点是流动的，所以质点是Ｌａｇｒａｎｇｅ型的。ＰＩＣ方法的总过程可以分成两步：第一步为Ｌａｇｒａｎｇｅ步，不考虑格子间质点的输运，具有一般差分方法的特征；第二步为Ｅｕｌｅｒ步，考虑质点运动的影响，按流过网格边晃的质量及其携带的
１．２多流体界面模拟方法概述
动量和能量进行修正，计算出ｔ。＋ｌ时刻的各种物理量。Ｇｅｒｒｙ，Ｍ缸ｔｉｎ＆Ｄｌａｙ等人提出的ＦＬＩＣ（ＦｌｕｉｄＩｎＣｅｌｌ）『１８］是对ＰＩＣ方法的简化和创新。它避免引入质点，因而也就不需要记录和追踪质点的计算，但又能很好地适应于可压缩流的输运计算，这种方法也采用Ｅｕｌｅｒ网格，计算也分为两步。关于其它的界面追踪法可以参考文献ｆ１４，１９，２０，２１，３７，３８，３９Ｊ等。
界面追踪法的优点是它显式地追踪界面因此能准确地跟踪交界面的演化，间断处理无数值耗散。它的缺点是算法本身很复杂，难以处理复杂的交界面，当界面的拓扑结构发生很大的变化时处理起来很困难。
§１。２。２流体体积方法（ＶｏｌｕｍｅｏｆＦｌｕｉｄＭｅｔｈｏｄ）
ＶｏｌｕｍｅｏｆＦｌｕｉｄ（ＶＯＦ）方法是２０世纪７０年代由Ｈｉｒｔ和Ｎｉｃｈｏｌｓ等提出来的。ＶＯＦ方法在流场中定义一个流体体积函数Ｇ，在每～个网格中这个函数定义为一种流体（目标流体）的体积与网格体积的比值。在任意时刻只要知道了这个函数在每个网格上的值就可以通过某种途经构造出流体交界面。求解物理方程时可以在界面附近作特殊的精细处理，以提高分辨率和精度。函数Ｇ满足输运方程
罢＋珏罢＋钞罢：ｏ
面十珏面＋钞丽２ｕ
由已知的函数Ｇ构造出近似的运动界面，然后根据流体的输运特性构造出下一时刻的全场的体积函数ｅ。常见的界面重构方法有Ｈｉｒ＆Ｎｉｃｈｏｌｓ的直线近似［２２］，Ａｓｈｇｒｉｚ＆Ｐｏｏ的ＦＬＡＩＲ技术［１２】，Ｙｏｕｎｇｓ的界面重构技术［４２】等。关于ＶＯＦ方法更为详细的介绍可以参考书籍『３１和它所引用的参考文献。
ＶＯＦ方法的优点是可以它可以处理界面拓扑结构的复杂变化，易将算法由二维向三维扩展，主要的缺点在于其界面重构的算法太复杂。
§１．２．３ＬｅｖｅｌＳｅｔ方法
ＬｅｖｅｌＳｅｔ方法是Ｏｓｈｅｒ＆Ｓｅｔｈｉａｎ在１９８８年提出来的ｆ２９１，它把随时间运动的物质界面看成是某个函数妒（ｚ，ｔ）的零等值面，妒（量，ｔ）满足一定的方程。在任意时刻只要求出函数妒（ｉｔ）的值就可以知道其等值面的位置，也就可以确定运动界面的形状，然后求出全场中其它的物理量。有兴趣者请参阅文献和书籍［３３，３，６】。
ＬｅｖｅｌＳｅｔ方法的优点是算法本身比较简单，克服了一般波前追踪方法难于处理复杂物质界面及其拓扑结构发生变化的情况，并且算法容易向高维拓展；缺点是它的精度不高。
§１．２．４两相流和混合流体方法
两相流理论和方法也是近年来研究流体界面问题的一种途经【３１，２８】。两相流模型是通过积分平均的方法推导出的，它一般包括每～相流体的质量、动量和能量守恒方程，以及～个或几个拓扑方程。对于一维非等熵流，两相流模型至少有七个方程，两个质量守恒方程，两个动量守恒方程，两个能量守恒方程和一个拓扑方程。
２
模型方程是双曲型的，它既可以处理两相流问题也可以处理多流体交界面问题，同时由于每～相流体都使用其各自的状态方程，使它可以处理各相流体热力学性质差别很大的问题，这些都是两相流方法的优点。它的主要缺点是模型方程太复杂，数值求解比较困难。为了克服两相流方法的缺陷，人们对模型方程进行了简化，在一些强假设基础上可以导出混合流体模型方程组。混合流体方法有各种具体的形式，但是它们有相通的地方。例如体积分数多流体模型在一维问题中有五个方程，每一种流体的质量守恒方程。混合流体的动量和能量守恒方程，以及体积分数输运方程。混合流体方法的主要优点是它的模型方程相对简单；缺点是它所采用的一些假设是否在任何情况下都合理还有待于进一步的研究。
§１．３可压缩多流体界面数值方法的研究进展发展适合于可压缩多流体界面问题的数学模型和数值方法是多年来相关领域的学者们十分热衷的研究课题。多流体界面的模拟主要包括两个方向的内容。第一个方面是相关算法的研究，界面追踪、ＬｅｖｅｌＳｅｔ、ＶＯＦ以及两相流和混合流体方法是主要采用的数值方法，也是目前研究的重点。另一个方面是复杂状态方程的研究。在实际的界面问题模拟中会遇到各种材料，例如气体、液体、固体和爆轰产物等，不同介质的热力学性质差别很大，采用的状态方程也很复杂，因此解决实际问题必须考虑如何处理复杂状态方程。当然上面的两个方向其实并不是独立的，人们通常把它们紧密地联系在一起。
ＶＯＦ的界面重构技术非常复杂，它也是人们主要关注的地方。ＬｅｖｅｌＳｅｔ｝Ｌ较简单，也比较容易处理复杂状态方程，提高它的精度是重点内容。
近年来采用两相流或混合流体方法模拟多流体界面逐渐引起了人们的关注。在研究中，首先要建立一套符合真实多流体流动物理机理的数学模型，为了使方程封闭需要对一些运动学量和状态变量作出合理的假设；其次求解方程的数值方法要符合商精度和高分辨率的要求。
