高中数学函数定义域,值域
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函数概念及性质
教学过程:
一、学习目标:
1.了解构成函数的要素,会求简单函数以及复合函数的定义域和值域;了解映射的概念.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并能简单地应用.
二、自我梳理:
1.函数与映射的概念
函数映射
两集合
A,B
设A,B是两个非空____ 设A,B是两个非空____
对应关系f:A→B
如果按照某种确定的对
应关系f,使对于集合A中的
____一个____,在集合B中
____________的____和它对应
如果按某一个确定的对
应关系f,使对于集合A中的
____一个______在集合B中
__________的______与之对应
名称
称________为从集合A
到集合B的一个函数
称对应______为从集合A
到集合B的一个映射
记法y=f(x),(x∈A,y∈B)
对应f:A→B是一个映射
2.函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域.
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,__________叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,__________叫做函数的值域,显然,值域是集合B的子集.
(2)函数的三要素:__________、__________和__________.
3.函数的表示方法
表示函数的常用方法有__________、__________和__________.
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因__________不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__________,其值域等于各段函数的值域的__________,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
教学过程:
三、基础自测
1.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( ).
A.f:x→y=1
2
x B.f:x→y=
1
3
x
C.f:x→y=2
3
x D.f:x→y=x 3x,x≤1.
2.已知函数f(x)=若f(x)=2,则x等于( ).
-x,x>1.
A.log32 B.-2 C.log32或-2 D.2
3.下列各函数中,表示同一个函数的是( ).
A.f(x)=lg x2,g(x)=2lg x
B.f(x)=lg x+1
x-1
,g(x)=lg(x+1)-lg(x-1)
C.f(u)=1+u
1-u
,g(v)=
1+v
1-v
D.f(x)=x,g(x)=2x
四、探究突破
1、求简单函数的定义域.
高中范围内涉及的内容有:(1)开偶次方时,被开方数为非负数;(2)分式中的分母不等于0;(3)对数的真数大于0;(4)指数对数的底数大于0且不等于1.
2、求复合函数的定义域。
(1)复合函数:如果y是u的函数,也就是y=f(u);如果u是x的函数,那么u=g(x),那么y=f(g(x)),这类函数我们称为复合函数。
(2)求复合函数的三种类型:(1)已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域。(2)已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域。(3)已知f(g(x))的定义域,求f(h(x))
注:解决此类题目的关键就是因为受同一法则的约束,所以()内的范围是一致的。
2、求函数值域的基本方法.
(
1)列举法。根据函数的定义域将对应关系一一求出来写成集合的形式。适用条件:只适用于值域中元素有限或者虽然无限但却是与自然数有关的集合。
(2)配方法。将二次函数进行配方,从而快速得到值域。适用条件:适用于二次函数或者能转化为二次函数
的复合函数。 (3)反函数法。求函数的反函数,得到新函数的定义域就是原函数的值域。使用条件:适用于分式中分子分母上都包含一次函数的函数。
(4)换元法。将函数中复杂的式子进行换元处理。适用条件:形如d cx b ax y +++=(a,b,c,d ,为常数
)
(5)分离常数法。形如:)0(≠
++=a b
ax d
cx y 的函数,这种类型经常适用。 (6)有界性法。通过固定函数的有限性进行值域的求解。形如)(sin y f =α,)(2y g x =,)(y h a x =等形
式可解除y 的范围,从而求出函数的值域。 (7)数形结合法。若函数的解析式具有明显的几何意义,比如说距离、斜率等,可用数形结合的方法。 (8)基本不等式的方法。利用基本不等式33,2abc c b a ab b a ≥++≥+,要注意条件:“一正,二定,三相等” (9)利用函数的单调性。
(10)利用导数法。利用函数的导数求出最值,从而确定值域。
(11)倒数法。遇到分式不好求值域时,可以尝试倒数法。
3、函数解析式的求法.
1.凑配法:由已知条件))((x g f =)(x F ,可将)(x F 改写成关于)(x g 的表达式,然后以x 替代)(x g ,
便得)(x f 的表达式; 2.待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法; 3.换元法:已知复合函数))((x g f 的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
教学过程: .
4、方程思想:已知关于)(x f 与)
1(x f 或)(x f -的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出)(x f . 提醒:因为函数的解析式相同、定义域不同,则为不相同的函数,因此求函数的解析式时,如果定义域不是R ,一定要注明函数的定义域,否则会导致错误. 五、例题巩固。 1、求复合函数的定义域。 (1))(x f 的定为义域[0,2] ,求)(2
x f 的定义域。 (2))12(-x f 的定为义域(-1,5] ,求)(x f 的定义域。
(3))52(x f -的定为义域[-57,1) ,求)(x f 的定义域。
(4))(log 3x f 的定为义域[3,9],求)2(1
-x f 得定义域。
(5) )12(-x f 的定为义域(-1,5] ,求)52(x f -的定义域。
2、求以下函数的值域。
(1)542
+-=x x y (2)12222+++-=x x x x y (3)12+=
x x y (4)x x y 212-+=
(5)11+-=x x e e y (6)2
2)8()2(-+-=x x y (7)x x y 2
2+= (8)
32++=x x y
六、高考演练 1.函数241ln 1)(x x x f -+-=的定义域为( ).(2012年山东高考) A .[-2,0)∪(0,2] B .(-1,0)∪(0,2] C .[-2,2] D .(-1,2]
2.已知函数)01()(≠+=a a b a x f x 且>
定义域和值域都是[-1,0],则b a +=_______(2015年山东高考)
3.已知⎩⎨⎧≥-=.12.1,13)(x x x x f x ,<满足
)
(2))((a f a f f =)的a 的取值范围。(2015年山东高考)