专题10 圆锥曲线
易错点1 混淆“轨迹”与“轨迹方程”
如图,已知点0(1
)F ,,直线:1l x =-,P 为平面上的动点,过P 作直线l 的垂线,垂足为点Q ,且QP QF FP FQ ?=?,求动点P 的轨迹.
【错解】设点P (x ,y ),则Q (-1,y ),
由QP QF FP FQ ?=?,得(x +1,0)·(2,-y )=(x -1,y )·(-2,y ),化简得y 2=4x .
【错因分析】错解中求得的是动点的轨迹方程,而不是轨迹,混淆了“轨迹”与“轨迹方程”的区别. 【试题解析】设点P (x ,y ),则Q (-1,y ),
由QP QF FP FQ ?=?,得(x +1,0)·(2,-y )=(x -1,y )·(-2,y ),化简得y 2=4x . 故动点P 的轨迹为焦点坐标为(1,0)的抛物线.
【参考答案】动点P 的轨迹为焦点坐标为(1,0)的抛物线.
1.求轨迹方程时,若题设条件中无坐标系,则需要先建立坐标系,建系时,尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴,或利用图形的对称性选轴,或使尽可能多的点落在轴上.求轨迹方程的方法有:
(1)直接法:直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.
(2)定义法:求轨迹方程时,若动点与定点、定直线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可直接根据定义先确定轨迹类型,再写出其方程.
(3)相关点法:动点所满足的条件不易得出或转化为等式,但形成轨迹的动点,()P x y 却随另一动点
(),Q x y ''的运动而有规律地运动,而且动点Q 的轨迹方程为给定的或容易求得的,则可先将x ',y '表
示成关于x ,y 的式子,再代入Q 的轨迹方程整理化简即得动点P 的轨迹方程.
(4)参数法:若动点,()P x y 坐标之间的关系不易直接找到,且无法判断动点,()P x y 的轨迹,也没有明显的相关动点可用,但较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动受到另一个变量的制约,即动点
,()P x y 中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化,我们可称这个变量为参数,建立轨迹的参数方程,这
种求轨迹方程的方法叫做参数法.
2.求轨迹方程与求轨迹是有区别的,若是求轨迹,则不仅要求出方程,而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形,即说出图形的形状、位置等.
1.已知定点(1,0)A -及直线:2l x =-,动点P 到直线l 的距离为d ,若||2
PA d =
. (1)求动点P 的轨迹C 方程;
(2)设,M N 是C 上位于x 轴上方的两点,B 坐标为(1,0),且AM BN ∥,MN 的延长线与x 轴交于点
(3,0)D ,求直线AM 的方程.
【答案】(1)2212x y +=;(2)(1)2
y x =+.
【解析】(1)设(,)P x y ,则由(1,0)A -,知||PA = 又:2l x =-,∴|2|d x =+,
2
=
, ∴22
21
(1)(2)2
x y x ++=
+, ∴2
2
22x y +=,
∴点P 的轨迹方程为2
212
x y +=.
(2)设1122(,),(,)M x y N x y ()120,0y y >>,
∵(1,0)(1,0),(3,0)A B D -,, ∴B 为AD 中点, ∵//AM BN ,
∴1212,322x x y y +==, ∴1223x x =-,
又221112x y +=,∴()2
22223412
x y -+=, 又2
2
2212
x y +=,∴2151,42x x ==-,
∵0y >
,∴14
y =
1112AM y k x ==+, ∴直线AM
的方程为1)2
y x =
+. 【名师点睛】本题考查椭圆的轨迹方程,直线与椭圆的位置关系,求轨迹方程用的是直接法,另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等.
易错点2 求轨迹方程时忽略变量的取值范围
已知曲线C :y
=x 2-2x +2和直线l :y =kx (k ≠0),若C 与l 有两个交点A 和B ,求线段AB 中点的
轨迹方程.
【错解】依题意,由???
y =x 2-2x +2,
y =kx ,
分别消去x 、y 得,(k 2-1)x 2+2x -2=0,① (k 2-1)y 2+2ky -2k 2=0.②
设AB 的中点为P (x ,y ),则在①②中分别有122
12212121x x x k y y k y k +?==??-?+?==?-?
,
故线段AB 中点的轨迹方程为22
0x y x --=.
