2018年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共40分．1．已知集合{}2A x x =<，{}–2,0,1,2B =，则A B =I （ ）A ．{}0,1B ．{}–1,0,1C ．{}–2,0,1,2D ．{}–1,0,1,21．【答案】A【解析】2x <Q ，22x ∴-<<，因此{}(){}2,0,1,22,20,1A B =--=I I ，故选A ．2．在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．【答案】D【解析】()()11i 11i 1i 1i 1i 22+==+--+的共轭复数为11i 22-，对应点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限，故选D ．3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A ．12B ．56C ．76D ．7123．【答案】B【解析】初始化数值1k =，1s =循环结果执行如下：第一次：()1111122s =+-⋅=，2k =，23k =≥不成立； 第二次：()21151236s =+-⋅=，3k =，33k =≥成立，循环结束，输出56s =，故选B ．4．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．【答案】B【解析】当4a =，1b =，1c =，14d =时，a ，b ，c ，d 不成等比数列，所以不是充分条件；当a ，b ，c ，d 成等比数列时，则ad bc =，所以是必要条件．综上所述，“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件．故选B ．5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（ ）A B C ． D ． 5．【答案】D()12n n a n n -+∴=≥∈N ，，又1a f =，则7781a a q f===，故选D ．6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 6．【答案】C【解析】由三视图可得四棱锥P ABCD -，在四棱锥P ABCD -中，2PD =，2AD =，2CD =，1AB =，由勾股定理可知，PA =PC =3PB =，BC =，则在四棱锥中，直角三角形有，PAD △，PCD △，PAB △共三个，故选C ．7．在平面坐标系中，»AB ，»CD，»EF ，¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．»AB B ．»CDC ．»EFD ．¼GH 7．【答案】C【解析】由下图可得，有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线．8．设集合(){},1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则（ ） A ．对任意实数a ，()2,1A ∈ B ．对任意实数a ，()2,1A ∉ C ．当且仅当0a <时，()2,1A ∉ D ．当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉ 8．【答案】D【解析】若()2,1A ∈，则32a >且0a ≥，即若()2,1A ∈，则32a >，此命题的逆否命题为， 若32a ≤，则有()2,1A ∉，故选D ．第II 卷二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．9．设向量()10=,a ，()1,m =-b ，若()m ⊥-a a b ，则m =_________． 9．【答案】1-【解析】()10=Q ,a ，()1m =-,b ，()()()011m m m m m ∴-=--=+-,,,a b ， 由()m ⊥-a a b 得，()0m ⋅-=a a b ，()10m m ∴⋅-=+=a a b ，即1m =-．10．已知直线l 过点()1,0且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________． 10．【答案】()1,0【解析】1a =，24y x ∴=，由抛物线方程可得，24p =，2p =，12p=， ∴焦点坐标为()1,0．11．能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________． 11．【答案】1，1-（答案不唯一）【解析】使“若a b >，则11a b <”为假命题，则“若a b >，则11a b≥”为真命题即可，只需取1a =，1b =-即可满足．所以满足条件的一组a ，b 的值为1，1-．（答案不唯一）12．若双曲线()222104x y a a -=>a =_________． 12．【答案】4【解析】在双曲线中，c ==，且c e a ===22454a a +=，216a ∴=，04a a >∴=Q ．13．若x ，y 满足12x y x +≤≤，则2y x -的最小值是_________． 13．【答案】3【解析】作可行域，如图，则直线2z y x =-过点()1,2A 时，z 取最小值3．14．若ABC △)222a c b +-，且C ∠为钝角，则B ∠=_________；ca的取值范围是_________．14．【答案】60o ；()2+∞,．【解析】)2221sin2ABCS a c b ac B =+-=V Q ，2222a c b ac +-∴=，即cos B =sin cos B B ∴=3B π∠=，则21sin cos sin sin 1132sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，3B π∠=，06A π∴<∠<，)1tan 0tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，， 故()2,ca ∈+∞．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）设{}n a 是等差数列，且1ln 2a =，235ln 2a a +=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求12e e e n a a a +++L ．15．【答案】（1）ln2n ；（2）122n +-．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，235ln 2a a +=Q ，1235ln 2a d ∴+=， 又1ln2a =，ln 2d ∴=，()11ln 2n a a n d n ∴=+-=． （2）由（1）知ln 2n a n =，ln 2ln 2e e e 2nn a n n ===Q ，{}e n a ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，212ln 2ln 2ln 221e e e e e e =222=22nn a a a n n +∴+++=++++++-L L L ， 121e e e =22n a a a n +∴+++-L ．16．（本小题13分）已知函数()2sin cos f x x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()f x 在区间3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，求m 的最小值．16．【答案】（1）π；（2）π3．【解析】（1）()1cos 211122cos 2sin 222262x f x x x x x -π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．（2）由（1）知()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为π3x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,，所以π5ππ22666x m ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦,． 