第五章 二次型 基本内容及考点综述
一、基本概念 1、二次型
设P 是一个数域，一个系数在数域P 中的n x x x ,,,21 的二次齐次多项式
2
222222112112211121222),,,(n
nn n n n n n x a x x a x a x x a x x a x a x x x f 称为数域P 上的一个n 元二次型. 2.二次型的矩阵
如果数域P 上的n 元二次型),,,(21n x x x f 可表为矩阵形式.
AX X x x x f n ),,,(21
其中A x x x X a A A A n n n ij ).,,,(,)(,21 称为二次型),,,(21n x x x f 的矩阵，A 的秩也称为二次型f 的秩.
3.非退化线性替换
设n n y y y x x x ,,,;,,,2121 是两组文字，系数在数域P 中的一组关系式
11111221221122221122n n n n
n n n nn n
x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y
L L L L L L 称为由n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的一个线性替换，如果系数行列式
0ij c
那么以上线性替换称为非退化的.
4.矩阵合同
数域P 上n n 矩阵B A ,称为合同的，如果有数域P 上可逆的n n 矩阵C ，使
.AC C B
5.标准形
数域P 上的二次型),,(1n x x f 可以经过非退化线性替换化成
2
222211n n x d x d x d （1）
那么（1）就称为二次型),,(1n x x f 的一个标准形.
6.正惯性指数，负惯性指数，符号差
实二次型),,,(21n x x x f 的标准形中正的平方项的个数称为f 的正惯性指数，负的平方项的个数称为f 的负惯性指数.正惯性指数与负惯性指数的差称为符号差.
7.正定二次型
实二次型),,(1n x x f 称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数12,,,n c c c L 都有.0),,(1 n c c f
8.负定，半正定，半负定，不定
设),,(1n x x f 是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数n c c c ,,,21 ，如果都有
,0),,(1 n c c f 那么称f 负定，如果都有1(,,)0n f c c L ，那么称f 半正定；如果都有0),,(1 n x x f .那么称f 半负定；如果f 既不是半正定又不是半负定，那么称f 为不定.
二、基本结论
1.数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成标准形.换句话说，数域P 上的任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵.
2.任意一个复二次型AX X x x f n
),,(1 都可以经过一适当的非退化线性替换化成规范形2
2
22
1r y y y .且规范形是唯一的，换句话说，任一复对称矩阵A 合同于
).
(,000A R r E r
其中 3.任意一个实二次型AX X x x f n
),,(1 都可以经过一适当的非退化线性替换化成规范形2
2
12
2
1r p p y y y y .且规范形是唯一的，换句话说，任一实数域上的对称
矩阵A ，合同于
0P r P E E 其中p A R r ).( 是正惯性指数.
4.实二次型AX X x x f n ),,(1 正定 正惯性指数为 n 存在n 阶可逆矩阵P ，使
T T A E AP P （T 可逆）A 的顺序主子式全大于零A 的特征值全大于零
.正定A
5.A A A A 负定正定,半负定半正定
6.
实
二
次
型
AX
X x x f n ),,(1 半正定
使阶可逆矩阵存在负惯性指数为零,P n
)(,000A R r E AP P r
其中
A 的主子式都大于或等于零T T A
.半正定零的特征值都大于或等于A A
三、基本方法
1.将二次型的问题与对称矩阵的问题互相转化是经常采用的一种方法.
2.将二次型化成标准形，一般采用配方法或用初等变换的方法，而后者往往比较简单.
3.,A B 是实对称矩阵，且A 正定，则存在可逆矩阵P ，使BP P E AP P ,为对角矩阵，这一结论是非常有用的
试题精选
1.（华中师大，1996）求二次型
3231212
3222132161024),,(x x x x x x x x x x x x f 的正惯性指数与符号差.
.10
10110003000
110
0105110083000
110
010
511248083000
1100010
001248083051110
0010001135341511
3832331363136
E A 令
32138323
3211001011y y y x x x f y y y x x x f .3
1363),,(2
32
221321
的正惯性指数为2，符号差为1. 2.（华中师大，1997）当t 为何值时，二次型
3231212
32221321244552),,(x tx x x x x x x x x x x f 是正定的，并说明理由.
