均值不等式求最值技巧
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利用均值不等式求最值的九种技巧
不等式易错题剖解利用均值(基本)不等式求最值是历年高考的热点内容之一.利用均值不等式所需的条件可概括为“一正、二定、三相等”.当这些条件不完全具备时,就需要一定的技巧,特别是凑“定和”或“定积”的技巧,使其具备.下面谈谈常见的凑“定和”或“定积”的技巧,供同学们参考.
一、添、减项(配常数项)
例1 求函数y=3x2+162+x2的最小值.
分析3x2+162+x2是二项“和”的形式,但其“积”的形式不为定值.而12+x2可与x2+2相约,即其积为定积1,因此可以先添、减项6,即y=3x2+6+162+x2-6,再用均值不等式.
解x2+2>0,y=3x2+162+x2=3(x2+2)+162+x2-6
≥23(2+x2)·162+x2-6=83-6,
当且仅当3(2+x2)=162+x2,即x2=433-2时,等号成立.
所以y的最小值是83-6.
评注为了创造条件利用均值不等式,添项是常用的一种变形技巧;为了保证式子的值不变,添项后一定要再减去同一项.
二、配系数(乘、除项)
例2 已知x>0,y>0,且满足3x+2y=12,求lgx+lgy的最大值.
分析lgx+lgy=lg(x+y),xy是二项“积”的形式,但不知其“和”的形式x+y是否定值,
而已知是3x与2y的和为定值12,故应先配系数,即将xy变形为3x·2y6,再用均值不等式.
解x,y>0,lgx+lgy=lg(xy)=lg3x·2y6≤lg163x+2y22=lg161222=lg6,
当且仅当3x=2y,即x=2,y=3时,等号成立.
所以lgx+lgy的最大值是lg6.
评注本题是已知和为定值,要求积的最大值,可逆用均值不等式,即利用ab≤a+b22来解决.
三、裂项
例3 已知x>-1,求函数y=(x+5)(x+2)x+1的最小值.
分析在分子的各因式中分别凑出(x+1),借助于裂项解决问题.
解x+1>0,y=[(x+1)+4][(x+1)+1]x+1
=(x+1)+4x+1+5
≥2(x+1)4x+1+5=9,
当且仅当x+1=4x+1,即x=1时,取等号.
所以ymin=9.
四、取倒数
例4 已知0<x<12,求函数y=(x+1)2x(1-2x)的最小值.
分析分母是x与(1-2x)的积,可通过配系数,使它们的和为定值;也可通过配系数,使它们的和为(1+x)(这是解本题时真正需要的).于是通过取倒数即可解决问题.
解由0<x<12,得1+x>0,1-2x>0.
取倒数,得
1y=x(1-2x)(1+x)2=13·3x1+x·1-2x1+x
≤133x1+x+1-2x1+x22=112,
当且仅当3x1+x=1-2x1+x,即x=15时,取等号.
故y的最小值是12.
五、平方
例5 已知x>0,y>0,且2x2+y23=8,求x6+2y2的最大值.
分析条件式中的x与y都是平方式,而所求式中的x是一次式,y是平方式但带根号.初看似乎无从下手,但若把所求式x6+2y2平方,则解题思路豁然开朗,即可利用均值不等式来解决.
解(x6+2y2)2=x2(6+2y2)
=3·2x21+y23
≤32x2+1+y2322=3922,
当且仅当2x2=1+y23,即x=32,y=422时,等号成立.
故x6+2y2的最大值是923.
评注本题也可将x纳入根号内,即将所求式化为x2(6+2y2),先配系数,再运用均值不等式的变式.
六、换元(整体思想)
例6 求函数y=x+22x+5的最大值.
分析可先令x+2=t,进行换元,再使分子常数化,然后运用均值不等式来解决.
解令x+2=t,则t≥0,x=t2-2,
则y=t2t2+1(t≥0).
当t=0时,y=0;
当t>0时,y=12t+1t≤122t·1t=24.
当且仅当2t=1t,即t=22时,取等号.
所以x=-32时,y取最大值为24.
七、逆用条件
例7 已知1x+9y=1(x>0,y>0),则x+y的最小值是.
分析直接利用均值不等式,只能求xy的最小值,而无法求x+y的最小值.这时可逆用条件,即由1=1x+9y,得x+y=(x+y)1x+9y,然后展开即可解决问题.
解由x>0,y>0,1x+9y=1,得
x+y=(x+y)1x+9y=yx+9xy+10≥2yx·9xy+10=16,
当且仅当yx=9xy,即x=4,y=12时,等号成立.
故x+y的最小值是16.
评注若已知x>0,y>0,x+y=1(或其他定值),要求1x+9y的最大值,则同样可运用
此法.
八、巧组合
例8 若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-23,求2a+b+c的最小值.
分析初看,这是一个三元式的最值问题,无法利用a+b≥2ab来解决.换个思路,可考虑将2a+b+c重新组合,变成(a+b)+(a+c),而(a+b)(b+c)等于定值4-23,于是就可以利用均值不等式了.
解由a,b,c>0,知2a+b+c=(a+b)+(a+c)
≥2(a+b)(a+c)=2a2+ab+ac+bc=24-23=23-2,当且仅当b=c,即b=c=
3-1-a时,等号成立.
故2a+b+c的最小值为23-2.
九、消元
例9 (2008年江苏卷)设x,y,z为正实数,x-2y+3z=0,则y2xz的最小值是.
分析本题也是三元式的最值问题.由题意得y=x+3z2,则可对y2xz进行消元,用x,z 表示,即变为二元式,然后可利用均值不等式解决问题.
解由x,z>0,y=x+3z2,可得y2xz=x2+9z2+6xz4xz≥6xz+6xz4xz=3,当且仅当x=3z,即x=y,z=y3时,取“=”.
故y2xz的最小值为3.