Ａｂｇｒａｌｌ和Ｓａｕｒｅｌ对于两相流和混合流体方法作了大量的研究工作Ｉｓ，７，３１，３２，９１。
在早期的研究中，学者们比较多的使用混合流体的Ｅｕｌｅｒ方程组加上质量分数输运方程作为数学模型，但是数值计算的结果表明在多流体交界面上压力不能保持平衡，会出现振荡。导致这一错误的原因是他们认为在一个多种流体的控制体内不同组分的温度是相等的。对于充分混合的多流体这个基本的假设是符合实际情况的，因为在控制体内大量分子的碰撞会使不同流体间的温度迅速达到平衡。然而对于那些起初没有充分混合的流体，例如控制体内存在一个多流体接触界面，在它的两侧是不同的流体，这个假设是不成立的。在这种情况下，分子的碰撞只是发生在交界面的两侧很小的范围内，认为不同的流体具有相同的温度是不正确的。实际的问题大多是后一种情况，这样的话错误的温度会导致错误的压力，随着时间的推进在交界面上压力就出现了振荡。Ａｂｇｒａｌｌ在文ｆｓｌｏｅ已经指出了由于等温假设而引起的数值计算结果中的错误，在文［７】中Ａ魄ｒａｌｌ研究了理想气体状态方程的多流体界面问题，
在混合流体质量、动量和能量守恒方程的基础上根据界面两侧压力和速度平衡的假
３
１，４本文的主要工作
设推导出混合流体热力学参数，ｙ的演化方程。在一维问题中这个准守恒型模型有四个方程，形式比较简单。从数值实验的结果来看流体交界面上的压力和速度没有振荡，取得了很好的效果。Ｓａｕｒｄｆ３２】同样采用了压力速度平衡的假设。他们工作的意义在于它为后继的研究人员提供了有益的启示，在处理更复杂状态方程的多流体流动中采用速度和压力平衡假设获得了很好的效果。但是他们处理的状态方程比较简单，同时算法的精度有待提高。Ｓａｕｒｅｌ＆Ａｂｇｒａｌｌ后来使用两相流方法模拟界面问题［３１】。在这种方法中，一维两流体数值模型由七个方程组成，而且每一相流体的质量、动量和能量守恒方程都有源项。它优点是它可以处理一般状态方程，缺点是它的模型方程太复杂，数值求解困难。
Ｓｈｙｕｅ在文ｆ３４ｌ中根据Ａｂｇｒａｌｌ＆Ｓａｕｒｅｌ的压力速度平衡基本假设，建立了ｓｔｉ恐ｎ气体状态方程的７模型和体积分数多流体方程组，在文［３５，３６１中将这种方法推广至ｆＪｖａ．ｎｄｅｒＷａａｌｓ状态方程和Ｍｉｅ－Ｇｒｆｉｎｅｉｓｅｎ状态方程情况。他采用波推进方法求解模型方程组。Ｓｈｙｕｅ方法的最大的缺点是对于每一种状态方程都要重新推导一个模型方程，在ｖａｎｄｅｒＷａａｌｓ和Ｍｉｅ－Ｇｒｉｉｎｅｉｓｅｎ状态方程情况下它的模型方程非常复杂，可重复性很差，同时界面附近数值耗散比较大，分辨率不高。
马东军博士采用体积分数多流体模型，发展了ｓｔｉｆｆｅｎ状态方程的ＰＰＭ方法，获得了很好的结果ｆ５，４１。
Ａｌｌａｉｒｅ也采用压力和速度平衡假设在文『１０１中建立了一般状态方程的体积分数多流体数值模型。这个模型方程非常的筒单，包括各流体的质量守恒方程，混合流体的动量和能量守恒方程以及积分数输运方程，模型与状态方程具体的形式没有关系。它的缺点是用到了一些很强的假设，同时文中数值方法的耗散比较大。Ｍｕｒｒｏｎｅ假设多流体的压力和速度驰豫时间趋于零，采用摄动方法从两相流方程出发推导出类似于Ａｌｌａｉｒｅ的模型方程『２８１。两种模型的差别在于Ｍｕｒｒｏｎｅ的体积分数输运方程含有源项，他考虑了激波与界面作用的情况。
§１．４本文的主要工作
本文主要发展了一般状态方程多流体界面数值方法，模拟了内聚激波驱动的Ｒｉｃｈｔｍｙｅｒ－ＭｅｓｈｋｏｖＩｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ（ＲＭＩ）。具体内容包括ｓｔｉｆｆｅｎ，ｖａｉｌｄｅｒｗｊａｌｓ，Ｍｉｅ—Ｇｆｆｉｎｅｉｓｅｎ状态方程的多流体算法和柱形激波驱动的ＲＭＩ模拟。
文中发展的方法有下面一些要点：一是采用了体积分数多流体数值模型，它是从两相流的基础理论出发，根据交界面两侧流体压力和速度平衡的假设而建立的；二是将单流体ＰｉｅｃｅｗｉｓｅＰａｒａｂｏｌｉｃＭｅｔｈｏｄ（ＰＰＭ）方法拓展到多流体情况，使用双波近似解各种状态方程多流体Ｒｉｅｍａｎｎ问题；三是使用Ｌａｇｒａａｇｉａｎ－Ｒｅｍａｐｐｉｎｇ两步方法求解模型方程。
通过大量的算例去检验文中发展的一般状态方程多流体算法的有效性。同时还系统地研究了内聚激波诱导的轻流体加速重流体和重流体加速轻流体两种ＲＭＩ，分析了不同的激波强度、界面上初始扰动振幅和扰动波长等因素对ＲＭＩ的影响。
文中方法一些有特色的地方包括所采用的体积分数多流体模型形式简单，它不随４
状态方程而改变；Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ．Ｒｅｍａｐｐｉｎｇ形式的ＰＰＭ多流体算法具有Ｌａｇｒａｎｇｅ类方法处理间断问题数值耗散小和ＰＰＭ高精度、高分辨率的特点等。
本文的具体章节安排如下：第１章是绪论：第２章是关于ｓｔｉｆｆｅｎ状态方程ＰＰＭ算法和ＲＭＩ数值模拟的内容；第３章和第４章分别是ｙａ／ｌｄｅｒＷａａｌｓ和Ｍｉｅ－Ｇｒｉｉｎｅｉｓｅｎ状态方程的ＰＰＭ算法；第５章是本文的结论与展望。