【错因分析】消元过程中,由于两边平方,扩大了变量y 的允许范围,故应对x ,y 加以限制.
【试题解析】依题意,由???
y =x 2-2x +2
y =kx
,
分别消去x 、y 得,(k 2-1)x 2+2x -2=0,① (k 2-1)y 2+2ky -2k 2=0.②
设AB 的中点为P (x ,y ),则在①②中分别有?????
x =x 1
+x 2
2=11-k 2
, ③
y =y 1
+y 2
2=k
1-k 2
, ④
又对②应满足2222
12
22122
10
44(2)(1)0201201k k k k k y y k k y y k ??-≠?=-?-?->???+=>-?
??=>-?
,解得2
2 结合③④,则有x >2,y > 2. 所以所求轨迹方程是x 2-y 2-x =0(x >2,y >2). 【参考答案】轨迹方程是x 2-y 2-x =0(x >2,y >2). 1.一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 2.要注意有的轨迹问题包含一定的隐含条件,由曲线和方程的概念可知,在求曲线时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性”,即轨迹若是曲线的一部分,应对方程注明x 的取值范围,或同时注明x ,y 的取值范 围. 2.已知圆221:(3)1C x y ++=和圆22 2:(3)9C x y -+=,动圆M 同时与圆1C 及圆2C 相外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为 A .2 2 18 y x -= B .2 2 1(1)8 y x x -=≤- C . 2 2 18 x y D .2 2 1(1)8 y x x -=≥ 【答案】B 【解析】设动圆的圆心M 的坐标为(,)x y ,半径为r , 则由题意可得121,3MC r MC r =+=+, 相减可得21122MC MC C C -=<,所以点M 的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支, 由题意可得22,3a c == ,所以b =, 故点M 的轨迹方程为2 2 1(1)8 y x x -=≤-,故选B. 【名师点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,以及双曲线的定义、性质和标准方程的应用,其中解答中根据圆与圆的位置关系,利用双曲线的定义得到动点的轨迹是以12,C C 为焦点的双曲线的左支是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与计算能力,属于基础题. 易错点3 忽略椭圆定义中的限制条件 若方程22 186 x y k k +=--表示椭圆,则实数k 的取值范围为________________. 【错解】由80 60k k ->??->? ,可得68k <<,所以实数k 的取值范围为(6,8). 【错因分析】忽略了椭圆标准方程中a >b >0这一限制条件,当a =b >0时表示的是圆的方程. 【试题解析】由806086k k k k ->?? ->??-≠-? ,可得68k <<且7k ≠,所以实数k 的取值范围为(6,7)∪(7,8). 【方法点睛】准确理解椭圆的定义,明确椭圆定义中的限制条件,才能减少解题过程中的失误,从而保证解题的正确性. 【参考答案】(6,7)∪(7,8). 平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数(大于两定点之间的距离)的点P 的轨迹是椭圆. 这两个定点叫做椭圆的焦点,两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距,记作122F F c =. 定义式:12122(2) PF PF a a F F +=>. 要注意,该常数必须大于两定点之间的距离,才能构成椭圆. 3.已知F 1,F 2为两定点,|F 1F 2|=8,动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=8,则动点M 的轨迹是 A .椭圆 B .直线 C .圆 D .线段 【答案】D 【解析】虽然动点M 到两个定点F 1,F 2的距离为常数8,但由于这个常数等于|F 1F 2|,故动点M 的轨迹是线段F 1F 2,故选D . 平面上到两定点12,F F 的距离的和为常数(大于两定点之间的距离)的点P 的轨迹是椭圆.若忽略了椭圆定义中|F 1F 2|<2a 这一隐含条件,就会错误地得出点M 的轨迹是椭圆. 易错点4 忽略对椭圆焦点位置的讨论 已知椭圆的标准方程为 22 2 1(0) 36 x y k k +=>,并且焦距为8,则实数k的值为_____________. 1.解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题,应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解. ②表示焦点在y 轴上的椭圆?0,0m n >>且m n <; ③表示椭圆?0,0m n >>且m n ≠. 对于形如:Ax 2+By 2=1(其中A >0,B >0,A ≠B )的椭圆的方程,其包含焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况,当B >A 时,表示焦点在x 轴上的椭圆;当B <A 时,表示焦点在y 轴上的椭圆. 2.求椭圆的方程有两种方法: (1)定义法.根据椭圆的定义,确定a 2,b 2的值,结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法,其一般步骤是: 第一步,做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上,还是在y 轴上,还是两个坐标轴都有可能(这时需要分类讨论). 第二步,设方程.根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22 221(0)y x a b a b +=>>. 第三步,找关系.根据已知条件,建立关于,,a b c 的方程组(注意椭圆中固有的等式关系222c a b =-). 第四步,得椭圆方程.解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 3.用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦点的位置时,需要分焦点在x 轴上和在y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为Ax 2+By 2=1(其中A >0,B >0,A ≠B ). 