解 .5252222
t t A
2>0
.065
222
).1)(5(2 t t A
二次型A f 正定的顺序主子式全大于零.510)1)(5( t t t 3.（华东师大，2005）求实二次型
2121223111
(,,,)22()n
n i n n n i f x x x x x x x x x x x x L L 的正惯性指数、负惯性指
数、符号差以及秩.
解 .0)()()()(),,,(2
12123222121 x x x x x x x x x x x f n n n n
于是f 是半正定，负惯性指数为零.
此二次型的矩阵为.0),,(,2121 n n x x x f x x x A 时当那么f 不是正定的，于是.1)( n A R
21
001
1200000
2100012110012
A A 的前1 n 行，前1 n 列构成的1 n 阶子式等于n ，那么1)( n A R ，所以
f n A R ,1)( 的正惯性指数为.1,1 n n 符号差为
4.（厦门大学，1999）.,*
也是正定矩阵证明为正定矩阵A A
证明 A 为正定矩阵，那么..0P P A A 其中P 可逆，由那么,*
E A AA
.1* A A A
于是..)()
(*111
*
正定所以A P P A P P A A
5.（南京大学，1997）k 是实数， 为实数域上的n 维行向量，.01 k 证明， k E 为实正定矩阵.
证明 k E k E k E 那么,)(是实对称矩阵..1)( k R 当()0,00,.R k k 则或结论成立
当.1)( k R 则零是n 阶实对称矩阵 k 的1 n 重特征值.令
2121
(,,,),().().n
n i j n n i i a a a k ka a Tr k k a k L 则那么 k 是
k
的唯一非零特征值.于是， k E 的n 个特征值为.1,1,,1 k 而10,k E k 所以为实正定矩阵.
6.（南京大学，1998）B 为n 阶可逆实反对称矩阵，证明： （1）0 B （2）().,()0E B b b
证明对任意实数
（3）A 为n 阶实正定矩阵，则.0 B A 证明
（1）首先证明n 为偶数，n B B B B B B n
n
.1)1(,0,)1(, 于是那么为偶数，不妨令.2t n 由B 是可逆实反对称矩阵，则B 的特征值只能是纯虚数，而)( 是实系数多项式，所以虚根是成对的，令为.,,1.0,,,,,21t j b R b i b i b i b j j t 其中那么存在可逆矩阵P .使
11212*
0t t b i
b i b i P BP b i
b i b i
L .0,022
221 B b b b B t 于是
（2）.0)1()0( B B n
显然，对任意实数,0)(, c c 假定存在实数c ，使
n c 的是而 )(.0)( 次多项式，)( 是连续函数，那么存在,0)(, a R a 使矛盾.
所以对任意的实数.0)(, b b
（3）A 正定，那么存在可逆矩阵.P 使
E AP P
BP P BP P E P B A P ,)(仍是可逆实反对称矩阵，由（1），存在可逆矩阵Q ，使
111*()0t t c i c i Q P BP Q c i c i
L
其中.,,1,0.t j c R c j j
那么 Q BP P Q Q AP P Q PQ B A P Q )()()(1
1
1
1111*011t t c i
c i c i c i
L 于是，.0)1()1)(1(2
2
22
12
t c c c B A P 所以.0 B A
7.（上海交大，2003）,A B 是n 阶正定矩阵，证明AB 的特征值为实数. 证明 n B A 是,阶正定矩阵，那么存在n 阶可逆矩阵,,Q P 使
.P P A .Q Q B
于是， P Q Q P P P P AB P 1
1
)()()( P Q Q P .C C
其中,C QP C 是可逆矩阵.AB 与C C 有相同的特征值，而C C 的特征值全为实数，所以
AB 的特征值为实数.
8.（华中科大，2001）A 为n 阶非零半正定矩阵，证明1 E A
证明 n A 为阶半正定矩阵，则A 的特征值都大于等于零，于是存在可逆矩阵T ，使
n AT T 211 其中0,0,0,1,,,,i i A i n L 而则中至少有一个大于于是
T E A T E A )(1 .1)1()1)(1(1
1
1
2121
n n
9.(华中科大,2002) n A 为阶半正定矩阵,证明.22n E A
证明 n A 为阶半正定矩阵,A 的特征值都大于等于零,于是存在n 阶可逆矩阵T .使
n AT T 211 其中.,,2,1,0n i i 于是,
T E A T E A )2(21
2
2
2
21
n
.2)2()2)(2(21n
n
10.（武汉大学，2001）B A ,为正定矩阵，请证明AB 正定的充分必要条件为.BA AB 证明 必要性
AB 是正定矩阵，则AB 是实对称矩阵，..)(BA AB BA A B AB 于是
充分性.