５
第二章Ｓｔｉｆｆｅｎ气体状态方程多流
，体ＰＰＭ算法
及Ｒｉｃｈｔｍｙｅｒ－Ｍｅｓｈｋｏｖ
Ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ数值模拟
本章介绍Ｔｓｔｉｆｆｅｎ（Ｐ］０性）气体状态方程的多流体ＰＰＭ算法；并模拟了内聚激波驱动的Ｒｉｃｈｔｍｙｅｒ－ＭｅｓｈｋｏｖＩｎｓｔａｂｉｆｉｔｙ（ＲＭＩ），分析了扰动波长、振幅和激波强度对ＲＭＩ的影响。ｓｔｉｆｆｅｎ状态方程多流体数值方法是本章的一个重点内容，文中首先介绍了混合流体的１和体积分数多流体模型；接着介绍了ＰＰＭ算法，并将其应用到多流体问题中；最后将算法拓展到二维和三维问题中。内聚激波诱导的ＲＭＩ模拟是本章的另一个重点内容，它既是考核数值方法的一个算例又是人们所关心的一种重要的物理现象，ＲＭＩ在理论研究和工程实践中都具有重要的意义。
本章的具体内容安排如下，在５２．１节中详细介绍了混合流体的丁和体积分数数值模型；在§２．２中给出了多流体Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ－Ｒｅｍａｐｐｉｎｇ形式的ＰＰＭ方法的完整实现：§２．３中是关于Ｒｉｃｈｔｍｙｅｒ－ＭｅｓｈｋｏｖＩｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ的数值模拟；§２．４是本章小结。
§２．１可压缩多流体流动数学模型
一维Ｅｕｌｅｒ方程组为
（２—１）
其中ｐ，¨，ｐ，ｅ，Ｅ＝ｅ＋；舻分别是流体的密度、速度、压力、比内能和总能。流体满足ｓｔｉｆｆｅｎ状态方程：
Ｐ＝（，ｙ一１）ｐｃ一１ｐ。（２－２）
，ｙ是比热比，‰是具有压力量纲的常数，它们是物性参数，对于不同的物质取用不同的数值，在文［３４］对于ｓｔｉ髓ｎ状态方程有比较详细的介绍。人们感兴趣的是多流体流动问题，我们从上面的Ｅｕｌｅｒ方程组出发推导出适用于多流体情况的数学模型。６
ｌｌ
、●√憎力珏
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Ｐ咿氓，●●，●＼口面、●●／ｐ舰阳，●●＼ａ一批｜Ｉ
螋跏ａ一翌疣
丝三塞！！！墅皇堡鳖童耋堡兰鎏篁兰兰些苎童矍星坐些至丝！！坠！呈！！呈篁！堡丝堡丝型
（２一ｌｏ）是一组准守恒型的方程组，前三个方程可以确定守恒量Ｐ，刖，ｐＥ，后面的两个演化方程可以求解多流体交界面附近的参数７，ｐｏ。。上述方程对于存在激波和稀疏波的情况也是适用的，所以有通常的Ｒｉｅｍａｎｎ不变量和Ｒａｎｌ【ｉｎｅ＿Ｈｕｇｏｎｉｏｔ跳跃关系．而且它在交界面附近可消除压力的振荡。特别要注意的是激波和交界面相互作用的情况，很明显界面两侧的压力在激波和界面作用前后是不平衡的，这里有一定的奇异性，这个问题从理论上是比较难解决的，但是我们从大量的数值试验结果中可以发现所建立的数学模型其实是可以很好地处理这类问题的。
§２．１．３体积分数模型
根据（２—５）式将（２－９）改写成
Ｉ墨瞎器）＋％９＼备Ｎ两ｙｔＯ，Ｊ＼＝。Ｉ晏睡筹）＋牡鑫溪错）＝。
掣十ｕ警－ｏ，㈦，川（２—１１）（２?１２）
用（２—１２）式代替（２一ｌｏ）中的最后两个方程，就可建立体积分数多流体数学模型
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瓦（ＰＥ）＋差ｆ（胆＋ｐ）词＝ｏ。。
警＋钍警一ｏ，㈦…卅一，
下面从两相流理论出发推导体积分数多流体模型。以一维两流体问题为例，Ｓａｕｒｅｌ文［３１】将一些不可压两相流问题的方法和假设应用于可压缩两相流问题中，得
９
２．１可压缩多流体流动数学模型
出了下面的七方程模型
掣＋Ｋ警＝ｏ
妄（ｙ（１）纠＋兰（ｙ（１）脾∞）＝痂
爰（ｙ‘１）卢（１ｗ１’）＋差［ｙ‘１）Ｐ（１’（“（１’）２＋ｙ（１）ｐ（１’］＝戤ｉＯｙ（ｉ）＋ｍＫ＋Ｆｄ
爰（ｙ（１’ｐ㈣Ｅ㈤）＋磊０［札㈣（ｙ（１）Ｊ口（１）伊）＋ｙ㈣ｐ（１））】：
鼽Ｍ掣＋晓Ｅ＋毋Ｋ心（２－１４）星（ｙ（２’纠＋差（妒’Ｐ㈣㈣＝一疣
击（１，（２）ｐ（２¨２’）＋￡［ｙ‘２）Ｐ（２１（札（２’）２＋ｙ（２）ｐ（２’］＝Ａ百ｃｏｙ（２）一ｍＫ一毋
差（ｙ（２’ｐ㈦Ｅ㈦）＋差∽（ｙ（２’Ｐ㈤胪’＋ｙ㈣蚪］：
肼Ｋ＿Ｏｙｉ＿（２）一ｍＥ｛一乃Ｋ—Ｑ：
纯，Ｋ是界面上的平均压力和速度，ｍ是质量输运，乃是阻力，Ｑｔ是热对流。若流体交界面是～个物质面，流体无粘绝热，忽略相间作用则ｍ＝０，日＝０，Ｑ＝０。
根据压力和速度平衡假设ｕ（１）＝让（２）＝啦＝乱，ｐ（１）＝ｐ（２）＝Ａ＝Ｐ，定义平均的守恒量，合并上面方程组中动量、能量等方程，可得到简化的体积分数模型
掣＋了Ｏ（Ｙ（ｉ）ｐ（Ｏｕ）＿０１ｉ：１，２
抚‘ａ茁…’
—Ｏ（ｐ—ｕ）＋—Ｏ—（ｐ＿ｕ－２＋一ｐ）：０