求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法,此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程;也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程. 4.关于曲线C :22 2214 x y a a +=-性质的叙述,正确的是 A .一定是椭圆 B .可能为抛物线 C .离心率为定值 D .焦点为定点 【答案】D 【解析】因为曲线方程没有一次项,不可能为抛物线,故B 错误; 因为24a -可正也可负,所以曲线可能为椭圆或双曲线.若曲线为椭圆,则( ) 2 2 2 44c a a =--=,∴ 2c =,2 e a = ,离心率不是定值,焦点()2,0,()2,0-,为定点. 若曲线为双曲线,方程为222214x y a a -=-,则() 222 44c a a =+-=,∴2c =,2e a =,离心率不是定值,焦点()2,0,()2,0-为定点,故选D. 【名师点睛】本题考查了圆锥曲线的标准方程和性质,体现了分类讨论的思想. 易错点5 忽略椭圆的范围 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x 轴上,离心率3 2 e = ,已知点3(0,)2P 到椭圆的最远距离为7, 求椭圆的标准方程. 1.椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的范围就是方程中变量x,y的范围,由 22 22 1 x y a b +=得 22 22 11 x y a b =-≤,则 ||x a ≤; 22 22 11 y x b a =-≤,则||y b ≤.故椭圆落在直线x=±a,y=±b围成的矩形内,因此用描点法画椭圆 的图形时就可以不取“矩形”范围以外的点了.同时,在处理椭圆的一些参数或最值问题时要注意x,y的取值范围. 2.设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点,()P x y ,则当0x =时,||OP 有最小值b ,P 点在短轴端点 处;当x a =±时,||OP 有最大值a ,P 点在长轴端点处. 3.(1)解决椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)中的范围问题常用的关系有: ①-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b ; ②离心率0 ③一元二次方程有解,则判别式0?≥. (2)解决与椭圆有关的最值问题常用的方法有以下几种: ①利用定义转化为几何问题处理; ②利用三角替代(换元法)转化为三角函数的最值问题处理; ③利用数与形的结合,挖掘数学表达式的几何特征,进而求解; ④利用函数最值的研究方法,将其转化为函数的最值问题来处理,此时,应注意椭圆中x 、y 的取值范围,常常是化为闭区间上的二次函数的最值来求解. 5.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的上顶点为(0,1)B ,且过点2 P . (1)求椭圆C 的方程及其离心率; (2)斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两个不同的点,当直线,OM ON 的斜率之积是不为0的定值时,求此时MON △的面积的最大值. 【答案】(1)2214x y +=,2 e = ;(2)1. 【解析】(1)由题意可得1b =. 又2 P 在椭圆C 上,所以22212a +=,解得2a =, 所以椭圆C 的方程为2 214 x y +=, 所以c C 的离心率2 c e a = = . (2)设直线l 的方程为()0y kx m m =+≠. 由22 ,14 y kx m x y =+???+=??,消去y ,得() 222418440k x kmx m +++-=, 所以22222 (8)4(41)(44)6416160km k m k m ?=-+-=-+>, 设()()1122,,,M x y N x y ,则212122 2 844 ,4141 km m x x x x k k --+==++. ()()()22 12121212121212 OM ON kx m kx m k x x km x x m y y k k x x x x x x +++++=== 22 222 22 44841414441 m km k km m k k m k --?+?+++=-+222444 m k m -=-, 由题意,OM ON k k 为定值,所以21444 k -=-,即2 14k =,解得12k =±. 此时 MN = = =, 点O 到直线y kx m =+ 的距离| 5m d = . 11||22MON S MN d m = = △ == 显然,当21m =(此时2 1 4 k =,21m =满足226416160k m ?=-+>),即1m =±时,S 取得最大值,最大值为1 . 易错点6 忽略双曲线定义中的限制条件 已知F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2a ,当a 为3和5时,点P 的轨迹分别为 A .双曲线和一条直线 B .双曲线和一条射线 C .双曲线的一支和一条直线 D .双曲线的一支和一条射线 在求解与双曲线有关的轨迹问题时,准确理解双曲线的定义,才能正确解题. 当||MF 1|-|MF 2||=2a <|F 1F 2|(a >0),即|MF 1|-|MF 2|=±2a ,0<2a <|F 1F 2|时,点M 的轨迹是双曲线,其中取正号时为双曲线的右(上)支,取负号时为双曲线的左(下)支; 当||MF 1|-|MF 2||=2a =|F 1F 2|(a >0)时,点M 的轨迹是以点F 1,F 2为端点的两条射线; 当||MF 1|-|MF 2||=2a >|F 1F 2|(a >0)时,点M 的轨迹不存在. 6.如图,在ABC △中,已知||AB =A ,B ,C 满足2sin sin 2sin A C B +=,以AB 边所在的直线为x 轴,AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,求顶点C 的轨迹方程. 【答案】22 1(26 x y x -=>. 【解析】由题意可得(A -,B . 因为2sin sin 2sin A C B +=,由正弦定理可得||||||22BC AB AC +=, 故|||||1 2 |||AC BC AB AB -=<= , 由双曲线的定义知,点C 的轨迹为双曲线的右支(除去与x 轴的交点). 