AB AB AB A B BA 于是,)( 是实对称矩阵，由A 正定，那么存在可逆矩阵使.P
.E AP P
那么
11(),P AB P P AP P BP P BP B -1，由正定则P BP 的特征值全大于零，即
()P AB P 的特征值全大于零，那么()P AB P 正定，所以AB 正定
11.(武汉大学,2001)n m B m A 为阶正定矩阵为,阶实矩阵,请证明,AB B T
为正定的充要条件是B 的秩为.n 证明 必要性
,,,T A B AB m n B n 分别为阶阶正定矩阵,假定的秩小于则齐次线性方程组0
BY 有非零解.不妨令为,0,0,000 BY Y Y 而考虑n 元二次型
.0)()()(),,,(000021 BY A BY Y AB B Y y y y g T T T n 与AB B T 为n 阶正定矩阵矛盾.所
以B 的秩等于n .
充分性.
对任意n 维非零列向量.0Y
000)()(Y AB B Y Y g T T
)()(00BY A BY T
由
000(),0,0..
R B n Y X BY A 则由正定那么
0()0,g Y g 于是正定,所以正定AB B T .
12.(武汉大学,2002)
C XA AX B n C A 是矩阵方程阶实正定矩阵为,,
:,证明的唯一解
(1)B 是对称矩阵. (2)B 是正定矩阵. 证明
(1)..,.
,C B A A B C C A A C B A A B C BA AB 那么由于是而矩阵方程..B B C XA AX 那么的解唯一
于是B 是对称矩阵. (2) 由A 为n 阶正定矩阵,那么存在可逆矩阵,P 使
.E AP P
于是,.)()(CP P P BA P P AB P
CP P AP P P B P BP P AP P 11)(
CP P P B P BP P 11)( (1)
令,)
(,1
1
H P B P H BP P 则于是(1)可表为
CP P H H
令 是H 的属于特征值0 的特征向量，即0,0.H 于是
.H H P CP
而于是是正定矩阵又.0,, P C H H
.02 H
所以0020,0,0,0,.B B 而因此的特征值都大于所以是正定矩阵
13.(浙江大学,2003)设n n ij a A )(是可逆的对称实矩阵,证明:二次型
nm
n n
n n n a a x a a x x x x x x f
1
1111
1210
),,,( 的矩阵是A 的伴随矩阵*A .
证明 令).,,,(21n x x x X 考虑以下的分块矩阵
.000011
A X A X A X X A X A X X 于是，
111*1200
(,,,)().0
n X X A X
f x x x A X A X X A A X X A X X
A A
L 由A 是对称矩阵，那么.)()(*
11*A A A A A A 所以二次型),,,(21n x x x f 的矩阵
是*A .
14.（清华大学，2000）设n 级实方阵A 如下，试求b 的取值范围，使A 为正定方阵.
b b b b A
1
13113
1133338
解 考虑A 的k 阶顺序主子式k D .,,2,1n k
b
b
b b b
b b b D k
11
301130113033380111311
13
113
113
3338
1
000
00
100000100000
101
113
17
1
00
010100
1001010001311131 b b b b b k b b b b b
1
)
1)(7( k b k b .
（1） k 为奇数，7,1,0,k k b k D 则A 正定. （2） k 为偶数，1,0,k b D 则A 正定.
15.(厦门大学,1998)证明: 实二次型AX X X f )(在向量X 的模1 X 时的最大值即为实对称矩阵A 的最大特征值.
证明 A 是实对称矩阵,那么存在正交矩阵Q .使
.211
n AQ Q AQ Q 其
中
12.
n L 对二次型
)
(X f 作正交线性替换
,1, 1.X QY X X X 且令即那么
.)(2
22
2211n n n Y Y y y y QY Q Y AQY Q Y X X AX X AX X X f
令).1,0,,0('
0 Y 那么存在,00QY X 使
n n
n n y y X f
220)(.