Ｏｔ‘如
—ｏ（ｉｐ—Ｅ）＋—Ｏ［—（ｐ—Ｅ：＂—１－一ｐ）ｕ］：０
况。如
警＋札警一ｏ，㈦
为了使方程组封闭，补充状态方程
、１０
Ｐ盘ｐ（ｙ（¨，ｙ（１）Ｐ（１１，ｙ（２’ｐ（∞，ｐｅ）
方程（２一１３）是（２—１５）的一个特殊形式，可将（２一１５）直接扩展为多维模型。
（２一１５）
（２一１６）
第二章Ｓｔｉｆｆｅｎ－气体垫奄查堡多流体ＰＰＭ算法及ｍｃｈｔｍｙｅｒ．ＭｅｓｈｋｏｖＩｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ数值模拟§２．２多流体ＰｉｅｃｅｗｉｓｅＰａｒａｂｏｌｉｃＭｅｔｈｏｄ（ＰＰＭ）方法
Ｇｏｄｔｍｏｖ格式是前苏联科学家在１９５９年提出的一种求解流体力学方程组的差分格式，它首创了迎风格式设计的方法，并对计算流体力学的发展产生了深远的影响。它主要的思想是：以‰时刻的离散分布｛蝣｝形成分段常数的初值ｕ（ｘ，矿）：对每个间断点ｚ＝Ｘ；＋』求解局部的Ｒｉｅｍａｎｎ问题精确解，并将它们拼接成小范围（ｔ。≤ｔ冬ｔ。十１）的精确解ｕ（ｚ，ｔ）；再对ｔｎ＋ｌ时刻的ｕ（ｚ，ｔｎ＋ｚ）进行网格平均得到新的离散分布｛ｕ？＋１），由此完成一个时间步△ｏ的计算。Ｏｏｄｕｎｏｖ格式可以写成守恒格式的形式，它的差分解是满足离散熵条件的。在线性常系数方程和方程组的情况下，Ｇｏｄｕｎｏｖ掐－式是一阶偏心格式和一阶迎风格式。在单个守恒律方程的情况。Ｇｏｄｕｎｏｖ格式的差分解具有单调保持和总变差不增（ＴＶＤ）的性质。早期的Ｏｏｄｕｎｏｖ格－式主要有两个方面的缺陷：一是求解局部Ｒｉｅｍａｎｎ问题的精确解非常耗时，人们通过用Ｐｄｅｍａｎｎｌｈ－］题近似解或近似ＰｄｅｍａｎｎＩｈ－］题解来代替精确的Ｒｉｅｍａｎｎ解来解决这个问题；二是由于在求解Ｒｉｅｍａｎｎ问题时采用间断点上左右的分段常数近似作为初始条件，所以格式的精度和分辨率都很低，虽然它可以有效地避免压力的振荡，解决这个问题的方法是发展高阶Ｇｏｄｕｎｏｖ格式，ＰｉｅｃｅｗｉｓｅＰａｒａｂｏｌｉｃＭｅｔｈｏｄ（ＰＰＭ）『１５］方法就属于这类格式。
§２．２．１ＰＰＭ方法介绍
ＰＰＭ是一种三阶Ｇｏｄｌｌｌｌｏｖ格式【１５，２】，它的主要特点是采用二次抛物函数作为网格内部的基本插值函数来代替Ｇｏｄｕｎｏｖ使用的常数和ＶａｎＬｅｅｒ使用的线性函数，同时也需使用适当的技术来处理插值函数的构造以及格式的数值通量的计算中产生的问题。
从线性对流方程谈起
信＋。赛＝。陋∽
Ｉ缸扛，０）＝乱ｏ（￥），８＝ｃｏｎｓｔ
设卫升§是第ｊ和第Ｊ＋１个网格的边界，且婶已知
哼。五１～，，Ｉ。卜。ｉ＋女。让（。，ｔ“）ｄ。
△ｑ２ｚ｛＋Ｘ—ｚ卜％
△ｑ是第Ｊ个网格的长度，并满足稳定性条件
ｎ而Ａ孬ｔ≤１（２—１８）
（２—１９）
主１
２．２多流体ＰｉｅｃｅｗｉｓｅＰａｒａｂｏｌｉｃＭｅｔｈｏｄ（ＰＰＭ）方法
目的是计算ｔ”＋１＝ｔ“＋△ｔ时刻的嵋＋１，构造分段多项式插值函数叫扛）使其满足
嵋２忐群吣）如
方程（２—１７）的解满足“（。，ｔ卅１）＝ｕ∞一ａＡｔ，护），因此有
（２－２０）
丐ｎ＋ｌ＝击岔嘶～删如（２－２１）ＰＰＭ选用分段连续的二次抛物函数作为基本插值函数
ｕ（ｘ）＝ＵＬ，ｊ＋ｆ（△钍ｊ＋ｕ６ｊ（１一∈））
茹一ｘｊ＿；（２—２２）
∈２繁，。ｊ一｛≤ｚ≤％＋ｊ、。插值多项式中的系数为
Ｉｉｌ里ｕ（ｚ）＝乱Ｌ，Ｊ，ｌｉｒａ—ｕ（ｘ）＝札冗，Ｊ
ｉ：二ｌｔＲ．，——ＵＬ，，，三至：。。。？——；。Ⅱ。，，。ｉＵＲ，，，，（２—２３）
△％＝．，一小钍６，Ｊ＝６（哼一言（ⅡＬ，Ｊ＋，Ｊ））
嗡§是“＠）在％＋｛处的近似值，它介于哆和峨ｔ２．ｆ６Ｊ，在远离极值点的光滑区域有
¨Ｌ。ｊ＋ｌ＝ＵＲｄ２
ＵＪｎ＋；
（２—２４）
因此插值函数ｕ（霉）在ｚ什｛处是连续的，进一步修正ｕＬ，ｊ，钍ＲＪ使得乱（。）在区间（％一｛，吃＋≥）内是单调的，这样做会导致钍（正）在网格的某些边界点上不连续。
略｝可以用四次多项式插值得到
１２哼＋面＋ｉ巧△。Ⅲ咐＂ｕｎ?一哼）
蕊１ＥＡｘ×｛毒毒［糕２Ａｘ３Ａｘｉ＋ｚ一拣］ｃ蚴，
：：一１ｊ十≈一【△％＋△ｑ十１【＋２△％＋１＋△∞Ｊ卜。叫（咏，卅－－Ａｘ／蕊ＡＸ３ｊ＋△＿ｌ＋Ａｍｘｌ。６ｕ州＋嘛，等菘筹呐）
第二章Ｓｔｉｆｆｅｎ＇气体状态方程多流体ＰＰＭ算法及ｍｃｈｔｎｌｙｅｒ－ＭｅｓｈｋｏｖＩｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ数值模拟抛户藩２Ａｘｊ＿Ｉ＋Ａｘｊ．．舭一Ａｘ，＋２Ａｘｊ＋ｌ一．叫皿嘲
［面而。帅一嵋）＋面两。～一呼，）］。１
在实际的计算中用修正的‰嘶代替
如码＝
ｆｍｉｎ（１６ｕ．，ｌ，２Ｉ哼一ｕ，ｎ—ｌＩ，２１ｕ；＋１一ｕ？１）ｓｇｎ（Ｓｕｊ），ｉｆ（ｕ？＋ｌ一叼）（“？一Ｕ。ｎ一，）＞０
ｌ０，其它情况
修正以后Ⅱ７．。介于衅和ｕ孙１之间，在间断附近分辨率也更高，无论对于均匀还是非均匀网格插值得到的ｕＸ！都是三阶精度的。如果网格是均匀的且６％＝“呦，则有