由题意,设所求轨迹方程为22 221()x y x a a b -=>, 因为a =c =2 2 2 6b c a =-=,故所求轨迹方程为22 1(26 x y x -=>. 【名师点睛】求解与双曲线有关的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. 易错点7 忽略双曲线中的隐含条件 已知M 是双曲线22 16436 x y -=上一点,F 1,F 2是双曲线的左、右焦点,且1||17MF =,则2MF = _____________. 1.在求解双曲线上的点到焦点的距离d 时,一定要注意d c a ≥-这一隐含条件. 2.双曲线方程中,a b 的大小关系是不确定的,但必有0,0c a c b >>>>. 3.由22221(0,0)x y a b a b -=>>,知x 2 a 2≥1,所以x ≤-a 或x ≥a ,因此双曲线位于不等式x ≥a 和x ≤-a 所表示的平面区 域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围. 7.过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线,交双曲线于,P Q ,1F 是另一焦点,若1=3 PFQ π ∠,则双曲线的离心率e 等于 A 1 B C 1 D 2+ 【答案】B 【解析】由双曲线的对称性可知,12PF F △是以点2F 为直角顶点,且126 PF F π ∠=,则122PF PF =, 由双曲线的定义可得1222PF PF PF a -==, 在12Rt PF F △中,21212 2tan 2PF a PF F F F c ∠= = =c e a ∴== B. 【名师点睛】本题考查双曲线的离心率的求解,要充分研究双曲线的几何性质,在遇到焦点时,善于利用双曲线的定义来求解,考查逻辑推理能力和计算能力,属于中等题. 易错点8 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论 已知双曲线的渐近线方程是 2 3 y x =± ,焦距为226,求双曲线的标准方程. 2 b 1.求解双曲线的标准方程时,先确定双曲线的类型,也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x 轴还是y 轴,从而设出相应的标准方程的形式,然后利用待定系数法求出方程中的2 2 ,a b 的值,最后写出双曲线的标准方程. 2.在求双曲线的方程时,若不知道焦点的位置,则进行讨论,或可直接设双曲线的方程为 221(0)Ax By AB +=<. 8.已知双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=,且过点()12P ,--,则该双曲线的标准方程为__________. 【答案】22 133 y x -= 【解析】根据题意,双曲线的一条渐近线方程为0x y ±=,可设双曲线方程为()22 0x y λλ-=≠, ∵双曲线过点()1 2P ,--, ∴14λ-=,即3λ=-. ∴所求双曲线方程为22 133 y x -=, 故答案为22 133 y x -=. 【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程的求法,需要学生熟练掌握已知渐近线方程时,如何设出双曲线的标准方程. 易错点9 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况 若过点(1,1)P 且斜率为k 的直线l 与双曲线2 2 14 y x -=只有一个公共点,则k =___________. 【方法点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时,要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是否为一元一次方程,即二次项系数是否为0,因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐2 1. 直线与双曲线有三种位置关系: (1)无公共点,此时直线有可能为双曲线的渐近线. (2)有一个公共点,分两种情况: ①直线是双曲线的切线,特别地,直线过双曲线一个顶点,且垂直于实轴; ②直线与双曲线的一条渐近线平行,与双曲线的一支有一个公共点. (3)有两个公共点,可能都在双曲线一支上,也可能两支上各有一点. 2.研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程,解方程组或者转化为一元二次方程,依据根的判别式和根与系数的关系求解.要注意讨论转化以后的方程的二次项系数,即若二次项系数为0,则直线与双曲线的渐近线平行或重合;若二次项系数不为0,则进一步研究二次方程的根的判别式?,得到直线与双曲线的交点个数. 9.已知直线y kx =与双曲线22416x y -=.当k 为何值时,直线与双曲线: (1)有两个公共点;(2)有一个公共点;(3)没有公共点. 【答案】见解析. 【解析】由22 416x y y kx -==??? 消去y 得22(4)160k x --= ①,当240k -=,即2k =±时,方程①无解; 当240k -≠时,2 2 04(4)(16)64(4)k k ?=---=-, 当0?>,即22k -<<时,方程①有两解; 当0?<,即2k <-或2k >时,方程①无解; 当0?=,且240k -≠时,这样的k 值不存在. 综上所述,(1)当22k -<<时,直线与双曲线有两个公共点; (2)不存在使直线与双曲线有一个公共点的k 值; (3)当2k ≤-或2k ≥时,直线与双曲线没有公共点. 【名师点睛】研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程,解方程组或者转化为一元二次方程,依据根的判别式和根与系数的关系求解.要注意讨论转化以后的方程的二次项系数,即若二次项系数为0,则直线与双曲线的渐近线平行或重合;若二次项系数不为0,则进一步研究二次方程的根的判别式?,得到直线与双曲线的交点个数. 易错点10 忽略抛物线定义中的限制条件 已知点P 到F (4,0)的距离与到直线5x =-的距离相等,求点P 的轨迹方程. 【参考答案】2189y x =+. 1.抛物线的标准方程是特殊的抛物线方程,对坐标轴的位置有严格的要求.若从题意中无法判断方程是否为标准方程,可按求曲线方程的一般步骤求解. 2.抛物线定义中要求直线l 不经过点F ,若l 经过F 点,则轨迹为过定点F 且垂直于定直线l 的一条直线.