要使得()f x 在π3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为32，即πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭在3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的最大值为1．所以ππ262m -≥，即π3m ≥．所以m 的最小值为π3．17（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； （3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加01．，哪类电影的好评率减少01．，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？（只需写出结论）17．【答案】（1）0025．；（2）0814．；（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102000+++++=．第四类电影中获得好评的电影部数是20002550⨯=．，故所求概率为5000252000=．．（2）设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B ．没有获得好评的电影共有14006500830008520007580008510091628⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．部．由古典概型概率公式得()162808142000P B ==．．（3）增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 18．（本小题14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E ，F 分别为AD ，PB 的中点． （1）求证：PE BC ⊥；（2）求证：平面PAB ⊥平面PCD ； （3）求证：EF ∥平面PCD ．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）PA PD =Q ，且E 为AD 的中点，PE AD ∴⊥， Q 底面ABCD 为矩形，BC AD ∴∥，PE BC ∴⊥． （2）Q 底面ABCD 为矩形，AB AD ∴⊥，Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∴⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥．又PA PD ⊥，PD ⊥Q 平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ． （3）如图，取PC 中点G ，连接FG ，GD ．F Q ，G 分别为PB 和PC 的中点，FG BC ∴∥，且12FG BC =， Q 四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，ED BC ∴∥，12DE BC =，ED FG ∴∥，且ED FG =，∴四边形EFGD 为平行四边形， EF GD ∴∥，又EF ⊄平面PCD ，GD ⊂平面PCD ， EF ∴∥平面PCD ．19．（本小题13分）设函数()()23132e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦．（1）若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线斜率为0，求a ； （2）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围．19．【答案】（1）12；（2）()1,+∞． 【解析】（1）()()23132e x f x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦Q ，()()211e xf x ax a x ⎡⎤∴=-++⎣⎦'， ()()2221e f a -'=，由题设知()20f '=，即()221e 0a -=，解得12a =． （2）方法一：由（1）得()()()()211e 11e x xf x ax a x ax x ⎡⎤=-++=--⎣⎦'． 若1a >，则当11x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,时，()0f x '<；当()1x ∈+∞,时，()0f x '>． 所以()f x 在1x =处取得极小值．若1a ≤，则当()01x ∈,时，110ax x -≤-<，()0f x ∴'>． 所以1不是()f x 的极小值点． 综上可知，a 的取值范围是()1,+∞． 方法二：()()()11e x f x ax x =--'．（1）当0a =时，令()0f x '=得1x =，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：()f x ∴（2）当0a >时，令()0f x '=得11x a =，21x =． ①当12x x =，即1a =时，()()21e 0x f x x '=-≥，()f x ∴在R 上单调递增， ()f x ∴无极值，不合题意．②当12x x >，即01a <<时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：()f x ∴1x =③当x x <，即1a >时，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：(f ∴1x =1a >（3）当0a <时，令()0f x '=得11x =，21x =，()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：(f ∴1x =综上所述，a 的取值范围为()1+∞,．20．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>，焦距为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． （1）求椭圆M 的方程；（2）若1k =，求||AB 的最大值；（3）设()20P -,，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,共线，求k ．20．【答案】（1）2213x y +=；（23）1．【解析】（1）由题意得2c =c又c e a ==a =2221b a c =-=，所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y ⎧=++=⎪⎨⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11A x y ,，()22B x y ,，则1232mx x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m =时，max ||AB =AB ． （3）设()11A x y ,，()22B x y ,，()33C x y ,，()44D x y ,，则221133x y += ①，222233x y += ②， 又()20P -,，所以可设1112PA yk k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+，又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x yD x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uuu r ，447144QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭uuu r ,，因为Q ，C ，D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，将点C ，D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．。