于是结论成立.
16.(厦门大学,2000)设A 是n 阶实对称正定阵,求证:存在唯一的实对称正交阵B ,使得
2B A .
证明 存在性
A 是实对称正定阵,那么存在正交矩阵Q ,使
.21
n AQ Q 其中.,,1,0n i i 于是
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
1．已知向量：112[5,1,3,2,4],34[3,7,17,2,8],T T ααα=--=-- 求1223αα+ 解: ∵ 21{[3,7,17,2,8][15,3,9,6,12]}4T T α=----- 1[12,4,8,8,4][3,1,2,2,1]4 T T =-----=- ∴ 1223[10,2,6,4,8][9,3,6,6,3][19,1,0,10,11]T T T αα+=-+-= 2.设 12[2,5,1,3],[10,1,5,10],T T αα== 3123[4,1,1,1],3()2()5()0T ααααααα=--++-+=并且 求 α 解: ∵ 1236325αααα=+- [6,15,3,9][20,2,10,20][20,5,5,5][6,12,18,24], T T T T =+--= ∴ [1,2,3,4].T α= 3.判断下列命题是否正确，为什么？ (1)如果当 120m k k k ====L 时， 11220m m k k k ααα+++=L 成立， 则向量组12,,m αααK 线性相关 解：不正确.如：[][]121,2,3,4T T αα==，虽然 12000,αα+=但12,αα线性无关。 (2) 如果存在m 个不全为零的数12,,,,m k k k L 使 11220,m m k k k ααα+++≠L 则向量组12,,,m αααL 线性无关。 解： 不正确. 如[][]11121,2,2,4,1,2,T T k αα====存在k 使 121220,,.αααα+≠但显然线性相关 (3) 如果向量组12,,,m αααL 线性无关,则其中任何一个向量都 不能由其余向量线性表出. 解： 正确。（反证）如果组中有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组 12,,,m αααL 线性相关，与题没矛盾。 (4) 如果向量组123,,ααα线性相关，则3α一定可由12,αα线性表示。 解：不正确。例如：[][][]1230,0,0,0,1,0,0,0,1,T T T ααα===向量组123,,ααα线性相关，但3α不能由12,αα线性表示。 (5) 如果向量β可由向量123,,ααα线性表示，即： 112233,k k k βααα=++则表示系数 123,,k k k 不全为零。 解：不正确。例如：[][][]120,0,0,1,0,0,0,1,0,T T T βαα=== []31230,0,1,000T αβααα==++，表示系数全为0。 (6) 若向量12,αα线性相关，12,ββ线性无关，则1212,,,ααββ线性相关.
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
第六章 二次型 1．设方阵1A 与1B 合同，2A 与2B 合同，证明1 2A ?? ?? ?A 与12?? ?? ? B B 合同. 证：因为1A 与1B 合同，所以存在可逆矩1C ，使T 1111=B C A C ， 因为2A 与2B 合同，所以存在可逆矩2C ，使T 2222=B C A C . 令 1 2?? = ??? C C C ，则C 可逆，于是有 T T 1111111 T 2222222??????????== ? ? ? ?????????????B C A C C AC B C A C C A C 1T 2?? = ??? A C C A 即 12A ?? ?? ?A 与12?? ???B B 合同. 2．设A 对称，B 与A 合同，则B 对称 证：由A 对称，故T =A A . 因B 与A 合同，所以存在可逆矩阵C ，使T =B C AC ，于是 T T T T T T ()====B C AC C A C C AC B 即B 为对称矩阵. 3．设A 是n 阶正定矩阵，B 为n 阶实对称矩阵，证明：存在n 阶可逆矩阵P ，使BP P AP P T T 与均为对角阵. 证：因为A 是正定矩阵，所以存在可逆矩阵M ，使 E AM M =T 记T 1=B M BM ，则显然1B 是实对称矩阵，于是存在正交矩阵Q ，使 T 11diag(, ,)n D μμ==Q B Q T 11, ,. n μμ=B M BM 其中为的特征值 令P=MQ ，则有 D BP P E AP P ==T T , ,A B 同时合同对角阵. 4．设二次型2111 ()m i in n i f a x a x ==+ +∑，令()ij m n a ?=A ，则二次型f 的 秩等于()r A . 证：方法一 将二次型f 写成如下形式：
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