嗡｛２蛩ｔ～ｎ＋仳知ｔ）一壶（嚷。＋呼１）（２－２８）在解的光滑区域时间步长趋于零的情况下，ＰＰＭ对流格式对于均匀网格是四阶精度
对于大多数Ｊ，乱幻＋１和“ＲＪ被赋值为嗡｛，但在某些情况下会导致抛物插值函数的值不在ｕ埘和“Ｒ，Ｊ之间，此时需要调整札，细Ｕ．Ｒ．ｊ的值，具体情况如下ａ）．如果“？是一个局部的极大或极小值，那么那么插值函数ｕ（ｚ）在网格‰一｛，ｚ升｛】内调整为一个常数分布
“Ｌ，Ｊ＿哼，ｕ冗．ｊ一％ｎｉｆ（札Ｒ，Ｊ一哼）（叼一ｕＬ．Ｊ）≤０（２—２９）ｂ）．第二种情况是虽然ｑ位于ｕ￡Ｊ和ｕＲＪ之间但是太靠近其中的一端，这样会使网格内的抛物函数的值超出了“Ｌ，Ｊ和ｕＲＪ确定的范围，出现这种情况的判别法则和相应的调整措施为
：：二篡二葛：＝舞竺裟攀陋ｓ。，乱Ｒ，ｊ—｝３哼一２ｕＬ。Ｊｉｆ（ｕＲＪ一“工，Ｊ）（嵋一ｉ（ｕＬ，ｊ＋ｕ冗，ｊ））＜一∑二丝—石—竺坐一
间断检测和格式修正
为了提高间断解的分辨率减少数值耗散需要对上面的插值过程作一点小小的修
１３
２．２多流体ＰｉｅｃｅｗｉｓｅＰａｒａｂｏｌｉｃＭｅｔｈｏｄ（ＰＰＭ）方
正，如果Ｊ个网格处在一个间断之内就作以下处理
１
蚍Ｊ～幻～ｈ＋扣峥１（２－３１）
ＵＲ．Ｊ。ｕ磊，Ｊ＝略１一；‰嘶＋ｌ
判断网格是否处于间断区域的法则是：若解的三阶导数的差分近似足够的大，且它的二阶导数的差分近似值在网格内变号，同时在间断附近解的一阶和三阶导数的差分近似异号，就认为该网格处在间断区内。在解的连续区域用（２．２５）式给“Ｌ，升１，ＵＲ，ｊ赋值，而在间断区则用修正的（２—３１）式，这两种情况统～的用下面的式子来代替
ｕＬＪ。扎Ｌ—Ｊ（１一协）＋＂！，ｊ嘞
ｒ２—３２１
ＵＲ，ｊ。ＵＲ，ｊ（１一仍）＋ｕＲｄＪ仍
式中的参数为％＝ｍａｘ（Ｏ，ｍｉｎ（，／（１’（嘞一卵（２）），１））（２－３３）
（２—３４）６２哼＝画玎面１可石１面ｕｊ＂＋再ｌ－画ｕｙ一者ｎ嵩－－ＵｎＩ（２＿３５）
ｑ（１１，叩（２）是常数，它们是在式（２—２５）矛Ｈ（２．３１）之间进行选择的开关，而￡决定了解在一个网格中多大的相对变化可以定义为间断。我们给出这些参数的一个参考值，ｒ／（１）＝２０，ｒ／（２）＝０．０５，Ｅ＝０．０１。
为了将接触间断与激波区分开来，还需要满足接触间断判定条件７‰瑞ｍｉｎ（ｐｙ＋ｌ１≥瑞ｍｍ（ｐＪ＋ｚＰｊ１
１ｐｊ＿），一》击莹：
竺：：：三：三；学｝：美ｘ。茁）ｄ，ｄｘ卫
。。一。，，瓢知）＝滋》
瓢知）＝扳：扩”巾）出一
１４ｒ一＾｝
丛悼｝唰≮卅生ｑｈ
铲一≈‰８ｉ塑呻？一著煽一
第二章Ｓｔｉｆｆｅｎ－气体状态方程多流体ＰＰＭ算法及ｍｃｌｍｎ”ｒ—ＭｅｓｈｋｏｖＩｎｓｔａｂｉｌｉｔｙ数值模拟！，是一个正数。将ｕ（。）的表达式带入后有
裂竺巷鼎拳。奚Ｙ陋㈣嚣渺）～幻＋１十；（嘛，十（卜劲岫），叩＝忐一
矿１＝哼一毒（氛｛一¨（２－ａ９）
其中
“＾｛鬈怒ｉｉ，ｆ茗陋ｔ。，§２．２．２多流体Ｌａｇｒａｎ舀ａｎ—Ｒｅｍ印ｐｉｎｇ形式的ＰＰＭ
～维体积分数多流体模型（２－１３）在Ｌａ铲ａｎｇｉａｎ坐标下为
一Ｏｒ一亟型：ｎ
ＯｔＯｍ。
瓤知ｐ。。，
丝Ｏｔ＋０（跏ｒ。ｊ＿Ａ＝ｏ卜“’
警＿０Ｉ㈦…∥一１
方Ｎｅｅｒ，仙，Ｅ，ｙ（ｔ）分别是比容、速度、比总能、和缓１分的体积分数，ａ在平面、轴对称、球对称时分别取０，１，２。ｍ是质量坐标，ｄｍ＝Ｔ－１ｒ“ｄｒ＝ｒ～ｄｖ，ｒ是空间坐标。ｐ时刻，第Ｊ个网格的物理量Ｕ＝（７＿，札，Ｅ，ｙ（‘））定义为
町２上Ａｎｌｊ
ｕ（ｍ，矿）ｄｍ（２—４２）
Ｊ，ｍｑｉ＿＋｝５
在单流体情况下，方程（２＿４１）对应的特征线方程及相应的特征关系式是
ｆＧ：面ｄｍ＿ｏＩ争ｏ
｛ｑ：警＝ｒ翟，面ｄｕ十面１面ｄｐ
卜面ｄｍ一‰豢一壶害
等芋
１５
！；！耋鎏堡呈兰！！型！：呈些垫！！！！！丝！！！堡呈塑２壅鎏
多流体Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ—Ｒｅｍａｐｐｉｎｇ形式的ＰＰＭ求解步骤
（１），由网格平均值哼，叼，曰计算压力的网格平均值霹
圬＝ｐ（哆，哼），ｅ，ｎ＝叼一互１Ｌ～ｎ）２（２—４４）它是二阶精度的。
（２）．使ＮＰＰＭ插值方法，分别对｛哼），｛“？｝，｛ｐ２ｔ，｛（】，（；’）？）构造相应的分段抛物插值函数ｒ（ｚ），Ⅱ（ｚ），ｐ（。），ｌ，（ｉ’（ｚ）。
（３）ｒ用拳似（２—３８）的公式，计警网格慧点ｍ，２＂ｏ十§两侧物理量（Ｌｕ，ｐ，ｙ‘２’）笋时间平均值（勺＋｛Ｄ吩＋｛如色＋｝Ｄ（ｙ‘。ｂ＋扣）及（弓＋§∞吗＋｛固岛＋；∞（ｙ（ｔ）），＋§，兄）。
吲唧如＝鬻疗穹
ａ）ｒ其中（０＋；，Ｌ，吩＋；㈤窍＋｛Ｄ（ｙ‘’’）Ｊ＋；，￡）表示蓟网格的ｑ特征线族努＝
于是
吣～一；（△％一（－一羚ｅ，，），叩＝筹，ＡＵｊ＝ＵＲ，ｊ－－ＵＬ，ｊ协ａｅ，（勺＋｛Ｄ岛＋｛㈦（ｙ‘‘’）Ｊ＋§，Ｌ）的计算类似?
