勾股定理培优
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勾股定理
一、知识要点
1、勾股定理
勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理,它有着悠久的历史,蕴含着丰富的文化价值,勾股定理是数学史上的一个伟大的定理,在现实生活中有着广泛的应用,被人誉为“千古第一定理” .
勾股定理反映了直角三角形(三边分别为a 、b 、c ,其中c 为斜边)的三边关系,即a 2+b 2=c 2,它的变形式为c 2-a 2=b 2或c 2-b 2=a 2.
勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一,在几何图形的计算和论证方面,有着重要的应用,它沟通了形与数,将几何论证转化为代数计算,是一种重要的数学方法. 2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2,则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形.
勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法,这种方法与前面学过的一些判定方法不同,它是通过代数运算“算”出来的,实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的,这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想,突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法,建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法,它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.
二、基本知识过关测试
1.如果直角三角形的两边为3,4,则第三边a 的值是 .
2.如图,图形A 是以直角三角形直角边a 为直径的半圆,阴影S A = .
3.如图,有一个圆柱的高等于12cm ,底面半径3cm ,一只蚂蚁要从下底面上B 点处爬至上底与B 点相对的A 点处,所需爬行的最短路程是 .
4.如图.在 △ABC 中,CD ⊥AB 于D ,AB =5,CD
=,∠BCD =30° ,则AC = . 5.
的线段.
6.在下列各组数中 ①5,12,13 ;②7,24,25;③32,42,52;④3a ,4a ,5a ;⑤a 2+1,a 2-1,2a (a >1);⑥m 2-n 2,2mn ,m 2+n 2(m >n >0)可作直角三角形三边长的有 组.
7.如图,四边形ABCD 中,AB =1,BC =2,CD =2,AD =3,AB ⊥BC ,则四边形ABCD 的面积是 .
第2题图 第3题图 第4题图 第7题图
8.如图,在正方形ABCD 中,F 为DC 中点,E 为BC 上一点,且EC =
1
4
BC ,试判断△ AEF 的形状.
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
F
E D
C
B A
三、综合.提高.创新
【例1】(1)在三角形纸片ABC 中,∠C =90°,∠A =30°,AC =3,折叠该纸片,使点A 与点B 重合,折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E (如图),折痕DE 的长是多少?
(2)如图,在矩形ABCD 中,AB =8,AD =10,按如图所示折叠,使点D 落在BC 上的点E 处,求折痕AF 的长.
(3)如图,正三角形ABC 的边长为2,M 是AB 边上的中点,P 是BC 边上任意一点,P A +PM 的最大值和最小值分别记作S 和T ,求S 2-T 2的值.
【练】如图,四边形ABCD 是长方形,把△ACD 沿AC 折叠到△ACD ′,AD ′与BC 交于E ,若AD =4,DC =3,求BE .
E
D
C B
A
F
E
D
C
B
A
P
M
C
B
A
D '
E
D
C
B A
【例2】(1)如图,△ABC 中,∠C =60°,AB =70,AC =30,求BC 的长.
(2)如图,在四边形ABCD 中,AB =2,CD =1,∠A =60°, ∠B =∠D =90°,求四边形ABCD 的面积.
【练】如图,△ABC 中,A =150°,AB =2,BC
,求AC 的长.
【例3】(1)如图,△ABC 中,AB =AC =20,BC =32,D 为BC 上一点,AD ⊥AB ,求CD .
(2)如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,D 、E 分别是BC 、AC 中点,AD =5,BE
=,求AB .
C
B
A
D
C
B
A
C
B
A
D
C
B
A
E
D
C B
A
【例4】如图,△ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,设AC =b ,BC =a ,AB =c ,CD =h ,求证:
(1)
222
111a b h +=; (2)a +b <c +h ;
(3)以a +b ,h 和c +h 为边的三角形是直角三角形.
【例5】(1)如图,ABCD 为矩形,P 为矩形ABCD 所在平面上一点,求证:P A 2-PB 2=PD 2 -PC 2.
(2)锐角△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,若∠B =2∠C ,求证:AC 2=AB 2+AB ·BC .
变式:如图,AM 是△ABC 的BC 边上的中线,求证:AB 2+AC 2=2(AM 2+BM 2).
D C
B
A
P
D
C
B A
D
C
B
A
B
A