第三章 行列式及其应用 §3-1 行列式的定义 一、填空题。 1、行列式a b c d =__ad bc -___;112 2 13141 ---=____-24____. 2、行列式 1 111 1 21 21 2 00 000 a a a a b b c c d d =______0_____. 3、已知行列式1111111 1 11111111 D -= -----,则32M =___4__;32A =___-4__. 4、已知排列2145697m n 为奇排列，则m =__8_;n =__3_. 5、4阶行列式中含1331a a 且符号为负的项是____ 13223144a a a a -____. 二、选择题。 1、方程01 1 0001x x x =的实根为__C___. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 2、若n 阶行列式中零元素的个数大于2n n -，则此行列式的值为__A__. （A ）0; （B ）1; （C ）-1; （D ）2. 3、排列396721584的逆序数为__C__. （A ）18; （B ）19; （C ）20; （D ）21 4、n 阶行列式001 020 00 D n = 的值为__D ___. （A ）!n ; （B ）!n -; （C ）(1)!n n -; （D ）(1)2 (1) !n n n --.
5、行列式312111321111x x x x x --中4 x 的系数为__A____. (A ）-1; （B ）1; （C ）2; （D ）3. 三、计算下列行列式 1、12 1 10001- 解：33 312 121 10(1)(1)1 11 001 r +--=-按展开 2、 1010120012301234 解：444321010 101 1200 4(1)120 1230 123 1234101 412024 003 r r +--=按c 展开 3、 11321011 23011 002 -- 解：
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
线性代数部分 第一章 行列式 一、单项选择题 1．=0 001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 2. =0 001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 3．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 4． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 5. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 6．设行列式 n a a a a =22 2112 11 ， m a a a a =21 2311 13 ，则行列式 23 2221131211--a a a a a a 等于（） A. m n - B.)(-n m + C. n m + D.n m - 二、填空题 1. 行列式=0 100111010100111.
2．行列式010...0002... 0......... 00 0 (10) 0 0 n n = -. 3．如果M a a a a a a a a a D ==333231 232221 131211 ，则=---=32 32 3331 2222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D . 4．行列式= --+---+---1 1 1 1 111111111111x x x x . 5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为 . 6．齐次线性方程组??? ??=+-=+=++0 0202321 2 1321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 7．若齐次线性方程组?? ? ? ?=+--=+=++0 230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =. 三、计算题 2．y x y x x y x y y x y x +++； 3．解方程 00 11 01110111 0=x x x x ； 6. 111...1311...1112... 1 ... ...... 1 1 1 ...(1)b b n b ----
第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2
7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题