ｂ）．Ｇ＋；㈣呜＋；同岛＋；同（１，（”）什｛，Ｒｊ表示衙＋Ｉ网格的ｃｔ－特征线族警＝
峨旷％ｍ＋；（嘛ｔ＋（?一；卵）‰＋ｔ），叩＝丽ａｊ＋ｌＡｔ（２－４７，
＠＋｛，Ｒ，Ｐ‘ｊ＋ｊ同（ｙ询）ｎ≥，Ｒ）的计算与此类似。
（４）．通过求解两侧状悉为
巩＝＠＋｛埘‰｛。札｛，。，（两）Ｊ＋§．。）
％＝（饥扣ｑ＋徊岛十扣，（蜘）ｊ＋扣）
的Ｒｉｅｍａｎｎ问题来计算ｍ＝仃ｈ｛处的ｕ，ｐ的时间平均值ｑ＋｛，砖＋｛。在前面我们已经谈到改进Ｇｏｄｕｎｏｖ格式的一个重要方面就是求Ｒｉｅｍａｎｎ问题的近似解或求解近ＲｉｅｍａｎｎＩ；］题，这样做的目的是在保证精度要求的前提下尽可能的提高效率，在本章中我们用双波近似的假设求解Ｒｉｅｍａｎｎ问题，用膨胀激波近似稀疏波，有效的
１６
翌垡尊算。垫了简化书写，将所求的Ｒｉｅｍ越１ｎ问题解记作（乱＋，ｐ，），间断点左右的常数态分别记做（ｕＬ，儿）和（仳＿Ｒ，ｐＲ）。根据间断跳跃关系可以得到下面的迭代式
札：∞’）一ｕ太（ｐ＋）＝０
ｑ：白＋）砘一丽Ｐ＊－－ＰＬ，钍∽＝乱咒＋丽ｐ＊－－ｐｇ（２－４８：由Ｒａｎｋｉｎｅ－Ｈｕｇ。ｎｉｏｔ关系式
Ｊ７｝斧（ｅ；一句）一（ｐ＋２一ｐ｝）／２，ｚ＝ＬｏｒＲ（２－４９）问断关系
以及热力学关系露白＋）＝ｆ盯１
Ｌｅ；＝蔫等
由（２－４９，２—５０，２－５１）可以得到关于＾死的解析表达式
聊∽＝四［ｚ＋等＼ＰＡ＊＋＋ＭＰｏｏａ一，）卜Ｇ＝瓜而而
（２—５１）
给定一个ｐ＋就可以通过上式求出一个帆（矿），将它带入由（２．４８）中第一式导出的压力迭代方程可以更新压力，带入后两式可以更新速度，判断是否收敛，如果没有就重复上面的过程。
（５）．Ｌａｇｒａｎｇｅ步推进求解：
嘤：２略｛＋△哆＋§
一，；堕芝二坚竖：
哼＋１一哼一百Ｉ（吩－＋；＋岛－一§）否Ａ矗ｔ晦＋§一岛一§）（２—５２）
骘“２曰一云羔（气＋｛呜＋｛岛＋｛一五一≥吗一｛秀一§）
（ｙ∞）ｒ１＝（ｙ“’）？ｌ＝１…Ｎ一１
在Ｌａｇ＇ｒａｎｇｅ步中体积分数是不变的，式子中
（２—５３）
１７
微分形式的连续性方程
连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系，它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。 重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
用一个微六面体元控制体建立微分形式的连续性方程。 设在流场中取一固定不动的微平行六面体（控制体），在直角坐标系oxyz 中，六面体的边长取为dx ，dy ，dz 。 先看x 轴方向的流动，流体从ABCD 面流入六面体，从EFGH 面流出。 在x 轴方向流出与流入质量之差 ()()[]x x x x u u u dx dydzdt u dydzdt dxdydzdt x x ρρρρ??+-=??
用同样的方法，可得在y 轴方向和z 轴方向的流出与流入 质量之差分别为 ()y u dxdydzdt y ρ??() z u dxdydzdt z ρ??这样，在dt 时间内通过六面体的全部六个面净流出的质量为： ()()()[]y x z u u u dxdydzdt x x x ρρρ???++???
在dt 的时间内，六面体内的质量减少了 ， 根据质量守恒定律，净流出六面体的质量必等于六面体内所减少的质量 ()dxdydzdt t ρ?-?()()()[]y x z u u u dxdydzdt dxdydzdt x y z t ρρρρ ????++=-????()()()0y x z u u u x y z t ρρρρ ????+++=????这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。 这就是直角坐标系中流体运动的微分形式的连续性方程。 代表单位时间内，单位体积的质量变化 代表单位时间内，单位体积内质量的净流出
一、曲线坐标系下连续性方程的推导 曲线坐标系下流体力学基本方程组的推导 一、曲线坐标系下连续性方程的推导 首先对有限体积内的质量运动运用拉格朗日观点并根据质量守恒定律推导与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程： 质量守恒定律告诉我们，同一流体的质量在运动过程中不生不灭。 在流体中取由一定流体质点组成的物质体，其体积为τ，质量为m ，则 m τ ρδτ=? ()1.1 为了与随体符号d 区别开来，这里用δ来表示对坐标的微分。 根据质量守恒定律，下式在任一时刻都成立 ()0dm d dt dt τ ρδτ==? ()1.2 根据公式： ( ) ()d div dt t ττ??δτ?δτ??? =+ ???? ??v ()1.3，得 ( ) ()0dm d div dt dt t ττρρδτρδτ??? ==+= ???? ??v ()1.4 因τ是任意取的，且假定被积函数连续，由此推出被积函数恒为0，于是有： ()0div t ρ ρ?+=?v ()1.5 ()1.5式就是与坐标系选取无关的微分形式的连续性方程。下面将写出它在曲线坐标下 的形式。 因为()()()1232313121231231 a H H a H H a H H div H H H q q q ?????= ++??????? a ()1.6 所以()()()()1232313121231231 v H H v H H v H H div H H H q q q ρρρρ?????= ++??????? v ()1.7 将()1.7式代入()1.4得到曲线坐标下连续性方程的形式为： ()()()1232313121231231 0v H H v H H v H H t H H H q q q ρρρρ??????+++=???????? ()1.8
主要参数R= 20mm, L=40 mm, n=1000 rpm, ε=0.3, c=2 mm. 各种流体润滑问题都涉及在狭小间隙中的流体粘性流动，描写这种物理现象的基本方程为雷诺方程，他的普遍形式是 )2(6()(22t h y h V x h U y p h y x p h x ??+??+??=????+????ρρρηρηρ） 这个椭圆形的偏微分方程仅仅对于特殊的间隙形状才可能求得解析解，而对于复杂的几何形状或者工况条件下的问题，无法用解析方法求得精确解。随着迅速发展的点算技术，数值算法成为求解润滑问题的有效途径。 数值法师讲偏微分方程转化为代数方程组的变换方法。它的一般原则是：首先将求解域划分成有限个数的单元，并使每一个单元充分的微小。以至于可以认为在各单元内的未知量（本人毕业设计中设油膜压力为P ）相等或者依照线性变化，而不会造成很大的误差。然后，通过物理分析或数学变换方法，将求解的偏微分方程写成离散形式，即使将它转化成一组线性代数方程。该代数方程组表示了各个单元的待求未知量于周围各单元未知量的关系。最后根据消去法或者迭代法求解代数方程组，从而求得整个求解域上的未知量。 用来求解雷诺方程的数值方法很多，最常用的是有限元差分方法、有限元法和边界元法，这些方法都是将求解域划分成许多个单元，但是处理方法各不相同。在有限差分法和有限元法中，代替基本方程的函数在求解域内是近似的，但完全满足边界条件。而边界元法所用的函数在求解域内完全满足基本方程，但是在边界上则近似的满足边界条件。 一、雷诺方程的数值解法 根据边界条件求解雷诺方程，这在数学上称为边值问题。 首先将所求解的偏微分方程无量纲化。这样做的目的是减少自变量和因变量的数目，同时用无量纲参数表示的解具有通用性。 然后，将求解域划分成等距的或者不等距的网格，如图1-1为等距网格。 图1-1 沿轴向将Y 划分为8个等距区间，沿周向从πθθ20==到划分为12个等距区间。这样在Y 方向有13个节点，θ方向有9个节点，总计117913=?个节点。则8 16 1=?=?Y ，πθ。