因此当动点P 到定点F 的距离与它到定直线l 的距离相等时,不能盲目套用抛物线定义. 10.已知圆C 的方程22100x y x +-=,求与y 轴相切且与圆C 外切的动圆圆心P 的轨迹方程. 【答案】2 20(0)y x x =>或)00(y x =<. 【解析】设P 点坐标为(x ,y ),动圆的半径为R ,∵动圆P 与y 轴相切,∴R x =, ∵动圆与定圆C :22 52)5(x y -+=外切,∴5PC R =+,∴5PC x =+. 当点P 在y 轴右侧,即x >0时,5PC x =+,点P 的轨迹是以(5,0)为焦点的抛物线,则圆心P 的轨迹方程为2 20(0)y x x =>; 当点P 在y 轴左侧,即x <0时, 5PC x =-+,此时点P 的轨迹是x 轴的负半轴,即方程)00(y x =<. 故点P 的轨迹方程为2 20(0)y x x =>或)00(y x =<. 2020高考虽然延期,但是每天练习一定要跟上,加油! 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2, -1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. (4 1,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a <2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C .(0, 2 D .,1)2 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A B .3 C D .92 7.(全国二9)设1a >,则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是( B ) A . B . C .(25), D .(2 8.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ,焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 教学资料范本 【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)W ord版 编辑:__________________ 时间:__________________ 一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二.命题走向 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn 图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是1个选择题或1个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三.要点精讲 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若a 是集合A 的元素,记作;若b 不是集合A 的元素,记作;A a ∈A b ? (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 【高考数学中最具震撼力的一个解答题!】注:【求解完第一问以后,】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型:(1)弦长问题(2)中点问题(3)垂直问题(4)斜率问题(5)对称问题(6)向量问题(7)切线问题(8)面积问题(9)最值问题(10)焦点三角形问题。中的2-----4类;分门别类按套路求解; 1.高考最重要考:直线与椭圆,抛物线的位置关系。第一问最高频考(总与三个问题有关):(1)———————;(2)——————————;(3)—————————; 2.圆锥曲线题,直线代入圆锥曲线的“固定3步走”:---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————; 3.圆锥曲线题固定步骤前9步:-------------------;---------------------------------------------;————————————;—————————;——————————;—————————————————;———————————;——————————————; 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长:(1)圆的弦长问题;(2)中点弦长问题(3)焦点弦长问题;→(1)圆的弦长问题:(2法)首选方法:垂径定理+勾 股定理:图示:--------------------------------;公式为:-------------------------;其中求“点线距”的方法:———————;次选:弦长公式;→(2) 中点弦长问题:(2法)首选方法:“点差法” 椭圆:(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;副产品:两直线永远不可能垂直!原因:___________;【两直线夹角的求法:(夹角公式)___________;】双曲线(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;抛物线:形式一:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;形式2:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;附:“点差法”步骤:椭圆:“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式:(公式一)-------------------;(公式二)---------------------;附:“点差法”步骤:抛物线;形式一___________;:“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式:(公式一)---------------------;(公式二)--------------------;附:“点差法”步骤: 圆锥曲线 一、填空题 1、(2015年江苏高考)在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、(2013年江苏高考)双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2013年江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆 C 的离心率为 。 