第五章 相似矩阵及二次型 一、判断题 1.线性无关的向量组必是正交向量组.( ) 2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( ) 4.若n 阶矩阵A 与B 相似,则A 与B 不一定等价.( ) 5.若n 阶矩阵A 有n 不同的特征值，则A 相似于对角矩阵.( ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( ) 8.若n 阶矩阵A 和B 相似，则它们一定有相同的特征值.( ) 9．n 阶实对称矩阵A 的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( ) 10. 若A 是正定矩阵，则A 的特征值全为正.( ) 二、单项选择题 1. 设,则001010100A ?????=????? A 的特征值是( ). (A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2 2. 若12,x x 分别是方阵A 的两个不同的特征值对应的特征向量,则也是1122k x k x +A 的特征向量的充分条件是( ). (A) (B) (C) 120k k ==且00120k k ≠≠且120k k = (D) 1200k k ≠=且 3. 若n 阶方阵,A B 的特征值相同,则( ). (A) A B = (B) ||||A B = (C) A 与B 相似 (D) A 与B 合同 4. 设A 为n 阶可逆矩阵, λ是A 的特征值,则的特征根之一是( ). *A (A) (B) (C) 1||n A λ?1|A λ?|||A λ (D) ||n A λ5. 矩阵A 的属于不同特征值的特征向量（ ）. (A)线性相关 (B)线性无关 (C)两两相交 (D)其和仍是特征向量 6. ||||A B =是阶矩阵n A 与B 相似的( ). (A)充要条件 (B)充分而非必要条件
习题三 （A ） 1. 用矩阵的初等变换把下列矩阵A 化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵及标准形矩阵： (1) 112332141022-?? ?= ? ???（2）111113 1320461135-?? ?- ?= ? ???（3）2451212211 1212136363--? ? ? -- ?= ? -- ?---?? 2.设A 123012425? ? ?=- ? ???，010(1,2)100001? ? ?= ? ???E ，100(3,2(5))010051?? ? = ? ??? E . 试求(1,2)E A ；(1,2)AE ；(3,2(5))E A . 3.用初等变换求下列方阵的逆矩阵： (1) A 101110012?? ?=- ? ??? （2）A 211124347--?? ?=- ? ?-??（3）A 1111022200330004?? ? ?= ? ??? 4.用初等变换解下列矩阵方程： (1) 设A 101110120? ? ? = ? ???，102102-?? ?= ? ??? B ，且AX =B ，求X . （2）设A 220213010? ? ?= ? ??? ，且+AX =A X ，求X . 5.设矩阵A 122324111222-?? ?=-- ? ?-?? ，计算A 的全部三阶子式，并求()R A . 6.在秩为r 的矩阵中，有没有等于0的1r -阶子式？有没有等于0的r 阶子式？请举例说明. 7.从矩阵A 中划掉一行得到矩阵B ，问A ，B 的秩的大小关系怎样? 请举例说明. 8.求下列矩阵A 的秩： (1) 310211311344?? ? =-- ? ?--??（2 ）1121224230610304-?? ?- ?= ?- ?-??（3）1221 12480 22423336064--? ? ? - ?= ?-- ?--?? (4) 112205123λλλ-?? ?= ? ?-?? (5) 111 111λ λλ?? ? = ? ???
思考题5-1 1. 1123123100,000=?+?+?=?+?+?a a a a 0a a a . 2.不一定。例如，对于123101,,012?????? ===???????????? a a a ，它们中的任两个都线性无关，但 是123,,a a a 是线性相关的。 3. 不一定。也可能是2a 能由13,a a 线性表示，还可能是3a 能由12,a a 线性表示。 4. 不一定。例如，对于12121100,;,0012-???????? ====???????????????? a a b b 。12,a a 和12,b b 这两个 向量组都线性相关，但1122,++a b a b 却是线性无关的。 5. 向量组121,,,,n n +a a a a 线性无关。根据定理5-4用反证法可以证明这一结论。 习题5-1 1.提示：用行列式做。 （1）线性无关。 （2）线性相关。. 2. 0k ≠且1k ≠。 3.证：1212,,,1,,,,n n ==∴e e e E e e e 线性无关。 设[]12,,,,T n b b b =b 则1122.n n b b b =+++b e e e 4. 证法1：因为A 可逆，所以方程组=Ax b 有解。根据定理5-1，向量b 能由A 的列向量组12,,,n a a a 线性表示，所以向量组12,,,,n a a a b 线性相关. 证法2：通过秩或根据m n >时m 个n 元向量一定线性相关也可马上证明。 5. .证： （1）因为A 的列向量组线性相关，所以齐次线性方程组=Ax 0有非零解，设≠u 0是它的非零解，则.=Au 0 由=B PA ，得.=Bu 0可见=Bx 0有非零解，所以B 的列向量组线性相关。 （2）若P 可逆，则1-=A P B 。由（1）的结论可知，B 的列向量组线性相关时，A 的列向量组也线性相关，所以A 和B 的列向量组具有相同的线性相关性。 注：该题也可根据性质5-6和性质5-3来证明。 6. 证：由A 可逆知，A 的列向量组线性无关。根据定理5-6，增加两行后得到的矩阵B 的列向量组也线性无关.