小菜鸟0 引言 流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。 1 基本假设 空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。 自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。 连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。 有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，
流体力学NS方程简易推导过程 令狐采学 小菜鸟0 引言 流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。 1 基本假设 空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。 自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。连续介质假设的意思就是说，我
们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。 连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。 有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在
第二节 流体流动的基本方程式 化工厂中流体大多是沿密闭的管道流动，液体从低位流到高位或从低压流到高压，需要输送设备对液体提供能量；从高位槽向设备输送一定量的料液时，高位槽所需的安装高度等问题，都是在流体输送过程中经常遇到的。要解决这些问题，必须找出流体在管内的流动规律。反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。 1-2-1 流量与流速 一、流量 单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。若流体量用体积来计量，称为体积流量，以V s 表示，其单位为m 3/s ；若流体量用质量来计量，则称为质量流量，以w s 表示，其单位为kg/s 。 体积流量与质量流量的关系为： w s =V s ·ρ (1-16) 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3。 二、流速 单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。以u 表示，其单位为m/s 。 实验表明，流体流经管道任一截面上各点的流速沿管径而变化，即在管截面中心处为最大，越靠近管壁流速将越小，在管壁处的流速为零。流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，在工程计算中为简便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平均流速，其表达式为： A V u s = （1-17） 式中 A ——与流动方向相垂直的管道截面积，m 2。 流量与流速的关系为： w s =V s ρ=uA ρ （1-18） 由于气体的体积流量随温度和压强而变化，因而气体的流速亦随之而变。因此采用质量流速就较为方便。 质量流速，单位时间内流体流过管路截面积的质量，以G 表示，其表达式为： ρρu A V A w G s s === （1-19） 式中 G ——质量流速，亦称质量通量；kg/（m 2·s ）。 必须指出，任何一个平均值都不能全面代表一个物理量的分布。式1-17所表示的平均流速在流量方面与实际的速度分布是等效的，但在其它方面则并不等效。 一般管道的截面均为圆形，若以d 表示管道内径，则 2 4d V u s π= 于是 u V d s π4= （1-20） 流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。流量一般为生产任务所决定，而合理
第二章计算流体力学的基本知识 流体流动现象大量存在于自然界及多种工程领域中，所有这些工程都受质量守恒、动量守恒和能量守恒等基本物理定律的支配。这章将首先介绍流体动力学的发展和流体力学中几个重要守恒定律及其数学表达式，最后介绍几种常用的商业软件。 2.1 计算流体力学简介 2.1.1计算流体力学的发展 流体力学的基本方程组非常复杂，在考虑粘性作用时更是如此，如果不靠计算机，就只能对比较简单的情形或简化后的欧拉方程或N-S方程进行计算。20世纪30～40年代，对于复杂而又特别重要的流体力学问题，曾组织过人力用几个月甚至几年的时间做数值计算，比如圆锥做超声速飞行时周围的无粘流场就从1943年一直算到1947年。 数学的发展，计算机的不断进步，以及流体力学各种计算方法的发明，使许多原来无法用理论分析求解的复杂流体力学问题有了求得数值解的可能性，这又促进了流体力学计算方法的发展，并形成了"计算流体力学"。 从20世纪60年代起，在飞行器和其他涉及流体运动的课题中，经常采用电子计算机做数值模拟，这可以和物理实验相辅相成。数值模拟和实验模拟相互配合，使科学技术的研究和工程设计的速度加快，并节省开支。数值计算方法最近发展很快，其重要性与日俱增。 自然界存在着大量复杂的流动现象，随着人类认识的深入，人们开始利用流动规律来改造自然界。最典型的例子是人类利用空气对运动中的机翼产生升力的机理发明了飞机。航空技术的发展强烈推动了流体力学的迅速发展。 流体运动的规律由一组控制方程描述。计算机没有发明前，流体力学家们在对方程经过大量简化后能够得到一些线形问题解析解。但实际的流动问题大都是复杂的强非线形问题，无法求得精确的解析解。计算机的出现以及计算技术的迅速发展使人们直接求解控制方程组的梦想逐步得到实现，从而催生了计算流体力
第一章流体流动 1-0 概述 一学习本章的意义： 1．流体存在的广泛性。在化工厂中，管道和设备中绝大多数物质都是流体（包括气体、液体或气液混合物）。只是到最后，有些产品才是固体。 2 ．通过研究流体流动规律，可以正确设计管路和合理选择泵、压缩机、风机等流体输送设备，并且计算其所需的功率。 3 ．流体流动是化工原理各种单元操作的基础，对强化传热、传质具有重要的实践意义。因为热量传递，质量传递，以及化学反应都在流动状态下进行，与流体流动密切相关。 所以大家要认真学习这一章，充分打好基础。 二流体流动的研究范畴 1 流体定义：具有流动性的液体和气体统称为流体。 2 连续性介质假定：流体是由大量的单个分子组成，而每个分子之间彼此有一定的间隙，它们将随时都在作无规则随机的运动。所以，若把流体分子作为研究对象，则流体将是一种不连续介质，这将使研究非常困难。好在在化工生产过程中，我们对流体流动规律的研究感兴趣的并非是单个分子的微观运动，而是流体宏观的机械运动。所以我们不取单个分子作为考察对象，而取比分子平均自
由程大得多，比设备尺寸小得多的这样一个流体质点作为最小考察对象，质点是由大量分子组成的微团，它可以代表流体的性质。流体可以看成是由大量微团组成的，质点间无空隙，而是充满所占空间的连续介质，从而可以使用连续函数的数学工具对流体的性质加以描述。 提高：连续性介质假定 如图1所示，考虑一个微元体积内流体平均密度的变化情况：取包含P（x，y，z）点在内的微元体积⊿V，其中包含流体的质量为⊿m，则微元流体的平均密度为⊿m/⊿V，微元流体的平均密度随体积的变化如图2所示。当微元体积⊿V从非常小逐渐增大，趋向一个特定的微元体积V时，流体的平均密度逐渐趋向一个极限值，且不再随微元体积的继续增大而发生变化。当微元体积⊿V比δV小时，这时微元体积内所包含的流体分子数目是那样少，以致流体分子由于其无规则的热运动，进入或离开微元体积的流体分子数目已足以引起该微元体积内流体平均密度的随机波动。只有当微元体积大于δV后，其中
流体力学NS方程简易推导过程 小菜鸟0 引言 流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。 1 基本假设 空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。 自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。 连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具
