三次函数
一、课前准备： 【自主梳理】
1．形如 的函数，称为“三次函数”．
2．三次函数的导函数为 ，把2
412b ac ?=-叫做三次函数导函数的判别式．
3．单调性：一般地，当 时，三次函数)0(2
3
≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当 时，三次函数)0(23
≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间．
4．三次函数极值点个数：
当0?>时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点有 个． 当0?≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点． 5．最值问题：函数
若
，且
，则：min ()f x = ；max ()f x = ．
【自我检测】
1．函数3
2
y x ax bx c =+++，其中,,a b c 为实数,当2
30a b -<时,()f x 在R 上的单调性
为
2．函数3
23y x x =-的单调减区间为 ；单调增区间为 ； 3．函数3
13
y x x =
-在区间[-２,２]上的最大值与最小值分别为________． （说明：以上内容学生自主完成，原则上教师课堂不讲）
二、课堂活动： 【例1】填空题：
（1）方程x 3－6x 2+9x －10=0的实根个数为________．
（2）若函数2
3
3y a x x =-在(),1,(1,)-∞-+∞上是减函数，在(1,1)-上是增函数，则()f x 的极
小值、极大值分别是 ．
（3）函数33y x ax =+-在(),1,(1,)-∞-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围为______________． （4）函数32
32
a b y x x cx d =
+++在R 上为减函数的充要条件为 ．
【例2】已知函数3
2
()3,f x x ax x a R =+-∈
（1） 若f (x)在(,2]-∞-上递增，求a 的取值范围；
（2） 若'(1)0f =，关于x 的方程f (x)=k 恒有三个不相等的实根，求实数k 的取值范围。 ．
【例3】已知函数32
1()2
f x x x bx c =-
++ (1) 若函数()f x 的图像有与x 轴平行的切线，求b 的取值范围努
(2) 若()f x 在x ＝１处取得极值，且x ∈[-1,2]时，2
()f x c <恒成立．求c 的取值范围．
课堂小结
三、课后作业 1．函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是 ．
2．设是函数f(x)的导函数，
的图象如图所示，则y ＝f(x)的图象最有可能是 ．
3．曲线3
3y x =+在点(2,11)处的切线方程为____ ．
4．已知函数3
()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为M ，N ，则M-N= ． 5．已知函数3214
()333
f x x x x =
--+，直线:920l x y c ++=，若当[2,2]x ∈-时，函数()y f x =的图像恒在直线l 的下方，则c 的取值范围是 ．
6．已知函数3
2
2
()1f x x mx m x =+-+（m 为常数且0m >）有极大值9，则m 的值为 7．函数32
11()22132
f x ax ax ax a =
+-++的图象过四个象限的充要条件是 ． 8．已知函数32
()3,f x x ax x a R =+-∈在(-∞,-2]上单调递增，则a 的取值范围为
_．
9．定义在定义域D 内的函数y=f(x),若对任意的x 1,x 2∈D,都有12(()f x f x -<1,则称函数y=f(x)为“Storm 函数”。函数3
()([1,1],)f x x x a x a R =-+∈-∈是否为“Storm 函数”？
如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由。
10．已知函数3
2
1()2
f x x x bx c =-
++ (3) 若函数()f x 的图像有与x 轴平行的切线，求b 的取值范围
(4) 若()f x 在x ＝１处取得极值，且x ∈[-1,2]时，2
()f x c <恒成立．求c 的取值范围．
四、纠错分析
参考答案： 【自我检测】 1．增函数 2．
2222(,)(,),(,)-
-∞-
+∞ 3．23 2
3
- 例1： （1）1个 （2） -2，2 （3）[3,)-+∞ （4）00a b c ==??
2
40a b ac
例2：解(1)：方法一(极端原理)
2
'
2
2'()3233()333
()(,2]()2]a a f x x ax x f x f x =+-=+--
-∞-∴-∞-在上单调递增 在（，上恒大于等于零
① 当-
3a ≥-2，即a ≤6时,'
(2)f -≥0 ∴12-4a-3≥0,即a ≤94
② 当-3a ＜-2，即a ＞6时,'
()3
a f -≥0 233a --≥0无解.