第三章 课后习题及解答 将1，2题中的向量α表示成4321,,,αααα的线性组合： 1．()()()()().1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,,1,1,11,,1,12,1T 4T 3T 21T --=--=--===αααααT 2．()()()()().1,1,1,0,0,0,1,1,1,3,1,2,1,0,1,1,1,0,0,04321--=====ααααα 解：设存在4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 14321=+++k k k k 24321=--+k k k k 14321=-+-k k k k 14321=+--k k k k 解得.41 ,41,41,454321-=-=== k k k k 所以43214 1 414145ααααα--+= . 设存在 4321,,,k k k k 使得44332211αααααk k k k +++=，整理得 02321=++k k k ，04321=+++k k k k ， 0342=-k k ，1421=-+k k k . 解得 .0,1,0,14321=-===k k k k 所以31ααα-=.
判断3，4题中的向量组的线性相关性： 3. ()()().6,3,1,5,2,0,1,1,1T 3T 2T 1===ααα 4. ()().3,0,7,142,1,3,0,)4,2,1,1(T 3T 2T 1==-=βββ， 解： 3.设存在 321,,k k k 使得0332211=++αααk k k ，即 ??? ??=++=++=+0650320321 32131k k k k k k k k ，由0651321101=，解得321,,k k k 不全为零， 故321,,ααα线性相关. 4.设存在 321,,k k k 使得0332211=++βββk k k ，即 ?????? ?=++=++=+-=+0 142407203033213212 131k k k k k k k k k k 可解得321,,k k k 不全为零，故321,,βββ线性相关. 5.论述单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关和线性无关的条件. 解：设存在k 使得0=αk ，若0≠α，要使0=αk ，当且仅当0=k ，故，单个向量线性 无关的充要条件是0≠α；相反，单个向量）（n a a a ,,,21 =α线性相关的充要条件是 0=α. 6.证明：如果向量组线性无关，则向量组的任一部分组都线性无关. 证：设向量组n n αααα,,,,121- 线性无关，利用反证法，
线性代数练习纸 [ 第五章 ] 相似矩阵及二次型 5-1 向量的内积与方阵的特征值 A 1．设 为矩阵 A 的特征值，且 0 ，则 为 的特征值。 a. 1 A; b.A * ; c. A; d.A 1 ; 2．设 A 为 n 阶实对称阵， x 1, x 2 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 。 a. x 1T x 2 1 b. x 1 与 x 2 线性相关； c. x 1 与 x 2 线性无关； d. x 1 x 2 0 3．设 1 , 2 都为 n 阶矩阵 A 的特征值 ( 1 2 ) ，且 x 1 , x 2 分别为对应于 1 , 2 的特征向量， 则当 满足时， x k x k x 2 必为 A 的特征向量。 1 1 2 a. k 1 0 且 k 2 0 ； b. k 1 0 且 k 2 0 ； c. k 1 0 且 k 2 0 ； d. k 1 k 2 0 4．设 n 阶方阵 A 的特征值全不为零，则 。 a. r ( A) n; b. r ( A) n; c.r ( A) n; d.r ( A) n 2 1 1 5. 设矩阵 A 0 2 0 , 求 A 的特征值及特征向量 . 4 1 3
班级：姓名：序号： 111 6．试用施密特法把向量组( a1, a2 011 , a3 ) 正交化。 11 110 7．设A与B都为n阶正交阵，证明：AB 也是正交阵。 8．证明：正交阵的行列式必定等于 1 或— 1。 9．设x为n维列向量且x T x 1 ，而 H E 2 xx T，试证 H 是对称的正交矩阵。
第三章 习题与答案 习题 A 1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1 ,3)T T T =--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223?????? ? ? ? ? ? ?+-=+- ? ? ?-- ? ? ?-??????ααα1251613109491512561037???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-= ? ? ? ?--- ? ? ? ?--???????? . 2.从以下方程中求向量α 1233()2()5()-++=+αααααα， 其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1 ,1,1).T T T ===-ααα 解 由方程得1233322550-++--=αααααα， 1232104651112 632532515118310124???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-=+-= ? ? ? ?- ? ? ? ?????????αααα 故12 34?? ? ?= ? ??? α,即(1,2,3,4)T =α. 3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关. 证 设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有 12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠ 而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关. 5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证 显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性