体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS 方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS 方程也适用于描述湍流。 有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。在层流边界层情况下，分子平均运动自由程与边界层之间存在近似关系： 从这个关系中，可以发现，当马赫数非常大但是同时雷诺数非常小的时候，流场微小尺度才可能达到分子平均运动自由程lmd 的程度。可以想象一下，在大多数我们能观察到的情况下，上述公式的结果都是非常小的，满足连续介质假设，这个公式不成立的情况在大气层外边缘，此时大气分子之间平均动量交换降低，导致粘性变得非常小，雷诺数很高，因此公式计算结果急剧降低，导致连续介质假设失效。 前面讨论了连续介质建设成立的条件以及不成立的例子，下面讨论的都是连 λδ≈
《流体力学与流体机械》(下)主要公式及方程式 1．流体力学常用准数： (1) 雷诺准数 μρl u = Re (2) 欧拉准数 2Eu u p ρ= (3) 牛顿准数 2 2Ne l u F ρ= (4) 付鲁德准数 l g u 2 Fr = (5) 马赫准数 a u =M (6) 斯特罗哈准数 l u τ=St (7) 阿基米德准数 T T u l g ?=2Ar (8) 格拉晓夫准数2 3Gr νβt l g ?= (9) 韦伯准数 σρl u 2We = 2．气体等压比热和等容比热计算式：1p -=k R k C ； 1 v -=k R C 3．完全气体比焓定义式：T C RT e p e i p =+=+ =ρ 4．完全气体状态方程式：T R p ρ= 状态方程微分式： T T p p d d d + =ρρ 5．完全气体等熵过程方程式： C p =k ρ 等熵过程方程微分式： ρ ρ d d k p p = 气体压力p 、密度ρ和温度T 之间的等熵关系：1k k 12k 1212)()(-==T T p p ρρ 6．气体熵增计算式：)]()ln[(ln ln 2 11k k 121212p 12p p T T R p p R T T C s s -=-=- 7．热力学第一定律的能量方程式：w e u z g p q e u z g p ++++=++++22 2 222121111 2 2ρρ 可压缩理想流体绝热流动能量方程式： 02 2 22112 2i u i u i =+=+ 以温度和流速表述： 0p 2 2 2p 211p 2 2T C u T C u T C =+=+ 以温度和流速表述： 02 222111 2121T R k k u T R k k u T R k k -=+-=+-
第三章 流体流动的基本概念与方程 质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律等是物质运动的普遍原理，流体作为一类物质也应该遵循这些原理。这些原理刚体运动的方程式在物理学和理论力学中大家已经学习过，适用于流体运动的方程式将在本章讨论。本章首先介绍描述流体流动的一些基本概念，然后推导出流体流动的基本方程，即连续方程、动量方程、能量方程等。这些基本概念与方程在流体运动学中的研究中是十分重要的。 3.1 描述流体流动的方法 在流体力学的研究中，描述流体的运动一般有两种方法，即拉格朗日法与欧拉法。 3.1.1 拉格朗日法 拉格朗日法着眼于单个流体质点是怎样运动的，以及流体质点的特性是如何随时间变化的。为了区别流体质点，使用某特定质点在某瞬时的坐标(a, b, c)是比较方便的，坐标(a, b, c)描述的只是某一特定的质点。 在任何瞬时质点的位置可表示为 (3.1) 对于一给点的坐标(a, b, c)，上述方程组代表的是一特定流体质点的轨迹。 此时，质点是速度可以通过将质点是位置矢量对时间求导数得到。在笛卡尔坐标系中，质点的速度可表示为 (3.2) 加速度为
(3.3) 3.1.2欧拉法 流体是由无数流体质点组成的连续介质，充满流动流体的空间称为流场。 表示流体速度的一种方法就是着眼于空间的某一点，观察流经该点的流体质点随时间的运动。这种研究流体质点运动的方法称为欧拉法。在更一般的意义上，欧拉法可以通过以下方面描述整个流场： (1)在空间某一点流动参数，如速度、压强等，随时间的变化； (2)这些参数相对于空间邻近点的变化。 此时，流动参数是空间点的坐标与时间的函数： (3.4) 或 (3.4a) (3.5) 流体质点随时间将从一点运动到另一点，这意味着流体质点的位置也是时间的函数。 利用多元函数的微分连锁律，可将流体质点在x方向的加速度表示为： (3.6a) 同样 (3.6b) (3.6c) 或写成矢量的形式
精心整理 流体力学NS 方程简易推导过程 小菜鸟 0引言 流体力学的NS 方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显着，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS 方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。 1例会为0子，以至于，这设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。在层流边界层情况下，分子平均运动自由程与边界层之间存在近似关系：
从这个关系中，可以发现，当马赫数非常大但是同时雷诺数非常小的时候，流场微小尺度才可能达到分子平均运动自由程lmd的程度。可以想象一下，在大多数我们能观察到的情况下，上述公式的结果都是非常小的，满足连续介质假设，这个公式不成立的情况在大气层外边缘，此时大气分子之间平均动量交换降低，导致粘性变得非常小，雷诺数很高，因此公式计算结果急剧降低，导致连续介质假设失效。 前面讨论了连续介质建设成立的条件以及不成立的例子，下面讨论的都是连续介质假设范围内的结果。 2连续性方程：质量守恒定律的流体表达 （1 =0 v?或者 1 =- D v ρ ρ ?? （2 3 体积 +控制体体 其中根据引论1和引论2，可知方程左边具有两种偏导数表达形式， （1）微元体表达形式： 根据引论2，上式左边具有这两种偏导数表达形式（一种根据定义，一种引入质量守恒关系）：（2）张量表达形式： 根据引论2，上式左边具有两种偏导数表达形式（一种定义，一种引入质量守恒）： （3）补充说明1：粘性应力表达式 上述公式中，我们将表面力表达为表面压力+粘性力的形式，其中表面压力为法向力，粘性力由流体粘性引起，包括法向力和切向力，根据各项同性假设，粘性应力张量可以表达为：其中，\miu称为动力粘性系数。
流体力学N S方程推导过 程 It was last revised on January 2, 2021
流体力学N S方程简易推导过程 小菜鸟0 引言 流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显着，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。 1 基本假设 空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。 自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。 连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。 有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。在层流边界层情况下，分子平均运动自由程与边界层之间存在近似关系： 从这个关系中，可以发现，当马赫数非常大但是同时雷诺数非常小的时候，流场微小尺度才可能达到分子平均运动自由程lmd的程度。可以想象一下，在大多数我们能观察到的情况下，上述公式的结果都是非常小的，满足连续介质假设，这个公式不成立的情况在大气层外边缘，此时大气分子之间平均动量交换降低，导致粘性变得非常小，雷诺数很高，因此公式计算结果急剧降低，导致连续介质假设失效。