4、( 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线C : y x 42=的焦点为F ,定点)0, 22(A ,若射线FA 及抛物线C 相交于点M ,及抛物线C 的准线相交于点N ,则FM :MN= 5、(苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二))已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2,它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲线的方程为 ▲ 6、(泰州市 高三第二次模拟考试)已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ,则m = ▲ 7、(盐城市 高三第三次模拟考试)若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合,则n 的值为 ▲ 8、( 江苏南京高三9月调研)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的渐近 线方程 为y =±3x ,则该双曲线的离心率为 ▲ 9、( 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、(南京市、盐城市 高三)若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合,则a = ▲ . 11、(南通市 高三)在平面直角坐标系xOy 中,以直线2y x =±为渐近线,且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、(苏州市 高三上期末)以抛物线24y x =的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为2的双曲线标准方程为 13、(泰州市 高三上期末)双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半,则双曲线的离心率e = ▲ 14、(苏锡常镇四市2014届高三5月调研(二))在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为(5,0),则实数 m = ▲ 15、(南京、盐城市2014届高三第二次模拟(淮安三模))在平面直角坐 标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线及抛物线y 2=4x Y 圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0; 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1,C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点. 2.圆 圆的定义:点集:{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程: (1)标准方程 圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F >0时,一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,圆心为(-2D ,-2 E ),半径是 2 4F -E D 22+.配方,将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时,方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F <0时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则 |MC |<r ?点M 在圆C 内,|MC |=r ?点M 在圆C 上,|MC |>r ?点M 在圆C 内, 其中|MC |=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定. 2018届高考数学立体几何(理科)专题02 二面角 1.如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证: 1AB ⊥平面1A BC ; (2)若15360AC BC A AB ==∠=?,,,求二面角11B A C C --的余弦值. 2.如图所示的多面体中,下底面平行四边形与上底面平行,且,,,,平面 平面,点为的中点. (1)过点作一个平面与平面平行,并说明理由; (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 3.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 2AB AD =, BD =,且PD ⊥底面ABCD . (1)证明:平面PBD ⊥平面PBC ; (2)若Q 为PC 的中点,且1AP BQ ?=u u u v u u u v ,求二面角Q BD C --的大小. 4.如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体,其底面四边形是边长为2的菱形,,平面. (1)求证:; (2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值. 5.在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是矩形,平面PAB ⊥平面ABCD ,点E 、F 分别为BC 、AP 中点. (1)求证: //EF 平面PCD ; (2)若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=,求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值. 6.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==(Ⅰ)若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; (Ⅱ)求证:平面PQB ⊥平面PAD ; (Ⅲ)若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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