第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化答案 1.求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) 2331-?? ?-?? (2) 311201112-?? ? ? ?-?? (3) 200111113?? ? ? ?-?? (4) 1234012300120001?? ? ? ? ??? (5) 452221111-?? ?-- ? ?--?? (6) 220212020-?? ?-- ? ?-?? 【解析】(1) 令2331A -??= ?-?? ,则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为123322λλ+= =。 当132 λ+=时，由1()0I A x λ-=，即 得其基础解系为(16,1T x =-，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应 于132 λ=的全部特征向量。 当2λ=时，由2()0I A x λ-=，即 得其基础解系为(26,1T x =，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于2λ=的全部特征向量。 (2) 令3112 01112A -?? ?= ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为121,2λλ==(二重特征值)。 当11λ=时，由1()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()10,1,1T x =，因此，11k x (1k 为非零任意常数)是A 的对应于11λ=的全部
特征向量。 当22λ=时，由2()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()21,1,0T x =，因此，22k x (2k 为非零任意常数)是A 的对应于22λ=的全部特征向量。 (3) 令200111113A ?? ?= ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为2λ=(三重特征值)。 当2λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()()121,1,0,0,1,1T T x x ==，因此，A 的对应于2λ=的全部特征向量为1122k x k x +(其中12,k k 为不全为零的任意常数)。 (4) 令1234012300120001A ?? ? ?= ? ??? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为1λ=(四重特征值)。 当1λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()1,0,0,0T x =，因此，kx (k 为非零任意常数)是A 的对应于1λ=的全部特征向量。 (5) 令45222 1111A -?? ?=-- ? ?--?? ，则矩阵A 的特征方程为 故A 的特征值为1λ=(三重特征值)。 当1λ=时，由()0I A x λ-=，即 得其基础解系为()1,1,1T x =-，因此，kx (k 为非零任意常数)是A 的对应于1λ=的全部特征向量。 (6) 令2202 12020A -?? ?=-- ? ?-?? ，则矩阵A 的特征方程为 按沙路法（课本P2），得 故A 的特征值为1231,4,2λλλ===-。
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 一、填空题 1、 设???? ?? ? ??=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A 2 1 2221 212111，其中),,2,1(,0,0n i b a i i =≠≠，则=)(A R ____ 2、 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且=)(A R n －1，则线性方程组AX ＝0 的通解为________ 3、 设四阶方阵的秩为2，其伴随矩阵的秩为_______ 4、 设?????? ? ??=---112 11 22 221 21n n n n n n a a a a a a a a a A ，??????? ??=n x x x X 21，???? ??? ??=111 B ，其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠，则线性方程组B AX =的解是________ 5、 已知????? ? ?=10 0210 002 P ，??? ? ? ? ?=20 0020 001A ，则=-1001)(AP P ________ 6、 设A ，B 均为n 阶矩阵AB ＝0，且A +B=E,则=+)()(B R A R _________ 7、 设矩阵n m A ?的秩为r ，P 为m 阶可逆矩阵，则)(PA R ＝________ 8、 矩阵??? ?? ??--34031302 1201 的行最简形矩阵为___________ 9、 矩阵??? ? ? ? ?----17 4 03430 1320的行最简形矩阵为__________ 10、 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R 从矩阵A 中增加一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R
习题 三 （A 类） 1. 设α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3. 解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2) 2. 设3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α3＝(4，1，-1，1).求α. 解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α) 整理得：α=1 6(3α1+2α2-5α3),即α=16 (6,12,18,24) =(1,2,3,4) 3.（1）× （2）× （3）√ （4）× （5）× 4. 判别下列向量组的线性相关性. （1）α1=(2,5), α2=(-1,3); (2) α1=(1,2), α2=(2,3), α3=(4,3); (3) α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2); (4) α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1). 解：（1）线性无关；（2）线性相关；（3）线性无关；（4）线性相关. 5. 设α１,α２,α3线性无关，证明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也线性无关. 证明：设 112123123()()0,k k k αααααα+++++= 即 123123233()()0.k k k k k k ααα+++++= 由123,,ααα线性无关，有 123233 0,0,0.k k k k k k ++=?? +=??=? 所以1230, k k k ===即 112123,,αααααα+++线性无关. 6.问a 为何值时，向量组 '''123(1,2,3),(3,1,2),(2,3,)a ααα==-= 线性相关，并将3α用12,αα线性表示. 解： 1 3 2 2137(5),32A a a =-=-当a =5时， 312111.77ααα= +