函数的概念教学设计

函数的概念

三维目标

1.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；通过学

习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数

学的兴趣和抽象概括能力。

2.掌握构成函数的三要素，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生

感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性.

教学重点 正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重

要数学模型.

教学难点 函数概念及符号y =f (x )的理解.

教学方法 诱思教学法

教学过程设计

一、复习与引入函数的概念

在初中学过函数，请同学们回忆一下，我们学过哪些函数.

生：正比例函数y=kx(k ≠0)

反比例函数y=x

k (k ≠0) 一次函数y=kx+b(k ≠0) 二次函数y=a 2x +bx+c(a ≠0)

师：那么什么叫函数呢?

初中学过的函数定义：

设在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于每一个x 值，y 都有唯一

的值和它对应，那么就说y 是x 的函数，x 叫自变量，y 叫因变量.

函数的定义从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系.

分析这个定义，可以看出，函数是运动变化中的两个变量之间的一种制约关系，自

变量x 在自己的取值范围内取定一个值，y 就由这种制约关系确定出一个与x 对应的函

数值.

这种制约关系，实际上是一种对应关系.生活中有各种各样的对应，比如：放学了，我们每

个同学都回不同的家，那么每个同学和自己的家就是一种对应关系；上课了，每个同学都坐

到自己的座位上，就和自己的座位有了一种对应关系。。。那么我们来看一种特殊的对应关系。

二、给出映射函数的概念

一般地，设A ，B 是两个集合，如果按照某种对应法

则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫

做从集合A 到集合B 的映射。

哪一位同学能从映射的角度给函数重新下一个定义呢?

设A ，B 都是非空的数的集合，那么，称从A 到B 的映射ｆ：Ａ→Ｂ为函数，记作y=f(x) 其中x ∈A ，y ∈B ，原象集合A 叫做函数f(x)的定义域，象集合C 叫做函数f(x)的值域，显

然C B.

我们分析函数的两个定义.这两个定义本质上是一致的，两个定义中的对应法则实际上

也是一样的，但两个定义叙述的出发点不同，我们把初中所学定义叫传统定义，把高中新学的定义叫近代定义.可以看出，传统定义是从运动

变化的观点出发，其中对应法则是将自变量x 的每一个取值与唯一确定的函数值对应起来.近

代定义则是从集合、对应的观点出发，其中的对应法则将原象集合中的任一元素与象集合中 的唯一确定的元素对应起来.传统定义用变量的观点描述函数比较生动、直观，但对有些函数用传统定义解释比较勉强，如市区公共汽车票价与乘车所走的站数是一种函数关系：y=0.5(元)(x=1，2，3，…，20)，但用近代定义解释就很方便：A={1，2，3，4，…，20}(假设每路公共汽车走20站，，B={0.5元，1元}，f ：不论乘坐几站，上车就是0.5元.f:A →B 是一个函数关系，看起来，近代定义更具有一般性.

反过来，我们来看以前学习的函数是否符合近代定义

一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？ 并用函数的概念来描述这些函数.

1.一次函数)0(≠+=a b ax y 的定义域是R ，值域是R ，对于R 中的任意一个数x ，在R 中都有唯一的数)0(≠+=a b ax y 和它对应.

2.二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域是R ，值域是B .

当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥=a b ac y y B 442；当0

⎬⎫⎩⎨⎧-≤=a b ac y y B 442.对于R 中的任意一个数x ，在B 中都有唯一的数)0(2≠++=a c bx ax y 和它对应.

3.反比例函数

)0(≠=k x k y 的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数的定义来描述.

思考辨析：)(1R x y ∈=是函数吗？

方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？

依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的关键词.

（1）定义域和对应关系是否给出？（2）根据所给对应关系，自变量x 在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的y 值和它对应？

判断函数的标准可以简化成：两个非空数集A ，B ，一个对应关系.

结合分析，使学生更深刻理解函数的概念.

总结

函数的本质：B A f :(在对应关系f 下，集合A 到集合B 的一种对应). 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.

强调：①值域由定义域和对应关系唯一确定；

②f (x )是函数符号，f 表示对应关系，f (x )表示x 对应的函数值，绝对不能理解为f 与x 的乘积.在不同的函数中f 的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f (x )表示外，还可用g (x ),F (x )等表示．

练习

下列图像中不能作为函数y =f (x )图像的是（ ）

四、小结 1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y =f (x ).

2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.

3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.