高中数学压轴题系列——导数专题——双变量问题(2)

高中数学压轴题系列——导数专题——双变量问题（2）

1.（2010•辽宁）已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）设a＜﹣1．如果对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）.．

当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；

当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；

当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得．

则当时，f'（x）＞0；时，f'（x）＜0．

故f（x）在单调递增，在单调递减．

（Ⅱ）不妨假设x1≥x2，而a＜﹣1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调递减，

从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|

等价于∀x1，x2∈（0，+∞），f（x2）+4x2≥f（x1）+4x1①

令g（x）=f（x）+4x，则

①等价于g（x）在（0，+∞）单调递减，即．

从而

故a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（12分）

2．（2018•呼和浩特一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=﹣bx（b为常数）．

（Ⅰ）当b=4时，讨论函数h（x）=f（x）+g（x）的单调性；

（Ⅱ）b≥2时，如果对于∀x1，x2∈（1，2]，且x1≠x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|成立，求实数b的取值范围．

解：（1）h（x）=lnx+x2﹣bx的定义域为（0，+∞），当b=4时，h（x）=lnx+x2﹣4x，

h'（x）=+x﹣4=，

令h'（x）=0，解得x1=2﹣，x2=2+，当x∈（2﹣，2+）时，h′（x）＜0，

当x∈（0，2﹣），或（2+，+∞）时，h′（x）＞0，

所以，h（x）在∈（0，2﹣），或（2+，+∞）单调递增；在（2﹣，2+）单调递减；（Ⅱ）因为f（x）=lnx在区间（1，2]上单调递增，

当b≥2时，g（x）=x2﹣bx在区间（1，2]上单调递减，

不妨设x1＞x2，则|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）| 等价化为f（x1）+g（x1）＜f（x2）+g（x2），令φ（x）=f（x）+g（x），则问题等价于函数φ（x）在区间（1，2]上单调递减，

即等价于φ′（x）=+x﹣b≤0在区间（1，2]上恒成立，所以得b≥+x，

因为y=+x在（1，2]上单调递增，所以y max=+2=所以得b≥

3．（2018•乐山二模）已知f（x）=．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）令g（x）=ax2﹣2lnx，则g（x）=1时有两个不同的根，求a的取值范围；

（3）存在x1，x2∈（1，+∞）且x1≠x2，使|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|成立，求k的取值范围．解：（1）∵f（x）=，f′（x）==﹣=﹣，

故x∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，

故f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；

（2）∵g（x）=ax2﹣2lnx=1，∴a==f（x），作函数f（x）的图象

如下，

∵f（1）==1，∴结合图象可知，a的取值范围为（0，1）；

（3）不妨设x1＞x2＞1，∵f（x）在（1，+∞）上单调递减，y=lnx在（1，

+∞）上单调递增；

∴|f（x1）﹣f（x2）|≥k|lnx1﹣lnx2|可化为f（x2）﹣f（x1）≥k（lnx1﹣lnx2），

∴f（x2）+klnx2≥f（x1）+klnx1，即函数h（x）=f（x）+klnx在（1，+∞）上存在单调减区间，

即h′（x）=f′（x）+=﹣+=＜0在（1，+∞）上有解，

即m（x）=kx2﹣4lnx＜0在（1，+∞）上有解，即k＜在（1，+∞）上有解，

∵（）′=，当x=时，=0；故（）max=；∴k＜．

4．（2018•衡阳三模）已知函数f（x）=lnx﹣ax2+x（a∈R），函数g（x）=﹣2x+3．

（Ⅰ）判断函数F（x）=f（x）+ag（x）的单调性；

（Ⅱ）若﹣2≤a≤﹣1时，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤t|g（x1）﹣g（x2）|

恒成立，求实数t的最小值．

解：（I），其定义域为为（0，+∞），

=．

（1）当a≤0时，F'（x）≥0，函数y=F（x）在（0，+∞）上单调递增；

（2）当a＞0时，令F'（x）＞0，解得；令F'（x）＜0，解得．

故函数y=F（x）在上单调递增，在上单调递减．

（II）由题意知t≥0.，

当﹣2≤a≤﹣1时，函数y=f（x）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，

又函数y=g（x）单调递减，所以原问题等价于：当﹣2≤a≤﹣1时，

对任意1≤x1≤x2≤2，不等式f（x2）﹣f（x1）≤t[g（x1）﹣g（x2）]恒成立，

即f（x2）+tg（x2）≤f（x1）+tg（x1）对任意﹣2≤a≤﹣1，1≤x1≤x2≤2恒成立．

记h（x）=f（x）+tg（x）=lnx﹣+（1﹣2t）x+3t，

则h（x）在[1，2]上单调递减．得对任意a∈[﹣2，﹣1]，x∈[1，2]恒成立．令，a∈[﹣2，﹣1]，则2t≤0在x∈（0，+∞）上恒成立．

则2t﹣1≥（2x+）max，而y=2x+在[1，2]上单调递增，

所以函数y=2x+在[1，2]上的最大值为．由2t﹣1，解得t．故实数t的最小值为．

5．（2018•河南模拟）已知函数．

（1）若m＜0，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在两坐标轴上的截距之和为2，求m的值；（2）若对于任意的及任意的x1，x2∈[2，e]，x1≠x2，总有成立，求t的取值范围．

解：（1）因为，所以，f'（1）=m﹣1．

又因为切点坐标为，所以切线方程为．

令x=0，得；令y=0，得．由，化简得2m2+m﹣6=0，

解得m=﹣2或，又m＜0，所以m=﹣2．

（2）不妨设x1＞x2，由（1）知，，，