综上: a ≤
9
4
点评：上述方法是利用了极端原理,即考察其极端值情况. 方法二(分离常数法)
2
323x ax +-≥0 ∴2ax ≥3-2
3x 即a ≤2332x x -=31
()2x x
-
x ≤-2, ∴-x ≥2, -
12≤1x ＜0 ∴31()2x x -≥31(2)22-=94
∴ a ≤9
4 点评：上述方法是利用了分离常数法,然后化归转化成恒成立问题，在利用分离常数法时注
意除去一个字母时要看是否为零，如果是负数要改变不等号的方向。
（2）方法一（转化成方程求根的个数）
'3
3
3
(1)032300
()33303f a a f x x x x x k x x k =∴+-=∴=∴=-∴-=--=即有个不等的实数根。
'2()333(1)(1)f x x x x =-=+- f(x)随x 变化如下表:
x (-∞,-1)
-1 (-1,1)
1 (1,+∞)
f ’
(x) + 0 - 0 + f(x) ↗
极大
↘
极小
↗
画出草图
令3
()()3g x f x k x x k =-=--
∴ g(-1)>0且g(1)<0 解得-2 点评：这里是将其转化成方程后求方程的实数根的个数，即看 函数图像与 x 轴的交点的个数。 方法二（数形结合法） f(x)=k 表示两个函数y=f(x)与g(x)=k 的交点个数 y=f(x)的图像的作法如引例，g(x)=k 的图像为平行 与x 轴的直线，在同一坐标系内作出图像（如图） 由数形结合可得： 当-2 当k=2或k=-2 时，有2个交点，即 方程有2个根。 例3：解：(1),3)(2 / b x x x f +-= 设切点P （),00y x ，则f(x)在P 点的切线的斜率,3)(02 00/b x x x f k +-== 由题意，03)(02 00/=+-=b x x x f 有解，Δ=1-12b≥0, ∴b≤12 1 (2)∵f(x)在x=1时取得极值, ∴x=1为方程03)(2 / =+-=b x x x f 的一个根，∴b=2- ∴由0232 =--x x 可得0)(/ =x f 的另一根为3 22- =x ， ∵当3 2- >x f ∴当x ∈[-1，2]时， f(x)在[1- ，32-]递增，（3 2 -，1）递减，[1，2]递增 ∴ f(x)在区间[-1，2]有极大值f(32-)=c +27 22 ，又f(2)= c +2 ∴x ∈[-1，2]时， f(x)有最大值 f(2)= c +2 ∵f(x)<2 c 恒成立，∴c +2<2 c 恒成立 ∴c<- 1或c>2 点评：第（1）题应用导数的几何意义 ，转化为二次方程有解的问题，从而利用Δ≥0求得 参数的取值范围。 第（2）题为恒成立问题，转化为求函数f(x) 在区间[-1，2]上的最大值。 课后作业 1．3,-17 2．(3) 3．12130x y --= 4．32 5．6c <- 6．2 7． 63(,)516-- 8．94 a ≤ 9．解：'2' ()31()0f x x f x =-=± 令 得x=3 列表如下： ∴ 当a +；当a ∴ 任取x 1,x 2∈[-1,1], |f (x 1)- f (x 2)| ≤|f (x)max - f (x)min |= 9 <1 ∴ y=f(x)为“Storm ”。 点评：上述方法体现了化归转化的思想，将这类问题转化为求函数的最值问题，这是学生熟练掌握的。 10．解：(1),3)(2 / b x x x f +-= 设切点P （),00y x ，则f(x)在P 点的切线的斜率,3)(02 00/b x x x f k +-== 由题意，03)(02 00/=+-=b x x x f 有解， Δ=1-12b≥0, ∴b≤ 12 1 (2)∵f(x)在x=1时取得极值, ∴x=1为方程03)(2 / =+-=b x x x f 的一个根，∴b=2- ∴由0232 =--x x 可得0)(/ =x f 的另一根为3 22- =x ， ∵当3 2- >x f ∴当x ∈[-1，2]时， f(x)在[1- ，32- ]递增，（3 2 -，1）递减，[1，2]递增 ∴ f(x)在区间[-1，2]有极大值f(32-)= c +27 22 ，又f(2)= c +2 ∴x ∈[-1，2]时， f(x)有最大值 f(2)= c +2 ∵f(x)<2 c 恒成立，∴c +2<2 c 恒成立 ∴c<- 1或c>2 点评：第（1）题应用导数的几何意义，转化为二次方程有解的问题，从而利用Δ≥0求得参数的取值范围。 第（2）题为恒成立问题，转化为求函数f(x) 在区间[-1，2]上的最大值。 编写说明： 1．编写形式原则上按此样张进行．其中第一课前准备，要力求把教材中的基本概念进行梳理，自主检测一定要围绕知识点配题，力求全面而简单． 2．课堂例题中的例1，原则上选一些“基础 中档”题，4题左右，以填空形式编写，要求教师在课堂上有一定分析或点评． 3．课堂例题中的解答题，原则上2题左右，仍以中档题为主，要用一些课本例题，原则上不直接用高考题，尤其不用难题． 4．作业原则上有8道左右的填空题，前容易后中等，再加2道左右解答题．作业的设计一定不能难，以巩固为目标． 5．附答案在第5页，填空只要结果，解答除过程外，可适当有一些点评． 6．页面要求：纸张为16开（19.69×27.31），页边距都用2.2．正文字体用5号宋体，字母用斜体。解答中式子间要有“，”或“．”（实心）．
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